UACH Fisica En Las Ciencias Forestales 1 3 Sin Saturacion

Física en las Ciencias Forestales
1.3 Suelo No Saturado
Teoría

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Física,
Universidad Austral, Valdivia, Chile

16.08.2009

W. Gerber Física en las Ciencias Forestales - 1.3 Suelo No Saturado - Teoría 16.08.2009 1 / 77

Suelo No Saturado

Existen tres formas como se
almacena Agua en Suelo no
Saturado:
▶ En Capilares por efecto de la
Tensión Superﬁcial
▶ En las Superﬁcies de los
Granos por Absorción
▶ Como Vapor de Agua en la
Porosidad


Vapor de Agua

El Vapor de Agua corresponde a Moléculas de Agua en
suspensión en Aire. Para comprender como se forma debemos
estudiar:

▶ Formación
▶ Evaporación
▶ Temperatura Absoluta
▶ Ley de Gases Ideales
▶ Cambio de Fase
▶ Presion de Vapor de Agua


Formación I

Si tenemos un vaso con agua
observaremos que siempre hay
algunas Moléculas que tienen
suﬁciente Energía para escapar
del liquido. Estas abandonan la
superﬁcie y comienzan a
desplazarse por el Aire que esta
sobre el liquido.


Formación II

A medida que pasa el tiempo cada
vez mas moléculas abandonan el
liquido hasta existir una
concentración tan alta que surge
un ﬂujo constante de Moléculas
que vuelven al liquido.
Esto ocurre hasta que el ﬂujo de
Moléculas que abandonan el
liquido es igual al de aquellas que
vuelven a este. Se habla de que el
Vapor de Agua esta en Equilibrio
con el Agua.


Formación III

En la situación de equilibrio existe
una concentración de Vapor de
Agua cs que se denomina
concentración de saturación. Esto
se reﬁere a que en situación de
Equilibrio el Aire a absorbido el
máximo en Agua que puede
contener o sea esta saturado. Si la
concentración del Agua en el Aire
es c es de interés cuanta agua aun
puede absorber por lo que se
deﬁne la Humedad Relativa como
c
HR = 100 % (1)
cs


Evaporación I
Para que las Moléculas logren
escapar, deben tener suﬁciente
Energía para lograr romper los
Vínculos que tienen con sus
vecinas. Para lograr esto
aumentamos la Energía Interna U
con lo que comienzan a vibrar mas
fuerte hasta romper el vinculo. La
Energía necesaria para liberarse
se denomina Calor Latente. El
Calor Latente se puede medir.


Evaporación II

En la parte superior se hace pasar
Corriente por un Filamento
sumergido en el Liquido. De la
Resistencia del Filamento y la
Corriente se determina el Calor Q
que se produce. El Liquido se
comienza a evaporar y en la parte
central es nuevamente
condensado mediante un Liquido
refrigerante. En la parte inferior se
recoge el Condensado que es
pesado para determinar su
cantidad M.


Evaporación III
De la Relación entre ambos se
calcula el Calor Latente:
Q
L= (2)
M
donde
L Calor Latente [L2 /T 2 ]
M Masa evaporada [M]
Q Calor o Energía generada
por el Filamento [ML2 /T 2 ]
Hay que hacer notar que las Unidades del Calor Latente son
Energía por Masa o Velocidad al cuadrado. En otras palabras
la raíz del Calor Latente debe ser proporcional a la Velocidad
de escape que deben tener las Moléculas.


Temperatura
La Temperatura es una medida de
la Energía Interna que tienen los
Átomos y las Moléculas. Por ello
debe existir una Temperatura
mínima posible para el caso que el
Sistema no tenga Energía Interna.
Por ello las Escala Celcius (y la de
Fahrenheit) no son apropiadas.
Debe existir una Temperatura
Absoluta en que su cero equivalga
a la situación en que la Energía
Interna del Sistema es nula.
Jacques Charles
(1778-1850) Jacques Charles descubrió la
relación que permitió estimar el
Cero Absoluto.

Ley de Charles
Para Gases se observa que
para una Presión constante
existe una relación lineal entre
la Temperatura y el Volumen.
Esta relación, que se denomina
la Ley de Charles:

T∝V (3)

donde
T Temperatura [K]
V Volumen [L3 ]
De la ley de Chales se concluye que el Volumen seria Cero (si
existiera un material que a esa temperatura aun estuviera en
estado gaseoso) al llegar a una Temperatura de −273,15∘ C.

Temperatura Absoluta

Sobre la base de la Ley de
Charles se introduce la
Temperatura Absoluta como

T = 273,15 + t (4)

donde
T Temperatura en ∘ Kelvin
t Temperatura en ∘ Celcius
Con esta Variable la Ley de
Charles se escribe como:
T
= cte (5)
Equipo para demostrar la V
Ley de Charles

Ley de Boyle
Para el caso de que la
Temperatura se mantiene
constante se observa que la
Presión es inversamente
Proporcional al Volumen del Gas.
Esta relación se denomina la Ley
de Boyle:
1
p∝ o pV = cte (6)
V
donde
Robert F. Boyle
(1627-1691) p Presión [M/LT 2 ]
V Volumen [L3 ]


Ley de Gay-Lussac
Para el caso de que el Volumen
es constante se observa que la
Presión es Proporcional a la
Temperatura del Gas. Esta
relación se denomina la Ley de
Gay-Lussac:
p
p∝T o = cte (7)
T
donde
Joseph Louis
Gay-Lussac p Presión [M/LT 2 ]
(1778-1850) T Temperatura [K]


Ley de Avogadro
Para el caso de que la Presión y
Temperatura son constante el
Numero de Átomos o Moléculas
es proporcional al Volumen que
ocupan independiente del tipo de
Material. Esta relación se
denomina la Ley de Avogadro:
n
n∝V o = cte (8)
V
donde
Amedeo Avogadro n Numero de Moles [−]
(1776-1856) V Volumen [L3 ]


Ley de los Gases Ideales
Emil Clapeyron fue el primero que
combino las leyes de los Gases en
una sola Ley:

pV = nRT (9)

donde
p Presión [M/LT 2 ]
V Volumen [L3 ]
n Numero de Moles [−]
T Temperatura Absoluta [K]
Emil Clapeyron
R Constante de Gas [ML2 /KT 2 ]
(1799-1864)
La Constante de Gas tiene un valor de 8,314 J/K mol.


Cambio de Fase I

El Diagrama de Fase p-T nos permite reconocer para que
combinación de Presión y Temperatura el Material esta en
forma Solida, Liquida o Gaseosa:

Liquido

p
Solido
Gas

T

Cambio de Fase II

Para estudiar la Evaporación del Agua debemos observar el
Diagrama de Fase del Agua:


Cambio de Fase III

Las lineas divisorias del diagrama
de fase se caracterizan por dos
dp puntos especiales:
dT ▶ Punto Triple (Estado en que
p Δp existe Solido-Liquido-Gas a la
vez)
ΔT
▶ Punto Critico (Punto en que
deja de existir el cambio de
Fase Liquido-Gas)
y por las pendientes dp/dT de las
T Lineas Limite.


Cambio de Fase IV
Las pendientes en el Diagrama de
Fase se describen por la Ecuación
de Clausius-Clapeiron.
dp L
= (10)
dT TΔV
donde
dp/dT Variación de Presión
en función de la
Temperatura [M/KLT 2 ]
L Calor Latente [ML2 /T 2 ]
Rudolf Clausius T Temperatura Absoluta [K]
(1822-1866) ΔV Cambio de Volumen
al cambiar la fase [L3 ]


Presión de Vapor de Agua
Aplicando la Ecuación de
Clausius-Clapeiron al caso del
Vapor de Agua se obtiene (ver
Anexo [?]):

p = p0 e−l/RT (11)

donde
p Presión del Vapor [M/KLT 2 ]
p0 Presión en el
Punto Triple [M/KLT 2 ]
l Calor Latente por mol [ML2 /T 2 ]
Presion de Vapor de T Temperatura Absoluta [K]
Agua en mbar = 102 Pa R Constante de Gas [ML2 /KT 2 ]


Difusión

El Vapor viaja por Difusión dentro del Suelo. Por ello debemos
estudiar:

▶ Mecanismo de Difusión
▶ Ley de Fick
▶ Constante de Difusion
▶ Camino recorrido


Mecanismo de Difusión
El Vapor de Agua, al igual que el
Perfume de una Flor, es capaz de
desplazarse por el Aire.
El desplazamiento se da porque
las Moléculas de Agua se
desplazan por el Aire. Si en una
Zona existe un Gradiente, habrán
mas Moléculas que viajan de la
Zona de alta a la Zona de baja
Concentración que a la inversa.
De esta forma existe un
desplazamiento efectivo.


Ley de Fick I
Si a lo largo de una distancia Δx
existe una diferencia de
Concentración de Partículas Δc
surge una corriente que, en la
versión simpliﬁcada de la Ley de
Fick es:
Δc
jc = −D (12)
Δx
donde
jc Densidad de Flujo
de Partículas [1/TL2 ]
D Constante de Difusión [L2 /T]
Δc Variación de Concentración [1/L3 ]
Δx Distancia [L]

Ley de Fick II
La Ley de Fick general es una ley
vectorial, es decir indica una
Dirección en que corre el ﬂujo de
Partículas:

jc ⃗
⃗ = −D∇c (13)

donde
⃗
jc Flujo de Partículas [1/TL2 ]
c Concentración [1/L3 ]
Esto es el ﬂujo ocurre en la
dirección de mayor gradiente de
Concentración.


Energía Térmica de Moléculas

En un gas a temperatura T las
Moléculas de Masa m tienen una
Energía Térmica

f
kT
2
donde f son los grados de libertad
(3 si es una masa puntual, 5 si
rota), T la Temperatura Absoluta y
k la constante de Boltzmann. Si
las Moléculas no interactuan,
salvo por choques esporádicos, la
Ludwig Boltzmann Energía Térmica seria igual a la
(1844-1906) Energía Cinética.


Velocidad de las Moléculas
De (14) podemos calcular la
Velocidad de las Moléculas
Así se obtiene
1 f fkT fRT
m 2
= kT (14) = = (16)
2 2 m NA m

La Constante de Boltzmann con la masa molar M = NA m
corresponde a la Constante ﬁnalmente tenemos
de Gas por mol, o sea
fRT
= (17)
R M
k= = 1,38 × 10−23 J/Kmol
NA
(15) Con esta Velocidad las
donde NA es el numero de Moléculas se desplazan
Avogadro (6,02 × 1023 ) hasta que chocan y pueden
cambiar la dirección en que
viajan.

Camino libre I
Si se asume que las Moléculas
son esferas rígidas de diámetro d,
cada vez que se aproximen a una
distancia menor que d impactaran.
Por ello, a medida que avancen
por el espacio, impactaran
periódicamente a otra Molécula.
d Supongamos que la distancia
viajada sin choques es l y que la
concentración de Moléculas es c.
El primer choque se dará cuando
en el Volumen l d2 exista una
partícula o sea

l d2 c = 1


Camino libre II
Despejando el camino libre de la
ecuación anterior
1
l= (18)
d2 c
El estudio de este tipo de
movimiento molecular fue
realizado por Robert Brown.
Brown observo como partículas de
Polen en la superﬁcie de un liquido
realizan un movimiento errático
(movimiento Browniano) debido al
Robert Brown impacto que reciben de las
(1773-1858) Moléculas del medio.


Constante de Difusión I
Si ahora estudiamos el flujo de
Moléculas por efecto de un
gradiente de concentración,
notaremos que de una Zona con
concentración n1 fluyen 1/6 (3
ˆ
z direcciones espaciales x-y-z, 2
sentidos por dirección eje +, eje -)
en dirección donde hay una
concentración n2 , ocurriendo lo
mismo a la inversa. Como las
ˆ
x ˆ
y
Moléculas se desplazan a la
velocidad calculada en (17)
podemos estudiar el flujo
considerando todas las partículas
que están a un camino libre l
como se calculo en (18).

Constante de Difusión II
Con ello el ﬂujo es
1 1 1
j= ¯c1 − ¯c2 = ¯Δc
6 6 6

c2 Considerando la ley de Fick (12) y
el hecho que en este caso el Δx
1 es igual a 2l se tiene que
l j1 = 6 ¯c1
1
1 D= ¯l (19)
l j2 = 6 ¯c2 3
Empleando la Ley de los Gases
c1 ideales para determinar la
concentración en moles
n p
c= = (20)
V RT

Constante de Difusión III

O multiplicando por el Numero de
c2 Avogadro por Partícula
n p
1
j1 = 6 ¯c1 c = NA = NA (21)
l V RT
Con ello el camino libre queda
l j2 = 1 ¯c2
6
RT
l= (22)
c1 d 2 NA p


Constante de Difusión IV
Con la ecuación (19), la velocidad
de las Moléculas y el camino libre
se obtiene ﬁnalmente:

1 f (RT)3
D= (23)
3 d 2 NA p M

donde
d Diámetro de las Moléculas [L]
M Masa Molar [M/mol]
p Presión [M/LT 2 ]
T Temperatura Absoluta [K]
R Constante de Gas [ML2 /KT 2 ]


Camino recorrido
A medida que ha transcurrido un
tiempo t el ancho de la
Distribución x va creciendo
cumpliendo la relación:

x2
D= (24)
t
donde
x Camino recorrido [L]
t Tiempo transcurrido [T]


Agua en Superficies

Cuando el Vapor de Agua penetra en la Porosidad del Suelo
entra en contacto con las Superficies de los Granos. Esto lleva
a que se puede formar una Película de Agua sobre los Granos.
Esto puede ocurrir a nivel Molecular (Adsorción) o con la
formación de Gotas. Para comprende esto veremos:

▶ Adsorción
▶ Tensión Superficial
▶ Adhesión


Adsorción I
Las Moleculas de Agua pueden
ser adsorbidas por la Superﬁcie de
los Granos, esto es capturadas y
retenidas mediante Fuerzas
intermoleculares.
La cantidad retenida depende
tanto de dicha Fuerza
intermolecular como de la
Concentración o Presión del Vapor
de Agua que exista sobre la
Superﬁcie.


Adsorción II
Langmuir estudia el equilibrio
entre un gas de partículas (P), los
espacios vacíos (S∗ ) y los
espacios ocupados (SP)

S∗ + P ↔ SP

para los cuales existe una
constante de equilibrio de modo
que las concentraciones cumplen
Irving Langmuir
[SP]
(1881-1957) K= (25)
[S][P]


Adsorción III
Si es la fracción de la superﬁcie
ocupada por moléculas se tiene
que con [SP] ∝ , [S] ∝ 1 − y
[P] ∝ p se tiene que (25) se puede
reescribir como

=
(1 − )p
o sea
p
= (26)
1+ p
donde
Superﬁcie ocupada [−]
p Presión del Vapor [M/LT 2 ]
Constante de Langmuir [LT 2 /M]

Adhesión I
Las Moléculas de Agua pueden
permanecer dispersas sobre la
Superficie o atraerse mutuamente
y comenzar a formar
aglomeraciones. Esto ultimo
ocurre si las fuerzas entre ellas es
mayor que aquella que ejercen los
Átomos de la Superficie.
La fuerza de la Superficie del
Material sobre las Moléculas de
Agua se denomina Adhesión y
depende del tipo de Material y
características de la Superficie.


Adhesión II

Dependiendo de la fuerza con que
el Material actúa sobre las
Moléculas de Agua, se forma un
Angulo entre la Superﬁcie de la
Gota de Agua y la Superﬁcie de
contacto entre Gota y Material.
Mientras más agudo el Angulo
mayor es la Adhesión del Agua al
Material, hasta el limite en que
prácticamente no se logra formar
la Gota.


Tensión Superﬁcial I

Aquellas Moléculas de un liquido
que se encuentran al interior de
este son atraídas de igual manera
por todas sus vecinas. Esto lleva a
que en la suma la fuerza ejercida
se anula y la Molécula se
comporta como una partícula libre.
Para las Moléculas que se
encuentran en la superﬁcie la
Situación es distinta. Como hay
mas vecinas hacia el interior del
liquido surge una fuerza efectiva
que evita que la Molécula
abandone el Liquido.


Tensión Superficial II

La Fuerza, descrita en la lamina
anterior, genera lo que se
denomina una Tensión Superficial.
La Tensión Superficial crea una
verdadera Membrana en la
superficie que permite que
algunos Insectos se desplacen
sobre ella sin hundirse. La pata de
la araña de la imagen no perfora la
Superficie evitando así hundirse.


Tensión Superficial III
La Tensión Superficial es también
la causante de las formas de las
gotas de Agua. La atracción entre
las Molécula tiende a que la Gota
tenga la menor superficie posible
lo que significa que buscara
asumir la forma de una Esfera.
Esto lleva a que un chorro de
Agua tiende a fraccionarse
formando Gotas. Dichas Gotas
tienden a volverse esféricas o
oscilan en torno de esta forma.


Capilaridad

En Poros muy ﬁnos algunas capas de Agua pueden llegar a
llenar la Cavidad. En este caso la Tensión Superﬁcial o la
Cohesión del Agua hace que el Suelo comience a retener el
Agua al punto que es difícil volver a extraer este Volumen. Este
efecto se denomina capilaridad y lo estudiamos viendo:

▶ Burbuja de Aire
▶ Gotas en Equilibrio
▶ Distintas Formas
▶ Menisco en un Capilar
▶ Elevación de líquidos


Burbuja de Aire I
Consideramos una Burbuja de
Aire inmersa en Agua. Sea el
Radio de esta r, la Presión en el
Agua pw y la del Aire pg .
El Volumen de Aire es de
4 3
V= r
3
y la Superﬁcie es de

S = 4 r2


Burbuja de Aire II
Supongamos ahora que
aumentamos la Presión en el
Agua con lo que se realiza un
trabajo para achicar la Burbuja. El
Trabajo se deﬁne como Fuerza por
Camino. La Fuerza en este caso
es la diferencia de Presión por el
Área

F = (pw − pg )4 r2

y siendo el camino la variación del
Radio Δr se obtiene la Energía
necesaria para hacer el Trabajo es

ΔW = (pw − pg )4 r2 Δr

Burbuja de Aire III
También la Tensión Superficial
realiza trabajo apoyando la
compresión de la burbuja. Como la
Fuerza depende en este caso de
la Superficie la Energía es igual a
una constante y la variación de la
Superficie:

ΔW = ΔS (27)

donde
ΔW Trabajo realizado [ML2 /T 2 ]
Tensión Superficial [M/T 2 ]
ΔS Variación de la Superficie [L2 ]


Burbuja de Aire IV

Al comprimirse la Burbuja su Superﬁcie se achica en:

ΔS = 4 r2 − 4 (r − Δr)2 = 8 rΔr − 4 Δr2 ∼ 8 rΔr

por lo que la Energía es

ΔW = 8 rΔr

Si se iguala esta expresión a la Energía necesaria para
comprimir se obtiene

8 rΔr = (pw − pg )4 r2 Δr


Burbuja de Aire V

o sea que la Tensión Superficial
genera una Presión adicional igual
a
2
pc = pw − pg = (28)
r
donde
pc Presión generada por la
Tensión Superficial [ML2 /T 2 ]
Tensión Superficial [M/T 2 ]
r Radio de la Burbuja [L]


Gotas en Equilibrio
La Tensión Superﬁcial genera
comportamiento que algunas
veces no igual al que intuiríamos.
A modo de ejemplo si se conectan
dos burbujas, globos o gotas, la
Presión de la de mayor radio es
menor que la de menor radio lo
que lleva a que la grande absorba
a la chica.


Distintas Formas
También se puede calcular la
Tensión superﬁcial para otro tipo
de situaciones como por ejemplo
si la Gota tiene forma elipsoidal

1 1
pw − pg = + (29)
r1 r2

o para dos cuerpos en contacto

1 1
pw − pg = − (30)
r2 r1


Menisco de un Capilar I

En el caso de un Capilar, el liquido
es atraído o repelido por la
superficie del tubo. Eso lleva a que
se forme una curvatura en que el
liquido sube por las paredes (alta
adhesión) o se aleja de esta (baja
adhesión). En este caso la presión
generada por la Tensión
superficial depende del angulo
que tiene la superficie en el borde
respecto de la pared.


Menisco de un Capilar II
En este caso se puede mostrar
que
2R cos = 2r
con lo que la Presión generada
por la Tensión Superficial es:

2 2 cos 2 ∗
pc = = ≡ (31)
R r r
en donde hemos definido
∗
≡ cos (32)

para simplificar la aplicación de la
ecuación.


Elevación de líquidos
Una de las consecuencias de la
Presión que genera la Tensión
Superﬁciales en Meniscos es que
succiona el liquido hacia el
Capilar. A medida que la columna
de agua es mas alta aumenta su
peso hasta que existe un equilibrio
entre ambas fuerzas:
2 ∗
pc = = hg
r
o sea el liquido alcanza una altura
de
2 ∗
h= (33)
gr


Aplicaciones

A continuación se discuten algunas Aplicaciones de la Teoría
aquí presentada. En particular se calcula:

▶ Calor Latente y Ley de Charles
▶ Ley de Boyle y Ley de Gay-Lussac
▶ Ley de Avogadro y Ley de los Gases Ideales
▶ Ley de Clausius Clapeyron
▶ Vapor de Agua
▶ Humedad Relativa
▶ Cinemática de Gases
▶ Constante de Difusión
▶ Flujo de Vapor de Agua
▶ Camino Medio
▶ Adsorción
▶ Tensión Superﬁcial

Calor Latente y Ley de Charles

Si al medir el Calor Latente determinamos que el ﬁlamento
produjo 11,3 J y se generan 5 g de Liquido, tendremos un Calor
Latente de
Q 11,3 J 11,3 J
L= = = = 2260 J/kg
M 5g 5 10−3 kg

Si tenemos un volumen de V1 de 1,2 m3 a Temperatura t1 de
20∘ C y lo calentamos a t2 a 100∘ C, cual es el Volumen si la
Presión se mantiene constante.
T2 273,15 + 100∘ C
V2 = V1 = 1,2 m3 = 1,527 m3
T1 273,15 + 20∘ C


Ley de Boyle

Si tenemos un volumen de V1 de 1,2 m3 a una Presión p1 de
105 Pa (1 atm) y aumentamos la Presión p2 a 2 × 105 Pa, de que
tamaño queda el Volumen si la temperatura se mantiene
constante?
p1 105 Pa
V2 = V1 = 1,2 m3 = 0,6 m3
p2 2 × 105 Pa
Si tenemos un volumen a una Presión p1 de 105 Pa (1 atm) y
Temperatura de 20∘ C, a que Temperatura queda si
aumentamos la Presión p2 a 2 × 105 Pa?
p2 2 × 105 Pa
T2 = T1 = (273,15 + 20∘ C) = 586,3∘ K
p1 105 Pa
o en Grados Celsius
t2 = T2 − 273,15 = 313,5∘ C

Ley de Avogadro

Suponga que tiene n1 = 2,2 moles de un gas en un Volumen V1
de 1,8 m3 y en un segundo Volumen V2 un total de
n2 = 5,3 moles de otro gas. Si las condiciones de Temperatura y
Presión son las mismas, que Volumen ocupa este segundo
gas?
n2 5,3 mol
V2 = V1 = 1,8 m3 = 4,34 m3
n1 2,2 mol
Cual es la concentración molar de un Gas a una Presión p de
1 atm = 105 Pa a una temperatura de t de 20∘ C?
n p 105 Pa
= = = 41,03 mol/m3
V RT 8,314/Kmol(273,15 + 20∘ C)
Revisión de unidades:
Pa Pa ⋅ mol mol ⋅ kg/ms2 mol
= = 2 /s2
= 3
J/Kmol ⋅ K J kgm m

Ley de Clausius Clapeyron

En el caso del Agua el Calor Latente es de 2260 J/kg, la
Densidad del Hielo es 0,9167 g/cm3 y del agua 1 g/cm3 . Para
calcular la pendiente del diagrama de fase necesitamos
conocer el cambio de Volumen. El Volumen del agua es
1 kg 1 kg 1 kg
Vagua = = 3
= = 10−3 m3
agua 1g 1 103 kg3
El Volumen por Masa es
1 kg 1 kg 1 kg
Vhielo = = 3
= = 1,091 × 10−3 m3
hielo 0,9167 g 0,9167 103 kg3
La diferencia de Volumen por Masa es
ΔV = Vagua − Vhielo = −0,091 × 10−3 m3 = 9,1 × 10−5 m3
por ello la pendiente a 0∘ C es
dp L 2260 J
= = = −9,1 × 104 Pa/K
W. Gerber
dT (273,15 + Forestales 1.3 Suelo m3
TΔV Física en las Ciencias 0∘ C)9 -× 10−5No Saturado - Teoría 16.08.2009 59 / 77

Vapor de Agua

Cual es la Presión de Vapor de Agua a 20∘ C de temperatura?
Si el Calor latente por Mol es necesario calcular los moles en
m = 1 kg. Como la masa Molar del Agua es M = 18 g tenemos
que:
m 1 kg 1 kg
n= = = = 55,55 mol
M 18 g 0,018 kg
Con ello el Calor Latente por mol es
L 2260 kJ
l= = = 40,65 kJ/mol
n 55,55 mol

Con ello la Presión es
l 40,65 kJ/mol
− 8,314 J/Kmol(273,15+20∘ C)
p = p0 e− RT = 3,65 × 1010 e = 2052,6 Pa


Humedad Relativa

Como la Concentración es por la Ley de Gases proporcional a
la presión:
p
c=
RT
se tiene que la Humedad Relativa se puede también aplicar a
la Presión:
c p/RT p
HR = 100 % = 100 % = 100 % (34)
cs ps /RT ps

En caso de tener solo 40 % de humedad relativa la presión real
del vapor de agua del ejercicio anterior seria:

HR 40 %
p= ps = 2052,6 Pa = 821,06 Pa
100 % 100 %


Cinemática de Gases

Si se asume que las Moléculas de Agua con Peso Molecular M
de 18 g tienen 3 grados de libertad, su Velocidad a Temperatura
ambiental (20∘ C) seria de
fRT 3 ⋅ 8,314 J/Kmol(273,15 + 20∘ C)
= = = 637,3 m/s
M 18 g
La Concentración de Moléculas de Agua para el caso del
Vapor saturado Calculado anteriormente es de
n p 2052,6 Pa
c= = = = 0,842 mol/m3
V RT 8,314 J/Kmol(273,15 + 20∘ C)
La Concentración de Moléculas de Agua en Partículas por
Volumen se obtiene multiplicando la Concentración en mol/m3
por el numero de Avogadro:
c = 0,842 mol/m3 6,02 × 10+23 part/mol = 5,07 × 10+23 part/m3

Constante de Difusión

El tamaño de la molécula de Agua d es de 10−10 m con lo que el
camino libre se estima en
1 1
l= 2c
= −20 m2 5,07 × 10+23 1/m3
= 6,28 × 10−5 m
d 10
Con la velocidad y el camino libre se puede calcular la
Constante de Difusión
1 1
D= ¯l = 637,3 m/s ⋅ 6,28 × 10−5 m = 0,013 m2 /s
3 3
Este calculo también se puede realizar con la formula
compuesta

1 f (RT)3
D= = 0,013 m2 /s
3 d2 p M


Flujo de Vapor de Agua

Mediante la ley de Fick podemos ahora estimar el flujo que se
da si hubiese al interior de una sala la Humedad Relativa de
40 % y afuera 100 % (ejemplo si llueve) siendo la Concentración
la calculada anteriormente. La diferencia de Concentración
seria:

Δc = c100 % −c40 % = 0,842 mol/m3 −0,4⋅0,842 mol/m3 = 0,50 mol/m3

Si el ancho de la Ventana es de 0,1 m la la Constante de
Difusión la asumimos como se calculo anteriormente, el flujo
seria
Δc
J=− = −0,50 mol/m3 0,1 m0,013 m2 /s = −0,67 mol/m2 s
Δx
El signo negativo señala que el flujo es hacia adentro de la
habitación.

Camino Medio

Dado que la profundidad en que penetra el Agua cumple la
ecuación
D = x2 t
O sea despejando √
x= Dt
O sea con la constante de Difusión antes calculada se obtiene
que tras un segundo el ﬂujo ha penetrado

x= 0,013 m2 /s1s = 0,115 m

a los 10 s un total de 0,36 m y a la hora (3600 s) un total de 6,9 m.


Adsorción

Si la constante de Adsorción del suelo es de = 0,005 1/Pa y
existe aire saturado de Agua a 20∘ C de Temperatura, cual seria
el nivel de cobertura de la Superﬁcie de los Granos? Dado que
la presión del Vapor de Agua ya la calculamos se puede
directamente escribir
p
= = 0,005 1/Pa2052,6 Pa1 + 0,005 1/Pa2052,6 Pa = 0,911
1+ p

O sea el 91,1 % de la Superﬁcie de los Granos estará
recubierta de Agua.


Tensión Superficial

La Tensión Superficial del agua es de 7,197 × 10−2 N/m (a
25∘ C). Por ello en una Gota de Agua de radio r igual a 1 mm
existe una Presión debido a la Tensión Superficial de

2 2 ⋅ 7,197 × 10−2
pc = = = 143,9 Pa
r 0,001 m

Para un capilar de radio r igual a 0,1 un liquido de Tensión
Superficial efectiva ∗ igual a 6,2 × 10−2 N/m y densidad
1 g/cm3 se puede calcular la altura que alcanzaría por efecto de
la capilaridad

2 ∗ 2 ⋅ 6,2 × 10−2 N/m
h= = = 0,1265 m
gr 103 kg/m3 9,8 m/s2 10−4 m


Anexos

▶ Ecuación Vapor de Agua
▶ Unidades
▶ Conversiones
▶ Bibliograﬁa
▶ Contacto


Ecuación Vapor de Agua I

La Ecuación de Clausius Clapeyron (10)
dp L
=
dT TΔV
tiene el problema de que la diferencia de Volumen ΔV depende
a su vez de la Presión. Empleando la Ecuación de los Gases
Ideales (9)
pV = nRT
Al ser el Volumen por mol del gas mucho mayor que la del
Liquido se puede asumir que
nRT
ΔV = Vgas − Vliquido ∼ Vgas =
p

donde el ﬁnal empleamos la Ecuación de los Gases Ideales.

Ecuación Vapor de Agua II

Si se reemplaza esta Ecuación el a Ecuación de
Clausius-Clapeyron se obtiene
dp pL
=
dT nRT 2
Introduciendo el Calor Latente por mol
L
l= (35)
n
se obtiene la relación
dp pl
=
dT RT 2
La integración de esta ecuación
p T
dp′ l
= dT ′
p0 p′ T0 RT ′2


Ecuación Vapor de Agua III

resulta en
p l 1 1
ln = −
p0 R T T0
Despejando la Presión p resulta

p = pref e−l/RT

con
pref = p0 e+l/RT0
En el caso del Agua se puede calcular la Presión de
Referencia evaluando esta Ecuación en el Punto Triple. En ese
caso el Calor Latente por mol es l = 40,65 kJ/mol, la Temperara
T0 = 273,16∘ K y la Presión p0 = 611,73 Pa con lo que

pref = 3,63 × 1010 Pa


Unidades

Simbolo Tipo Ejemplos
L Largo m, cm, mm, m
T Tiempo s, min, hrs
M Masa kg
% Porcentaje −

Simbolo Tipo Ejemplos
L2 Área, Superﬁcie m2 , cm2
L3 Volumen m3 , cm3
M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3


Conversiones I

1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3
1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m
1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3
1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3
1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt
1m2 = 10−4 ha


Conversiones II

1 g/cm3 = 10+3 kg/m3
1 kg/m3 = 10−3 g/cm3


Bibliograﬁa I

Textos recomendados. En caso de links a Google Books se
trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.
Adicionalmente se indican libros disponibles en la Biblioteca
UACH y/o en la Interna
T. Miyazaki, Water Flow in Soils, Taylor Francis, 2006,
INSB-13: 978-0-8247-5325-2 Soil Properties for plant
growth, A. Hewitt, Landcare Research Science Series No.
26, Manaaki Whenua Press, 2004
´
→ Código Biblioteca Interna 631.432-dc22
Soil Physics, T.J. Marshall, J.W. Holmes, C.W. Rose,
Cambridge University Press, May 1996, ISBN-13:
978-0-5214-5766-8
→ Leer en Google Books


Bibliograﬁa II

Principles of Soil Physics, R. Lal, M.K. Shukla, Taylor
Francis, Inc., May 2004, ISBN-13: 978-0-8247-5324-5
Soil Physics Companion, A.W. Warrick (Editor), CRC
Press, December 2001, ISBN-13: 978-0-8493-0837-6
→ Código Biblioteca Interna 631.4-3dc21
Soil Physics, R. Horton, W.A. Jury, Wiley, John Sons, Inc.,
March 2004, ISBN-13: 978-0-4710-5965-3


Contacto

Dr. Willy H. Gerber
wgerber@gphysics.net

Instituto de Física
Universidad Austral de Chile
Campus Isla Teja
Valdivia, Chile
+(56) 63 221125

Set del Curso:
http://www.gphysics.net/physics-in-forestry-uach


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