1. TEMA 3 – ÁLGEBRA – MATEMÁTICAS CCSSI – 1º BACH. 1
TEMA 3 – ÁLGEBRA
• Operaciones con polinomios
EJERCICIO 1 : Dados los polinomios P(x) = 4x3 – 7x2 – 6x + 14 , Q(x) = 2x3 + 3x + 5. Calcular:
a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x) c) 2P(x) – 3Q(x) d) P(x).Q(x) e) P(x) : Q(x)
EJERCICIO 2 : Realiza los siguientes productos:
a) (x3 – 4x2 + 4).(2x – 3) b) (x3 + 2x2 – 6x + 2).(x2 + 3x – 2)
c) (2x + 3)2 d) (3x-7).(3x+7)
EJERCICIO 3 : Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones y expresa el resultado en la forma
D( x ) R (x )
= C( x ) +
d(x ) d(x )
a) (2x2 – 6x + 8) : (x + 4) b) (3x3 + 15x2 – 14x + 6) : (x2 – 3x +2)
c) (4x3 – 6x + x4 + 12) : (x2 + 2x – 3) d) (x4 – 5x3 + 6x2 – 7) : (2x + 3)
e) (x3 – 4x2 + 5x – 6) : (x2 – 7)
EJERCICIO 4 : Mediante la regla de Ruffini, calcula el cociente y el resto de:
a) (2x3 – 6x2 + 5x – 8) : (x + 1) b) (2x3 + 5x2 – 6) : (x + 2)
3
c) (3x + 15x – 10) : (x – 3) d) (5x3 + 2x4 + 5x) : (x + 3)
• Factorización de polinomios
EJERCICIO 5 : Calcular las raíces de
a) x3 + 6x2 – x – 6 b) x3 + 3x2 – 4x – 12 c) x4 – 5x2 + 4 d) x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24
EJERCICIO 6 : Descomponer en factores los polinomios:
a) x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 b) x4 + 4x3 + 4x2 c) x4 – 5x2 + 4
3 2
d) x + 2x + 4x e) 2x3 + 11x2 + 2x – 15 f) 3x4 – 3x3 – 18x2
2
g) 4x + 12x + 9 h) 25x2- 4
EJERCICIO 7 : Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios:
P(x) = x4 + 7x3 + 12x Q(x) = x5 + 2x4 – 3x3
• Teorema del resto
EJERCICIO 8 : Hallar m para que 5x3 – 12x2 + 4x + m sea divisible por x – 2
EJERCICIO 9 : Calcular a para que el polinomio x3 + ax + 10 sea divisible por x + 5
EJERCICIO 10 : Dado el polinomio x4 + 6x3 – 3x2 + 5x + m, determinar m para que al dividirlo por x + 3 se obtenga 100
como resto.
• Fracciones algebraicas
EJERCICIO 11 : Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
x + 3 x −1 x 2 + 4x + 4 x + 2 x 3 − 3x + 2 x 2 + 2x − 3
a) . b) : c) d)
x2 −1 x + 2 x2 −1 x +1 x 3 + x 2 − 2x x 3 + 2x 2 − x − 2
x 3 − 3x 2 + 4 x 3 − 7 x 2 + 15x − 9 x 2 + 6x + 9 x + 1
e) f) g) .
x 3 + 5x 2 + 8 x + 4 x 3 − 5 x 2 + 3x + 9 x2 −1 x +3
x 2 + 10 x + 25 x + 2 x 2 − 4 x 2 − 5x + 6 §1 2 · § x2 + 2 3 ·
h) . i) : j) ¨ − ¸:¨ + ¸
x2 − 4 x +5 x+6 x 2 − 36 © x x + 1¹ ¨ x2
© x¸¹
EJERCICIO 12 : Calcula y simplifica:
x 3 x 1+ x x −1 x−2
a) − b) + c) +
2
x − 4x + 3 2
x − 5x + 6 x + 1 x 2 + 2x + 1 2
x − 5x + 6 2
x − 4x + 3

2. TEMA 3 – ÁLGEBRA – MATEMÁTICAS CCSSI – 1º BACH. 2
x −3 3x 2 2 x +1 1 11
d) − e) + f) −
2 3 2 2 2 2
x + x +1
x −1 x − 2x + 1 x −1 x − 9 x + 20 x − 11x + 30
1− x 1 + 2x x +1 1 + 2x 1− x 1+ x
g) − − h) − −
x − 4x + 3 x − 6x + 9 x 2 − 9
2 2 2 2 2
x + 3x + 2 x + 5 x + 6 x + 4 x + 3
• Resolución de ecuaciones
EJERCICIO 13 : Resuelve las siguientes ecuaciones:
x2 x 2 − 12 2x + 1 x − 3 1
a) − 4x = 3 + b) x 4 − 4 x 2 + 3 = 0 c) + =
2 4 x+3 x 2
d) x4 + 2x2 – 3 = 0 e) x + 4 + 2x − 1 = 6 f) –x.(x – 1).(x2 – 2) = 0
2x 3 − x 2 − 2 x + 25 x 2 − 16 2 − 3x x 2
g) = 2x h) 2x4 + 4x3 – 18x2 – 36x = 0 i) −x = −
x2 −1 3 3 3
2 x−2 5
j) x 4 − 5x 2 − 36 = 0 k) 3x − 3 + x = 7 l) + =
x −1 x +1 4
m) x + 3x + 10 = 6 n) x 4 − 5x 2 + 4 = 0 ñ) x 2 + 3x = 2 x
x +1 1 3 2 4
o) −1 = p) 2x + 8 − x = 2 q) + = 1+
2
x −1 x x x x2
r) 3x+2 + 3x = 90 s) 4x – 7.2x – 8 = 0 t) 7x-1 – 2x = 0
1 1 79
u) 4x − 2x−1 − 14 = 0 v) log (2x) − log (x + 1) = log 4 w) 3 x + − =
x 3 9
3
4 x −1
2
x) log (3x − 1) = log 2 + log ( 4 x − 6 ) y) = 16 z) 2 log x + log 4 = −2
2 3x + 2
3
1) 2 2 x − 2 x +1 + =0 2) log (x − 2) + log (x − 3) = log 6 3) log (2x + 3) – log x = 1
4
• Sistemas de ecuaciones
EJERCICIO 14 : Resuelve analíticamente los siguientes sistemas de ecuaciones e interpreta gráficamente la solución:
­x + y = 1 ­x + y = 1 ­x + y = 1
a) ® b) ® c) ®
¯2 x − y = 2 ¯x + y = 2 ¯2 x + 2 y = 2
­y = x 2 + 4x + 2
° ­y = x 2 + 4x + 2
° ­y = x 2 + 4x + 2
°
d) ® e) ® f) ®
°x + y + 2 = 0
¯ °4 x − y + 2 = 0
¯ °x − y − 2 = 0
¯
EJERCICIO 15 : Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
2 x 2 − y = 4½° x + y = 2½ x + 2y = 0 ½°
a) ¾ b) ¾ c) 2 2 ¾
4 x + 3y = −2 °
¿ 3x − 3y = −4¿ x + y = 5° ¿
3½
½ x + 2y = °
2 x + 3 y = 11 ° 2 log x + log y = 2½ x°
d)
x +1 y −1
¾ e) ¾ f)
2 ¾
2 −3 = 5° log xy = 1 ¿ °
¿ x+y=
y °¿
½
x y ½ 2x − 1 = y ½
5 x = 25.5 y ° − =1 ° °
g) ¾ h) 2 4 ¾ i) x − 1 2 ¾
log(x + y) − log(x − y) = log 2°
¿ 3x − y = 8°
= y − 1°
¿ 2 ¿
4 .2 x = 4 y + 1 ½
° ½
2 x + y = 52° x + y = 20½ °
j) ¾ k) ¾ l) ¾
log(x + y) + log(x − y) = log 3°
¿ x +y=7° ¿ 3x − y = 122 °¿