Aplicaciones de la derivada: Máximos y Mínimos Derivative Applications: Maximum and Minimum

1. Aplicaciones de la
Derivada
G. Edgar Mata Ortiz
𝟏

2. 𝟏

3. Introducción
En el presente material se resuelve un problema de optimización
mediante máximos y mínimos relativos, siguiendo un proceso sistemático;
desde la modelación, su solución, y la interpretación contextual de la
respuesta del modelo.

4. CONTENIDO
1
2
3
4
Problema
Elaborar modelo matemático
Resolver modelo matemático
Interpretación del modelo
Reality
Mathematical Model

5. 1. Problema
Se dispone de una pieza rectangular
de cartón que mide 40 cm de
longitud por 30 de ancho.
Con este material se va a fabricar
una caja sin tapa, para ello se
recortarán cuatro cuadrados de la
misma medida, uno en cada esquina
y se doblará la pieza resultante.
Observa la figura.

6. 1. Problema
Se dispone de una pieza rectangular de cartón que mide
40 cm de longitud por 30 de ancho.
Con este material se va a fabricar una caja sin tapa, para
ello se recortarán cuatro cuadrados de la misma medida,
uno en cada esquina y se doblará la pieza resultante.
Observa la figura.
¿Cuánto deben medir los cuadrados que se recortan para
que el volumen de la caja sea el máximo posible?
¿Cuáles serán las dimensiones de la caja; longitud, ancho y
altura?
¿Cuánto es el volumen máximo?

7. 2. El proceso de modelado matemático
El modelado matemático consiste en representar la realidad mediante
números, variables, funciones y otros conceptos propios de esta ciencia.
Para desarrollar dicho modelo es necesario hacer uso de nuestros
conocimientos matemáticos previos.
Realidad Abstracción Modelo Matemático
𝑦 = 𝑓(𝑥)

8. 2. El modelado matemático
El modelado es un proceso que utiliza la matemática para
representar, analizar, hacer predicciones o lograr una mejor
comprensión de los fenómenos de la realidad.
Definir el
problema
Definir
variables
Establecer
postulados
Predictivos o explicativos
Estocásticos o deterministas
Empíricos o basados en principios científicos
De caja negra, blanca o gris
Agregados o distribuidos
Estáticos o dinámicos

9. Matemáticas 1:
Aritmética y
Geometría
Matemáticas 3:
Geometría
Analítica y
Funciones
Abstracción
Matemáticas 2:
Álgebra,
Ecuaciones
Matemáticas 4:
Cálculo
Diferencial
Realidad
2. El proceso de modelado matemático
𝑽 = 𝒍 × 𝒂 × 𝒉
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟐𝒙
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟎

10. 2. El proceso de modelado matemático
Pieza rectangular de cartón
a la que se le van a recortar
las esquinas
40 cm
30 cm

11. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
Se recortarán en las
esquinas cuadrados de las
mismas dimensiones

12. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
Figura resultante después
de recortar las esquinas

13. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
Estas dimensiones van a
ser las medidas de la caja
?
?

14. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
Estas dimensiones van a
ser las medidas de la caja
?
?
Las dimensiones de la caja van a
depender de las medidas del
cuadrado que se recorte

15. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
Dimensiones
de la caja
?
?
?
?

16. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
Dimensiones
de la caja
?
?
?
?
¿Cuáles serán las
dimensiones de la
caja si se recortan
cuadrados de 2 cm
por lado?

17. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
Dimensiones
de la caja
?
?
?
?
¿Cuáles serán las
dimensiones de la
caja si se recortan
cuadrados de 2 cm
por lado?
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm

18. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
Dimensiones
de la caja
?
?
?
?
¿Cuáles serán las
dimensiones de la
caja si se recortan
cuadrados de 2 cm
por lado?
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm

19. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
?
cm
¿Cuáles serán las
dimensiones de la
caja si se recortan
cuadrados de 2 cm
por lado?
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
cm
cmcm

20. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
?
cm
¿Cuáles serán las
dimensiones de la
caja si se recortan
cuadrados de 2 cm
por lado?
¿Y el volumen?
V = _____________
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
cm
cmcm

21. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
?
36 cm
¿Cuáles serán las
dimensiones de la
caja si se recortan
cuadrados de 2 cm
por lado?
¿Y el volumen?
V = 1872 cm3
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
36 cm
26 cm26 cm

22. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
?
cm
¿Cuáles serán las
dimensiones de la
caja si se recortan
cuadrados de 3 cm
por lado?
¿Y el volumen?
V = _____________
3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
cm
cmcm

23. 2. El proceso de modelado matemático
40 cm
30 cm
?
34 cm
¿Cuáles serán las
dimensiones de la
caja si se recortan
cuadrados de 3 cm
por lado?
¿Y el volumen?
V = 2448 cm3
3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
34 cm
24 cm24 cm

24. 2. El proceso de modelado matemático
Al tomar cualquier medida de los cuadrados que se van a
recortar la figura es la misma, resulta más conveniente
elaborar una tabla en la que vayamos anotando lo que sucede
con el volumen para diferentes medidas del cuadrado.
Magnitud
del recorte
Longitud
de la caja
Ancho de
la caja
Altura de
la caja
Volumen
de la caja
2 36 26 2 1872
3 34 24 3
4 32 22

25. 2. El proceso de modelado matemático

26. 2. El proceso de modelado matemático

27. 2. El proceso de modelado matemático
Completa los dos
siguientes
renglones de la
tabla y anota lo
que sucede

28. 2. El proceso de modelado matemático
En el recorte de 7
cm el volumen
disminuyó

29. 2. El proceso de modelado matemático
Observa qué
sucede en el
recorte de 6 cm Podemos concluir que el volumen máximo se
obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6
cm por lado.

30. 2. El proceso de modelado matemático
Las dimensiones de la caja son:
Longitud = 28 cm, Ancho = 18 cm
Altura = 6 cm, Volumen = 3024 cm3

31. 2. El proceso de modelado matemático
Las dimensiones de la caja son:
Longitud = 28 cm
Ancho = 18 cm
Altura = 6 cm
Volumen = 3024 cm3
¿Estamos seguros de este
resultado?
Hemos tomado solamente valores
enteros para el tamaño del
cuadrado que se recorta
¿No puede ser un valor decimal?

32. 2. El proceso de modelado matemático
Las dimensiones de la caja son:
Longitud = 28 cm
Ancho = 18 cm
Altura = 6 cm
Volumen = 3024 cm3
¿Estamos seguros de este
resultado?
Hemos tomado solamente valores
enteros para el tamaño del
cuadrado que se recorta
¿No puede ser un valor decimal?
Probar con
dos valores:
6.5 y 5.5

33. 2. El proceso de modelado matemático

34. 2. El proceso de modelado matemático
Volumen máximo
Se obtiene un
volumen mayor
que en el recorte
de 6 cm

35. 2. El proceso de modelado matemático
Las dimensiones de la caja son:
Longitud = 29 cm
Ancho = 19 cm
Altura = 5.5 cm
Volumen = 3030.5 cm3
¿Estamos seguros de este
resultado?
Hemos tomado solamente valores
con una cifra decimal
¿No puede ser un valor con dos o
tres decimales?

36. 2. El proceso de modelado matemático
Está claro que, por este método, no podemos obtener la solución
exacta.
Siempre habrá la posibilidad de que existan medidas de cuadrados que
mejoren el volumen. Debemos considerar otras herramientas.

37. 2. El proceso de modelado matemático

38. 2. El proceso de modelado matemático
Vamos a recurrir al álgebra, para ello,
debemos identificar las cantidades
desconocidas y sus relaciones.
Con ello, obtendremos una ecuación
que contendrá las cantidades
desconocidas.
Cantidades
desconocidas
Información
disponible
Expresiones
algebraicas

39. 2. El proceso de modelado matemático
Observando la tabla que elaboramos al tratar de
resolver el problema mediante aritmética y
geometría identificamos las cantidades
desconocidas y sus relaciones
Cantidades desconocidas Información disponible Expresiones algebraicas
Magnitud del lado del
cuadrado que se recorta
Incógnita x
Longitud de la caja
Se resta dos veces la
medida del cuadrado, a la
longitud de la pieza de
cartón
40 – 2x

40. 2. El proceso de modelado matemático
Cantidades
desconocidas
Información disponible Expresiones algebraicas
Lado del cuadrado
que se recorta
Incógnita 𝒙
Longitud de la caja
Se resta dos veces la medida del
cuadrado (𝑥), a la longitud de la pieza de
cartón (40)
𝟒𝟎 − 𝟐𝒙
Ancho de la caja
Se resta dos veces la medida del
cuadrado, al ancho de la pieza de cartón
𝟑𝟎 − 𝟐𝒙
Altura de la caja
La longitud del cuadrado que se recortó
(𝑥), es la altura de la caja
𝒙
Volumen de la caja
Se obtiene con la fórmula:
V = longitud × ancho × altura
𝑽 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙

41. 2. El proceso de modelado matemático
Vamos a efectuar operaciones algebraicas y representaremos el volumen con la ye,
que es la variable dependiente.
𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙

42. 2. El proceso de modelado matemático
Vamos a efectuar operaciones algebraicas y representaremos
el volumen con la ye, que es la variable dependiente.
𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙
Primero multiplicamos binomio por binomio y, posteriormente este resultado lo
multiplicaremos por la equis que se encuentra afuera de los paréntesis.
𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝟔𝟎𝒙

43. 2. El proceso de modelado matemático
Vamos a efectuar operaciones algebraicas y representaremos
el volumen con la ye, que es la variable dependiente.
𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙
Primero multiplicamos binomio por binomio y, posteriormente este resultado lo
multiplicaremos por la equis que se encuentra afuera de los paréntesis.
𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝟔𝟎𝒙 − 𝟖𝟎𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐

44. 2. El proceso de modelado matemático
Vamos a efectuar operaciones algebraicas y representaremos
el volumen con la ye, que es la variable dependiente.
𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙
Primero multiplicamos binomio por binomio y, posteriormente este resultado lo
multiplicaremos por la equis que se encuentra afuera de los paréntesis.
𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝟔𝟎𝒙 − 𝟖𝟎𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐
𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 = +𝟒𝒙 𝟐 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎

45. 2. El proceso de modelado matemático
Vamos a efectuar operaciones algebraicas y representaremos
el volumen con la ye, que es la variable dependiente.
𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙
Primero multiplicamos binomio por binomio y, posteriormente este resultado lo
multiplicaremos por la equis que se encuentra afuera de los paréntesis.
+𝟒𝒙 𝟐 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒙 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙

46. 2. El proceso de modelado matemático
Esta es la ecuación que representa el
volumen, la equis representa el tamaño
de los cuadrados que se recortan de la
pieza original de cartón.
𝒚 = 𝟒𝟎 − 𝟐𝒙 𝟑𝟎 − 𝟐𝒙 𝒙
Efectuando operaciones la ecuación que representa el volumen queda:
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑
− 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙

47. 2. El proceso de modelado matemático
El álgebra nos permitió obtener una ecuación cúbica que
representa el volumen pero, ¿cómo aprovechamos esa ecuación?
Resolver la ecuación nos daría los puntos de intersección con el
eje equis, pero no nos sirve para obtener el volumen máximo.
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑
− 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙

48. 2. El proceso de modelado matemático
Utiliza tu calculadora, o alguna aplicación,
para obtener las soluciones de la ecuación
cúbica.
En este ejemplo se utilizó el programa
Microsoft Mathematics y se obtuvieron los
resultados mostrados.
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑
− 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙

49. 2. El proceso de modelado matemático

50. 2. El proceso de modelado matemático
Vamos a recurrir a la geometría analítica y la teoría de funciones para
la resolución del problema.
En primer lugar es conveniente trazar la gráfica de la función.
El álgebra nos permitió
obtener una ecuación
cúbica que representa el
volumen, pero no nos
resuelve el problema.

51. 2. El proceso de modelado matemático
Los valores de equis que se emplearán para la tabulación se obtienen de la
redacción del problema, debemos observar que la pieza de cartón mide 40 x 30 cm,
entonces debemos tomar estos valores como referencia, además sabemos que las
soluciones de la ecuación son 0, 15 y 20.
Vamos a tomar equis entre 0 y 25, y emplearemos Excel para trazar la gráfica.
Para trazar la gráfica vamos a tabular la
función obtenida:
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙

52. 2. El proceso de modelado matemático
Tomando el cero como valor inicial y
tabulando de uno en uno así queda la
gráfica.
Aunque para el problema no tiene
sentido emplear valores negativos,
vamos a tomar desde menos uno para
mejorar la visualización de la gráfica.
x y
0 0
1 1064
2 1872
3 2448
4 2816
5 3000
6 3024
7 2912
8 2688
9 2376
10 2000
11 1584
12 1152
13 728
14 336
15 0
16 -256
17 -408
18 -432
19 -304
20 0
21 504
22 1232
23 2208
24 3456
25 5000 -1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 5 10 15 20 25 30
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙

53. 2. El proceso de modelado matemático
Se observa una
gráfica completa;
contiene la función
cúbica, están
identificados los
puntos de
intersección con el
eje equis y la solución
aproximada que
tenemos hasta ahora.
x y
-1 -1344 x y
0 0 0 0
1 1064 15 0
2 1872 20 0
3 2448
4 2816
5 3000
6 3024 x y
7 2912 5.5 3030.5
8 2688
9 2376
10 2000
11 1584
12 1152
13 728
14 336
15 0
16 -256
17 -408
18 -432
19 -304
20 0
21 504
22 1232
23 2208
24 3456
Intersecciones x
Solución Aprox.
P(5.5, 3030.5)
x1(0, 0) x2(15, 0) x3(20, 0)
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
-5 0 5 10 15 20 25
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
Solución aproximada

54. 2. El proceso de modelado matemático
Con la información disponible, empleando
conocimientos de geometría analítica y teoría
acerca de funciones matemáticas podríamos
mejorar la solución mediante aproximaciones
sucesivas hasta conseguir la precisión requerida.
x y
-1 -1344 x y
0 0 0 0
1 1064 15 0
2 1872 20 0
3 2448
4 2816
5 3000
6 3024 x y
7 2912 5.5 3030.5
8 2688
9 2376
10 2000
11 1584
12 1152
13 728
14 336
15 0
16 -256
17 -408
18 -432
19 -304
20 0
21 504
22 1232
23 2208
24 3456
Intersecciones x
Solución Aprox.
P(5.5, 3030.5)
x1(0, 0) x2(15, 0) x3(20, 0)
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
-5 0 5 10 15 20 25
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
Solución aproximada
No hemos obtenido la respuesta exacta, pero se han obtenido otros beneficios, ahora entendemos
mucho mejor el comportamiento de la función que describe el problema, el modelo matemático se ha
ido mejorando cada vez más.

55. 2. El proceso de modelado matemático
Es necesario emplear una herramienta más avanzada para obtener la solución exacta.
Hemos ido, poco a
poco, mejorando el
modelo matemático
que describe el
problema, a
continuación vamos a
resolver el problema
aplicando el cálculo
diferencial.

56. 3. Resolver el modelo matemático
El procedimiento de solución, mediante el cálculo diferencial
consta de 4 pasos:
1. Obtener la función que describe el problema de
interés
2. Derivar la función que describe dicho problema
3. Igualar a cero la derivada
4. Resolver la ecuación obtenida

57. 3. Resolver el modelo matemático
1. Obtener la función que
describe el problema de
interés
2. Derivar la función que
describe dicho
problema
3. Igualar a cero la
derivada
4. Resolver la ecuación
obtenida
El procedimiento de modelado matemático que
hemos llevado a cabo nos permitió obtener la
ecuación: 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
Aplicar las fórmulas de derivación 1 a la 5:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟐𝒙 𝟐
− 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟎
Fórmula general:
𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂

58. 3. Resolver el modelo matemático
𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟎
𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
El cuarto paso del método depende de
la ecuación que se obtenga, en este caso
es una ecuación cuadrática que se
resuelve mediante la fórmula general.
2
2
12 280 1200 0
( 280) ( 280) 4(12)(1200)
2(12)
x x
x
− + =
− −  − −
=
2
( 280) ( 280) 4(12)(1200)
2(12)
280 78400 57600
24
280 20800
24
280 144.22205
24
x
x
x
x
− −  − −
=
+  −
=
+ 
=
+ 
=
1
2
2
1 17.675918792439
280 144.22205
2
5.6574145408933
4
280 144.22205
24
280 144.22205
24
x
x
x
x
x
+
=

=
+ +
=
+ −
=
=

59. 3. Resolver el modelo matemático
1. Obtener la función que
describe el problema de
interés
2. Derivar la función que
describe dicho
problema
3. Igualar a cero la
derivada
4. Resolver la ecuación
obtenida
Función:
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
Derivada:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏𝟐𝒙 𝟐
− 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎
Solución:
𝒙 𝟏 = 𝟏𝟕. 𝟔𝟕𝟓𝟗𝟏𝟖𝟕𝟗𝟐𝟒𝟑𝟗
𝒙 𝟐 = 𝟓. 𝟔𝟓𝟕𝟒𝟏𝟒𝟓𝟒𝟎𝟖𝟗𝟑𝟑
Igual a cero:
𝟏𝟐𝒙 𝟐
− 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟎

60. 3. Resolver el modelo matemático
1. Función: 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑
− 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
2. Derivada:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎
3. Igual a cero: 𝟏𝟐𝒙 𝟐 − 𝟐𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟎
4. Solución: 𝒙 𝟏 = 𝟏𝟕. 𝟔𝟕𝟓𝟗𝟏𝟖𝟕𝟗𝟐𝟒𝟑𝟗
𝒙 𝟐 = 𝟓. 𝟔𝟓𝟕𝟒𝟏𝟒𝟓𝟒𝟎𝟖𝟗𝟑𝟑
Mediante la aplicación de la derivada hemos obtenido la solución exacta, incluso obtuvimos dos
soluciones, ahora vamos a la cuarta etapa del proceso de solución de problemas; la interpretación del
modelo y sus resultados.

61. 4. Interpretación del modelo
A partir de conocimientos básicos de matemáticas; aritmética y geometría, fuimos profundizando en el
problema empleando geometría analítica, funciones matemáticas y finalmente mediante el cálculo
diferencial, se obtuvieron dos resultados.
Vamos ahora a contextualizar el resultado en términos del problema real del que partimos:
¿Cuánto se debe recortar a la pieza original de cartón para obtener el volumen
máximo?

62. 4. Interpretación del modelo
De los dos valores de equis que obtuvimos en el modelo, 𝒙 𝟐 = 𝟏𝟕. 𝟔𝟕𝟓𝟗 no puede ser recortado, ya que
no alcanzaría de material en el lado que mide 30 cm. Por lo tanto, el valor que nos da la respuesta
correcta es 𝒙 𝟏 = 𝟓. 𝟔𝟓𝟕𝟒, además es cercano al valor aproximado que habíamos calculado; recorte =
5.5 cm
Se deben recortar cuadrados que midan 𝟓. 𝟔𝟓𝟕𝟒𝟏𝟒𝟓𝟒𝟎𝟖𝟗𝟑𝟑 cm por lado, para
obtener el volumen máximo.

63. 4. Interpretación del modelo
Las medidas de la caja se pueden obtener sustituyendo en las expresiones
algebraicas de la figura.
Se deben recortar cuadrados
que midan 5.65741454 cm
por lado.
Las dimensiones de la caja
serán:
Longitud = 28.6851709
Ancho = 18.6851709
Altura = 5.65741454
Para un volumen máximo de:
3032.3024606

64. 4. Interpretación del modelo
Problema resuelto.
El problema está
resuelto, hemos
contestado las
preguntas que nos
hacían acerca de las
dimensiones de la caja.
Aunque el problema está resuelto, todavía no hemos terminado. Falta determinar qué sucede con el
otro valor de equis que se obtuvo al resolver la ecuación cuadrática: 𝒙 𝟐 = 𝟏𝟕. 𝟔𝟕𝟓𝟗
Para entender mejor, vamos a analizar la gráfica con esta nueva información.

65. 4. Interpretación del modelo
x y
-1 -1344 x y
0 0 0 0
1 1064 15 0
2 1872 20 0
3 2448
4 2816
5 3000
6 3024 x y
7 2912 17.67592 -439.71
8 2688 5.657415 3032.302
9 2376
10 2000
11 1584
12 1152
13 728
14 336
15 0
16 -256
17 -408
18 -432
19 -304
20 0
21 504
22 1232
23 2208
24 3456
Intersecciones x
Máx y Mín Relativos
x1(0, 0) x2(15, 0) x3(20, 0)
Mínimo(17.67591879,-439.7098734)
Máximo(5.657414541,3032.302466)
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
-5 0 5 10 15 20 25
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝒙
Solución exacta
En la gráfica se observa
claramente la
explicación del resultado
𝑥2 = 17.6759.
El tema que estamos
estudiando se llama
”máximos y mínimos
relativos”.
Dado que la ecuación
presenta un punto
máximo y otro mínimo,
aparecen en la respuesta
del modelo.

66. Gracias
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