1. Tema 4.- Derivadas. Ejercicios
Derivadas.
Halla las derivadas de las funciones siguientes.
1. Primero unos polinomios sencillitos
1 1 1
a) ; b) ; c) √ ;
x2 x3 x
√
3
√
8
d) x2 ; e) x x2 ; f) 6x7 − 2x5 + 4x2 + 3x − 2;
√ 7
g) x−5 + 3x−3 + 6; h) 3x3 + 2x2 + 5x5 + 1; i) 4x11 − 2 x + ;
x
√ √ √ 3
j) 5x2 − πx + 2; k) 4 x − 3 + x4 .
x
2. Ahora unas fracciones
1 3 −x
a) ; b) ; c) .
x−1 x2 − 1 x+1
3. Ahora con algunas ra´
ıces
√ √ √
3
a) 2x − 3; b) (2x − 3)7 ; c) (2 x − 3)7 ; d) 5x2 ;
√ √
e) x − 1; f) 3
(5x − 3)2 ; g) (x − 1 − 2x)3 .
4. Usemos funciones trigonom´tricas
e
a) sen 2x; b) sen2 x; c) sen2 x2 ;
d) sen x2 ; e) sen x cos 2x; f) 7 sen x + 5 cos x;
g) cos(5x2 − 3x + 2); h) cos5 (7x2 ); i) 6 cos2 (3x + 5);
√ √
j) 5 sen x − 5 x; k) tg2 x; l) tg x2 ;
√
m) sen(sen x); n) sen2 (cos7 x); o) cos5 x2 ;
√
p) sen 1 − 3x; q) sen2 x + (x2 − 1)5 ; r) cos2 3
x + (3 − x)2 .
1

2. 5. Ahora exponenciales y logar´
ıtmicas
a) ln(2x + 1); b) ln(x2 − 1); c) x ln x;
ln x
d) ; e) e4x ; f) x3 ex ;
x
g) ex tg x ; h) xx ; i) x3x ;
x
x 1
j) xx+1 ; k) e(x ) ; l) 1+ .
x
6. Hallar las derivadas sucesivas de
a) 6x4 − x3 + 5x2 − 11x; b) 5 cos 2x.
Dibujo de curvas.
7. Estudiar las curvas dadas por polinomios:
x4
a) (x + 1)(x − 2)(x − 4); b) − 2x2 ; c) x4 − 4x3 .
4
8. Estudiar las curvas dadas por fracciones algebraicas:
x2 x−1 x
a) b) ; c) ;
x2 − 9 x+1 x2 − 1
x2 + 1 6x x2 + 9
d) ; e) ; f) ;
x2 − 1 x 2+1 x2 − 4
x2 − x + 6 8 − 3x
f) ; g) .
x2 − x x(x − 2)
9. Estudiar algunas curvas algo m´s raras
a
a) 3
(x + 3)2 ; b) x − sen x; c) sen(πx2 );
√ 2
d) ln sen x; e) arc sen x + 1; f) arc tg ;
x−1
√ arc tg x
g) arc tg 6x3 ; h) √ ; i) earc sen x ;
x+1
j) ln arc cos(x − 1).
2

3. M´ximos y m´
a ınimos.
Planteemos problemas de m´ximos y m´
a ınimos.
10. Descomp´n 16 en suma de dos n´meros con producto m´ximo.
o u a
11. Halla un n´mero que sumado con 25 veces su inverso de un m´ximo.
u a
12. Hallar los lados de un rect´ngulo de ´rea m´xima entre los de per´
a a a ımetro 20.
13. Hallar los lados de un tri´ngulo rect´ngulo de ´rea m´xima entre los de hipotenusa 10.
a a a a
14. Hallar los lados de un rect´ngulo de diagonal menor entre los de per´
a ımetro 20.
15. Dado un tri´ngulo is´sceles con una base de 12 y una altura de 5, indica los puntos de la
a o
altura en los que al suma de distancias a los tres v´rtices es m´xima y m´
e a ınima.
C´lculo de l´
a ımites por L’Hˆpital.
o
16. Halla los siguientes l´
ımites
3x2 + 2x − 16 sen x 1 − cos2 x
a) l´ x→2
ım ; b) l´ x→0
ım ; c) l´ x→0
ım ;
x2 − x − 2 x x
x − sen x 1 1 sen x − x
d) l´ x→0
ım ; e) l´ x→0
ım − ; f) l´ x→0
ım ;
x sen x x sen x 1 − cos x
arc tg x − x 1 tg x ln x
g) l´ x→0
ım ; h) l´ x→0
ım ; i) l´ x→0
ım ;
x3 x x x
ex − 1 ex − 1 − x x
j) l´ x→0
ım ; k) l´ x→0
ım ; l) l´ x→0 (1 − ex )e ;
ım
x x2
1+x
1 ln x
m) l´ x→0 l´ x→0 x x ;
ım ım l) 1 .
x
3