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C u r s o : Matemática 
Material N° 28 
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 28 
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES 
LOGARITMOS – FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
DEFINICIÓN 
El logaritmo de un número real positivo b en base a , positiva y distinta de 1 , es el 
número m a que se debe elevar la base para obtener dicho número. 
OBSERVACIONES:  La expresión loga b = m se lee “el logaritmo de b en base a es m”. 
El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación. 
log10 a = log a. 
CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN DE LOGARITMO 
   
EJEMPLOS 
1. 
log 125 = 3 expresado en forma exponencial es 
5 
A) 35 = 125 
B) 
1 
3 5 = 125 
C) 53 = 125 
D) 
15 
125 = 3 
E) 125-3 = 1 
5 
loga b = m  am = b , b  0 , 1  a  0 
loga 1 = 0 loga a = 1 loga am = m
2. 33 = 27 expresado en forma logarítmica es 
2 
A) log3 27 = 3 
B) log27 3 = 3 
C) 1 
log 27 = 3 
3 
D) 1 
log 3 = 27 
3 
E) log3 
1 
3 
  
  
= 27 
3. log (3 · 3-1) = 
A) -1 
B) 0 
C) 1 
D) 9-1 
E) -9 
4. log3 
1 
9 
  
  
= 
A) 1 
3 
B) - 1 
3 
C) 2 
D) -2 
E) 3 9 
5. logm 
m2 + m 
m + 1 
= 
A) 2m 
B) m + 1 
C) m 
D) 1 
E) 0
3 
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 
Sean b  0, c  0 , 1  a  0 
 LOGARITMO DE UN PRODUCTO 
 LOGARITMO DE UN CUOCIENTE 
EJEMPLOS 
1. 
log 5 + log 7 = 
3 3 
A) 
log 5 · log 7 
3 3 
B) (5 · 7)3 
C) 335 
D) 
log 12 
3 
E) 
log 35 
3 
2. 
log 128 – 
2 
log 16 = 
2 
A) -2 
B) -1 
C) 1 
D) 
log 9 
3 
E) 
log 64 
4 
3. log 3 + log 4 – log 2 escrito como el logaritmo de un número es 
A) log 5 
B) log 6 
C) log 10 
D) log 3 
2 
E) log 3 
8 
loga (b · c) = loga b + loga c 
loga 
b 
c 
= loga b – loga c
4 
4. El desarrollo logarítmico de 3a 
2b 
es equivalente a 
A) log 3 + log a - log 2 + log b 
B) log 3 – log 2 + log a – log b 
C) log 3 + log 2 – log a – log b 
D) 1,5 (log a – log b) 
E) log 5 + log a – log b 
5. Si 
log m  log n = 5, el cuociente m 
2 2 
n 
es igual a 
A) 10 
B) 25 
C) 32 
D) 64 
E) 128 
6. log 
a + b 
a b 
 
= 
A) 2 log b 
B) log + log (-b) 
C) log a (log b – log (-b)) 
D) log (a + b) – log (a – b) 
E)  log a log b2 log a 
log b 
7. El valor de 2 – log 25 es 
A) log 2 
B) log 3 
C) log 4 
D) log 5 
E) 2 + 5 log 2
log x = log y  x = y 
5 
 LOGARITMO DE UNA POTENCIA 
 LOGARITMO DE UNA RAÍZ 
 CAMBIO DE BASE 
OBSERVACIÓN: 
EJEMPLOS 
1. log 1 
16 
= 
A) 1 – 4 log 2 
B) -4 log 2 
C) -8 log 2 
D) 4 log 2 
E) 0 
2. 3 
log 25 = 
2 
A) 3 
log 25 
2 
B) 3 
log 5 
2 
C) 2 
log 5 
3 2 
D) 3 
log 5 
2 2 
E) 1 
log 5 
3 2 
3. log 9 
log 6 
= 
A) log 9 – log 6 
B) 3(log 3 – log 2) 
C) 
log 6 
9 
D) 
log 9 
6 
E) 3 
2 
loga bn = n loga b 
loga 
n b = 1 
n 
loga b, con n  0 
log b 
c 
a 
c 
log b = 
log a 
a a
6 
4. - 
1 
log 2 
5 
3 
= 
A) log32-5 
B) -5 log32-1 
C) 
1 
5 
3 log 2 
D) log3 
5 2-1 
E) log3 
5 -2 
5. log (a3 · c3 ) = 
A) 3 log (a + c ) 
B) 3 log a + 2 
3 
log c 
C) 3 log a – 3 
2 
log c 
D) 3 log a + 1,5 log c 
E) 3 
2 
log c · 3 log a 
6. El valor de x en la ecuación log(2x – 10) = log(x + 5) es 
A) 15 
B) 10 
C) 5 
D) 4 
E) -4 
7. Si 27 log c – 8 = 0, entonces log 
3 2 c = 
A) 3 
2 
B) 2 
3 
C) 4 
9 
D) 8 
81 
E) 16 
81
7 
FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
Una función f definida por se denomina 
función logarítmica. 
GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
i) a > 1 
f(x) = log2 x con a = 2 
ii) 0 < a < 1 
log x con a = 1 
f(x) = 1 
2 
2 
OBSERVACIONES 
 El dominio es: Df = lR+ 
 El recorrido es: Rf = lR 
 La gráfica intersecta al eje x en el punto (1, 0). 
 Si a  1, entonces f(x) = loga x es creciente. 
 Si 0  a  1, entonces f(x) = loga x es decreciente. 
 La curva no intersecta al eje y. 
EJEMPLOS 
1. La gráfica de f(x) = log x – 1 pasa por el punto 
A) (1, 0) 
B) (1, 1) 
C) (1, -1) 
D) (2, 0) 
E) (0, 0) 
f(x) = loga x, con a  lR+, a  1 y x  0 
x 
1 
8 
1 
4 
1 
2 
1 2 4 8 
f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 
x 
1 
8 
1 
4 
1 
2 
1 2 4 8 
f(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3 
2 
2 
-2 
1 2 3 4 
y 
f(x) = log2 x 
x 
3 
f(x) = 1 
log x 
2 
-1 
-2 
-3 
1 2 3 4 
y 
x
8 
2. Dada la función f(x) = 
2 
3 
     
  
log x 2 
2 
, ¿cuál es la pre imagen de 4? 
A) 12 
B) 34 
3 
C) 28 
3 
D) 20 
3 
E) 2 
3. Dada la función g(x) = 15 
log (4x + 1), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 
verdadera(s)? 
I) g(6) = -2 
II) pasa por el origen. 
III) g es decreciente. 
A) Sólo I 
B) Sólo I y II 
C) Sólo I y III 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
4. El gráfico que mejore representa a la función f(x) = 1 
log (x + 1) es 
3 
A) B) C) D) E) 
y 
RESPUESTAS 
x 
y 
x 
y 
1 2 x 
x 
y 
1 
1 
x 
y 
1 2 
Ejemplos 
Págs. 1 2 3 4 5 6 7 
1 y 2 C A B D D 
3 y 4 E E B B C D C 
5 y 6 B C D D D A E 
7 y 8 C A E C 
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52 logaritmos y función logarítmica

  • 1. C u r s o : Matemática Material N° 28 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 28 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES LOGARITMOS – FUNCIÓN LOGARÍTMICA DEFINICIÓN El logaritmo de un número real positivo b en base a , positiva y distinta de 1 , es el número m a que se debe elevar la base para obtener dicho número. OBSERVACIONES:  La expresión loga b = m se lee “el logaritmo de b en base a es m”. El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación. log10 a = log a. CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN DE LOGARITMO    EJEMPLOS 1. log 125 = 3 expresado en forma exponencial es 5 A) 35 = 125 B) 1 3 5 = 125 C) 53 = 125 D) 15 125 = 3 E) 125-3 = 1 5 loga b = m  am = b , b  0 , 1  a  0 loga 1 = 0 loga a = 1 loga am = m
  • 2. 2. 33 = 27 expresado en forma logarítmica es 2 A) log3 27 = 3 B) log27 3 = 3 C) 1 log 27 = 3 3 D) 1 log 3 = 27 3 E) log3 1 3     = 27 3. log (3 · 3-1) = A) -1 B) 0 C) 1 D) 9-1 E) -9 4. log3 1 9     = A) 1 3 B) - 1 3 C) 2 D) -2 E) 3 9 5. logm m2 + m m + 1 = A) 2m B) m + 1 C) m D) 1 E) 0
  • 3. 3 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Sean b  0, c  0 , 1  a  0  LOGARITMO DE UN PRODUCTO  LOGARITMO DE UN CUOCIENTE EJEMPLOS 1. log 5 + log 7 = 3 3 A) log 5 · log 7 3 3 B) (5 · 7)3 C) 335 D) log 12 3 E) log 35 3 2. log 128 – 2 log 16 = 2 A) -2 B) -1 C) 1 D) log 9 3 E) log 64 4 3. log 3 + log 4 – log 2 escrito como el logaritmo de un número es A) log 5 B) log 6 C) log 10 D) log 3 2 E) log 3 8 loga (b · c) = loga b + loga c loga b c = loga b – loga c
  • 4. 4 4. El desarrollo logarítmico de 3a 2b es equivalente a A) log 3 + log a - log 2 + log b B) log 3 – log 2 + log a – log b C) log 3 + log 2 – log a – log b D) 1,5 (log a – log b) E) log 5 + log a – log b 5. Si log m  log n = 5, el cuociente m 2 2 n es igual a A) 10 B) 25 C) 32 D) 64 E) 128 6. log a + b a b  = A) 2 log b B) log + log (-b) C) log a (log b – log (-b)) D) log (a + b) – log (a – b) E)  log a log b2 log a log b 7. El valor de 2 – log 25 es A) log 2 B) log 3 C) log 4 D) log 5 E) 2 + 5 log 2
  • 5. log x = log y  x = y 5  LOGARITMO DE UNA POTENCIA  LOGARITMO DE UNA RAÍZ  CAMBIO DE BASE OBSERVACIÓN: EJEMPLOS 1. log 1 16 = A) 1 – 4 log 2 B) -4 log 2 C) -8 log 2 D) 4 log 2 E) 0 2. 3 log 25 = 2 A) 3 log 25 2 B) 3 log 5 2 C) 2 log 5 3 2 D) 3 log 5 2 2 E) 1 log 5 3 2 3. log 9 log 6 = A) log 9 – log 6 B) 3(log 3 – log 2) C) log 6 9 D) log 9 6 E) 3 2 loga bn = n loga b loga n b = 1 n loga b, con n  0 log b c a c log b = log a a a
  • 6. 6 4. - 1 log 2 5 3 = A) log32-5 B) -5 log32-1 C) 1 5 3 log 2 D) log3 5 2-1 E) log3 5 -2 5. log (a3 · c3 ) = A) 3 log (a + c ) B) 3 log a + 2 3 log c C) 3 log a – 3 2 log c D) 3 log a + 1,5 log c E) 3 2 log c · 3 log a 6. El valor de x en la ecuación log(2x – 10) = log(x + 5) es A) 15 B) 10 C) 5 D) 4 E) -4 7. Si 27 log c – 8 = 0, entonces log 3 2 c = A) 3 2 B) 2 3 C) 4 9 D) 8 81 E) 16 81
  • 7. 7 FUNCIÓN LOGARÍTMICA Una función f definida por se denomina función logarítmica. GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA i) a > 1 f(x) = log2 x con a = 2 ii) 0 < a < 1 log x con a = 1 f(x) = 1 2 2 OBSERVACIONES  El dominio es: Df = lR+  El recorrido es: Rf = lR  La gráfica intersecta al eje x en el punto (1, 0).  Si a  1, entonces f(x) = loga x es creciente.  Si 0  a  1, entonces f(x) = loga x es decreciente.  La curva no intersecta al eje y. EJEMPLOS 1. La gráfica de f(x) = log x – 1 pasa por el punto A) (1, 0) B) (1, 1) C) (1, -1) D) (2, 0) E) (0, 0) f(x) = loga x, con a  lR+, a  1 y x  0 x 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 x 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 f(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3 2 2 -2 1 2 3 4 y f(x) = log2 x x 3 f(x) = 1 log x 2 -1 -2 -3 1 2 3 4 y x
  • 8. 8 2. Dada la función f(x) = 2 3        log x 2 2 , ¿cuál es la pre imagen de 4? A) 12 B) 34 3 C) 28 3 D) 20 3 E) 2 3. Dada la función g(x) = 15 log (4x + 1), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) g(6) = -2 II) pasa por el origen. III) g es decreciente. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 4. El gráfico que mejore representa a la función f(x) = 1 log (x + 1) es 3 A) B) C) D) E) y RESPUESTAS x y x y 1 2 x x y 1 1 x y 1 2 Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 7 1 y 2 C A B D D 3 y 4 E E B B C D C 5 y 6 B C D D D A E 7 y 8 C A E C Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/