ALGUNOS EJEMPLOS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1. ESTADÍSTICA APLICADA
A LA INGENIERÍA
EJEMPLOS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
ALUMNA: YOVANA MARIN DE LA FUENTE
2013
19/09/2013
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN

2. Caso 1:
En la fábrica de marcadores Yovana la tasa de defectos es del 1.1% se extrae una
muestra de 87 piezas determina el valor esperado y gráfica.
Datos :
n = 87 pzas
p = 0.011
q = 0.989
Formulas:
p(Xi )
p(x=x) n(x px
qn-x
)
Distribución:
Binomial
Xi p(Xi ) Xi * p(Xi ) (Xi -µ)2
* p(Xi )
0 0,382012319 0 0,350003433
1 0,369651961 0,369651961 0,000677507
2 0,176790068 0,353580136 0,192251392
3 0,055712407 0,167137221 0,232492268
4 0,013012705 0,05205082 0,120480756
5 0,002402548 0,01201274 0,039268025
6 0,0003652 0,0021912 0,009287017
7 0,000074001 0,000518007 0,002702189
8 0,000005227 0,000041816 0,000259265
9 0,00000051 0,00000459 0,0000329903
0,957188491 0,947454844

3. Conclusión:
El valor esperado fue 0.956999491 es decir, que lo más probable es que de todas
las piezas salgan defectuosas el 0.95 = 1
38.20% 36.97%
17.68%
5.57%
1.30% 0.24% 0.037% 0.0074% 0.00052% 0.000051%
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
20.00%
25.00%
30.00%
35.00%
40.00%
45.00%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4. Gracias a un proyecto de mejora la tasa de defectos se redujo a la mitad, si ahora
se extrae una muestra de 200 piezas determina el valor esperado, varianza y
desviación estándar e interpreta los resultados.
Xi p(Xi ) Xi * p(Xi ) (Xi -µ)2
* p(Xi )
0 0.30107521 0 0.29854582
1 0.332110938 0.332110938 0.00000588
2 0.182844779 0.365689558 0.184387372
3 0.066773294 0.200319882 0.268218676
4 0.018196394 0.072785576 0.16422745
5 0.003946823 0.019734115 0.06328215
6 0.000709753 0.004258518 0.017773714
7 0.000108839 0.000761873 0.003923704
8 0.000014355 0.00011484 0.000704241
9 0.000001694 0.000015246 0.0001085301
0.905782079 0.995790546 0.0001085301
Datos :
n = 200 pzas
p = 0.0055
q = 0.9945
Formulas:
p(Xi )
p(x=x) n(x px
qn-x
)
Distribución:
Binomial

5. 30.10752%
33.21109%
18.28448%
6.67733%
1.81964%
0.39468% 0.07098% 0.01088% 0.00144% 0.00017%
0.0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
30.0%
35.0%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6. Caso 2:
En la fábrica de marcadores Yovana se sabe que se tiene un nivel de calidad entre
2 y 3 sigma por lo que su tasa de defectos es del 1%.
Se extrae una muestra de 4 piezas, determina la probabilidad de que halla:
a) 0 defectos
b) 1 defecto
c) 2 defectos
d) 3 defectos
e) 4 defectos
f) Traza la grafica y determina el valor esperado
a) p(x=0) = 4(0(0.1)0
(0.99)4=
0.960596
b) p(x=0) = 4(0(0.1)1
(0.99)3 =
0.03811
c) p(x=0) = 4(0(0.1)2
(0.3)2=
0.000588
d) p(x=0) = 4(0(0.1)3
(0.3)1=
0.00000396
e) p(x=0) = 4(0(0.1)4
(0.3)0 =
0.0000001
Datos :
n = 4
p = 0.01
q = 0.99
x = 0
1
2
3
4
Formulas:
p(Xi )
p(x=x) n(x px
qn-x
)
Distribución:
Binomial
p=0.01
Xi p(Xi ) Xi * p(Xi )
0 0.960596 0
q=0.99 1 0.03811 0.03811
2 0.000588 0.001176
3 0.00000396 0.00001188
n=4 4 0.0000001 0.0000004
0.9992980600 0.03929828

7. Conclusión:
El valor esperado fue de 1 es decir, que lo más probable es que de todas las
piezas salgan defectuosas 1 pieza
3.811000%
0.058800% 0.000396% 0.000010%
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
70.0%
80.0%
90.0%
0 1 2 3 4

8. Debido a los problemas con la maquinaria, la tasa de defectos en la fábrica
Yovana aumento a 4.5% se extrae una muestra de 85 piezas determinar el valor
esperado.
Datos :
n = 85
p = 0.045
q = 0.955
x = 0 al 85
Formulas:
p(Xi )
p(x=x) n(x px
qn-x
)
Distribución:
Binomial
Xi p(Xi ) Xi * p(Xi )
0 0.0199657930 0
1 0.0799677080 0.079967708
2 0.1582607010 0.316521402
3 0.2063189240 0.618956772
4 0.1992975990 0.797190396
5 0.1521339790 0.760669895
6 0.0955815570 0.573489342
7 0.0508290850 0.355803595
8 0.0233521060 0.186816848
9 0.0094141990 0.084727791
10 0.0033713670 0.03371367
11 0.0010831380 0.011914518
12 0.0003147330 0.003776796
13 0.0000832780 0.001082614
0.9999741670 3.824631347

9. 1.997%
7.997%
15.826%
20.632% 19.930%
15.213%
9.558%
5.083%
2.335%
0.941% 0.337% 0.108% 0.031% 0.008%
0.0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
30.0%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

10. Caso 3:
Carlos Gardel tiene un 70% de probabilidades de encestar desde la línea de tiro
libre. Si en un partido de básquetbol realiza 5 tiros libres.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle 5 tiros?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste 5 tiros?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste 3 tiros?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste
a) p(x=0) = 5(0(0.7)0
(0.3)5 =
(1)(1) (0.00243) =0.00243 ó 0.243%
b) p(x=5) = 5(5(0.7)5
(0.3)0 =
(1)(0.16807)(1) =0.16807 ó 16.807%
c) p(x=3) = 5(3(0.7)3
(0.3)2 =
(10)(0.343)(0.9) =0.6913 ó 69.13%
d) p(x=1) = 5(3(0.7)1
(0.3)4 =
0.2835 ó 2.835%
p(x=2) = 5(3(0.7)2
(0.3)3 =
(10)(0.49)(0.027) =0.6913 ó 69.13%
p(x=4) = 5(3(0.7)4
(0.3)1 =
(5)(0.2401)(0.3) =0.36015 ó 36.015%
p=0,7
Xi p(Xi ) Xi * p(Xi )
0 0,00243 0
q=0,3 1 0,02835 0,02835
2 0,13230 0,2646
3 0,30870 0,9261
n=5 4 0,36015 1,4406
5 0,16807 0,84035
1 3,5
Datos :
n = 5
p = 0.7
q = 0.30
x = 0
5
3
1,2,3
Formulas:
p(Xi )
p(x=x) n(x px
qn-x
)
Distribución:
Binomial

11. Conclusión:
El valor esperado fue 1 es decir, que lo más probable es que de todos los tiros
falle 3.5 = 4
0.24%
2.84%
13.23%
30.87%
36.02%
16.81%
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
20.00%
25.00%
30.00%
35.00%
40.00%
1 2 3 4 5 6

12. CASO 4:
Charly, el encargado de compras, tiene dudas sobre la calidad de los materiales
entregados por el proveedor (Lupita). Este proveedor señala que su tasa de
defectos es menor al 0.1%, sin embargó se han estado presentando problemas
con estas piezas. Charly le pide al Ing. Crisito que realice una inspección de
entrada a los materiales suministrados.
Lupita S.A. de C.V. se lleva a cabo el muestreo en 5 lotes extrayendo 75 piezas en
cada ocasión obteniéndose los siguientes resultados.
Lote Defectos
1 3
2 1
3 0
4 1
5 2
Con base en estos resultados, ¿Es posible determinar si la tasa de defectos
señalada por Lupita es correcta?
Argumenta detalladamente tu respuesta.
Datos :
n = 75 pzas
p = 0.001
q = 0.999
Operaciones :
n.p
75x0.001
μ = 0.075
A continuación se muestra la tasa de defectos de cada muestreo:
Lote Defectos TD Muestra %
1 3 3/75 4%
2 1 1/75 1.3%
3 0 0/75 0%
4 1 1/75 1.3%
5 2 2/75 2.6%

13. A continuación se muestra la gráfica de la tasa de defectos promedio:
Conclusión:
De acuerdo con el resultado obtenido con la inspección realizada se determino el
valor de los dichos materiales inspeccionados entregados por el proveedor.
Como el proveedor índico que su tasa de defectos era menor al 0.1% se dio a la
tarea a realizar las pruebas por parte del departamento de calidad a cargo del Ing.
Crisito. Ahora bien teniendo el resultado del inspector de calidad quien fue el que
tomo la muestra de las 75 piezas de un lote el resultado por parte de la empresa
Charly fue de 0.075% comparando con el resultado que daba el proveedor Lupita
se determinó que su porcentaje era incorrecto estando por mayor el resultado.
De las 5 muestras tomadas solo una cumple con los requerimientos.
El ingeniero Crisito se hace cargo del programa de desarrollo de proveedores en
la fábricaLupita, realizo una serie de estudios y encontró los siguientes resultados:
Categoría Defectos
M.P 4
M de O 8
M y E 1.0
Método 1.0
M.A.
Medición
1.0
3

14. Elabora un diagrama de Pareto e Ishikawa, indica cuales fueron las acciones que
tomo el ingeniero Crisito para corregir el problema. Después de estas correcciones
el ingeniero Crisito analiza los lotes completos de 1,000 piezas encontrando los
siguientes
Mala calidad de
material prima
Falta de
innovación
Falta de
mantenimiento a
maquinaría
Falta de
mejoramiento
en el proceso
del producto
Falta de
interés a
su trabajo
Falta de
iluminación en
la planta
Falta de
calibración en los
instrumentos de
trabajo
Measurement
Mala calidad
de material
prima

15. Causas fi fr fra
Materia
Prima 8 44.44% 44.44%
Mano de
Obra 4 22.22% 66.67%
Maquinaria y
Equipo 1 5.56% 72.22%
Método 1 5.56% 77.78%
Medio
ambiente 1 5.56% 83.33%
Medición 3 0.1667 100.00%
18
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Materia Prima Mano de
Obra
Maquinaria y
Equipo
Método Medio
ambiente
Medición