saia uts

1. Instituto Universitario de Tecnología.
Antonio José de Sucre.
Extensión Barquisimeto.
Estadística
Aplicada
Mariely J. Vargas Z.
V- 19.828.422
Estadística II
Sección S1
2014-2i

2. Variable Aleatoria
Se llama variable aleatoria a toda función que
asocia a cada elemento del espacio muestral E
un número real.
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para
designar variables aleatorias, y las respectivas
minúsculas (x, y, ...) para designar valores
concretos de las mismas.

3. Variable Aleatoria Discreta
Una variable aleatoria discreta es aquella que
sólo puede tomar valores enteros.
Ejemplo:
El número de hijos de una familia, la puntuación
obtenida al lanzar un dado.

4. Variable Aleatoria Continua
Una variable aleatoria continua es aquella que
puede tomar todos los valores posibles
dentro de un cierto intervalo de la recta real.
Ejemplo:
La altura de los alumnos de una clase, las horas
de duración de una pila.

5. Distribución de probabilidad
• En teoría de la probabilidad y estadística, la
distribución de probabilidad de una variable aleatoria
es una función que asigna a cada suceso definido sobre
la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho
suceso ocurra. La distribución de probabilidad está
definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada
uno de los sucesos es el rango de valores de la variable
aleatoria.
• La distribución de probabilidad está completamente
especificada por la función de distribución, cuyo valor
en cada x real es la probabilidad de que la variable
aleatoria sea menor o igual que x.

7. Función de distribución
Sea X una variable aleatoria discreta cuyos
valores suponemos ordenados de menor a
mayor. Llamaremos función de distribución
de la variable X, y escribiremos F(x) a la
función:
F(x) = p(X ≤ x)
La función de distribución asocia a cada valor de
la variable aleatoria la probabilidad
acumulada hasta ese valor.

8. Ejemplo:
Calcular la función de distribución de probabilidad de las
puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
x
p i
x <1
0
1≤ x < 2
2≤ x < 3
3≤ x < 4
4≤ x < 5
5≤ x < 6
6≤ x
1

9. Representación
La representación de una función de
distribución de probabilidad es una gráfica
escalonada.

10. Esperanza matemática
En estadística la esperanza matemática
(también llamada esperanza, valor esperado,
media poblacional o media) de una variable
aleatoria , es el número que formaliza la idea
de valor medio de un fenómeno aleatorio.

11. Distribución binomial o de Bernoulli
Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o
de Bernoulli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos
resultados: el suceso A (éxito) y su contrario .
2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no
varía de una prueba a otra. Se representa por p.
3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de
los resultados obtenidos anteriormente.
La distribución binomial se suele representar por B(n, p).
n es el número de pruebas de que consta el experimento.
p es la probabilidad de éxito.
La probabilidad de es 1− p, y la representamos por q.

12. Variable aleatoria binomial
La variable aleatoria binomial, X, expresa el
número de éxitos obtenidos en cada prueba
del experimento.
La variable binomial es una variable aleatoria
discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2,
3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n
pruebas.
Ejemplo:
k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6
caras.

13. Independencia (probabilidad)
En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos
aleatorios son independientes entre sí cuando la
probabilidad de cada uno de ellos no está influida
porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando
ambos sucesos no están relacionados.
Se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5
morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.
Cual es la probabilidad de:
A sale un papel azul o
B sale un papel rojo
P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)
=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)
=10/50 + 15/50
=25/50
=1/2Eventos independientes

14. Distribucion Hipergeometrica
En teoría de la probabilidad la distribución
hipergeométrica es una distribución discreta
relacionada con muestreos aleatorios y sin
reemplazo. Supóngase que se tiene una
población de N elementos de los cuales, d
pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La
distribución hipergeométrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la
categoría A en una muestra sin reemplazo de
n elementos de la población original.

15. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene
3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a)
los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?
Solución:
a) N = 10 proyectiles en total
a = 7 proyectiles que explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de
proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara
b) N = 10 proyectiles en total
a = 3 proyectiles que no explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan
p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =

16. Distribución de Poisson
En teoría de probabilidad y estadística, la
distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta que expresa, a partir de
una frecuencia de ocurrencia media, la
probabilidad de que ocurra un determinado
número de eventos durante cierto período de
tiempo. Concretamente, se especializa en la
probabilidad de ocurrencia de sucesos con
probabilidades muy pequeñas, o sucesos
"raros".

17. Distribución normal
En estadística y probabilidad se llama distribución normal,
distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las
distribuciones de probabilidad de variable continua que con más
frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los
empleados de una empresa se distribuye según una distribución
normal, con media de 5 días y desviación típica 1 día. Calcular el
porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo
inferior a 7 días.
ß
t1 = -¥ y t2 = (7 -5)/1 = 2
En la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a un
tiempo inferior a 7 días.). Esta probabilidad es 0,9772. Por lo tanto,
el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo
inferior a 7 días es del 97,7%.

18. Distribución t (de Student)
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una
distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media
de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la
muestra es pequeño.
Ejemplo:
El valor t con = 14 grados de libertad que deja un área de 0.025 a la izquierda,
y por tanto un área de 0.975 a la derecha, es
t0.975=-t0.025 = -2.145
Si se observa la tabla, el área sombreada de la curva es de la cola derecha, es
por esto que se tiene que hacer la resta de . La manera de encontrar el
valor de t es buscar el valor de en el primer renglón de la tabla y luego
buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se intercepten
y se obtendrá el valor de t.

19. Distribución F
Usada en teoría de probabilidad y estadística, la
distribución F es una distribución de probabilidad
continua. También se le conoce como distribución F de
Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F
de Fisher-Snedecor.
Una variable aleatoria de distribución F se construye
como el siguiente cociente:
donde
U1 y U2 siguen una distribución chi-cuadrado con d1 y d2
grados de libertad respectivamente, y
U1 y U2 son estadísticamente independientes.
La distribución F aparece frecuentemente como la
distribución nula de una prueba estadística,
especialmente en el análisis de varianza.

20. Distribución Chi Cuadrado
En un delimitado espacio conjuga un determinado
número de variables aleatorias independientes entre
sí, con unos valores de probabilidad ubicados entre 1 y
0 que son atribuibles a esas variables, y con unos
límites de la probabilidad para el verdadero valor de X
delimitados por los Grados de Libertad atribuibles a las
variables aleatorias analizadas.
Ejemplo, El espesor de un semiconductor se controla
mediante la variación estándar no mayor a s=0.60 mm.
Para mantener controlado el proceso se toman
muestras aleatoriamente de tamaño de 20 unidades, y
se considera que el sistema está fuera de control
cuando la probabilidad de que s2 tome valor mayor o
igual al valor de la muestra observado es que es 0.01.
Que se puede concluir si s=0.84mm?

21. Solución. Existe fuera de control si con n=20 y s=0.60, excede
Entonces,
Por tanto, el sistema está fuera de control
La función de distribución CHI tienen importantes variaciones de acuerdo con
los grados de libertad y del tamaño muestral (menor tamaño muestral y
mayor tamaño muestral respectivamente),
En consecuencia, si tenemos X1,..,Xn, variable aleatoria independientes,
donde cada
, se tiene
La distribución Chi muestra su importancia cuando queremos determinar la
variabilidad (sin signo) de cantidades que se distribuyen en torno a un
valor central siguiendo un mecanismo normal.

22. Distribución beta
En estadística la distribución beta es una distribución de
probabilidad continua con dos parámetros y cuya
función de densidad para valores es
Aquí es la función gamma.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X
con distribución beta son
.
Un caso especial de la distribución beta es cuando y que
coincide con la distribución uniforme en el intervalo [0,
1].
Para relacionar con la muestra se iguala a la media y a la
varianza y se despejan y .
para el caso de beta sub 0 el coeficiente de correlacion e
calcula por la covarianza de xy sobre la desviacion
estandar de x por la desviacion estardar de y

23. Distribución gamma
En estadística la distribución gamma es una
distribución de probabilidad continua con dos
parámetros y cuya función de densidad para
valores es
Aquí es el número e y es la función gamma. Para
valores la función gamma es (el factorial de ). En
este caso - por ejemplo para describir un proceso
de Poisson - se llaman la distribución distribución
Erlang con un parámetro .
El valor esperado y la varianza de una variable
aleatoria X de distribución gamma son

24. Distribución exponencial
En estadística la distribución exponencial es una
distribución de probabilidad continua con un
parámetro cuya función de densidad es:
Su función de distribución acumulada es:
Donde representa el número e.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X
con distribución exponencial son:
La distribución exponencial es un caso particular de
distribución gamma con k = 1. Además la suma de
variables aleatorias que siguen una misma distribución
exponencial es una variable aleatoria expresable en
términos de la distribución gamma.

25. Ejemplo
Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de
la longitud de los intervalos de variable continua que
transcurren entre la ocurrencia de dos sucesos, que se
distribuyen según la distribución de Poisson.
El tiempo transcurrido en un call center hasta recibir la primer
llamada del día se podría modelar como una exponencial.
El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada
magnitud) sigue una distribución exponencial.
Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la
cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en
el alambre se podría modelar como una exponencial.
En fiabilidad de sistemas, un dispositivo con tasa de fallo
constante sigue una distribución exponencial.

26. Distribución normal estándar
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella
que tiene por media el valor cero, μ = 0, y por desviación típica la
unidad, σ =1.
Su función de densidad es:
Su gráfica es:
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto
sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.
Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que
sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una
distribución N(0, 1).