Distribución binomial

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA
ÁREA DE ENERGÍA, LAS INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS NATURALES NO RENOVABLES
INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y BINOMIAL NEGATIVA
INTEGRANTES:
 Ángel Eduardo Tandazo G
 Franklin Iván Gualan C
DOCENTE:
 Ing. Juan Pablo Cabrera
Modulo: VI
Loja- Ecuador

2. MARCO TEÓRICO
TEMA
 Distribución Binomial y Binomial negativa
PROBLEMA
La existencia y planteamiento de problemas de probabilidad complejos hace necesario un método que nos permita la interpretación de ciertos problemas en los cuales se hace necesario un análisis cualitativo de uno, o varios factores de interés en un determinado experimento o medición. Un experimento a menudo consiste en pruebas repetidas, cada una con dos resultados posibles, los cuales se pueden marcar como éxito o fracaso, esta es la base fundamental de la distribución binomial y binomial negativa.
HIPÓTESIS
La aplicación diaria en la resolución de métodos que nos permitan simplificar los cálculos de problemas propuestos nos lleva a conocer la distribución binomial y binomial negativa para poder obtener valores positivos o negativos de un espacio muestra definido al cual deseamos aplicar para obtener un resultado.
OBJETIVO
Conocer cómo se aplica el método binomial y binomial negativo para aprender resolver problemas que requieran la aplicación del mismo para la simplificación de cálculo y la obtención de un resultado más conciso de nuestro espacio muestral al cual evaluamos con un enfoque cualitativo en la obtención del resultado deseado.
ÁREA DE ESTUDIO Y APLICACIÓN
Estocásticos, tratamiento de señales, procesamiento de señales, codificación y decodificación, etc.
METODOLOGÍA

3. • Investigación exploratoria
• Investigación descriptiva
UNIDADES MÉTRICAS
 Valores en probabilidades
 0 a 1; no se admiten valores negativos en un valor de probabilidad
 Valores en secuencias para x
 0,1,2…n todos valores enteros
DESARROLLO
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (N, P)
La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge en muchas aplicaciones bioestadísticas
Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”.
CARACTERÍSTICAS
 En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario B (fracaso).
 El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de A es 1- p y la representamos por q.
 El experimento consta de un número n de pruebas.
VARIABLE X
 A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
 La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0,1,2,3,4,..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
 X=0,1,2,…..n

4. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Donde:
a) n es el número de pruebas
b) x es el número de éxitos es igual a r
c) p es la probabilidad de obtener un éxito
d) q es la probabilidad de obtener un fracaso, que se calcula q = 1 – p
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La media y la varianza de una distribución binomial se calculan:
1. Media
2. Varianza
3. Desviación típica
휎 = √푛 ∗ 푝 ∗ 푞
EJERCICIOS
Ejemplo 1
De acuerdo con los datos de Control Escolar del C.U.C.S., El 25% de los alumnos de la Lic. C.F. Y D.
Trabajan en actividades relacionadas con el Entrenamiento Deportivo y la Educación Física. Si se
elige a 10 alumnos en forma aleatoria, calcule la probabilidad de que trabajen en actividades de
Entrenamiento Deportivo y la Educación Física:
 6 alumnos
 Menos de 5 alumnos

5.  Ningún alumno
 Más de tres alumnos
Ejercicio realizado en Excel.
numero pruebas numero de exitos Probabilidad exito Probabilidad de Fracaso
n x p q
10 0 0,25 0,75 0,05631351 5,63135147 Respuesta C
10 1 0,25 0,75 0,18771172 18,7711716
10 2 0,25 0,75 0,28156757 28,1567574
10 3 0,25 0,75 0,25028229 25,0282288
10 4 0,25 0,75 0,14599800 14,5998001 0,92187309 92,1873093 Respuesta B
10 5 0,25 0,75 0,05839920 5,83992004
10 6 0,25 0,75 0,01622200 1,62220001 Respuesta A
10 7 0,25 0,75 0,00308990 0,30899048
10 8 0,25 0,75 0,00038624 0,03862381
10 9 0,25 0,75 0,00002861 0,00286102
10 10 0,25 0,75 0,00000095 9,5367E-05 0,22412491 22,4124908 Respuesta D
De acuerdo con los datos de Control Escolar del C.U.C.S., El 25% de los alumnos de la Lic. C.F. Y D. Trabajan en
actividades relacionadas con el Entrenamiento Deportivo y la Educación Física. Si se elige a 10 alumnos en forma
aleatoria, calcule la probabilidad de que trabajen en actividades de Entrenamiento Deportivo y la Educación Física:
A) 6 alumnos
B) Menos de 5 alumnos
C) Ningún alumno
D) Mas de tres alumnos
b(x) Porcentaje b(x)
Ejercicio 2
La probabilidad de que cierto antibiótico presente una reacción negativa al administrarse a un ave
rapaz en recuperación es de 0.15. Si se les ha administrado dicho antibiótico a 10 aves, calcúlense las
probabilidades de que haya reacción negativa:
 En dos aves
 En ningún ave
 En menos de 4 aves
 En más de 3 aves
 Entre 2 y 5 aves
Solución en Excel:

6. numero
pruebas
numero de
exitos
Probabilidad
exito
Probabilidad
de
Fracaso
n x p q
10 0 0,15 0,85 0,19687440 19,68744
10 1 0,15 0,85 0,34742542 34,74254
10 2 0,15 0,85 0,27589666 27,58967
10 3 0,15 0,85 0,12983372 12,98337 0,95003020
10 4 0,15 0,85 0,04009571 4,00957
10 5 0,15 0,85 0,00849086 0,84909
10 6 0,15 0,85 0,00124866 0,12487
10 7 0,15 0,85 0,00012591 0,01259
10 8 0,15 0,85 0,00000833 0,00083
10 9 0,15 0,85 0,00000033 0,00003
10 10 0,15 0,85 0,00000001 0,00000 0,04996980
La probabilidad de que cierto antibiótico presente una reacción negativa al
administrarse a un ave rapaz en
recuperación es de 0.15. Si se les ha administrado dicho antibiótico a 10 aves,
calcúlense las probabilidades de que haya reacción negativa:
a. En dos aves
b. En ningún ave
c. En menos de 4 aves
d. En más de 3 aves
b(x)
Porcentaje
b(x)
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
Consideremos un experimento donde las propiedades son las mismas que las que se indican para un
experimento binomial, con la excepción de que las pruebas se repetirán hasta que ocurra un número
fijo de éxitos. Por lo tanto, en vez de encontrar la probabilidad de x éxitos en n pruebas, donde n es
fija, ahora nos interesa la probabilidad de que ocurra el k-ésimo éxito en la x-ésima prueba. Los
experimentos de este tipo se llaman experimentos binomiales negativos.
CARACTERISTICAS:
 El número total de puntos muestrales en el experimento que termina en un éxito, después de
la ocurrencia de k−1 éxitos y x −k fracasos en cualquier orden, es igual al número de
particiones de x−1 pruebas en dos grupos con k−1 éxitos que corresponden a un grupo y x−k
fracasos que corresponden al otro grupo.

7.  Cada éxito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad 1-p.
VARIABLE BINOMIAL NEGATIVA.
 El número X de pruebas que genera k éxitos en un experimento binomial negativo se llama variable aleatoria binomial negativa.
FUNCION DE PROBABILIDAD
Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1 − p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el número de la prueba en la que ocurre el k-ésimo éxito, es 푓(푥)=푃(푋=푥)=( 푥−1 푘−1)푝푘푞푥−푘, 푥=푘,푘+1,푘+2,…
Características:
• Media: 휇= 푘 푝
 Varianza: 휎2= 푘 푝 ( 1 푝 −1)
EJERCICIOS:
En el campeonato de futbol nacional el equipo que gane 4 juegos de 7 será el ganador. Suponiendo que el equipo A tiene una probabilidad de 0.55 de ganarle al equipo B de su misma ciudad, y que ambos equipos, Ay B se enfrentaran entre en los juegos de campeonato.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A ganara el campeonato en 3 juegos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie?
c) Si ambos equipos se enfrentan entre sí en una serie local y el ganador es quien gana 3 de 5 juegos ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie local? Calcular la varianza y la media
SOLUCIÓN:
a)
X= número de juegos en los que se espera ganar completar el número de juegos necesarios para obtener el campeonato.

8. K= número de éxitos necesarios para alcanzar el campeonato.
x= 6 ; k=4 푃(푋=6)=( 53)(0.55)2(0.45)2=0.1853
b) El resultado es la sumatoria de todas las combinaciones en las que podría lograr el campeonato 푃(푋=4)+푃(푋=5)+푃(푋=6)+푃(푋=7) ( 33)(0.55)4(0.45)0+( 43)(0.55)4(0.45)1+( 53)(0.55)4(0.45)2+( 63)(0.55)4(0.45)3= 0.0915+0.1647+0.1853+0.1667=0.6083
c) En este caso cambia el valor de k pues se requieren k=3 éxitos en x=5 juegos para lograr ganar la serie local. 푃(푋=3)+푃(푋=4)+푃(푋=5) ( 22)(0.55)3(0.45)0+( 32)(0.55)3(0.45)1+( 42)(0.55)3(0.45)2=0.1663+0.2246+0.2021=0.5931
Media: 휇= 푘 푝 = 30.55=5.45 Varianza: 휎2= 30.55( 10.55−1)=4.459
REFERENCIAS
I. http://www.ugr.es/~bioestad/_private/Tema_4_color.pdf
II. http://www.cucs.udg.mx/movimientohumano/files/File/Funciones%20de%20Distribucion% 20Normal%20y%20Binomial.pdf
III. http://www.youtube.com/watch?v=VbIyBmaoC-s
IV. http://www.ugr.es/~bioestad/_private/Tema_4_color.pdf
V. Hines W.PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAS PARA INGENIERÍA .Mexico.Editorial Continental . 1996 ,pp182-185
VI. Walpole R. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PARA INGENIERIA Y CIENCIAS. Mexico-Mexico. Pearson Education.2007.pp158-175