1. El péndulo (del lat. pendŭlus, pendiente) es un sistema físico que puede oscilar bajo la
acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está
configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijo mediante un
hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo.
Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben
los nombres apropiados: péndulo simple, péndulo compuesto, péndulo cicloidal, doble
péndulo, péndulo de Foucault, péndulo de Newton, péndulo balístico, péndulo de
torsión, péndulo esférico, etcétera.
Sus usos son muy variados: medida del tiempo (reloj de péndulo, metrónomo), medida de
la intensidad de la gravedad, etc.
Péndulo simple o matemático
También llamado péndulo ideal, está constituido por un
hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su
extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual
sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un
plano vertical fijo.
Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio,
oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose
sobre una trayectoria circular con movimiento periódico.
Ecuación del movimiento
Para escribir la ecuación del movimiento, observaremos la
figura adjunta, correspondiente a una posición genérica
del péndulo. La flecha azul representa el peso de la masa
pendular. Las flechas en color violeta representan las
componentes del peso en las direcciones tangencial y
normal a la trayectoria.
Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos
Donde el signo negativo tiene en cuenta que la tiene dirección opuesta a la del
desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación
existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular
Obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple

2. Período de oscilación
Factor de amplificación del período de un
péndulo, para una amplitud angular cualquiera.
Para ángulos pequeños el factor vale
aproximadamente 1 pero tiende a infinito para
ángulos cercanos a π (180º).
El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei,
observó que el periodo de oscilación es
independiente de la amplitud, al menos para
pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende
de la longitud del hilo. El período de la oscilación
de un péndulo simple restringido a oscilaciones de
pequeña amplitud puede aproximarse por:
Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la
amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:
Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse
en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:
Solución de la ecuación de movimiento
Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi
senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación
ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento
de gran amplitud (negro), junto a
un movimiento de pequeña
amplitud (gris).
Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede
aproximarse como combinación lineal de funciones
trigonométricas. Para amplitudes grandes puede

3. Probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de
Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de
movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:
Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además:
, es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud .
, es la energía potencial.
Realizando en variable , la solución de las ecuaciones del movimiento
puede expresarse como:
Dónde:
, es la función elíptica de Jacobi tipo seno.
El lagrangiano del sistema es:
Donde es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la
variable), y es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de
Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento:
Es decir, la masa no influye en el movimiento de un péndulo.
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