UACH Fisica De Las Ciencias Forestales 2 4 Transporte De Fluidos

Física en las Ciencias Forestales
2.4 Transporte de Fluidos
Teoría

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Física,
Universidad Austral, Valdivia, Chile

07.10.2009

W. Gerber Física en las Ciencias Forestales - 2.4 Transporte de Fluidos - Teoría 07.10.2009 1 / 59

Plantas y Agua

Para comprender la relevancia y los mecanismos mediante los
cuales el agua es transportada en las plantas veremos:

▶ Necesidad de Agua
▶ Absorción en Raíces
▶ Transporte por Tallos y Troncos
▶ Transpiración en Hojas


Necesidad de Agua I

El Agua es uno de los Elementos básicos para la vida vegetal.

Necesidad de Agua II

Si se estudia la productividad en la
creación de materia orgánica
(medida en g/m2 aõ) y se
n
correlaciona con el agua caída
(medida en mm/aõ, cm/aõ o
n n
m/aõ) se observa la relación
n
indicada en la gráfica adjunta. En
general se tiene como regla que

500 g agua −→ 1 g materia orgánica
(1)


Absorción en Raíces

El Agua penetra a la planta por
Osmosis.


Transporte por Tallos y Troncos

El Transporte por Tallos y Troncos
ocurre principalmente por efecto
de las Fuerzas Capilares.


Transpiración en Hojas

Para permitir que nueva agua con
nutrientes sea transportada a las
ramas es necesario que la planta
deseche el agua ya empleada.
Para ello emplea el mecanismo de
evaporación por lo que se habla
de que la planta ’transpira’.


Absorción en Raíces

La Absorción de Agua en las Raíces se debe en gran medida
al fenómeno de la Presión Osmótica por lo que estudiaremos:

▶ Soluciones
▶ Presión del Medio
▶ Efecto de los Iones
▶ Presión Osmótica
▶ Flujo


Soluciones I
El Agua es un excelente solvente.
Las Moléculas de Agua facilitan la
liberación de los Iones de un
cristal diﬁcultando después su
posterior adhesión rodeándolo. Sin
embargo a medida que aumenta
la cantidad de iones disueltos
aumenta la probabilidad de que,
pese a su encapsulamiento, sean
reabsorbidos. La concentración
aumenta hasta que llega a un
punto de saturación en que el ﬂujo
de los iones que abandonan el
cristal es igual al de los iones que
son reabsorbidos.


Soluciones II
Bajo esta situación se encuentra
un Equilibrio entre las
concentraciones de los iones
positivos A+z y negativos B−z y el
compuesto AB de la forma
cA+z cB−z
K= (2)
cAB
donde K es la Constante de
Equilibrio, los c representan las
respectivas concentraciones y z la
valencia de los iones (numero de
cargas eléctricas).


Presión en el Medio I
Para el caso de un gas se puede
establecer una relación entre la
Presión que ejerce este sobre las
paredes del recipiente que lo
contiene y parámetros como la
concentración, masa de las
moléculas y velocidad de estas.
Una vez hemos comprendido este
mecanismo podemos analizar el
efecto que tendría la introducción
de Iones que puedan estar
disueltos en este medio.


Presión en el Medio II
Si observamos un cubo en
contacto con una Pared de
Superﬁcie S, veremos que 1/6 de
las moléculas de masa m y
velocidad se desplazaran en
+m S dirección de la Pared. Si la
2m concentración del gas es n, en un
−m tiempo Δt impactaran la Pared un
total de
1
n ⋅ S Δt (3)
6
partículas.


Presión en el Medio III
En cada impacto transferirá un
Momento 2m a la Pared, por lo
que el Momento total en Δt sera
de
1 1
+m S Δp = 2m n ⋅ S Δt = m 2 nSΔt
6 3
2m (4)
−m
Con ello la Presión que ejerce el
gas sobre la Superﬁcie S es

F Δp 1
P= = = m 2n (5)
S SΔt 3


Presión en el Medio IV
Ludwig Boltzmann desarrollo la
Teoría cinética de los Gases
según la cual una partícula tiene
una Energía Cinetica igual a

1 2 f
E= m = kT (6)
2 2
donde f el numero de grados de
libertad (una masa puntual tiene 3
- x,y,z), k es la constante de
Boltzmann (1,38 × 10−23 J/K) y T
es la temperatura absoluta. La
constante de Boltzmann k se
Ludwig Boltzmann asocia a la constante de Gas y el
(1844-1906) Numero de Avogadro NA mediante

Presión en el Medio V

R
k= (7)
NA
En base a (5) y empleando (6) y
(7) se concluye
f
P = nm RT (8)
3
donde nm es la Concentración
molar n/NA . Para el caso de
masas puntuales, en que existen
tres grados de libertad (f = 3),
esta ecuación se reduce a la
Ludwig Boltzmann ecuación ideal de los gases.
(1844-1906)


Efecto de los Iones I
La introducción de iones en el
medio lleva a un cambio de
concentraciones. Por un lado se
reduce la concentración al haber
un menor numero de partículas en
el mismo volumen. Por otro lado
surge un segundo tipo de
partículas con su propia
concentración. Con ello la Presión
de cada componente (presión
parcial)

Pk = nm,k RT (9)


Efecto de los Iones II
se suman para dar una Presión
total

P= Pk = RT nm,k (10)
k k

Esta Presión es menor que la
Presión del solvente solo ya que
los iones disueltos son pocos pero
ocupan mucho lugar al adherirse a
ellos moléculas de agua.


Presión Osmótica I

La Presión Osmótica se da entre dos medios con distinta
concentración de Iones separados por una membrana no
permeable a los iones.

Presión Osmótica II

La Membrana esta constituida por
un cuerpo que no pueden penetrar
los Iones y Canales que solo
permiten el transito de Moléculas
de Agua. En muchos casos esto
se da simplemente por el tamaño
del Canal, ya que los Iones, con
sus Moléculas de Agua adheridas,
no logran pasar por los Canales.
Por otro lado, el tamaño que
tienen, escuda a la pared del
sistema del impacto de moléculas
del soluciona reduciendo la
Presión.


Presión Osmótica III
Como ya se vio en el subtitulo
anterior, los iones llevan a una
reducción de la Presión por lo que
se deﬁne esta reducción como la
Presión Osmótica:
N
Ψ = − RT = −nRT (11)
V
donde
Ψ Presión Osmótica [M/LT 2 ]
V Volumen [L3 ]
N Numero de Particulas [mol]
R Constante de Gas [ML2 /T 2 molK]
T Temperatura [K]
n Concentración [mol/L3 ]

Presión Osmótica IV
Si se tienen distintos tipos de
Iones, cada uno contribuirá (en
forma negativa) con una Presión
parcial de modo que se tendrá

Ψt = Ψk (12)
k

donde
Ψt Presión parcial
total [M/LT 2 ]
Ψk Presión parcial
del Ion k [M/LT 2 ]


Presión Osmótica V
Si la membrana no es totalmente
impermeable, algunos Iones
lograran pasar atrevas de esta
reduciéndose la presión osmótica.
En estos casos se debe corregir la
Presión Osmótica con la
Constante de Reﬂexión de
Staverman que representa la
fracción de Partículas que no se
’reﬂejan’. Para el ion del tipo k
seria
k
k =1− (13)
s
donde k es la velocidad de Flujo
del Ion tipo k y s aquella del
Solvente.

Equilibrio en Membrana I
Si existen dos tubos separados
por una membrana
semipermeable y en uno de los
dos lados tenemos un soluto la
diferencia de Presión llevara a que
Agua del lado sin soluto penetre
en el con soluto. Esto ocurrirá
hasta que la diferencia de Presión
se equipare, o sea la columna de
Agua haya subido suﬁciente y la
Presión se haya reducido por
efecto de la Dilusión.


Equilibrio en Membrana II

Supongamos dos columnas de sección S unidas por una
membrana semipermeable que inicialmente tenían una altura
h0 y en que una tenia una concentración n0 . La Presión
Osmótica originara las columnas tengan al ﬁnal alturas h1 y h2
respectivamente, tal que
h1 + h2 = 2h0 (14)
Por conservación la nueva concentración se puede calcular de
h0
n0 h0 S = n2 h2 S → n2 = n0 (15)
h2
Con ello el equilibrio se alcanza cuando las presiones en
ambos lados son iguales:
h0 h0
gh1 = + Mn0 gh2 − n0 RT (16)
h2 h2

Equilibrio en Membrana III

donde M es la masa molar del soluto, la densidad del liquido,
R la constante de Gas y T la temperatura absoluta. Si se
asume que el aumento de la Presión hidrostatica por efecto del
soluto es despreciable (Mn0 ≪ ) la expresión lleva a la
ecuación cuadrática
h0 n0 (gh2 M − RT)
h2 − h0 h2 +
2 =0 (17)
2 g

cuya solución es
⎛ ⎞
h0 ⎝ n0 M 2n0 RT n2 M 2
0 n0 M ⎠
h2 = 1− + 1+ + − (18)
2 2 gh0 4 2


Flujo en Raíces I

El ﬂujo por las raíces se inicia en los extremos de esta, siendo
el ﬂujo de índole laminar.


Flujo en Raíces II
El flujo ocurre directo por
permeabilidad de las células o en
el espacio entre estas. En ambos
casos la velocidad del flujo se
asocia a las diferencias de Presión
creadas por la variación de la
Presión Osmótica ΔΨ. Por ello,
empleando la ecuación de
Bernoulli, tendremos

1 2 2ΔΨ
ΔΨ = → = (19)
2

donde es la densidad del agua y
la velocidad del fluido.


Flujo en Raíces III
El ﬂujo total estará dado por la
velocidad del liquido y la sección
S que se suma de las secciones
de los N poros que tenga la
membrana. Si el radio del poro es
r y se asumen de sección circular,
el ﬂujo sera de

jn = S = N r2 (20)

El radio sera del orden del tamaño
de una molécula de agua, es decir
unos 10−10 m.


Transporte por Tallos y Troncos

El ﬂujo de agua por tallos y troncos es movido principalmente
por capilaridad. Por ello veremos:

▶ Capilaridad
▶ Elevación de líquidos
▶ Flujo en Tallos y Troncos


Capilaridad I

En el caso de un Capilar, el liquido
es atraído o repelido por la
superficie del tubo. Eso lleva a que
se forme una curvatura en que el
liquido sube por las paredes (alta
adhesión) o se aleja de esta (baja
adhesión). En este caso la presión
generada por la Tensión
superficial depende del angulo
que tiene la superficie en el borde
respecto de la pared.


Capilaridad II
En este caso se puede mostrar
que
2R cos = 2r
con lo que la Presión generada
por la Tensión Superficial es:

2 2 cos 2 ∗
pc = = ≡ (21)
R r r
en donde hemos definido
∗
≡ cos (22)

para simplificar la aplicación de la
ecuación.


Elevación de líquidos
Una de las consecuencias de la
Presión que genera la Tensión
Superﬁciales en Meniscos es que
succiona el liquido hacia el
Capilar. A medida que la columna
de agua es mas alta aumenta su
peso hasta que existe un equilibrio
entre ambas fuerzas:
2 ∗
pc = = hg
r
o sea el liquido alcanza una altura
de
2 ∗
h= (23)
gr


Flujo en Tallos y Troncos I

Si por otro lado si la altura
calculada en (23) excede la altura
del árbol existirá una diferencia de
presión

2 ∗
Δp = − gh (24)
r
que impulsara el ﬂujo de agua.
Empleando nuevamente la
ecuación de Bernoulli se obtiene
que la velocidad con que el agua
ﬂuye es de

2Δp 2 ∗
= = − gh (25)
r

Flujo en Tallos y Troncos II

Al igual que en el caso de las
raíces, el ﬂujo total estará dado
por el numero de capilares N y la
sección de cada uno. Si el radio
del capilar es r y la velocidad de
desplazamiento del agua es , el
ﬂujo total sera

j = N r2 (26)


Flujo en Tallos y Troncos III

Esto es solo posible si se tienen
capilares sellados que no
presentan aperturas al exterior.
Por ello la planta cuenta con un
tipo de esclusas (A) que permite
desviar el flujo cada vez que el
canal presenta algún tipo de
apertura/cavidad (B) con presión
atmosférica. De esta forma fluyen
los líquidos por capilares sellados
(C) aprovechando la tensión
superficial de los líquidos
transportados.


Transpiración en Hojas

Para que nueva agua pueda llegar a las hojas, la planta debe
primero eliminar aquella que ha sido transportado
anteriormente. Para entender los mecanismos asociados
veremos:

▶ Mecanismo de Transpiración
▶ Presión de Vapor de Agua
▶ Flujo


Mecanismo de Transpiración I

La Eliminación de Agua se lleva
acabo a través de la Evaporación
de esta. Para ello el agua es
concentrada en las Cavidades de
Stomatal desde donde se emite en
forma de Vapor de Agua.


Presión de Vapor de Agua
Aplicando la Ecuación de
Clausius-Clapeiron al caso del
Vapor de Agua se obtiene:

p = p0 e−l/RT (27)

donde
p Presión del Vapor [M/KLT 2 ]
p0 Presión en el
Punto Triple [M/KLT 2 ]
l Calor Latente por mol [ML2 /T 2 ]
T Temperatura Absoluta [K]
R Constante de Gas [ML2 /KT 2 ]


Flujo

El ﬂujo se origina por
movimiento de Aire sobre la
superﬁcie de la hoja (viento)
que remueve el vapor de agua,
dándole a la planta la
oportunidad de evaporar aun
mas agua.


Difusión

Los nutrientes son transportados ya sea por el movimiento de
los líquidos dentro de la planta y vía difusión. Por ello debemos
ver:

▶ Mecanismo de Difusión
▶ Ley de Fick


Mecanismo de Difusión
Los iones, al igual que el perfume
de una ﬂor, son capaces de
desplazarse en el medio en que
están inmersos.
El desplazamiento se da porque
los Iones se mueven. Si existe un
Gradiente en la Concentración,
habrán mas Iones que viajan de la
Zona de alta a la Zona de baja
Concentración. De esta forma
existe un desplazamiento efectivo.


Ley de Fick I
Si a lo largo de una distancia Δx
existe una diferencia de
Concentración de Partículas Δc
surge una corriente que, en la
versión simpliﬁcada de la Ley de
Fick es:
Δn
jn = −D (28)
Δx
donde
jc Densidad de Flujo
de Partículas [mol/TL2 ]
D Constante de Difusión [L2 /T]
Δn Variación de Concentración [mol/L
Δx Distancia [L]

Ley de Fick II
La Ley de Fick general es una ley
vectorial, es decir indica una
Dirección en que corre el ﬂujo de
Partículas:

⃗ ⃗
jn = −D∇n (29)

donde
⃗
jn Flujo de Partículas [1/TL2 ]
n Concentración [mol/L3 ]
Esto es el ﬂujo ocurre en la
dirección de mayor gradiente de
Concentración.


Camino recorrido
A medida que ha transcurrido un
tiempo Δt el ancho de la
Distribución Δx va creciendo
cumpliendo la relación:

Δx2
D= (30)
Δt
donde
Δx Camino recorrido [L]
Δt Tiempo transcurrido [T]


Presión Osmótica I
Cuando tenemos un vaso con
agua pura la Presión Osmótica es
nula
Ψs = 0
al igual que la Presión hidrostatica

Ψp = 0

y por ello la Presión total del agua

Ψw = Ψs + Ψp = 0


Presión Osmótica II
Si disolvemos sacarosa con una
concentración n de 0,1 mol/l
tendremos a 20∘ C una Presión
Osmótica de

Ψs = −nRT = −0,244 MPa

Presión hidrostatica de

Ψp = 0

y Presión total del agua de

Ψw = Ψs + Ψp = −0,244 MPa


Presión Osmótica III
Si ahora consideramos una Célula
con una concentración n de
0,3 mol/l tendremos a 20∘ C una
Presión Osmótica de

Ψs = −nRT = −0,732 MPa

Presión hidrostatica es nula

Ψp = 0


Ψw = Ψs + Ψp = −0,732 MPa


Presión Osmótica IV
Al colocar la Célula dentro de
nuestra solución de sacarosa la
Presión Osmótica sera

Ψs = −nRT = −0,732 MPa

La presión total continua siendo
aquella del medio externo

Ψw = −0,244 MPa

con lo que la Presión hidrostatica
tendrá que ser

Ψp = Ψw − Ψs = 0,488 MPa


Presión Osmótica V
Al sacar la Célula nuevamente de
nuestra solución de sacarosa esta
se ha hidratada siendo la Presión
Osmótica

Ψs = −nRT = −0,732 MPa

La Presión hidrostatica por efecto
del Agua que absorbió

Ψp = 0,488 MPa

y la Presión total

Ψw = Ψs + Ψp = −0,244 MPa


Presión Osmótica VI
Si disolvemos sacarosa con una
concentración n de 0,3 mol/l
tendremos a 20∘ C una Presión
Osmótica de

Ψs = −nRT = −0,732 MPa

Presión hidrostatica de

Ψp = 0


Ψw = Ψs + Ψp = −0,732 MPa


Presión Osmótica VII
Al colocar la Célula dentro de la
nueva solución de sacarosa la
Presión Osmótica sera

Ψs = −nRT = −0,732 MPa

La presión del agua sera

Ψw = −0,732 MPa

con lo que la Presión hidrostatica
tendrá que ser

Ψp = Ψw − Ψs = 0,0 MPa


Flujo de Liquido I

En una raíz ﬂuye agua con 10 × 10−6 l/hr, eso es
2,77 × 10−13 m3 /s. Supongamos que la raíz esta constituida por
una membrana semipermeable constituida por poros del
tamaño de una molécula de agua 10−10 m. Si el largo del poro
es de unos 4,0 × 10−9 m y una molécula se demora alrededor
de un segundo en pasar tendremos velocidades del orden de

Δz 4,0 × 10−9 m
= = 4,0 × 10−9 m/s
Δt 1s
Por ello la sección total disponible se puede calcular de

j 2,77 × 10−13 m3 /s
S= = = 6,94 × 10−5 m2
4,0 × 10−9 m/s


Flujo de Liquido II

Con el radio estimado de un poro se obtiene que por raíz
existirían unos
S 6,94 × 10−5 m2
= = 2,2 × 10+15
r2 10−20 m2


Anexos

▶ Unidades
▶ Conversiones
▶ Bibliograﬁa
▶ Contacto


Unidades

Simbolo Tipo Ejemplos
L Largo m, cm, mm, m
T Tiempo s, min, hrs
M Masa kg
% Porcentaje −

Simbolo Tipo Ejemplos
L2 Área, Superﬁcie m2 , cm2
L3 Volumen m3 , cm3
M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3


Conversiones I

1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3
1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m
1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3
1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3
1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt
1m2 = 10−4 ha


Conversiones II

1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1s = 1,67 × 10−2 min
1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1s = 2,78 × 10−4 hr
1s = 1,16 × 10−5 dias
1 m/s = 3,6 km/hr 1s = 3,17 × 10−8 aos
1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15 × 10+7 s
1 dia = 8,64 × 10+4 s
1 hr = 3600 s
1 min = 60 s


Bibliograﬁa I

Textos recomendados. En caso de links a Google Books se
trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.
Understanding wood: a craftsman’s guide to wood
technology, R.B. Hoadley, Taunton Press, October 2000,
ISBN-13: 9781561583584
→ Leer en Google Books
On Size and Live, T.A. McMahon and J.T. Bonner, Scientiﬁc
American Books, Inc. New York, 1983
Agricultural Mechanics: Fundamentals and Applications,
R.V. Herren, Cengage Learning, 2009, ISBN-13:
9781435400979


Bibliograﬁa II

Mechanics of Solid Materials, J.P. Lemaitre, J.-L.
Chaboche, Cambridge University Press, 1994, ISBN-13:
9780521477581


Contacto

Dr. Willy H. Gerber
wgerber@gphysics.net

Instituto de Física
Universidad Austral de Chile
Campus Isla Teja
Valdivia, Chile
+(56) 63 221125

Set del Curso:
http://www.gphysics.net/physics-in-kinesiology-uach


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