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Población: Colección bien definida de objetos de interés en un estudio estadístico.
Muestra: Subconjunto de elementos que se toman de la población.
Experimento: 𝜀 - Cualquier acción o proceso, cuyo resultado no puede predecirse con certeza
Espacio muestral:  - Conjunto de resultados posibles de un experimento.
Evento: 𝐸𝑖 - colección o subconjunto de resultados contenidos en el espacio muestral.
Variable: 𝑥𝑖 -Cualquier característica cuyo valor puede cambiar de un objeto a otro en la población o
muestra.
V.aleatoria: 𝑋( 𝑠) Regla que relaciona un número con cada resultado en el espacio muestral
V.aleatoriadiscreta: Es una variable cuyos valores posibles se pueden listar en una secuencia finita.
V. Aleatoriacontinua: Variable cuyo subconjunto de valores posibles consisten en un intervalo.
Ejemplos
Variables aleatorias discretas:
Experimento Variable aleatoria (𝒙) Valores posibles de la
variable
Llamar a un cliente Número de clientes que
hacen un pedido
0, 1, 2, 3, 4, 5
Inspeccionar un envío de
50 piezas
# de piezas defectuosas 0, 1, 2, 3,…50
Hacerse cargo de un local
de renta de pc
Número de clientes 0, 1, 2, 3, 4,……
Vender un servicio de
telefonía
Sexo del cliente 0 si es hombre, 1 si es
mujer
Variables aleatorias continuas:
Experimento Variable aleatoria (𝒙) Valores posibles de la
variable
Observar las operaciones
en un banco
Tiempo en minutos entre
la llegada de los clientes
𝑥 ≥ 0
Llenar una botella de
agua
( máx. 600ml)
Cantidad de ml
0 ≤ 𝑥 ≤ 600
Realizar un proyecto de
probabilidad
Porcentaje del proyecto
terminado en 3 semanas
0 ≤ 𝑥 ≤ 100
Probar un nuevo proceso
químico
Temperatura a la que
tiene lugar la reacción
deseada (min. 150F,
máx. 212F)
150 ≤ 𝑥 ≤ 212
Distribución deProbabilidad: Distribución teórica de frecuencias que describe cómo se repera que varíen los
resultados de un experimento.
Pueden ser representadas por una:
Función matemática Gráfica Tabla de valores
Discretas
∑ 𝑃(𝑥𝑖) = 1
𝑛
1
 𝐸0 𝐸1 ... 𝐸 𝑛
𝑋 𝑥0 𝑥1 ... 𝑥 𝑛
𝑃(𝑋) 𝑝(𝑥0) 𝑝(𝑥1) 𝑝(𝑥 𝑛)
Continuas
∫ 𝑃(𝑥𝑖)𝑑𝑥 = 1
∞
−∞
Valoresperado (Esperanza matemática): 𝐸[ 𝑋] -Media de una variable aleatoria, medida de localización
central de la variable aleatoria.
𝐸[𝑋] = 𝜇 = ∑ 𝑥 ∙ 𝑝(𝑥)
Varianza: 𝑉𝑎𝑟(𝑥) - Resumen de la variabilidad de los valores de la variable aleatoria
𝑉(𝑋) = 𝜎2
= ∑(𝑥 − 𝜇)2
∙ 𝑝(𝑥) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2]
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
UNIFORME DISCRETA
𝑓( 𝑥, 𝑘) =
1
𝑘
𝐸[ 𝑋] = 𝜇 =
∑ 𝑥𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑘
𝜎2
=
∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑘
𝑖=1
𝑘
La variable aleatoria X asume valores
𝑥1, 𝑥2, … 𝑥 𝑘 con iguales probabilidades
Ejemplo:
Distribución de probabilidad de un dado
𝛿 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 𝜇 =
1+2+3+4+5+6
6
𝑃(𝑥 = 1, 2, … ) =
1
6
𝜎2
=
(1−3.5)2+(2−3.5)2+(3−3.5)2+⋯+(6−3.5)2+
6
= 2.91
BINOMIAL
𝑏( 𝑥; 𝑛, 𝑝) = (
𝑛
𝑥
) 𝑝 𝑥(1 − 𝑝) 𝑛−𝑥
𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜
𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝐵(𝑥; 𝑛, 𝑝) = ∑ 𝑏(𝑦; 𝑛, 𝑝))𝑥
𝑦=0
𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛𝑝
𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 𝑛𝑝𝑞
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑞 = 1 − 𝑝
𝜎𝑥 = √ 𝑛𝑝𝑞
Características esenciales:
1. El espacio muestral contiene n ensayos
idénticos
2. Cada ensayo produce uno de los mismos dos
resultados posibles (ensayos dicotómicos),
que se denotan mediante éxito (p) o fracaso
(1-p)
3. Los ensayos son independientes , así que el
resultado de cualquier ensayo particular no
influye en el resultado de ningún otro.
4. La probabilidad de éxito es constante de un
ensayo a otro.
Ejemplo:
A cada una de seis personas elegidas al azar que toman refresco de cola, se les da un vaso que contiene cola (E) y
uno que contiene cola (F). Los vasos tienen la misma apariencia excepto por un código en el fondo para identificar el
refresco de cola. Supóngase que en realidad no hay tendencia entre los bebedores de cola a preferir entre una bebida u
otra. Entonces, 𝑝 = 𝑃(𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑖𝑒𝑟𝑒 𝐸) = 0.5 , 𝑋 = # 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛 𝐸
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 personas de las 6 elegidas al azar , prefieran E?
𝑃(𝑋 = 3) = 𝑏(3; 6,0.5) = (
6
3
) (0.5)3(0.5)3
= 0.313
b) La probabilidad de que por lo menos tres prefieran E es:
𝑃(3 ≤ 𝑋) = ∑ 𝑏(𝑥; 6,0.5) = (
6
3
) (0.5)3(0.5)3
+ (
6
4
) (0.5)4(0.5)2
+ (
6
5
) (0.5)5(0.5)1
+ (
6
6
) (0.5)6(0.5)0
6
𝑥=3
= 0.656
c) La probabilidad de que a lo sumo uno prefiera refresco de cola
𝑃(𝑋 ≤ 1) = ∑ 𝑏(𝑥; 6,0.5) = (
6
0
) (0.5)0(0.5)6
+ (
6
1
) (0.5)1(0.5)5
1
𝑥=0
= 0.109
MULTINOMIAL
𝑃(𝑛; 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥 𝑘)
=
𝑛!
𝑥1! 𝑥2! … 𝑥 𝑘!
𝑝1
𝑥1 𝑝2
𝑥2 … 𝑝 𝑘
𝑥 𝑛
𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛𝑥𝑖
𝑉(𝑋𝑖) = 𝑛𝑝𝑖(1 − 𝑝𝑖)
Características esenciales:
Ocurre cuando en el experimento binomial cada
intento tiene más de dos resultados posibles.
Distribución de probabilidad conjunta para múltiples
variables aleatorias discretas, dándose cuando en
cada prueba ó ensayo independiente (con reposición)
del experimento interesa contar el número de éxitos
en cada una de las k maneras como se puede dar un
atributo.
Ejemplo:
Se sabe que las bombas de gasolina para autos existentes en el mercado se pueden clasificar
en:
40% de rendimiento excelente (E)
20% de rendimiento bueno (B)
30% de rendimiento regular (R)
10 % de rendimiento malo (M)
Se selecciona una muestra de 𝑛 = 9 bombas mediante un proceso aleatorio. ¿Cuál será la
probabilidad de que quede conformada por: 3𝐸, 3𝐵, 1𝑅, 2𝑀
𝑃( 𝑛; 𝐸, 𝐵, 𝑅, 𝑀) 𝑃(9; 3,3,1,2) =
9!
3! 3! 1! 2!
(0.4)3
(0.2)3
(0.3)1
(0.1)2
= 0.00774
HIPERGEOMÉTRICA
𝑃( 𝑋 = 𝑥) = ℎ(𝑥; 𝑛, 𝑀, 𝑁)
=
(
𝑀
𝑥
) (
𝑁 − 𝑀
𝑛 − 𝑥
)
(
𝑁
𝑛
)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑥 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑚á𝑥(0, 𝑛
− 𝑁 + 𝑀) ≤ 𝑥 ≤ 𝑚í𝑛(𝑛, 𝑀)
𝑁 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑀 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎
𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑑𝑜𝑠
𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛 ∙
𝑀
𝑁
𝑉(𝑋) = (
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
) ∙ 𝑛 ∙
𝑀
𝑁
∙ (1 −
𝑀
𝑁
)
Características esenciales:
1. La población o conjunto por muestrear
consiste en N individuos, objetos o elementos
(una población finita)
2. Cada individuo se caracteriza como un éxito o
fracaso, y hay M éxitos en la población.
3. Se elige una muestra de n individuos sin
reemplazo, de manera que cada subconjunto
de tamaño n tenga las mismas probabilidades
de ser elegido.
La distribución hipergeométrica se utiliza para
muestreos sin reemplazo de una población finita cuya
probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del
ensayo.
Ejemplo:
Durante un periodo particular, la oficina de información tecnológica de una universidad recibió 20
órdenes de servicio para problemas con impresoras, de las cuales ocho eran láser y 12 eran de inyección de
tinta. Se seleccionará una muestra de 5 de estas órdenes de servicio para inclusión en una encuesta de
satisfacción al cliente. Suponga que se eligen 5 en un modo completamente aleatorio, de modo que cualquier
subconjunto de tamaño 5 tenga la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otro subconjunto
(considere colocar los números 1, 2, 3, .., 20 en tiras idénticas de papel, mezclarlas y elegir 5 de ellas). ¿Cuál es
la probabilidad de que exactamente 𝑥(𝑥 = 0, 1, 2, 3, 4 𝑜 5) de las órdenes de servicio elegidas fueran para
impresora láser?
a) ℎ( 𝑥; 5,12,20) =
(
12
𝑥
)(
8
𝑛−𝑥
)
(
20
5
)
, 𝑥 = 0, 1, 2, 3, 4,5
b) 𝑋 = 2,
𝑃( 𝑋 = 2) = ℎ(2; 5,12,8) =
(
12
2
) (
8
3
)
(
20
10
)
c) 𝑃(𝑋 ≤ 2)
𝑃( 𝑋 ≤ 2) =) = 𝑃(𝑋 = 0, 1 𝑜 2) = ∑ ℎ(𝑥; 5, 12, 8)
2
𝑥=0
POISSON
𝑝(𝑥; 𝜆) =
𝑒−𝜆
𝜆 𝑥
𝑥!
𝑒 𝜆
= 1 + 𝜆 +
𝜆2
2!
+
𝜆3
3!
+ ⋯ = ∑
𝜆 𝑥
𝑥!
∞
𝑥=0
𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑛 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠
𝑒 = 2.71828
𝜆 = 𝑛𝑝 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 ó
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑑𝑜𝑠
𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑉(𝑋) = 𝜆
Características esenciales:
Se dice que se da un proceso de Poisson si se
pueden observar eventos discretos en un
intervalo continuo en forma tal que si se acorta
el intervalo lo suficiente:
1. La probabilidad de observar exactamente un
éxito en el intervalo es estable
2. La probabilidad de observar dos o más
éxitos en el intervalo es cero
3. La ocurrencia de un éxito en cualquier
intervalo es estadísticamente independiente
de que suceda en cualquier otro intervalo.
Ejemplo:
Un conmutador recibe en promedio 5 llamadas sobre autos extraviados por hora. ¿Cuál es la probabilidad de
que en una hora tomada al azar reciba?
a) Ninguna llamada
𝑝(0; 5) =
𝑒.5
50
0!
= 0.00674963
b) Exactamente 3 llamadas
𝑝(3; 5) =
𝑒.5
53
3!
= 0.1404
c) No más de 3 llamadas
𝑃(𝑋 < 4) = 𝑃(𝑥 ≤ 3) = 𝑃(0) + 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) = 0.2652
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS
UNIFORME CONTINUA
𝑓(𝑥) = {
1
𝑏 − 𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
𝑥
= 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑛 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠
𝑒 = 2.71828
𝜆 = 𝑛𝑝 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 ó
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑑𝑜𝑠
𝐸(𝑋) =
𝑎 + 𝑏
2
𝑉(𝑋) =
(𝑏 − 𝑎)
2
12
Características esenciales:
Siempre que una probabilidad sea proporcional a la
longitud del intervalo, la variable aleatoria estará
distribuida uniformemente
Ejemplo:
Considere la línea de referencia que une el vástago de la válvula de una llanta con el punto central, y sea X el ángulo
medido en el sentido de las manecillas del reloj hasta el lugar de una imperfección. Una distribución de probabilidad
posible para X es:
𝑓(𝑥) = {
1
360
0 ≤ 𝑥 ≤ 360
0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
La probabilidad de que el ángulo esté entre 90º y 180º es
𝑃(90 ≤ 𝑋 ≤ 180) = ∫
1
360
𝑑𝑥
180
90
=
𝑥
360
|
𝑥 = 180
𝑥 = 90
=
1
4
= 0.25
NORMAL
∫
1
𝜎√2𝜋
𝑥
−∞
𝑒
−
1
2
(
𝑡−𝜇
𝜎
)
2
𝑑𝑡
𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
𝐸[ℎ(𝑋)] = ∫ ℎ(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
𝑉(𝑋) = 𝜎 𝑥
2 = ∫ ( 𝑥 − 𝜇)2
∞
−∞
∙ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
Características esenciales:
Es la distribución de probabilidad más importante en toda la
probabilidad y la estadística, debido a que muchas poblaciones
numéricas pueden ajustarse con bastante precisión a una
distribución normal.
1. Una distribución normal se diferencia de otra, mediante
dos parámetros: la media  y la desviación estándar .
2. El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre
la media, la cual coincide con la mediana y la moda.
3. La media de una distribución normal puede tener
cualquier valor: negativo, positivo o cero.
4. La distribución normal simétrica, las colas de la curva
normal se extienden al infinito en ambas direcciones y en
teoría jamás tocan el eje horizontal. Dado que es
simétrica, la distribución normal no es sesgada.
5. La desviación estándar determina que tan angosta o
ancha es la curva normal. Desviaciones estándar grandes
corresponden a curvas bajas y más anchas, lo cual indica
mayor variabilidad de datos.
6. Las probabilidades correspondientes a la variable
aleatoria normal se dan mediante áreas bajo la curva
normal. Toda el área bajo la curva de una distribución
normal es 1. Como esta distribución es simétrica, el área
bajo la curva y a la izquierda de la media es 0.5, lo mismo
para el lado derecho.
7. Los porcentajes de los valores que se encuentran en
algunos intervalos comúnmente usados son:
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Los parámetros de la distribución normal estándar son 𝜇 = 0 , 𝜎 = 1. Una variable aleatoria
que tiene una distribución normal estándar se llama variable aleatoria normal estándar y se
denota mediante Z. Su distribución de probabilidad es:
𝑓(𝑧; 0,1) =
1
√2𝜋
𝑒− 𝑧2
2⁄
Como ocurre con otras variables aleatorias continuas, los cálculos de la probabilidad en
cualquier distribución normal se hacen calculando el área bajo la gráfica de la función de
densidad de probabilidad sobre un intervalo dado.
En el caso de la distribución normal estándar, ya se encuentran calculadas las áreas bajo la
curva normal y se cuentan con tablas que dan éstas áreas y se usan para calcular las
probabilidades.
Los tres tipos de probabilidades que se necesitan calcular son:
1. La probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar z sea menor o igual al valor
dado.
2. La probabilidad de que z esté entre dos valores dados.
3. La probabilidad de que z sea mayor o igual que un valor dado.
Para convertir cualquier variable aleatoria x con media 𝜇 y desviación estándar 𝜎 en la variable
aleatoria normal estándar 𝑧.
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
Ejemplo: Suponga que Roar Tire Company ha fabricado un nuevo neumático que será vendido
por una cadena nacional de tiendas de descuento. Como se trata de un producto nuevo, los
directivos de la empresa piensan que la garantía de duración será un factor importante en la
aceptación del neumático. Antes de finalizar la póliza de garantía, los directivos necesitan
información probabilística acerca de 𝑥 = 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑒𝑢𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
De acuerdo con las pruebas, los ingenieros de Roar, estiman que la duración media en millas
es 𝜇 = 36 500 y una desviación estándar 𝜎 = 5000 . Además los datos recogidos indican que
es razonable suponer una distribución normal. ¿Qué porcentaje de neumáticos se espera que
duren más de 40 000 millas?
Par 𝑥 = 40 000a se tiene
𝑧 =
40 000 − 36 500
5000
=
3500
5000
= 0.70
Mediante la tabla de probabilidad normal estándar a la izquierda de 𝑧 = 0.70 𝑒𝑠 0.7580
De tal forma que 1 − 0.7580 = 0.2420 es la probabilidad de que 𝑧 > 0.70, es decir, 𝑥 >
40 000. Entonces 24.2% de los neumáticos durarán más de 40 000 millas.
Referencias:
 Devore JayL. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. 6ª. Edición. Thomson
 Anderson, Sweeney, Williams. Estadística para administración y Economía. 10ª. Edición. CENGAGE

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Distribuciones de probabilidad

  • 1.
  • 2. Población: Colección bien definida de objetos de interés en un estudio estadístico. Muestra: Subconjunto de elementos que se toman de la población. Experimento: 𝜀 - Cualquier acción o proceso, cuyo resultado no puede predecirse con certeza Espacio muestral:  - Conjunto de resultados posibles de un experimento. Evento: 𝐸𝑖 - colección o subconjunto de resultados contenidos en el espacio muestral. Variable: 𝑥𝑖 -Cualquier característica cuyo valor puede cambiar de un objeto a otro en la población o muestra. V.aleatoria: 𝑋( 𝑠) Regla que relaciona un número con cada resultado en el espacio muestral V.aleatoriadiscreta: Es una variable cuyos valores posibles se pueden listar en una secuencia finita. V. Aleatoriacontinua: Variable cuyo subconjunto de valores posibles consisten en un intervalo. Ejemplos Variables aleatorias discretas: Experimento Variable aleatoria (𝒙) Valores posibles de la variable Llamar a un cliente Número de clientes que hacen un pedido 0, 1, 2, 3, 4, 5 Inspeccionar un envío de 50 piezas # de piezas defectuosas 0, 1, 2, 3,…50
  • 3. Hacerse cargo de un local de renta de pc Número de clientes 0, 1, 2, 3, 4,…… Vender un servicio de telefonía Sexo del cliente 0 si es hombre, 1 si es mujer Variables aleatorias continuas: Experimento Variable aleatoria (𝒙) Valores posibles de la variable Observar las operaciones en un banco Tiempo en minutos entre la llegada de los clientes 𝑥 ≥ 0 Llenar una botella de agua ( máx. 600ml) Cantidad de ml 0 ≤ 𝑥 ≤ 600 Realizar un proyecto de probabilidad Porcentaje del proyecto terminado en 3 semanas 0 ≤ 𝑥 ≤ 100 Probar un nuevo proceso químico Temperatura a la que tiene lugar la reacción deseada (min. 150F, máx. 212F) 150 ≤ 𝑥 ≤ 212 Distribución deProbabilidad: Distribución teórica de frecuencias que describe cómo se repera que varíen los resultados de un experimento. Pueden ser representadas por una: Función matemática Gráfica Tabla de valores Discretas ∑ 𝑃(𝑥𝑖) = 1 𝑛 1  𝐸0 𝐸1 ... 𝐸 𝑛 𝑋 𝑥0 𝑥1 ... 𝑥 𝑛 𝑃(𝑋) 𝑝(𝑥0) 𝑝(𝑥1) 𝑝(𝑥 𝑛)
  • 4. Continuas ∫ 𝑃(𝑥𝑖)𝑑𝑥 = 1 ∞ −∞ Valoresperado (Esperanza matemática): 𝐸[ 𝑋] -Media de una variable aleatoria, medida de localización central de la variable aleatoria. 𝐸[𝑋] = 𝜇 = ∑ 𝑥 ∙ 𝑝(𝑥) Varianza: 𝑉𝑎𝑟(𝑥) - Resumen de la variabilidad de los valores de la variable aleatoria 𝑉(𝑋) = 𝜎2 = ∑(𝑥 − 𝜇)2 ∙ 𝑝(𝑥) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS UNIFORME DISCRETA 𝑓( 𝑥, 𝑘) = 1 𝑘 𝐸[ 𝑋] = 𝜇 = ∑ 𝑥𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝜎2 = ∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑘 𝑖=1 𝑘 La variable aleatoria X asume valores 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥 𝑘 con iguales probabilidades Ejemplo:
  • 5. Distribución de probabilidad de un dado 𝛿 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 𝜇 = 1+2+3+4+5+6 6 𝑃(𝑥 = 1, 2, … ) = 1 6 𝜎2 = (1−3.5)2+(2−3.5)2+(3−3.5)2+⋯+(6−3.5)2+ 6 = 2.91 BINOMIAL 𝑏( 𝑥; 𝑛, 𝑝) = ( 𝑛 𝑥 ) 𝑝 𝑥(1 − 𝑝) 𝑛−𝑥 𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝐵(𝑥; 𝑛, 𝑝) = ∑ 𝑏(𝑦; 𝑛, 𝑝))𝑥 𝑦=0 𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛𝑝 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 𝑛𝑝𝑞 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑞 = 1 − 𝑝 𝜎𝑥 = √ 𝑛𝑝𝑞 Características esenciales: 1. El espacio muestral contiene n ensayos idénticos 2. Cada ensayo produce uno de los mismos dos resultados posibles (ensayos dicotómicos), que se denotan mediante éxito (p) o fracaso (1-p) 3. Los ensayos son independientes , así que el resultado de cualquier ensayo particular no influye en el resultado de ningún otro. 4. La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro. Ejemplo: A cada una de seis personas elegidas al azar que toman refresco de cola, se les da un vaso que contiene cola (E) y uno que contiene cola (F). Los vasos tienen la misma apariencia excepto por un código en el fondo para identificar el refresco de cola. Supóngase que en realidad no hay tendencia entre los bebedores de cola a preferir entre una bebida u otra. Entonces, 𝑝 = 𝑃(𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑖𝑒𝑟𝑒 𝐸) = 0.5 , 𝑋 = # 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛 𝐸 a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 personas de las 6 elegidas al azar , prefieran E? 𝑃(𝑋 = 3) = 𝑏(3; 6,0.5) = ( 6 3 ) (0.5)3(0.5)3 = 0.313
  • 6. b) La probabilidad de que por lo menos tres prefieran E es: 𝑃(3 ≤ 𝑋) = ∑ 𝑏(𝑥; 6,0.5) = ( 6 3 ) (0.5)3(0.5)3 + ( 6 4 ) (0.5)4(0.5)2 + ( 6 5 ) (0.5)5(0.5)1 + ( 6 6 ) (0.5)6(0.5)0 6 𝑥=3 = 0.656 c) La probabilidad de que a lo sumo uno prefiera refresco de cola 𝑃(𝑋 ≤ 1) = ∑ 𝑏(𝑥; 6,0.5) = ( 6 0 ) (0.5)0(0.5)6 + ( 6 1 ) (0.5)1(0.5)5 1 𝑥=0 = 0.109 MULTINOMIAL 𝑃(𝑛; 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥 𝑘) = 𝑛! 𝑥1! 𝑥2! … 𝑥 𝑘! 𝑝1 𝑥1 𝑝2 𝑥2 … 𝑝 𝑘 𝑥 𝑛 𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛𝑥𝑖 𝑉(𝑋𝑖) = 𝑛𝑝𝑖(1 − 𝑝𝑖) Características esenciales: Ocurre cuando en el experimento binomial cada intento tiene más de dos resultados posibles. Distribución de probabilidad conjunta para múltiples variables aleatorias discretas, dándose cuando en cada prueba ó ensayo independiente (con reposición) del experimento interesa contar el número de éxitos en cada una de las k maneras como se puede dar un atributo. Ejemplo: Se sabe que las bombas de gasolina para autos existentes en el mercado se pueden clasificar en: 40% de rendimiento excelente (E) 20% de rendimiento bueno (B)
  • 7. 30% de rendimiento regular (R) 10 % de rendimiento malo (M) Se selecciona una muestra de 𝑛 = 9 bombas mediante un proceso aleatorio. ¿Cuál será la probabilidad de que quede conformada por: 3𝐸, 3𝐵, 1𝑅, 2𝑀 𝑃( 𝑛; 𝐸, 𝐵, 𝑅, 𝑀) 𝑃(9; 3,3,1,2) = 9! 3! 3! 1! 2! (0.4)3 (0.2)3 (0.3)1 (0.1)2 = 0.00774 HIPERGEOMÉTRICA 𝑃( 𝑋 = 𝑥) = ℎ(𝑥; 𝑛, 𝑀, 𝑁) = ( 𝑀 𝑥 ) ( 𝑁 − 𝑀 𝑛 − 𝑥 ) ( 𝑁 𝑛 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑥 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑚á𝑥(0, 𝑛 − 𝑁 + 𝑀) ≤ 𝑥 ≤ 𝑚í𝑛(𝑛, 𝑀) 𝑁 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑀 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑑𝑜𝑠 𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛 ∙ 𝑀 𝑁 𝑉(𝑋) = ( 𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1 ) ∙ 𝑛 ∙ 𝑀 𝑁 ∙ (1 − 𝑀 𝑁 ) Características esenciales: 1. La población o conjunto por muestrear consiste en N individuos, objetos o elementos (una población finita) 2. Cada individuo se caracteriza como un éxito o fracaso, y hay M éxitos en la población. 3. Se elige una muestra de n individuos sin reemplazo, de manera que cada subconjunto de tamaño n tenga las mismas probabilidades de ser elegido. La distribución hipergeométrica se utiliza para muestreos sin reemplazo de una población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo.
  • 8. Ejemplo: Durante un periodo particular, la oficina de información tecnológica de una universidad recibió 20 órdenes de servicio para problemas con impresoras, de las cuales ocho eran láser y 12 eran de inyección de tinta. Se seleccionará una muestra de 5 de estas órdenes de servicio para inclusión en una encuesta de satisfacción al cliente. Suponga que se eligen 5 en un modo completamente aleatorio, de modo que cualquier subconjunto de tamaño 5 tenga la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otro subconjunto (considere colocar los números 1, 2, 3, .., 20 en tiras idénticas de papel, mezclarlas y elegir 5 de ellas). ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 𝑥(𝑥 = 0, 1, 2, 3, 4 𝑜 5) de las órdenes de servicio elegidas fueran para impresora láser? a) ℎ( 𝑥; 5,12,20) = ( 12 𝑥 )( 8 𝑛−𝑥 ) ( 20 5 ) , 𝑥 = 0, 1, 2, 3, 4,5 b) 𝑋 = 2, 𝑃( 𝑋 = 2) = ℎ(2; 5,12,8) = ( 12 2 ) ( 8 3 ) ( 20 10 ) c) 𝑃(𝑋 ≤ 2) 𝑃( 𝑋 ≤ 2) =) = 𝑃(𝑋 = 0, 1 𝑜 2) = ∑ ℎ(𝑥; 5, 12, 8) 2 𝑥=0
  • 9. POISSON 𝑝(𝑥; 𝜆) = 𝑒−𝜆 𝜆 𝑥 𝑥! 𝑒 𝜆 = 1 + 𝜆 + 𝜆2 2! + 𝜆3 3! + ⋯ = ∑ 𝜆 𝑥 𝑥! ∞ 𝑥=0 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑛 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑒 = 2.71828 𝜆 = 𝑛𝑝 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 ó 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑑𝑜𝑠 𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑉(𝑋) = 𝜆 Características esenciales: Se dice que se da un proceso de Poisson si se pueden observar eventos discretos en un intervalo continuo en forma tal que si se acorta el intervalo lo suficiente: 1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es estable 2. La probabilidad de observar dos o más éxitos en el intervalo es cero 3. La ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de que suceda en cualquier otro intervalo. Ejemplo: Un conmutador recibe en promedio 5 llamadas sobre autos extraviados por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora tomada al azar reciba? a) Ninguna llamada
  • 10. 𝑝(0; 5) = 𝑒.5 50 0! = 0.00674963 b) Exactamente 3 llamadas 𝑝(3; 5) = 𝑒.5 53 3! = 0.1404 c) No más de 3 llamadas 𝑃(𝑋 < 4) = 𝑃(𝑥 ≤ 3) = 𝑃(0) + 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) = 0.2652 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS UNIFORME CONTINUA 𝑓(𝑥) = { 1 𝑏 − 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑛 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑒 = 2.71828 𝜆 = 𝑛𝑝 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 ó 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑑𝑜𝑠 𝐸(𝑋) = 𝑎 + 𝑏 2 𝑉(𝑋) = (𝑏 − 𝑎) 2 12 Características esenciales: Siempre que una probabilidad sea proporcional a la longitud del intervalo, la variable aleatoria estará distribuida uniformemente Ejemplo:
  • 11. Considere la línea de referencia que une el vástago de la válvula de una llanta con el punto central, y sea X el ángulo medido en el sentido de las manecillas del reloj hasta el lugar de una imperfección. Una distribución de probabilidad posible para X es: 𝑓(𝑥) = { 1 360 0 ≤ 𝑥 ≤ 360 0 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 La probabilidad de que el ángulo esté entre 90º y 180º es 𝑃(90 ≤ 𝑋 ≤ 180) = ∫ 1 360 𝑑𝑥 180 90 = 𝑥 360 | 𝑥 = 180 𝑥 = 90 = 1 4 = 0.25
  • 12. NORMAL ∫ 1 𝜎√2𝜋 𝑥 −∞ 𝑒 − 1 2 ( 𝑡−𝜇 𝜎 ) 2 𝑑𝑡 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞ −∞ 𝐸[ℎ(𝑋)] = ∫ ℎ(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞ −∞ 𝑉(𝑋) = 𝜎 𝑥 2 = ∫ ( 𝑥 − 𝜇)2 ∞ −∞ ∙ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 Características esenciales: Es la distribución de probabilidad más importante en toda la probabilidad y la estadística, debido a que muchas poblaciones numéricas pueden ajustarse con bastante precisión a una distribución normal. 1. Una distribución normal se diferencia de otra, mediante dos parámetros: la media  y la desviación estándar . 2. El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media, la cual coincide con la mediana y la moda. 3. La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo, positivo o cero. 4. La distribución normal simétrica, las colas de la curva normal se extienden al infinito en ambas direcciones y en teoría jamás tocan el eje horizontal. Dado que es simétrica, la distribución normal no es sesgada. 5. La desviación estándar determina que tan angosta o ancha es la curva normal. Desviaciones estándar grandes corresponden a curvas bajas y más anchas, lo cual indica mayor variabilidad de datos. 6. Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal se dan mediante áreas bajo la curva normal. Toda el área bajo la curva de una distribución normal es 1. Como esta distribución es simétrica, el área bajo la curva y a la izquierda de la media es 0.5, lo mismo para el lado derecho. 7. Los porcentajes de los valores que se encuentran en algunos intervalos comúnmente usados son:
  • 13. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR Los parámetros de la distribución normal estándar son 𝜇 = 0 , 𝜎 = 1. Una variable aleatoria que tiene una distribución normal estándar se llama variable aleatoria normal estándar y se denota mediante Z. Su distribución de probabilidad es: 𝑓(𝑧; 0,1) = 1 √2𝜋 𝑒− 𝑧2 2⁄ Como ocurre con otras variables aleatorias continuas, los cálculos de la probabilidad en cualquier distribución normal se hacen calculando el área bajo la gráfica de la función de densidad de probabilidad sobre un intervalo dado. En el caso de la distribución normal estándar, ya se encuentran calculadas las áreas bajo la curva normal y se cuentan con tablas que dan éstas áreas y se usan para calcular las probabilidades. Los tres tipos de probabilidades que se necesitan calcular son: 1. La probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar z sea menor o igual al valor dado. 2. La probabilidad de que z esté entre dos valores dados. 3. La probabilidad de que z sea mayor o igual que un valor dado. Para convertir cualquier variable aleatoria x con media 𝜇 y desviación estándar 𝜎 en la variable aleatoria normal estándar 𝑧. 𝑧 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 Ejemplo: Suponga que Roar Tire Company ha fabricado un nuevo neumático que será vendido por una cadena nacional de tiendas de descuento. Como se trata de un producto nuevo, los directivos de la empresa piensan que la garantía de duración será un factor importante en la aceptación del neumático. Antes de finalizar la póliza de garantía, los directivos necesitan información probabilística acerca de 𝑥 = 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑒𝑢𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 De acuerdo con las pruebas, los ingenieros de Roar, estiman que la duración media en millas es 𝜇 = 36 500 y una desviación estándar 𝜎 = 5000 . Además los datos recogidos indican que
  • 14. es razonable suponer una distribución normal. ¿Qué porcentaje de neumáticos se espera que duren más de 40 000 millas? Par 𝑥 = 40 000a se tiene 𝑧 = 40 000 − 36 500 5000 = 3500 5000 = 0.70 Mediante la tabla de probabilidad normal estándar a la izquierda de 𝑧 = 0.70 𝑒𝑠 0.7580 De tal forma que 1 − 0.7580 = 0.2420 es la probabilidad de que 𝑧 > 0.70, es decir, 𝑥 > 40 000. Entonces 24.2% de los neumáticos durarán más de 40 000 millas. Referencias:  Devore JayL. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. 6ª. Edición. Thomson  Anderson, Sweeney, Williams. Estadística para administración y Economía. 10ª. Edición. CENGAGE