El documento describe cómo fabricar una caja de cartón a partir de una pieza rectangular de 40x30 cm. El proceso consiste en recortar cuadrados de igual tamaño en las 4 esquinas y doblar la pieza restante. Se muestra una tabla con diferentes tamaños de recorte y sus volúmenes resultantes. Para determinar el tamaño de recorte que produzca el máximo volumen, se deriva una fórmula del volumen y se resuelve para encontrar que el tamaño óptimo es de 17.6759 cm.

1. LA CAJA
CINTHYA YAHAIRA GUER RERO RAMÍREZ

2. Se desea fabricar una caja de cartón a partir de una pieza
rectangular que mide 40X30 cm.
El proceso de construcción consiste en recortar cuadrados
del mismo tamaño en las 4 esquinas y doblar la pieza
restante.
¿El volumen de la caja cambia dependiendo de la medida de los cuadrados que
se recorten?
¿Cuál será el volumen máximo?
¿O siempre ira aumentando?

3. V= LONGITUD X ANCHO X ALTURA
RECORTE
LARGO
ANCHO
ALTURA
VOLUMEN
2
36
26
2
1872
3
34
24
3
2448
4
32
22
4
2816
5
30
20
5
3000
6
28
18
6
3024
7
26
16
7
2912
8
24
14
8
2688
9
22
12
9
2376
10
20
10
10
2000

4. Con la grafica no encontramos bien cual es el punto máximo del volumen así que mejor se
desarrolla una formula!LA DERIVADA
Se toman valores del L,A,H
40 − 2𝑥 30 − 2𝑥
𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜
𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 (𝐴𝑙𝑡𝑜)
40 − 2𝑥 30 − 2𝑥
Se resuelve
𝑥
𝑥
5332 − 172𝑥 − 124𝑥 + 4𝑥 2 (𝑥)
1200𝑥 − 80𝑥 2 − 60𝑥 2 + 4𝑥 3
4𝑥 3 − 140𝑥 2 − 1200𝑥
Para resolverlo debemos convertirla en una
ecuación de 2 grado por medio de la derivada.
𝑌 = 4𝑥 3 − 140𝑥 2 + 1200𝑥
𝑌1 = 12𝑥 2 − 280𝑥 + 1200
12𝑥 2 − 280𝑥 + 1200 = 0
&Ahora la resolvemos por
medio de la formula general
𝑥=
−(−280) ±
𝑥=
(−280)2 − 4(12)(1200)
2(12)
+280 ± 78400 − 57600
24
𝑥=
𝑥=
+280 ± 136000
24
+280 ± 144.222051
24
𝑋1 = 17.6759
𝑋2 = 5.65741