Distribución de Frecuencia. Estadistica II Binominal, Poisson, Hipergeometrica

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Maturín – Edo – Monagas
Autor:
Ronald Medrano
CI: 19.858.73
Facilitador (a):
Morelia Moreno

2. Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores
que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se
llevase a cabo.
Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el
futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva,
puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros
considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

3. La distribución de probabilidad de una
variable aleatoria discreta se presenta
como la lista de los distintos valores xi
que puede tomar la variable aleatoria X,
junto con sus probabilidades asociadas
f(xi) = P(X = xi), esto es, el conjunto de
parejas {xi, f(xi)}.
La función de probabilidad debe satisfacer las
siguientes propiedades:
1) f(xi) ³ 0.
2) S f(xi) = 1

4. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad
deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.
El área definida bajo la función de densidad de probabilidad
deberá ser de 1.
La función de los valores numéricos de x la representamos
por f(x), g(x), r(x), etc. y la probabilidad de que la variable
aleatoria X tome el valor x con P(X = x ).
Sean x1, x2, ..., xn (espacio muestral de X), los valores para
los cuales X tiene probabilidad y sean p1, p2 ,..., pn las
probabilidades correspondientes. Entonces P(X = x1) = p1.
Bajo este criterio podemos decir que:
Si
a f(xi) se le llama función de probabilidad.
𝒇 𝒙𝒊 =
𝒑 𝟏 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑿 = 𝒙𝒊
𝟎 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑿 ≠ 𝒙𝒊
𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 (𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … )

5. Las distribuciones de variable discreta más
relevantes son:
Distribución Binomial o Bernoulli
Distribución Hipergeométrico
Distribución Poisson

6. Las distribución binomial parte de la distribución de Bernoulli:
La distribución de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez un
experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o
fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0
La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número "n" de
veces el experimento de Bernoulli, siendo cada ensayo independiente
del anterior. La variable puede tomar valores entre:
0: si todos los experimentos han sido fracaso
n: si todos los experimentos han sido éxitos

7. n =es el número de pruebas.
k =es el número de éxitos.
p =es la probabilidad de éxito.
K! =es la probabilidad de fracaso.
𝒇 𝒙 = 𝒌 =
𝒏!
𝒌! 𝒏 − 𝒌 !
∗ 𝒑 𝒌(𝟏 − 𝐩) 𝒏−𝒌

8. En estadística la Distribución hipergeométrica es
una distribución de probabilidad discreta con tres
parámetros discretos N, d y n cuya función de
probabilidad es:
𝑯 𝒙, 𝑵 = 𝑷 𝑿 = 𝒙 =
𝑵 𝟏
𝒙
𝑵 − 𝑵 𝟏
𝒏 − 𝒙
𝑵
𝒏

9. Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen
las siguientes características:
a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución,
se esperan dos tipos de resultados.
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados
no son constantes.
c) Cada ensayo o repetición del experimento no es
independiente de los demás.
d) El número de repeticiones del experimento (n) es
constante.

10. En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de
Poisson expresa la probabilidad de un número k de eventos
ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una
tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde
el último evento.
Su formula se expresa:
𝑷 𝑿 = 𝒙 =
𝒆−𝝀 𝝀 𝒙
𝒙!
e =es el base del logaritmo natural
x!= es el factorial de x
x = es el número de ocurrencias de un evento
λ = es un número real positivo, equivalente al número
esperado de ocurrencias durante un intervalo dado

11. Para que una variable recuento siga una distribución de
Poisson deben cumplirse varias
condiciones:
1. En un intervalo muy pequeño (p. e. de
un milisegundo) la probabilidad de que
ocurra un evento es proporcional al
tamaño del intervalo.
2. La probabilidad de que ocurran dos o
más eventos en un intervalo muy
pequeño es tan reducida que, a efectos
prácticos, se puede considerar nula.
3. El número de ocurrencias en un
intervalo pequeño no depende de lo que
ocurra en cualquier otro intervalo
pequeño que no se solape con aquél.

12. Las distribución binomial parte de la distribución de Bernoulli:
La distribución de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez un
experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o
fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0
La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número "n" de
veces el experimento de Bernoulli, siendo cada ensayo independiente
del anterior. La variable puede tomar valores entre:
0: si todos los experimentos han sido fracaso
n: si todos los experimentos han sido éxitos

13. Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que responder si o no.
Suponiendo que a las personas que se le aplica no saben la respuesta
correcta de las preguntas, en consecuencia, contestan al azar, hallar:
a. Probabilidad de obtener cinco acierto
b. Probabilidad de obtener algún acierto

14. Es una distribución binominal, la persona solo puede acertar o fallar la
pregunta. Los parámetros van a estar dados por:
P(X)= 0,5 Suceso X (éxito)= acertar la pregunta
n = 10 La cantidad que se repite el experimento
a. Probabilidad de obtener cinco acierto
p = 0,5
n = 10
k = 5 𝒇 𝒙 = 𝒌 =
𝒏!
𝒌! 𝒏 − 𝒌 !
∗ 𝒑 𝒌(𝟏 − 𝐩) 𝒏−𝒌
𝑷 𝒙 = 𝟓 =
𝟏𝟎!
𝟓! 𝟏𝟎 − 𝟓 !
∗ (𝟎, 𝟓) 𝟓
(𝟏 − 𝟎, 𝟓) 𝟏𝟎−𝟓
𝑷 𝒙 = 𝟓 = 𝟐𝟓𝟐 ∗ (𝟎, 𝟓) 𝟓(𝟎, 𝟓) 𝟓
𝑷 𝒙 = 𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟔𝟏

15. b. Probabilidad de obtener algún acierto
𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 − 𝑷(𝒙 = 𝟎)
𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 −
𝟏𝟎!
𝟎! 𝟏𝟎 − 𝟎 !
∗ (𝟎, 𝟓) 𝟎
(𝟏 − 𝟎, 𝟓) 𝟏𝟎−𝟎
𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟏
𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗

16. b. Una caja contiene 10 focos, de los cuales 3 son defectuosos. ¿Cuál es la
probabilidad de que si se toma una muestra aleatoria sin reemplazo
de tamaño 2, se extraiga cuando mucho un foco defectuoso?
Solución.
Se trata de un modelo hipergeométrico
Definamos la variable aleatoria
X: Número de focos defectuosos. Entonces
N = 10, N1 = 3, n = 2 y x = 0, 1.

17. 𝑯 𝒙, 𝑵 = 𝑷 𝑿 = 𝒙 =
𝑵 𝟏
𝒙
𝑵 − 𝑵 𝟏
𝒏 − 𝒙
𝑵
𝒏
𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 = 𝑷 𝑿 = 𝟎 + 𝑷 𝑿 = 𝟏
𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 =
𝟑
𝟎
𝟏𝟎 − 𝟑
𝟐 − 𝟎
𝟏𝟎
𝟐
+
𝟑
𝟏
𝟏𝟎 − 𝟑
𝟐 − 𝟏
𝟏𝟎
𝟐
𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 =
𝟑
𝟎
𝟕
𝟐
𝟏𝟎
𝟐
+
𝟑
𝟏
𝟕
𝟏
𝟏𝟎
𝟐
𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 =
𝟑
𝟎
𝟕
𝟐
+
𝟑
𝟏
𝟕
𝟏
𝟏𝟎
𝟐
𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 =
𝟐𝟏 + 𝟐𝟏
𝟒𝟓
𝑷 𝑿 ≤ 𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟑𝟑

18. En una gasolinera la llegada de vehículos por día sigue la distribución de
Poisson de parámetro 1.6. Calcúlese la probabilidad de que:
a) Esté comprendido entre dos y tres vehículos
b) Llegue algún vehículo en dos días
Ya el ejercicio nos dice que se trata de una
distribución Poisson y el parámetro es de 1,6

19. a) Esté comprendido entre dos y tres vehículos
𝝀 = 𝟏, 𝟔
𝒙 = 𝟐, 𝟑
𝑷 𝟐 ≥ 𝑿 ≥ 𝟑 = 𝑷 𝑿 = 𝟐 + 𝑷 𝑿 = 𝟑
𝑷 𝟐 ≥ 𝑿 ≥ 𝟑 =
𝒆−𝟏,𝟔
(𝟏, 𝟔) 𝟐
𝟐!
+
𝒆−𝟏,𝟔
(𝟏, 𝟔) 𝟑
𝟑!
𝑷 𝟐 ≥ 𝑿 ≥ 𝟑 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟖𝟒 + 𝟎, 𝟏𝟑𝟕𝟖
𝑷 𝟐 ≥ 𝑿 ≥ 𝟑 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟔𝟐
𝑷 𝑿 = 𝒙 =
𝒆−𝝀 𝝀 𝒙
𝒙!

20. b) Llegue algún vehículo en dos días
Debido a que son dos días se debe multiplicar por 2 el parámetro
𝝀 = 𝟏, 𝟔 ∗ 𝟐 = 𝟑, 𝟐
𝒙 = 𝟎
𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 − 𝑷(𝒙 = 𝟎)
𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 −
𝒆−𝟑,𝟐(𝟑, 𝟐) 𝟎
𝟎!
𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟎𝟖
𝑷 𝑿 ≥ 𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟓𝟗𝟐