El documento describe los números naturales. Explica que los números naturales son infinitos y forman el conjunto N. También define los números cardinales como el conjunto IN0 que incluye al cero. Describe cómo los números naturales se forman sumando la unidad y cómo se representan gráficamente en una recta numérica.

1. • Número natural, el que sirve para designar la
cantidad de elementos que tiene un cierto
conjunto, y se llama cardinal de dicho
conjunto.
• Los números naturales son infinitos (∞). El
conjunto de todos ellos se designa por N:
• N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
(Se lee: N es el conjunto { 0, 1, 2, 3 … )

2. IN = {1, 2, 3, 4, 5 ...}
Los números naturales son un conjunto de
números de la forma:
Si al conjunto IN se le une el número
cero, este nuevo conjunto se denota
IN0, y sus elementos son llamados
números cardinales.
IN0 = {0, 1, 2, 3...}

3. • El cero, a veces, se excluye del conjunto de los
números naturales.
• Además de cardinales (para contar), los
números naturales son ordinales, pues sirven
para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º
(decimosexto),…

4. • Los naturales se forman sumándoles la
unidad:
• El primer número natural es el 1 (uno), luego
le sigue el dos 2 (dos, 1+1), después el 3 (tres,
2+1), 4 (cuatro, 3+1), 5 (cinco, 5+1), 6, 7...

5. • Todo número tiene dos valores:
• Valor por sí mismo: que es siempre el mismo
valor esté donde esté colocada cada cifra.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Valor de posición: Es el valor que tiene cada
cifra de acuerdo al lugar que ocupa en la
cantidad:

6. • Así:

7. • Indicar el valor del dígito dependiendo de su
posición:

8. • Representación gráfica de números naturales.
A los números naturales los representamos
mediante puntos sobre una recta, para ello
debemos fijar la posición del punto 0 y la
largura del segmento unidad, que será el
segmento que llevaremos sobre la recta
sucesivas veces según el valor del número.

9. 0 1 2 3 4 5 …
Se selecciona un punto arbitrario de la
recta para representar el cero (0).
Ubicamos otro punto a la derecha
del cero para representar el uno
(1).
Al segmento formado le
llamamos segmento unidad.
Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud
que el segmento unidad.

12. Un número natural es primo, si y solo si, tienen
exactamente dos divisores diferente que son 1 y el
mismo número.
Este matemático (siglo III a.c) ideo este método
(tabla), que permite hallar los números primos
hasta determinado número.

13. Para hallar los números primos de 1 a cien, se construye una tabla
teniendo en cuenta los siguientes pasos.
Primero, se escriben los números naturales de uno hasta cien. Así:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

14. Luego, se tacha el número 1. a partir del número 2, se tachan los
múltiplos de 2 sin el 2, así:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1 4 6 8 10
12
22
32
42
52
62
72
82
92
14
24
34
44
54
64
74
84
94
16 18 20
26 28 30
36 38 40
46 48 50
56 58 60
66 68 70
76 78 80
86 88 90
96 98 100

15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1 4 6 8 10
12
22
32
42
52
62
72
82
92
14
24
34
44
54
64
74
84
94
16 18 20
26 28 30
36 38 40
46 48 50
56 58 60
66 68 70
76 78 80
86 88 90
96 98 100
Segundo, se tachan los múltiplos de 3, 5 y 7 sin (3, 5 y 7 ) y sus
respectivos múltiplos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1 4 6 8 10
12
22
32
42
52
62
72
82
92
14
24
34
44
54
64
74
84
94
16 18 20
26 28 30
36 38 40
46 48 50
56 58 60
66 68 70
76 78 80
86 88 90
96 98 100
9
15
21 25 27
33 35 39
45 49
51 55 57
63 65 69
75 77
81 85 87
91 93 95 99

16. Así, los números que quedan sin tachar son los primos que hay
entre 1 y 100.
En conclusión, los números primos menores que 100 son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 57, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97.

17. Un número natural es compuesto si tiene mas de dos
divisores distintos.
Por ejemplo, el número 4 compuesto porque los divisores
de 4 son 1, 2 y 4.
Ni el 1 ni el cero se consideran primos porque el 1 tiene
un único divisor que es él mismo y el cero tiene infinitos
divisores.

18. Determinar cuales finalistas fueron lo ganadores del reality
teniendo en cuenta que quedaron aquellos que tienen en sus
espaldas números primos.

19. Factorizar un numero significa expresar dicho numero
como un producto de números primos
La factorización de un numero también se conoce con el
nombre de descomposición de factores primos.
Todo numero compuesto se puede descomponer
utilizando dos métodos: realizando un diagrama de árbol
o efectuando divisiones sucesivas entre sus divisores
primos

20. Factorizar el numero 24 utilizando un diagrama de árbol
24
2 x 12
2 x 2 x 6
2 x 2 x 2 x 3
Se escribe el numero dado
Se buscan dos números cuya multiplicación sea 24
Se buscan dos números cuya multiplicación sea 12
Se buscan dos números cuya multiplicación sea 6
La descomposición de 24 en factores primos es:
24 = 2 x 2 x 2 x 3
También se puede expresar esta multiplicación utilizando potenciación, ya que
hay un factor que es un numero primo y se repite, entonces
24 = 23 x 3

21. Descomponer en factores primos el numero 36 utilizando divisiones
sucesivas
Para factorizar 36, se divide entre la serie de números primos (2, 3,
5, 7…..) tantas veces como se pueda hasta obtener como cociente
la unidad. Para determinar entre cuales números se puede dividir,
se utilizan los criterios de divisibilidad .
36
18
9
3
1
2
2
3
3
36 es divisible entre 2
9 es divisible entre 3
3 es divisible entre 3
18 es divisible entre 2
La descomposición de 36 en
factores primos es:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
36 = 22 x 32

22. Encontrar el numero según las condiciones: Es un divisor de 48, no
es múltiplo de 4, no es primo, no es divisor de 50.
Si es un divisor de 48, entonces, puede ser:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, ò 48
Como no es múltiplo de 4, entonces puede ser:
1, 2, 3, 4, ò 6
Como no es primo, entonces puede ser: 1, 4, ò 6
Y finalmente, como no es un factor de 50, entonces es:
6

23. 2 30
152
2 2 3x x x
x x
x
1. Completa el siguiente
diagrama de árbol.
2. Elabora un diagrama
de factores primos para
los siguientes números
a) 87
b) 130
c) 96
d) 72

24. El máximo común divisor de dos o más números
es el mayor de los divisores comunes de dichos
números.
Si a, b y c son números naturales, el máximo
común divisor de a,b y c se simboliza mcd (a,b,c)
Existen dos métodos para hallar el mcd de dos o
mas números; utilizando los conjuntos de
divisores o descomponiendo los números en
factores primos.

25. conjuntos de divisores
Para hallar el mcd, con los conjuntos de divisores, se realizan los
siguientes pasos .
Primero, se hallan todos los divisores de cada
números.
Luego, se buscan los divisores comunes de los
conjuntos de divisores.
Finalmente, se buscan el mayor de los divisores
comunes, este es el máximo común divisor.

26. Determinar el mcd de 18 y 24, a partir de los conjuntos de
divisores.
Primero, se hallan todos los divisores de cada números.
D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
, se buscan los divisores comunes de los conjuntos de
divisores: 1, 2, 3, 6.
Finalmente, se tiene que máximo común divisor.
el mayor de los divisores comunes, es decir,
mcd(18, 24) = {6}

27. Descomponiendo los números en factores primos
Para hallar el mcd, descomponiendo los números en factores
primos, se realizan los siguientes pasos .
Primero, se descompone cada número en factores
primos.
Luego, se escogen los factores comunes, elevados
al menor exponente.
Finalmente, se realiza la multiplicación de esos
factores comunes. El producto es el máximo
común divisor de los números.

28. Determinar el mcd de 40 y 30, a partir de la descomposición de
los números en factores primos.
Primero, se descompone en factores primos cada número.
, se determinan los
factores comunes,
elevados al menor
exponente: 2 y 5.
Finalmente, se realiza la multiplicación de los factores comunes.
Con lo cual se obtiene que el mcd (40, 30) = {10}
40
20
10
5
1
2
2
2
5
30
15
5
1
2
3
5

29. Para hallar el mcd
En este método se pueden descomponer los
números de manera simultanea,
únicamente en factores primos comunes. El
máximo común divisor será el producto de
sus factores primos.

30. Determinar el mcd de 72y 180, usando el método abreviado.
Primero, se descomponen los números de manera simultanea, en
factores primos únicamente.
, se calcula el producto de los
factores comunes. 2 x 2 x 3 x 3 = 36
Finalmente, se obtiene que el mcd (72, 180) = {36}
2
180
90
45
15
2
3
72
36
18
6
3
52

31. El piso de un salón tiene forma rectangular de 16 metros de largo por 12
metros de ancho.
Primero, se halla el mcd de 16 y 12.
, se calcula el producto de
los factores comunes 2 x 2 = 4
Finalmente, se obtiene que el mcd (16, 12) = {4}
2
12
6
3
216
8
4
Determinar el mcd de 16 y 12, usando el método abreviado

32. En una floristería se tienen 120 rosas blancas, 360 rosas rojas y 280
rosas amarillas y se quiere formar ramos con la mayor cantidad de rosas
de un mismo color.
Primero, se descompone simultáneamente 120, 360 y 280 en
factores primos únicamente .
280 2360
a) ¿Cual es el mayor numero de rosas que deben ir en cada ramo,
de tal forma que no sobre ninguna rosa?
120
140 218060
70 29030
35 54515
793

33. , se multiplican los factores primos comunes
para hallar el máximo común divisor.
mcd (120, 360, 280) = 2 x 2 x 2 x 5 = {40}
Finalmente, se obtiene que cada ramo debe estar conformado
por 40 ramos del mismo color.
b) ¿Cuántos ramos se obtienen de cada color?
Se divide cada cantidad de rosas entre el máximo común divisor,
así:
120 ÷ 40 = 3 ; 360 ÷ 40 = 9 ; 280 ÷ 40 = 7
Por tanto, se pueden formar 3 ramos de rosas blancas, 9 ramos
de rosas rojas y 7 ramos de rosas amarillas.

34. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo de dos o más números es
el menor de los múltiplos comunes diferente de cero.
Si a, b y c son números naturales, el mínimo común
múltiplo de a, b y c se simboliza mcm (a,b,c).
Existen dos métodos para hallar el mcm de dos o
mas números; utilizando los conjuntos de
múltiplos de los números o descomponiendo los
números en factores primos.

35. conjuntos de múltiplos
Para hallar el mcm, con los conjuntos de múltiplos, se realizan los
siguientes pasos .
Primero, se escribe el conjunto de múltiplos de
cada números.
Luego, se buscan los múltiplos comunes de los
conjuntos de múltiplos .
Finalmente, se buscan el menor de los múltiplos
comunes diferente de cero, este es el mínimo
común múltiplo .

36. Determinar el mcm de 4 y 6, a partir de los conjuntos de
múltiplos.
Primero, se escribe el conjunto de múltiplos de cada
números.
M4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}
, se buscan los múltiplos comunes de los conjuntos de
múltiplos : {0, 12, 24, }
Finalmente, se tiene que el menor de los múltiplos
comunes, diferente de cero, es el mínimo común
múltiplo, es decir, mcm(4, 6) = {12}
M6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36}

37. Descomponiendo los números en factores primos
Para hallar el mcm, descomponiendo los números en factores
primos, se realizan los siguientes pasos .
Primero, se descompone cada número en sus
factores primos.
Luego, se escogen los factores comunes y no
comunes, elevados al mayor exponente.
Finalmente, se realiza la multiplicación de esos
factores comunes. El producto es el mínimo
común múltiplo de los números.

38. Determinar el mcm de 45 y 150, a partir de la descomposición de
los números en factores primos.
Primero, se descompone en factores primos cada número.
, se escogen los factores
comunes y no comunes,
elevados al mayor exponente:
2 x 32 x 52
Finalmente, se realiza la multiplicación de esos factores. Con lo cual
se obtiene que el mcm (45, 150) = {450}
45
15
5
1
3
3
5
150
75
25
5
2
3
1 5
5
32 x 5
2 x 3 x 52

39. Para hallar el mcm
En este método se pueden descomponer
simultáneamente los números en factores
primos. En este caso, el mcm es el producto
de todos los factores que resultan enla
descomposición.

40. Hallar el mcm de 56 y 84, usando el método abreviado.
Primero, se descomponen simultáneamente los números en
factores primos.
2
84
42
21
21
2
7
56
28
14
7
2
77
3
11
, se calcula el producto de los
factores que resultan en la
descomposición. 2 x 2 x 2 x 3 x 7 = 168
Finalmente, se tiene que el mcm (56, 84) = {168}