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Aplicaciones de la derivada max vol caja

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Derivative applications: maximize the volume of a box
Aplicaciones de la derivada: maximizar el volumne de una caja

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Aplicaciones de la derivada max vol caja

  1. 1. Aplicaciones de la derivada. G. Edgar Mata Ortiz licmata@hotmail.com http://licmata-math.blogspot.mx/
  2. 2. Máximos y mínimos relativos Ejemplo 4.1. Proceso de solución iniciando con una aproximación sin cálculo, empleando primero aritmética y geometría, luego geometría analítica y finalmente la derivada.
  3. 3. Enunciado del problema
  4. 4. Enunciado del problema • La figura muestra la forma en que se construirá la caja una vez recortados los cuadrados en las esquinas.
  5. 5. Análisis del problema • Observa el diagrama que representa el problema planteado. • ¿Crees que el tamaño del cuadrado que se recorta haga que cambie el volumen de la caja?
  6. 6. Procedimiento de solución • Para ver si el volumen cambia, vamos a probar con diferentes medidas del cuadrado que se recorta. Si se recortan cuadrados de 2 cm por lado, ¿cuáles serán las dimensiones de la caja resultante?
  7. 7. Procedimiento de solución • Para ver si el volumen cambia, vamos a probar con diferentes medidas del cuadrado que se recorta. En la figura podemos observar las dimensiones: longitud (36) y ancho (26) de la caja.
  8. 8. Procedimiento de solución • La longitud y ancho de la caja ya los conocemos, ¿y la altura? ¿cuánto será?
  9. 9. Procedimiento de solución • Una vez determinadas las dimensiones, calculamos el volumen.
  10. 10. Procedimiento de solución • Si se recortan cuadrados de 3 cm por lado las dimensiones y el volumen cambian.
  11. 11. Procedimiento de solución • Ya vimos que al aumentar el tamaño del cuadrado que se recorta, el volumen aumenta. • Vamos a probar con otros valores. • Para facilitar el proceso organizaremos la información en una tabla con valores. Tamaño del recorte Longitud de la caja Ancho de la caja Altura de la caja Volumen de la caja 2 36 26 2 1872 3 34 24 3 4 32 22
  12. 12. Procedimiento de solución • Probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
  13. 13. Procedimiento de solución • Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta. El volumen de la caja sigue aumentando, pero cada vez menos.
  14. 14. Procedimiento de solución • Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta. El volumen de la caja disminuyó…
  15. 15. Procedimiento de solución • Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
  16. 16. Procedimiento de solución • Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
  17. 17. Procedimiento de solución • Podemos concluir que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.
  18. 18. Procedimiento de solución • Las dimensiones de la caja son: • Longitud = 28 cm • Ancho = 18 cm • Altura = 6 cm • Volumen = 3024 cm3 • Podemos concluir que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.
  19. 19. Procedimiento de solución • Las dimensiones de la caja son: • Longitud = 28 cm • Ancho = 18 cm • Altura = 6 cm • Volumen = 3024 cm3 • Podemos concluir que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.
  20. 20. Procedimiento de solución • Las dimensiones de la caja son: • Longitud = 28 cm • Ancho = 18 cm • Altura = 6 cm • Volumen = 3024 cm3 • ¿Estamos seguros de este resultado? • Hemos tomado solamente valores enteros para el tamaño del cuadrado que se recorta • ¿No puede ser un valor decimal?
  21. 21. Procedimiento de solución • Las dimensiones de la caja son: • Longitud = 28 cm • Ancho = 18 cm • Altura = 6 cm • Volumen = 3024 cm3 • ¿Estamos seguros de este resultado? • Hemos tomado solamente valores enteros para el tamaño del cuadrado que se recorta • ¿No puede ser un valor decimal? Probar con dos valores: 6.5 y 5.5
  22. 22. Procedimiento de solución • Encontramos un tamaño de recorte que aumenta le volumen. Volumen máximo
  23. 23. Procedimiento de solución • Las dimensiones de la caja son: • Longitud = 29 cm • Ancho = 19 cm • Altura = 5.5 cm • Volumen = 3030.5 cm3 • ¿Estamos seguros de este resultado? • Hemos tomado algunos decimales, pero… • ¿No puede ser un valor con dos o tres decimales?
  24. 24. Procedimiento de solución • Las dimensiones de la caja son: • Longitud = 29 cm • Ancho = 19 cm • Altura = 5.5 cm • Volumen = 3030.5 cm3 • Está claro que no podemos obtener la solución exacta. • Siempre habrá la posibilidad de que existan medidas de cuadrados que mejoren más el volumen. • Tal vez debemos considerar otras herramientas.
  25. 25. Procedimiento de solución • Las dimensiones de la caja son: • Longitud = 29 cm • Ancho = 19 cm • Altura = 5.5 cm • Volumen = 3030.5 cm3 • La geometría y la búsqueda de mayor exactitud aumentando el número de decimales no es suficiente • Vamos a trazar la gráfica con los datos obtenidos en la tabulación.
  26. 26. Procedimiento de solución
  27. 27. Procedimiento de solución
  28. 28. Procedimiento de solución Volumenmáximo
  29. 29. Procedimiento de solución En la gráfica se observa que la solución está entre 5 y 6, pero no podemos obtener un resultado más exacto. Aparentemente se trata de una parábola… Volumenmáximo
  30. 30. Procedimiento de solución • Si podemos determinar que se trata de una parábola, será sencillo encontrar la solución, ya que el volumen máximo se encontraría en el vértice de la parábola. • Vamos a determinar la ecuación que describe el volumen en función del tamaño del cuadrado que se recorta para construir la caja.
  31. 31. Procedimiento de solución • Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”.
  32. 32. Procedimiento de solución Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”. (40 − 2𝑥)(30 − 2𝑥) 1200
  33. 33. Procedimiento de solución Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”. (40 − 2𝑥)(30 − 2𝑥) 1200 − 60𝑥
  34. 34. Procedimiento de solución Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”. (40 − 2𝑥)(30 − 2𝑥) 1200 − 60𝑥 − 80𝑥
  35. 35. Procedimiento de solución Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”. (40 − 2𝑥)(30 − 2𝑥) 1200 − 60𝑥 − 80𝑥 + 4𝑥2
  36. 36. Procedimiento de solución Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”. (40 − 2𝑥)(30 − 2𝑥) 1200 − 60𝑥 − 80𝑥 + 4𝑥2 4𝑥2 − 140𝑥 + 1200
  37. 37. Procedimiento de solución Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”. 4𝑥2 − 140𝑥 + 1200 𝑥 =
  38. 38. Procedimiento de solución Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”. 4𝑥2 − 140𝑥 + 1200 𝑥 = 4𝑥3 − 140𝑥2 + 1200𝑥
  39. 39. Procedimiento de solución • El volumen se obtiene multiplicando longitud por ancho por altura.
  40. 40. Procedimiento de solución • No es una parábola, ya que la ecuación de esta curva es de segundo grado y se obtuvo una cúbica. • La estrategia de determinar el punto máximo mediante el vértice no puede aplicarse en este problema.
  41. 41. Procedimiento de solución Trazando la curva sobre los puntos que tenemos como datos podemos observar que, efectivamente no se trata de una parábola, ya que no es simétrica.
  42. 42. Procedimiento de solución Quitando los puntos se observa mejor que no se trata de una parábola, sólo para verificar seguimos graficando para valores mayores de equis en la siguiente diapositiva
  43. 43. Procedimiento de solución Esta es la gráfica de una función cúbica con tres soluciones reales distintas. Observa en qué puntos la gráfica corta el eje de las equis. x1 = ? x2 = ? x3 = ?
  44. 44. Procedimiento de solución Esta es la gráfica de una función cúbica con tres soluciones reales distintas. Observa en qué puntos la gráfica corta el eje de las equis. x1 = 0 x2 = 15 x3 = 20
  45. 45. Procedimiento de solución Soluciones de la función cúbica. x1 = 0 x2 = 15 x3 = 20 ¿Qué significan, en el problema de la caja, estos valores? Recuerda que x es la medida del cuadrado que se recorta.
  46. 46. Procedimiento de solución x1 = 0 Significa no recortar nada, no se forma ninguna caja x2 = 15 Significa recortar 15 cm, se termina la hoja x3 = 20 Significa recortar 20 cm, se termina la hoja en el otro lado…
  47. 47. Procedimiento de solución • El uso de la función cúbica nos ha permitido entender más el problema, pero no lo hemos resuelto. • Todavía tenemos solamente una solución aproximada que, en ocasiones, pude ser útil, pero no es suficiente para nosotros. • Las dimensiones de la caja son: • Longitud = 29 cm • Ancho = 19 cm • Altura = 5.5 cm • Volumen = 3030.5 cm3
  48. 48. Procedimiento de solución • Comenzamos planteando el problema con las herramientas básicas; aritmética y geometría. • Después tratamos de usar funciones y gráficas y algo de geometría analítica, pero no se obtuvo una ecuación de segundo grado. • Necesitamos otra herramienta: El cálculo diferencial.
  49. 49. Procedimiento de solución • El procedimiento para resolver este problema mediante derivadas recibe el nombre de máximos y mínimos relativos. • Es un proceso sencillo: 1. Obtener la función que describe el fenómeno en estudio 2. Determinar la primera derivada 3. Igualar a cero la derivada 4. Resolver la ecuación obtenida
  50. 50. Procedimiento de solución 1. Obtener la función que describe el fenómeno en estudio. • Este paso ya lo realizamos, se trata de la función que expresa el volumen en función de la medida del cuadrado que se va a recortar: • y = 4x3 – 140x2 + 1200x
  51. 51. Procedimiento de solución 2. Determinar la primera derivada. • Aplicando las fórmulas obtenemos: • La derivada también puede representarse como y’ (ye prima). 3 2 2 4 140 1200 12 280 1200 y x x x dy x x dx = − + = − +
  52. 52. Procedimiento de solución 3. Igualar a cero la derivada • Al igualar a cero la derivada estamos tratando de encontrar los puntos críticos de las función. 2 0 12 280 1200 0 dy dx x x = − + =
  53. 53. Procedimiento de solución 4. Resolver la ecuación obtenida • La ecuación obtenida es una ecuación de segundo grado que podemos resolver mediante la fórmula general. 2 2 12 280 1200 0 4 2 x x b b ac x a − + = −  − = 2 0 12 280 1200 ax bx c a b c + + = = = − =
  54. 54. Procedimiento de solución 4. Resolver la ecuación obtenida • Sustituyendo en la fórmula general 2 2 12 280 1200 0 ( 280) ( 280) 4(12)(1200) 2(12) x x x − + = − −  − − =
  55. 55. Procedimiento de solución 4. Resolver la ecuación obtenida • Efectuando operaciones 2 ( 280) ( 280) 4(12)(1200) 2(12) 280 78400 57600 24 280 20800 24 280 144.22205 24 x x x x − −  − − = +  − = +  = +  =
  56. 56. Procedimiento de solución 4. Resolver la ecuación obtenida • Dos soluciones. 1 2 2 1 17.675918792439 280 144.22205 2 5.6574145408933 4 280 144.22205 24 280 144.22205 24 x x x x x + =  = + + = + − = = Este resultado necesita ser interpretado. ¿Por qué hay dos soluciones? ¿Cuál solución es la correcta? ¿Ambas son correctas? Si solo una solución es correcta: ¿Por qué aparecen dos? ¿Qué significa la que no es correcta?
  57. 57. Procedimiento de solución • Hemos resuelto la ecuación y obtuvimos dos resultados, para entender por qué es necesario observar la gráfica. • Específicamente debemos observar, ¿dónde se encuentran las soluciones encontradas en la gráfica? 1 217.675918792439 5.6574145408933x x= =
  58. 58. Procedimiento de solución 1 17.6759x = 2 5.6574x =
  59. 59. Procedimiento de solución Para entender mejor el resultado que nos da la derivada debemos recordar que aplicamos una herramienta que se llama: “Máximos y mínimo relativos” Nosotros buscábamos el volumen máximo, pero el método nos da también el mínimo.
  60. 60. Procedimiento de solución Para entender mejor el resultado que nos da la derivada debemos recordar que aplicamos una herramienta que se llama: “Máximos y mínimos relativos” Nosotros buscábamos el volumen máximo, pero el método nos da también el mínimo. La solución a nuestro problema es el valor que maximiza el volumen: x2
  61. 61. Respuesta al problema • Lo que nos preguntan es: • ¿Cuánto deben medir los cuadrados que se recorten? • ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja? • ¿Cuánto es el volumen máximo? • El valor de x2 responde solamente a la primera pregunta.
  62. 62. Respuesta al problema • Se deben recortar cuadrados que midan 5.65741454 cm por lado. • Las dimensiones de la caja serán: • Longitud = 28.6851709 • Ancho = 18.6851709 • Altura = 5.65741454 • Para un volumen máximo de: • 3032.3024606
  63. 63. Fuentes de información en línea: http://licmata-math.blogspot.mx/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning https://www.facebook.com/licemata https://www.linkedin.com/in/licmata http://www.slideshare.net/licmata Twitter @licemata
  64. 64. GRACIAS POR SU ATENCIÓN PBL – Problem Based Learning Es una técnica consistente en iniciar el tema de interés con un problema que conduzca al alumno a la necesidad de aprender dicho tema. El objetivo del presente material es abordar el tema de derivadas a partir de un problema. Dicho problema es irresoluble por métodos analíticos previos al cálculo. Se muestran soluciones aproximadas logradas mediante estas herramientas y finalmente se plantea la solución mediante máximos y mínimos relativos.

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