Geometría y diseño: claves de la arquitectura sagrada

“Geometría y diseño”
Universidad Juárez Autónoma de Tabasco
División Académica de Ingeniería y Arquitectura
Materia:
Teoría de la Arquitectura II
Alumna: Adriana Jiménez LeyvaFecha
07/10/2013
Lectura

Universidad Juárez
Autónoma de
Tabasco
Materia:
Teoría de la
Arquitectura II
Nombre:
Adriana
Jiménez Leyva
Fecha
07/10/2013
I.-Introducción1
II.-Geometría Sacra2
Elementos de geometría euclidiana3
Contenido:
• III.1.-Introducción
• III.2.-La semejanza
• III.3.-Rectangulo dinámico

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Materia:
Teoría de la
Arquitectura II
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Adriana
Jiménez Leyva
Fecha
07/10/2013
Conclusión5
Bibliografía.6
simetría4
• VI.1.- Operaciones de Simetría.
• VI.1.1.-Traslación.
• VI.1.2.-Rotación.
• VI.1.3.- Reflexión.
• VI.1-4.-Reflexión deslizante.
• VI.1.5.-Escalamiento
• VI.2.-Simetria en la naturaleza.
• VI.3.-Grupos de Simetría.
• VI.3.1.-Grupos Puntuales.
• VI.3.2.-Los siete Grupos Lineales.
• VI.3.3.-Los diecisiete Grupos Planares.

Introducción:
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Teoría de la
Arquitectura II
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Adriana
Jiménez Leyva
Fecha
07/10/2013
• Este trabajo pretende presentar las partes
importantes del libro de “Geometría y Diseño”
haciendo una breve presentación de cada
contenido de los temas leyendo
cuidadosamente y estructurando el trabajo.

Geometría y diseño
 Geometría Sacra.

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Teoría de la
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Fecha
07/10/2013
 Introducción:
Los primeros vestigios de reflexiones geométricas se remontan
al segundo milenio antes de nuestra era en Mesopotamia y
Egipto. En la Grecia a antigua, durante los periodos Clásicos
y helénico (600 a.C-300 a.C.), la geometría fue sistematizada,
organizada y fundamentada de acuerdo con el
pensamiento deductivo.
El termino de geometría sacra es empleado por arqueólogos,
antropólogos, arquitectos y geómetras para abarcar las
creencias filosóficas religiosas de diversas culturas han a
saciado, a lo largo de la historia con la geometría.

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 Algunos conceptos y Construcciones
Geométricos Básicos: Razón y
Proporción
Una razón es el consiente de dos magnitudes, en este caso
geométricas.
• Dividir es una forma de comparación de modo que si
obtenemos la razón de los segmentos AB y CD l razón nos
indica que tan grande es uno comprado del otro .
• AB mide 3 unidades y CD 2. la razón de os segmentos es
3/2=1.5 el segmento AB y CD

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Se utilizan dos puntos para denotar una razón y cuatro para
simbolizar una proporción.
Las cantidades AB y GH los extremos y a CD y EF los medios de la
proporción.

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Se necesitan al menos tres cantidades distintas a, b y c para
establecer una proporción.
Si despejamos b obtenemos
b es la medida geométrica entre a y c. En este caso a, b y c
están en progresión geométrica.
Un ejemplo: la proporcionalidad geométrica entre la diagonal y
el lado de lo cuadrados.

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Para encontrar el valor numérico de  tómennos b=1, el valor de a
corresponderá con la razón áurea (a/b). La igualdad anterior se
convierte en
El numero de oro es un numero racional y equivale a
aproximadamente, a 1.618.
El punto F determina la proporción áurea de
l segmento AB de manera que FB/AF=AF/FB

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 Construcción de un Cuadrado con
regla y compas:
1) Comenzamos con el segmento BA
2) Ubicamos el punto C por debajo del segmento y mas
o menos a la altura de su punto medio.
• Con centro C y radio CB trazamos un arco que corta el
segmento AB en D.
• Trazamos la recta determinada por los 2 puntos D y C y
prolongamos hasta que corte el arco trazado en E.

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3) Continuemos con el trazo del cuadrado. Con centro B y radio
AB se traza un arco hasta cortar en G la prolongación del lado
BE , por ultimo con centro en G y radio GB trazamos un arco y
con centro en A y el mismo radio trazamos otro arco la
intersección de ambos arcos es el cuarto vértice d el cuadrado
ABGF.

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A partir de un cuadrado cualquiera construimos, siguiendo el
método anterior, otro cuadrado sobre la diagonal de primero.
Análogamente, sobre la diagonal del segundo cuadrado
construimos otro cuadrado y así sucesivamente.

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 Construcción de un rectángulo áureo:
Un rectángulo áureo es aquel en
que la razón de sus lados es .
Se construye el cuadrado ABCD
sobre el segmenta AB hasta que
corte el arco de circunferencia
con centro en E y radio EC en el
punto.
Desde F se traza una perpendicular
a AB y se intersecta en el punto G
con la prolongación de DC, para
formar el rectángulo áureo AFGD. Se
llama áureo porque B divide el
segmento AF en la proporción
áurea.

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El rectángulo BFGC también es
un rectángulo áureo y, a su vez
podemos dividirlo en cuadrados y
otro rectángulos áureo ROPQ
Este proceso lo podemos continuar
indefinidamente . Tomando como
centros los vértices de los cuadrados
y como radio su lado es posible
trazar la espiral áurea

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La proporción áurea es un concepto sin el cual resulta difícil
comprender la evolución del arte y la arquitectura y la geometría
Los griegos encontraron el numero  aparece con mucha
frecuencia en la naturaleza de ahí el afán por reflejar su reflexión y
armonía.

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 El triangulo Equilátero la vesica piscis o
vejiga de pez:
A partir del segmento AB se traza la circunferencia con centro A y
radio AB . Se traza otra circunferencia ahora con trazo B y el mismo
radio. Si llamamos C al punto de intersección de las circunferencia
, entre los vértices ABC forman un triangulo equilátero . A la
intersección de los dos círculos, que a parece sombreada.

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A partir de la construcción del triangulo equilátero podemos trazar
una circunferencia con el mismo radio pero ahora con el nuevo
punto de intersección C que obtuvimos , ahora tenemos un punto
D que esta sobre la primera circunferencia. Si continuamos este
procedimiento trazado otra circunferencia ahora con centro D.
Los distintos puntos de intersección forman un hexágono regular.

Podemos continuar construyendo
circunferencias de los nuevos
puntos de intersección para
formar lo que se ha llamado la
Flor de vida
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Comienza con la vesica piscis, se llama A y B las intersecciones de las
dos circunferencias. AB son el nuevo segmento sobre le que
construimos una nueva vesica piscis con radio AB trazamos
circunferencias con centro A y B para obtener:

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Podemos repetir este procedimiento para generar diversas
vesicas piscis cada vez mayores
El ovalo se construye combinando cuatro secciones de
circunferencia a partir de vesica piscis se trazan con el mismo
radio , las circunferencias con centro en los puntos de
intersección A y B de las circunferencias originales por ultimo con
centro A y en B se trazan circunferencia de radio BC= BD

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 El corte Sagrado:
A partir de un cuadrado y tomando con radio la distancia entre un
vértice y el centro del cuadrado se trazan círculos con centro en
cada uno de los vértices . Las intersecciones de las circunferencias
así construidas establecen una estructura dentro del cuadrado .

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 Solidos Platónicos:
Se llaman sólidos platónicos a los cinco poliedros regulares: tetraedro,
cubo, octaedro, dodecaedro, e icosaedro con 4, 6, 8, 12 y 20 caras
formada por polígonos regulares. Tetraedro, octaedro, e icosaedro
están formados por triángulos , el cubo por cuadrado y el
dodecaedro por pentágonos.

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1) Trazamos la circunferencia con radio OA e inscribimos el
hexágono cuyos vértices numeramos con la figura 10 y
trazamos sus diagonales .
2) Con centro en C, que es el punto medio de O5, y con radio CA
cortamos la diagonal 5-2 y marcamos el punto 11.
3) Con centro en O y radio O11 trazamos una circunferencia
cuyas intersecciones con las diagonales del hexágono
marcamos del 7 al 11.

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07/10/2013
Los puntos 7 y 8 son los vértices
del triángulos del icosaedro mas
cercano al observador
Partamos de la figura anterior,
pero excluyendo los lados del
hexágono. Uniendo los vértices
como se muestra en la fig. se
contiene un dodecaedro.

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07/10/2013
Tomando 8 de los vértices del
dodecaedro, como se muestra en la
figura 13, se forma el cuadrado. Las
caras 1-2-3-4, 3-4-5-6 y 1-4-6-7 son
invisibles
Por ultimo, tomando las diagonales
de las caras del cubo se forma un
octaedro estrella.

 Elementos de Geometría euclidiana

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 introducción:
La base de la geometría euclidiana, llamada también
axiomática, consiste en ciertos hechos básicos, que son
aceptados sin necesidad de ninguna demostración. Por
ejemplo, entre dos puntos pasa una recta o dado un punto y
una distancia es posible trazar una circunferencia . A partir de
estos hechos básicos aplicando los principios de la lógica se
deduce el reto de las relaciones geométricas . Todo el
conocimiento geométrico giraba alrededor de unos cuantos
ejes. Es por ello que se le dio el nombre de axiomas, palabra
cuya raíz axis significa precisamente eje.

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 La semejanza:
La idea de figuras geométricas semejantes es muy simple y muy útil:
dos figuras son semejantes si tiene la misma forma aunque tengan
distinto tamaño, Esto equivale a decir que los elementos
correspondientes de cada figura son proporcionales

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07/10/2013
• Según la leyenda de Tales de
Mileto contemplar las pirámides
de Egipto, advirtió que eran
idénticas proporciones aunque
de distinto tamaño es decir eran
semejantes.
• La altura de la pirámide es la
altura del bastón, como la
longitud de la sombra de la
pirámide es ala longitud de la
sombra del bastón.
• Se muestras dos rectas que
se cortan en O y que están
atravesadas por varias letras
paralelas A´B´,A´´B´´, y
A´´´B´´´ el teorema
establece que los segmentos
correspondientes son
proporcionales

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Fecha
07/10/2013
• Para generar rectángulos semejantes
a un rectángulo en particular
tomemos un rectángulo cualquiera y
tracemos su diagonal. Cualquier
rectángulo que tenga sus vértices
opuestos sobre esta diagonal será
semejante al rectángulo original los
rectángulos AEFG y ABCD son
semejantes al rectángulo original AHIJ.
• Un caso interesante es el triangulo
áureo es un triangulo isósceles con
dos ángulos de 72° y uno de 36° .
Como el ángulo de los 36° es
exactamente la mitad de 72°, uno de
estos puede ser bisectado de manera
que se forme otro triangulo áureo mas
pequeño.

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 Rectángulos dinámicos:

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07/10/2013
Una proporción interesante se da al subdividir el rectángulo a la mitad del
lado mayor y repetir le procedimiento con un de las mitades.

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07/10/2013
 Familia del Rectángulo :
El numero  es par fines prácticos se aproximan a 1.618, es el que
determina la proporción áurea. El numero  esta relacionado con una
amplia familia de rectángulos que se relacionan de manera
Proporcionada y armónica.
El rectángulo áureo tiene una longitud de  y un ancho 1

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07/10/2013
• El triangulo áureo es un triangulo isósceles de dos
ángulos de 72° y uno de 36° cuyos lados iguales
tiene una razón igual a  con respecto a al base.
Este triangulo se construye a partir del rectángulo
áureo, trazando arcos radio  desde los dos vértices
de un lado mide 1. Donde se cruzan los arcos se
trazan los lados iguales del triangulo.
• Otras dos figuras estrechamente relacionadas con
le numero  son el pentágono y el pentagrama o
estrella de cinco picos. Se obtiene a partir de un
triángulos áureo al que se le trazan dos arcos de
radio , cada uno desde los vértices de la base
otros dos arcos con radio 1.

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• La proporción áurea aparece en los segmentos del pentagrama y
su correspondiente pentágono.

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07/10/2013
 La Armadura del Rectángulo:
A continuación se presenta un ejemplo del proceso para estableces
una posible armadura de un rectángulo:
• Se trazan las dos diagonales principales del
rectángulo. En le cruce de ambas se obtiene
el centro del rectángulo.
• Se trazan perpendiculares a los lados , una
vertical y otra horizontal que posen por el
centro. Se obtiene los ejes de simetría
vertical y geometría.
• Se trazan las líneas diagonales desde los puntos
medios de los lados mas largos del rectángulos
hacia los vértices el mismo. Se obtienen los centros
de los dos rectángulos obtenidos con el eje de
simetría vertical

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Fecha
07/10/2013
• Se trazan la líneas diagonales desde los puntos
medios de los puntos medios de los lados mas cortos
del rectángulo hacia los vértices del mismo. Se
obtienen los centros de los dos rectángulos
obtenidos con el eje de simetría horizontal.
• Finalmente, se trazan las diagonales que unen
todos los puntos medios de los lados

 Simetría.

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07/10/2013
 Operaciones de simetría:
Las operaciones de simetría se realizan inconscientemente o bien
ocurren naturalmente.
Es una rama de las matemáticas avanzadas que tiene aplicaciones
en innumerables campos de las matemáticas y de las ciencias .
Este es un pez que la naturaleza
escogió para ser diseñado
dentro de un rectángulo áureo.

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Fecha
07/10/2013
 traslación:
La traslación es la operación de desplazamiento o corrimiento que
cambia la posición del motivo sin alterar la orientación o rumbo.
Cualquiera de los movimiento. Se califica como una traslación.

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Fecha
07/10/2013
Al usar la operación de traslación, debe considera la distancia entre
unidades . Esta puede permaneces constantes como los diagramas
previos, o bien el espacio entre las unidades puede adquirir
proporciones armónicas

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Fecha
07/10/2013
 Rotación:
La retacón es el giro de un motivo alrededor de un punto ya sea en
sentido de las manecillas del reloj o en la dirección opuesta. La
orientación espacial del motivo sufre cambio pero el rumbo se
conserva.
El circulo contiene un total de 360°, por tanto el numero de grados en
el Angulo escogido dividirá a 360° sin residuo. Una rotación a través de
90° y una a través de 120°. En el primer caso, el motivo se repite cuatro
veces, en tanto en el segundo se dan tres repeticiones.

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Fecha
07/10/2013
Siempre y cuando los otros le sigan
en secuencia. Los matemáticos
dicen que un ángulo se encuentra
en posición estándar si el lado
iniciar corresponde a 0° yace sobre
le vector horizontal a la derecha
del polo.

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Fecha
07/10/2013
 Reflexión:
La reflexión requiere que el motivo sea desprendido del plano. Es la operación
de lanzamiento y vuelta la que cambia tanto la posición del motivo como su
rumbo en relación con una línea que llamaremos eje de reflexión.

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Fecha
07/10/2013
 Reflexión Deslizante:
Una reflexión deslizante es la combinación de las operaciones de
traslación y reflexión. El motivo primero se traslada a lo largo de un
eje para después ser reflejados. Ambos, orientación y rumbo,
cambia. Las huellas de zapatos sucios sobre el piso recién lavado
de una cocina muestran reflexión deslizante ( y conduce a la
frustración materna).

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Fecha
07/10/2013
 Escalamiento:
El escalamiento no es tan familiar como la otras maniobras de
simetría. Es el concepto que combina la operaci´0on de
traslación con un cambio proporcional en el tamaño del
motivo. Es la única operación de simetría que permite un
cambio en el tamaño del motivo.

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Fecha
07/10/2013
 Simetría en la Naturaleza:
En la evolución de las formas se da una lógica de diseño natural.
Todo esta determinado por una necesidad practica, que es la
sobrevivencia, y la forma es el resultado de fuerzas que actúan sobre
un material dado confiado a un espacio dado.

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Fecha
07/10/2013
 Grupos de Simetría:
Cuando un motivo único se repite de manera sistemática, el resultado
es un patrón. La simetría tiene que ver con diferentes tipos de repetición.
Si las repeticiones involucran movimiento alrededor de un polo, la
colección resultante de patrones se denomina grupos puntuales.
Los grupos lineales ocurren las repeticiones se mueven en una sola
dirección, y los grupos plantares son el resultado de repeticiones en dos
direcciones de suerte que llenan el plano.

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Fecha
07/10/2013
• Una línea punteada
siempre indicara la
dirección de una traslación.
Una línea sólida indica un
eje de reflexión.
• El elemento de patrón
resultante se convierte en
una unidad que es usada
en múltiplos para generar
un grupo de simetría . Un
sombreado se utiliza para
definir la unidad.

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Fecha
07/10/2013
 Grupos Puntuales:
Los grupos puntuales son patrones formados por las operaciones de
retacón y reflexión con respecto a un polo o eje a través del polo.
Para los matemáticos hay un numero infinito de grupos puntuales ya
que la materialidad de los mismos es irrelevante.

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Fecha
07/10/2013
Aquí el motivo principal es reflejado para producir unidad. Esta
unidad a su vez es rotada 180°, dando origen a un segundo eje de
reflexión indicado por AB.

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Fecha
07/10/2013
 Los Siente Grupos Lineales:
Los patrones lineales, a veces llamados bandas, bordos o frisos, se han,
empleado profusamente a lo largo del tiempo y las culturas. En la
actualidad, los científicos sociales usan frecuentemente clasificaciones
de simetría para analizas objetos decorados. Ello les permite clasificar
cosas en términos de similitud. También se simplifican las demostraciones
de nexos y diferencias culturales, en la medida que los objetos
decorados demuestran una preferencia de la cultura por un aspecto
partícula de simetría, forma y tema.

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Fecha
07/10/2013
 Los Diecisiete Grupos planares:
Un patrón es la repetición controlada de un motivo dado arreglado
de una manera particular prestando atención tanto a los intervalos
espaciales como a la su unidades de forma. Los diecisiete grupos
planares o de papel tapiz, implica la abstracción de lo esencial en los
patrones en le espacio euclidiano de dos dimensiones.

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Fecha
07/10/2013
 Conclusión:
Este libro me pareció mas interesante y entendible (fácil
comprensión del texto) que el libro anterior de filosofía y
diseño, viene mas explicados los temas (explicitas) me
gusto mucho, habían cosas que no sabia y otras que no
tenia muy en claro, muy interesante.

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07/10/2013
 Bibliografía:
• Geometría y Diseño / Jaime Carrasco/ Iñaqui
de Olaizola/ Juan José Zoreda.

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