1. TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 1
TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
Cálculo de límites sobre la gráfica
EJERCICIO 1 : Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
Y
8
6
4
2
X
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−2
−4
−6
a) lim f (x ) b) lim f (x ) c) lim f (x )
−
d) lim f (x )
+
e) lim f (x )
x → +∞ x → −∞ x →3 x →3 x →0
EJERCICIO 2 : Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
Y
8
6
4
2
X
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−2
−4
−6
a) lim f (x ) b) lim f (x ) c) lim f (x )
−
d) lim f (x )
+
e) lim f (x )
x → +∞ x → −∞ x →2 x→2 x →0
EJERCICIO 3 : La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
Y
8
6
4
2
X
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−2
−4
−6
a) lim f (x ) b) lim f (x ) c) lim f (x )
−
d) lim f (x )
+
e) lim f (x )
x → +∞ x → −∞ x →3 x →3 x →0
Cálculo de límites inmediatos
EJERCICIO 4 : Calcula los siguientes límites:
4 x −3
a) lim b) lim x2 − 9 c) lim cos x d) lim
x → −1 x 2 + 2 x + 3 x →2 x →π / 2 x →1 x 2 + x + 1
 x2 x3 
e) lim 6 − 3x f) lim log x g) lim  − +  h) lim 3 x +1
x →2 x→1 x →2  2

4 

x →−2
i) lim tg x
π
j) lim (3 − x )
x →−2
2
x → −8
(
k) lim 1 + − 2x ) l) lim sen x
π
x→ x→
4 2

2. TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 2
Cálculo de límites e interpretación geométrica
EJERCICIO 5 : Calcula los siguientes límites e interpreta geométricamente el resultado.
3x 2 + 1 2 − x3 3x 3x
1) lim 2) lim 3) lim 4) lim
x →+∞ (2 − x ) 3 x →−∞ x − 1 2 x →+∞ 5 + 3x x →−∞ 5 + 3x
1 3− x3 1 x2 + x −2
5) lim 6) lim 7) lim 8) lim
x →+∞ (1 − x )3 x →−∞ x2 x →0 x 2 − x x →1 x 2 − 2 x + 1
−1 1 x +5
9) lim 4− x2 10) lim 11) lim 12) lim
x →0 x →3 2x − 6 x →1 x 2 + 1 x →−3 x + 3
13) lim
x →1
x 2 + 2x − 3
x 2 −1
14)
x →+∞
(
lim − 2x + 3x 3 ) 15) lim
2
3x + 3x
x →+∞ x 2 − 1
16)
 x
x →+∞  2

lim  − x 2 

4
x 4− x2 x +1 2x 4 − 3x
17) lim 18) lim 19) lim 20) lim
x →−∞ x 2 − 4 x →+∞ x 4 + 1
x →+∞ 1 + x 2 x →2 3 − x 2 + 5
EJERCICIO 6 : Calcular los siguientes límites:
2
2− x −3 2
3x + 2 x + 1  x  x −4
 
a) lim b) lim  x 2 − 3x − x  c) lim d) xlim4 x − 1 
→  
x →7 x 2 − 49 x →∞  x →∞ 2x + 7
1
x +1
2x − 1 − 1  2x + 1   x + 2  x −2 x 3 + 2x 2 − 4 x − 8
e) lim f) lim   g) lim  h) lim
x →1 x2 −1 x →∞ 2 x − 1  x → 2 2 x  x →2 x 3 + x 2 − 4 x − 4
x −1 x +1 x+4
i) lim j) lim k) lim l) lim 4 x 2 − 3x + 7 − 2 x
x →1 x − x 2 − x + 1
3 x →2 x − 2 x → −1 ( x + 1) 2 x →+∞
EJERCICIO 7 : Calcular los siguientes límites:
x+c
3x 2 − 24 x + 48 2 x 3 − 14 x 2 + 12 x  x+a x−4
a) lim b) lim c) lim   d) lim
x→ 4 x−4 x→1 x 3 − 10x 2 + 27 x − 18 x →∞  x + b  x→ 4 x − x − 12
2
4−x 2
x − 4x
3
2 x + 5x − 1
2
3x 2 + 1
e) lim f) lim g) lim h) lim
x 2 − 3x + 2 x →∞ x3 + x x →∞ x + 3
x→ 2
3− x2 + 5 x→ 2
x
2x − 3 x −5  x+2 
2x
 x2 + 1 2
i) lim j) lim k) lim   l) lim  2 
x →∞ x 3 −1 x →∞ x +4 −3 x →∞ 2 x + 3  x →∞  x − 1 
 
2 x 3 − 3x 2 + 9x − 27
m) lim x +x−x n) lim
x →∞ x →3 x2 − 9
EJERCICIO 8 : Calcula el límite cuando x → 3 de cada una de las siguientes funciones y representa los
resultados obtenidos en cada caso:
x3 x2 x 2 − 6x + 9
a) f (x ) = − 2x b) f (x ) = c) f (x ) =
3 x −3 x2 − 9

3. TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 3
Estudio de la continuidad a partir de una gráfica
EJERCICIO 9 : Dadas las funciones:
a) Di si son continuas o no. b) Halla la imagen de x = 1 para cada una de las cuatro funciones.
EJERCICIO 10 : Dada la gráfica:
a) Di si f (x) es continua o no. Razona tu respuesta. b) Halla f (−1), f (0), f (2) y f (3).
EJERCICIO 11 : ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 2?
a) b)
Y
8 Y
8
6
6
4
4
2
2
X
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8 X
− 8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−2 −2
−4 −4
−6 −6
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
EJERCICIO 12 : Esta es la gráfica de la función f (x ):
Y
8
6
4
2
X
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−2
−4
−6
a) ¿Es continua en x = −2?
b) ¿Y en x = 0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.

4. TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 4
Estudio de la continuidad a partir de su expresión analítica
EJERCICIO 13 : Averiguar los puntos e intervalos de discontinuidad de las siguientes funciones:
x+5 x+5
a) y = b) y = c) y = x 2 − 5x + 6
x − 5x + 6
2
x − 5x + 6
2
EJERCICIO 14 : Estudia la continuidad de las funciones siguientes y represéntalas gráficamente:
x −1 x 2 si x < 1
 si x ≤ 4 x 2 − 2 x si 0 < x ≤ 1 
a) f (x ) =  3 b) f (x ) =  c) f (x ) =  3x − 1
x 2 − 15 si x > 4 3x − 1 si x > 1  si x > 1
  2
x 2 − 3 si x ≤ 2 2 − x 2 si x ≠ 0 1 si x = 0
d) f (x ) =  e) f (x ) =  f) f (x ) = 
1 si x > 2 1 si x = 0 1 − x si x ≠ 0
2
EJERCICIO 15 : Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
 x+3 si - 6 ≤ x < -2 1
 1 x si x < 0  2


si - 2 < x ≤ 1

  x + 2 si x < 0

a) f(x) =  2x + 1 si 1 < x < 3 b) f(x) = x 2 + x si 0 ≤ x < 1 c) f(x) = 
- 2x + 13 si 3 ≤ x < 5 2 si x > 1  3 si x > 0
  x + 3

 3
 si x > 5 

EJERCICIO 16 : Hallar lim+ f ( x) y lim− f ( x) siendo
x→ 2 x→ 2
3 − x si x ≥ 2
f(x)= 
 0 si x < 2
a) ¿ Existe lim f ( x) ?
x→2
b) Estudia su continuidad en el punto x = 2
EJERCICIO 17 : Halla el valor de k para que f (x ) sea continua en x = 1 :
2 x + 1 si x ≠ 1
f (x ) = 
k si x = 1
3x 2 + mx − 1 si x ≤ 1
EJERCICIO 18 : Halla el valor de m para que f(x) =  sea continua en todo R.
2x + 3 si x > 1
Asíntotas y ramas infinitas
EJERCICIO 19 :Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas:
x +3 2x 2 − x3 + x
a) f (x ) = b) f (x ) = 2 c) f (x ) = d) f (x ) =
1
4 − x2 x −x−2 (x + 2)2 2
x3 −1 x 3 − 2x 2 x2 + 2
e) f (x ) = f) f (x ) = g) f (x ) = h) f (x ) =
x
x+3 x −9
2
2x + 1 x +1
x 4 + 2x 1 − 3x 1+ x2
i) f (x ) = j) f (x ) = k) f (x ) = l) f (x ) =
x
x2 +1 2−x x3 x+2
4x 2 − 3
m) f (x ) = n) f (x ) = x 2 − x
x