Cuaderno de Matemática 3er Año Media

Autor: Luis. E. Camacho. S.
Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación
Deposito Legal
lf 03220035101806X

2
Prologo
El cuaderno de Matemática que utilizarán los alumnos, refleja en forma sencilla y
práctica los objetivos del programa de Matemática de 3º Año de Media General.
Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los alumnos un
instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de
aprendizaje dentro y fuera del aula.
Todos los juegos de Matemática que aparecen en este cuaderno, son creación del
Profesor Luis Eduardo Camacho, se aplicaron con anterioridad y los resultados
fueron muy satisfactorios.
Los Teques, Septiembre del 2003

3
Agradecimientos:
Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo:
Msc. Miguel Carmona, especialista de Matemática
Msc. Milagros Coromoto Camacho, asesora Metodológica
Marcos Salas, profesor de computación
Especialmente a:
A mi esposa: por su apoyo.
A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.
A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.
A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen”
Liceo San Pedro de Los Altos
U. E. C. “Andrés Bello”

4
Contenido
.- Conjunto N° Irracionales, números racionales..................6
.- Números reales................7
.- Aproximaciones reales................7
.- Expresiones decimales…...........8
.- Fracción generatriz............8,9,10,11
.- Suma de N° reales...........12
.- Resta de N° reales...............12
.- Representar gráficamente un irracional................13,14
.- Producto de N° reales...............14
.- Propiedades..............15,16
.-Cálculo de raíz cuadrada.....................16,17
.- Ejercicios...............18,19,20,21
.- Radicación en R..............21
.- Simplificar radicales......................21,22
.-Suma y sustracción de radicales.............22
.- Producto de radicales................23,24
.- División de radicales..............24,25
.- Potencia de radicales...............25,26
.- Racionalización.............26,27
.- Intervalos.............27,28,29
.- Inecuaciones..............29
.- Ejercicios....................30,31,32
.- Sistema de coordenadas............33,34
.- Plano real............34,35
.- Puntos en el plano ...............36,37
.- Función afín................37,38
.- Haz de rectas.................39
.- Distancia entre dos puntos.............38,40,41
.- Sistema de inecuaciones...............42,43,44,45,46,47,48,49,50
.- Función cuadrática...........50,51,52
.- Ecuación de segundo grado..........52,53,54
.- Ecuación irracional..............54,55,56
.- Teorema de Pitágoras y Euclides.................56,57,58,59,60,61,62
.- Probabilidad estadística............63,64,65,66
.- Estadística......67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,
89,90,91,92,93,94,95,96,97
.- Ejercicios...............98,99,100,101,102,103,104
.- Informática........105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118
.- Juegos Matemáticos..............119,120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130,
131,132,133,134,135,136,137,138,139
.- Páginas de resolución de ejercicios............. 140,141,142,143,144,145,146,147,148,149
.- Bibliografía............150

5
Conjunto de los N° Irracionales:
Los números decimales que no podemos expresar exactamente por números
racionales, son los que corresponden a los números decimales con infinitas cifras no
periódicas y que se denominan números irracionales n
a  Q , Q ∩ I = 0
Números Irracionales:
3,8 : es una expresión decimal limitada, por lo tanto es un N° irracional, no es
racional.
5,4343 : es una expresión decimal periódica, por lo tanto es un N° racional.
Π = 3,141592654 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repite.
√2 = 1,4142135562 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repita.

6
Conjunto de los N° Reales:
Los números Reales es el conjunto formado por la unión de los N° racionales (Q)
y los irracionales (I), y se anota con la letra R.
R = Q U I y Q ∩ I = 0
Podemos escribir: N  Z  Q  R es decir: los N° naturales son un subconjunto de
los enteros, a su vez subconjunto de los racionales, a su vez subconjunto de los reales
Aproximaciones racionales de N° reales:
Cuando se trabaja con N° reales, no siempre se utilizan todas las cifras
decimales.
Por lo tanto, utilizamos algunas de ellas para dar una mejor aproximación por
defecto o exceso.
Por defecto: aproximación un poco menor de un número.
Ejemplos: a)  2 = (1,4)2
= 1,96
(1,41)2
= 1,9881
(1,414)2
= 1,999396

7
b)  3= (1,6)2
= 2,56
(1,61)2
= 2,5921
(1,616)2
= 2,611456
Por exceso: aproximación un poco mayor de un número.
Ejemplo: a)  2 = (1,415)2
= 2,002225
(2,231)2
= 4,977361
(2,232)2
= 4,981824
Expresiones Decimales:
Decimal Mixta: en una expresión decimal periódica mixta, hay parte decimal que no
se repite y parte decimal que se repite siempre. El período no comienza en las
décimas. El no período lo forman las cifras comprendidas entre la coma y el
período.
Ejemplo: 2,56363 2 = parte entera
5 = ante-período
6363 = período

8
Ejercicios: 5/12 = 0,4166 Parte entera:_____
Ante-período:______
Período. ______
5/6 = 0 ,8 33 Parte entera:____
Ante-período:____
Período:____
Decimal Pura: en una expresión decimal pura el período empieza en la primera
cifra decimal. El período viene dado por el grupo de cifras que siempre se repite.
Ejemplo: 3,4646 Parte entera: 3
Período: 4646

9
Expresión generatriz decimal pura o limitada:
Si tenemos un N° decimal con número limitado de cifras decimales, su fracción
generatriz será la que tenga:
a) Como numerador, la parte entera seguida de las cifras decimales,
prescindiendo de la coma.
b) Como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales
tenga.
Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3, 4
10f = 10 x 3,4 = 34, 4
-f = -1 x 3,4 = -3, 4
9f 31
f = 31
9

10
Expresión generatriz mixta o ilimitada:
Si tenemos un N° decimal con infinitas cifras, periódico mixto, su fracción
generatriz será la que tenga:
a) Como numerador, la parte entera seguida del no-período y del
período(prescindiendo de la coma) menos la parte entera seguida del no-
período (prescindiendo de la como)
b) Como denominador, tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de
tantos ceros como cifras tenga el no-período.
Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3,5 21
1000f = 1000 x 3,5 21 = 3521, 21
-10f = -10 x 3,5 21 = -35, 21
990f 3486
f = 3486
990

11
Suma de números reales:
Para efectuar cualquier adición de números reales, basta sustituir cada
sumando dado por su correspondiente número racional de acuerdo a la mejor
aproximación decimal propuesta.
Ejemplo: Sumar: 3/8 +  5 + 8,360 = 0,375 + 2,236 + 8,360
= 10,971
Resta de N° reales:
Ejemplos:
1) Resolver 5,34 – 3,24 = 2,10
2) Resolver  6 – 1,3 – 0,3 = 2,44 – 1,3 – 0,3 = 0,84

12
Representación gráfica de un N° irracional:
Representar gráficamente el número  2
Como 12
+ 12
= (  2)2
, de acuerdo con el Teorema de Pitágoras, podemos
construir un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1.
Para ello, trazaremos una recta “L” y sobre ella tomamos como base un cateto
cuyos extremos son 0 y 1, la altura es el otro cateto de longitud 1. Se traza la
hipotenusa 0A igual a  2 .
Luego, con abertura de compás igual a 0A y centro en 0 se traza el arco AA.
El punto de intersección A’ del arco con la recta representa el irracional  2.
A
 2
1
A’
-1 0 1  2 2

13
Ejemplo: Representar x =  13
 13 = 22
+ 32
= x2
= 22
+ 32
= x = 22
+ 32
x = 4 + 9 x =  13 = 3,6
 13
0 1 2 3 4 5 6
Producto de N° reales:
Para multiplicar N° reales con una aproximación de “n” cifras decimales:
a) Se escribe la mejor aproximación con “n” cifras decimales de cada factor.
b) Se efectúa el producto.
c) El resultado se da solamente con “n” cifras decimales.

14
Ejemplos:
1) Resuelve  5 . 1,34 . 1,34 = 2,23 . 1,34 . 1,34
3  2 1,41 3 1,41 1,41
= 0,74 . 0,95 . 0,95 = 0,66
Propiedades de la multiplicación de N° reales:
1) Conmutativa: a . b = b . a
Resuelve: 1) 4,5 . 3,6 = 2) 6/4 . 3,5 = 3)  5 .  3 =
2) Asociativa: a . b . c = a . (b . c) = (a . b) . c
Resuelve: 1) 5,4 . 5,3 . 3 = 2)  4 . 6,4 . 7/2 =
3) Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a
Resuelve. 1) 5 .1 = 2) 6 . 1 = 3) 7 .1 = 4) -5 . 1 = 5) -√3 . 1 =
4) Elemento Simétrico: a . 1/a = 1
Resuelve: 1) √11 . 1 = 2) - √2 . 1 =
√11 -√2

15
5) Distributiva: a . { b  c} = a . b  a . c
Resuelve: 1)  3 . { 3,5 + 4} 2) 4/6 . {  6 + 2,5}
Raíz enésima de un N° real:
n
 a = b  = signo radical
a = cantidad sub-radical
n = índice de la raíz
b = raíz n-sima de a
Si a y b son números reales y “n” un número natural, se dice que “b” es la raíz
enésima de “a” sí cumple que bn
= a (a  0 y b  0 cuando “n” es par).
n
 a = b bn
= a
Cálculo de raíces cuadradas:
Ejemplo:
1) Sea calcular 625

16
a) Formamos grupos de dos cifras, de derecha a izquierda. El último grupo puede
tener 1 ó 2 cifras. 6 . 25
b) Se extrae  6 con un error menor que la unidad:  6 = 2
625 2
c) Se eleva al cuadrado el 2 y se resta de 6 : 6 – 4 = 2
6 . 25 2
-4
2
d) Se coloca a la derecha del resto el grupo siguiente al 6(25) y se separa una cifra a
partir de la derecha.
6 . 25 2
-4
22.5
e) Se toma el doble de 2 que es 4 y se coloca debajo de él.
6.25 2
-4 4
22.5
f) Se divide 22:4 y el resultado 5 se coloca a la derecha del 2 y del 4.
6.25 25 Se efectúa 45 x 5 y se resta de 225
-4 45 x 5 =225
22.5
- 22.5
0

17
Identifica los números racionales e irracionales:
a) 34,3458______ b) 5,3434________ c) 2/7 _______
d) 6/8 _______ e) 56,2 _______ f) 2,02003______
g)  7 ______ h)  3 ______ i) ℮ = 2,71828______
Determina, para cada número real que se especifica, sí la aproximación
que se da es por defecto o por exceso:
a) 3,31 de ℮√11 _____ b) 2,3 de √ 5 ______
c) 3,2 de π ________ d) 2,45 de 6,25 _____
e) 3,17 de √10 ______ f) 1,12 de 1,25_______
Resuelve el racional y determina si la expresión decimal es mixta o pura,
y sus partes:
a) 5/13 b) 81/4 c) 24/5 d) 125/90
e) 20/12 f) 2/7 g) 11/20 h) 10/3
i) 52/99 j) 6/12

18
Calcular la fracción generatriz de los siguientes decimales:
a) f=3,456 b) f=44 ,28 c) f= 35,285 d) f= 59,4
e) f= 126,835 f) f= 23,567 g) f= 30,54 h) f=349,34
Suma los siguientes N° reales:
a) 5/4 + 3/6 + √3/2 b) √4/3 + 2,36 + √7
c) 7,52 + √6 + 2 d) 6 + 1,28 + 0,34
2 3 4
Aplica las propiedades de la suma de N° reales:
a) Conmutativa 3 + √7 b) Conmutativa √8 + 9
4 2
c) Asociativa 5 + 1,34 + √3 d) Asociativa √8 + 4 + 0,32
2 3
e) Elemento neutro 2,382 + √2 + 3 + 0 =
5 7
f) Elemento simétrico √2 + 3 = g) Elemento simétrico 3 + 8 =
5 2

19
Problemas de suma y resta de N° reales:
a) Un terreno mide 32.000m2
. Se dividirá en 5 partes. La primera 2/5 de la
longitud; la segunda ¼; la tercera 2/5; la cuarta 1/5 y la quinta 1/8.
¿ Cuántos metros corresponden a cada parte?
b) Una torta pesa 4 Kg. Se dividirá entre Luis 2/5; Pedro 1/5; Julio 2/7 y
Javier 2/9. ¿ Cuanto Kg le tocó a cada uno?
c) La distancia entre dos ciudades es de 356 Km. Si un vehículo parte de una
ciudad hacia la otra, y hace el siguiente recorrido: la primera hora reco-
rre 1/9 de la distancia; la segunda hora 2/5; la tercera hora 1/5; y la
cuarta hora 2/7. ¿ Qué distancia recorrió el vehículo?
Representa los N° irracionales:
a) √25 b) √29 c) √34 d) √45 e) √41
f) √52 g) √58 h) √61 i) √32 j) √74

20
Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números:
a) Sea calcular √123 b) Sea calcular √2345
c) Sea calcular √1345 d) Sea calcular √2763
e) Sea calcular √354 f) Sea calcular √276
Radicación en R:
La radicación consiste en hallar números que elevados a 2 ‘o elevados a 3, den
el número expuesto en la parte sub.-radical. Si es elevado a 2 se llamará raíz
cuadrada, y si es elevado a 3 se llamará raíz cúbica.
Simplificación de radicales:
Para simplificar radicales, se divide su índice y el exponente de la parte sub.-
radical por el mismo número.

21
Ejemplo: Simplificar √125 = 125 = 53
6
√53
= 6/3 √5
Ejemplo: Simplificar 4
9a2
b2
= 9 = 32
= 4
(3ab)2
= 3ab
Suma y sustracción de radicales semejantes:
Ejemplos:
1) 4 √3 + 5 √3 = 4 + 5 √3 = 9 √3
2) √5 + 3 √5 = 3 + 1 √5 = 4 √5
3) 3 √15 - 2 √15 = 3 –2 √15 = √15
4) 15 √x - 2 √x = 13 √x

22
Multiplicación de radicales del mismo índice:
Para multiplicar radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se
multiplican las partes sub.-radicales.
Ejemplos:
1) 3
2 . 3
3 = 3
6
2) 5
3a2
. 5
2a4
= 5
6a6
Multiplicación de radicales con diferente índice:
Regla:
a) Se halla el mínimo común índice de todos los índices.
b) Se multiplica el índice y el exponente de cada uno de ellos por el cociente que
resulta de dividir dicho mínimo por el índice respectivo.

23
Ejemplo:
1) 3
a2
. b = m.c.i (3,2) = 6
6/3
a2
. 6/2
b = 6
(a2
)2 . b3 6
a4
b3
División de Radicales con igual índice:
Para dividir radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se dividen
las partes sub.-radicales.
Ejemplo:
1) 3
6 = 3
6 = 3
2
3
3
2

24
2) 3
4a2
b = 3
4a2
b = 3
2a
2ab
3
2ab
División de radicales con diferente índice:
1) 3
a2
. 5 = m.c.i (3,24) = 12
4
ab2
12
(a2
)4
. 12
56
= 12
a8
. 56
= 12
56
. a5
a3
. b6
b6
12
(ab2
)3
Potencia de radicales:
Potencia de un radical: para elevar un radical a una potencia, se eleva la parte
sub-radical a dicha potencia.
m
a n
= m
an

25
Raíz de un radical: se halla la raíz de la misma parte sub-radical con índice igual
al producto de los índices.
m n
a = m.n
a
Racionalización de expresiones radicales monomias:
Se multiplica el numerador y el denominador por una raíz del mismo índice que la
del denominador y una parte sub-radical, cuyas letras y números llevan exponentes
que sumados con los que ya tiene el denominador, nos de el índice o un múltiplo de
él.
Ejemplo: Racionalizar a . 5
a2
=
5
a3
. 5
a2
a 5
a2
= a 5
a2
= 5
a2
5
a5
a

26
Racionalización de expresiones radicales binomias:
En este caso, generalmente las raíces son cuadradas, por lo tanto se multiplica el
numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador.
Ejemplo: Racionalizar 2 . 2 - 2 =
2 + 2 2 - 2
2 (2 - 2 ) = 2(2 - 2 ) = = 2(2 - 2 ) = 2 - √2
(2)2
– (√2)2
4 – 2 2
Representar intervalos:
Sean a y b dos números reales cualesquiera tales que a < b . A cada uno de
estos números le corresponde un punto de la recta real.
a b
A B

27
Al conjunto de los números comprendidos en a y b se le llama intervalo, que en
la recta real se interpreta como el segmento comprendido entre los puntos a y b.
Intervalo cerrado: cuando los extremos se incluyen. a , b ó a ≤ x ≤ b
Intervalo abierto: cuando los extremos se excluyen. a , b ó a < x < b
Ejemplos Representar gráficamente
1) 3 , 6 ∩ -5 , 8
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
entonces 3 , 6
2) -3 , 5 ∩ 2 ,

28
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
entonces 2 , 5
Inecuaciones:
Una inecuación es todo valor que sustituido en lugar de la incógnita, la
transforma en una desigualdad del mismo sentido. Generalmente la solución de una
inecuación es una semirrecta.
Ejemplo: Resolver la inecuación 3x + 2 ≥ 14
x ≥ 14 – 2 = x ≥ 12 = x ≥ 4
3 3
0 1 2 3 4 5
5 ,

29
Simplificar las siguientes expresiones radicales:
1) 10
243 2) 6
8a3
b3
3) 4
9a2
+ 6ab + b2
4) 5
32a10
b15
5) 4
256x8
y4
z12
6) 3
216a3
b6
c15
Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales semejantes:
1) 5 √a + 3 √a 2) 6√x + 3√x 3) 14 √6 + 2 √6
4) 10 √5 - 2 √5 5) 8 √c - 4 √c 6) 4 √3 + 2 √3 - √3
Efectúa los productos de radicales:
1) 3
x2
. 3
x3
2) 4
2x3
y2
. 4
3x2
3) 5
3a2
b3
c . 5
a2
b3
4) 6
4a2
b3x . 6
a2
b2
x2
5) 3
4a2
b3x . 6
a2
b2
x2
6) 4
2x2
y3
. 5
3x3

30
Resuelve las divisiones de radicales:
1) 4
2x2
2) 3
6a2
b3
3) 5
10a3
b4
c8
4
2x 3
2ab2 5
5a2
b2
4) 3
3x2
y4
5) 2x2
y4
. 3
a2
x3
6) 4
6 x3
y4
4 3
x2
y3
a2
y2
3xy
Resuelve las siguientes potencias:
3 2
1) 4
a2
b 2) 3
2a2
b 3) 3a2 3
ab2 2
c2
4) 5 3
a2
5) 5 3
6) 3
a 4
b
√ a

31
Racionalizar las siguientes expresiones:
1) x5
2) ab 3) 2 4) 3
a2
b
3
x2 4
a3
b 3
2ab2
c
5) 5 6) 2 7) 2 + 3
5 + 5 3 - 2 5 - 2
Representa gráficamente los siguientes intervalos:
1) -2,3 ∩ 2,6 2) -1,3 ∩ 0,2
3) -4,6 ∩ -2,4 4) 0,7 ∩ 5,8

32
Resuelve las siguientes inecuaciones:
1) 3x + 6 ≤ 4 2) 4x – 2x +3 ≤ 7 3) x + 3x – 5 ≥ 7
2
4) x + x – 4 ≤ 2 5) 3x + 6 ≥ 18 6) 4(x + 3) – 5 ≥ -1
2
Sistema de Coordenadas.
Definiciones:
a.- Un punto: es un ente matemático que no tiene dimensiones.
b.- Una recta: es un ente matemático que solamente tiene longitud y está formado
por infinitos puntos, por lo tanto, una recta es un conjunto de puntos.
Cuando se dan dos puntos sobre la recta: * *
a b
Se anota: ab recta “ab”
c.- Plano: es un ente matemático que solamente tiene longitud y anchura, y está
formado por infinitos puntos, por lo tanto, un plano es un conjunto de puntos, y una
recta es un subconjunto del plano que las contiene.

33
Sistema de Coordenadas
Y
II I
X
III IV
Los ejes de coordenadas se llaman OX y OY y dividen el plano en cuatro
subconjuntos llamados cuadrantes.
Definir el plano real como una biyección entre el conjunto R y el sistema de
coordenadas rectangulares.
Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos
puntos de dos rectas dadas.
Ejemplo:
L’ 
0 L

34
Trazamos por un punto (p) cualquiera, rectas paralelas dadas, cuyos puntos de
corte son (a y b)
L’
b p
0 a L
Se observa que el par (a , b) representan rectas reales del mismo origen, entonces
(a, b) ε R x R.
Los números reales (a y b) se llaman coordenadas de punto (p).

35
Representar puntos en el plano:
a.- Situar los puntos a(2,5) ; b(2,1) ; c(-1,-4) ; d(3,-5)
y
5
4
3
2
1
x
-2 -1 0 1 2
-1
-2
-3
-4

36
Ejercicios: Representar los siguientes puntos:
1.- a(2,-6) ; b(-2,-6) ; c(8,-3) ; d(5,9)
2.- a(-4,7) ; b(-2,4) ; c(1,6) ; d(-5,8)
3.- a(6,7) ; b(-8,2) ; c(-4,8) ; d(3,-9)
4.- a(-4,-7) ; b(7,12) ; c(-7,0) ; d(-3,5)
5.- a(-4,-7) ; b(7,3) ; c(-4,7) ; d(-6,0)
6.- a(12,4) ; b(4,9) ; c(-3,7) d(9,5)
7.- a(12,4) , b(-5,-6) ; c(6,8) ; d(-9,-3)
8.- a(3,4) ; b(2,-7) ; c(-1,1) ; d(4,9)
Representar gráficamente la función afín.
Son las funciones de la forma f: x R en donde x es un subconjunto de R(x 
R).
Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos
de un conjunto de números. A este conjunto se le llama dominio de la variable.

37
Ejemplo: Representar y = 2x donde x = -2,-1,0,1,2
y
x = -2--------- y = 2(-2) = -4
x = -1---------y = 2(-1) = -2 4
x = 0---------y = 2(0) = 0 3
x = 1---------y = 2(1) = 2 2
x = 2---------y = 2(2) = 4 1
x
-2 -1 0 1 2
-1
-2
-3
-4
Ejercicios: Representar gráficamente las siguientes funciones: donde: x =-2,-1,0,1,2
1.- y = 2 –x 2.- y = 3x – 2 3.- y = 4x + 5
4.- y = 5 – 2x 5.- y = x + 4 6.- y = 6x - 2
2
7.- y = 2x + x 8.- y = 5x + 2 9.- y = 4x -1

38
Haz de Rectas: por un punto de un plano se pueden trazar infinitas rectas. Al
conjunto formado por estas infinitas rectas que pasan por el mismo punto se le llama
haz de rectas.
a
.
Calcular la distancia entre dos puntos.
Cuando al medir dos segmentos obtenemos el mismo número, los segmentos son
congruentes.
Cuando al medir dos segmentos obtenemos números diferentes, los segmentos son
diferentes.
Para hallar la distancia “d” del punto P1 a P2 utilizamos el Teorema de
Pitágoras; ya que la d(P1,P2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos
catetos son : (x2 – x1) y (y2 – y1) .

39
y
y2 P2=(x2,y2)
y1
P1(x1,y1) x2 – x1
x1 x2 x
Formula: d(P1,P2) = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de :
P1(3,2) P2(1,-1) P3(3,0)
d(P1,P2) = (1-3)² + (-1-2)² = (-2)² + (-3)² = 4 + 9 = 13
d(P2,P3) = (3-1)² + (0+1)² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
d(P3,P1) = (3-3)² + (2-0)² = 0² + 2² = 4 = 2

40
y
P1(3,2)
2
1
0 1 2 3 x
-1 P3(3,0)
P2(1,-1)
Ejercicios: Representa los siguientes puntos:
1.- P1(2,4) P2(-2,5) P3(2,5) 2.- P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)
3.- P1(-3,6) P2(2,1) P3(-3,6) 4.- P1(-4,7) P2(-4,8) P3(2,4)
5.- P1(5,8) P2(1,2) P3(-4,7) 6.- P1(5,6) P2(3,5) P3(-1,4)

41
Establecer el concepto de Sistemas de Ecuaciones Lineales y solución del sistema.
Se llama solución de una ecuación lineal con dos incógnitas, al conjunto formado
por los pares de valores de las incógnitas que sustituidas en la ecuación la
transforman en una identidad.
Resolver gráficamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.
Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema:
3x – 2y = -1 x =(1,3) Despejamos y: 3x – 2y = -1
2x + y = 4 x =(0,-1) y = 3x + 1
2
Sustituimos x por 1:
y = 3(1) + 1 y = 3 + 1 y = 4 y = 2
2 2 2
A(1,2)
Sustituimos x por 3: y = 3(3) + 1 y = 9 + 1 y = 10 y = 5
2 2 2
B(3,5)

42
Despejamos y en la otra ecuación: 2x + y = 4 y = 4 – 2x
Sustituimos x por 0:
y = 4 – 2(0) y = 4 –0 y = 4 C(0,4)
Sustituimos x por –1
y = 4 – 2(-1) y = 4 + 2 y = 6 D(-1,6)
y
6
C
5 B
4 D
3
2
A
1
-1 0 1 2 3 x
Ejercicios: Resolver gráficamente los sistemas:
1.- 2x + y = 4 2.- 2x – 7y = 6 3.- 2x – 3y = 1
3x + 2y=-1 4x – 3y = 2 3x + 4y =10

43
Analizar la solución de Sistemas de Ecuaciones mediante interpretación geométrica.
a.- Sistema Incompatible: se dice que el sistema es incompatible cuando entre todas
las soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, no hay
solución común.
La representación gráfica de este sistema son dos rectas paralelas.
y L
L’
x
b.- Sistema Indeterminado: se dice que el sistema es indeterminado ya que todas las
soluciones de la primera ecuación sean exactamente iguales a todas las soluciones
de la segunda, o sea las ecuaciones son equivalentes.

44
La representación gráfica de este sistema es una línea recta.
y
x
c.- Sistema Determinado: se dice que el sistema es determinado, ya que entre todas
las soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda,
solamente haya una solución común.
La representación gráfica de este sistema son dos rectas que se cortan.
y L
L’
x

45
Resolver analíticamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.
a.- Método de Reducción: Este método es algebraico y consiste en hacer las
transformaciones necesarias para que el sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas se transforman en una ecuación con una incógnita para lo cual nos
apoyamos en las siguientes propiedades:
a.1.- Si una ecuación la multiplicamos o dividimos por un número resulta una
ecuación equivalente(tiene las mismas soluciones).
a.2.- Si sumamos o restamos miembro a miembro dos ecuaciones resulta una
ecuación equivalente a estas.
Ejemplo: Resolver x + 2y = 8 -2 x + 2y = 8
2x + y = 7 1 2x + y = 7
-2x – 4y = -16
2x + y = 7
-3y = -9 Calculamos x en cualquier ecuación:
y = -9/-3 y = 3 x + 2y = 8

46
x + 2(3) = 8
x + 6 = 8 x = 8 – 6 x = 2
Ejercicios:
1.- 3x – y = 5 2.- 2x – 2y = 10 3.- 4x + y = -12
2x + y =10 3x + 2y = 10 2x – 3y = 1
4.- 5x – 2y = -2 5.- 2x + y = -2 6.- 3x – 2y = 2
x – 2y = 2 x + 3y = -11 3x + 4y =22
b.- Método de Sustitución: También es algebraico y consiste en despejar una de las
incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.
Ejemplo: Resolver x – 5y = 8 despejamos x: x – 5y = 8
-7x + 8y = 25 x = 8 +5y

47
Sustituimos en la otra ecuación -7x + 8y = 25 -7(8 + 5y) + 8y = 25
-56 – 35y + 8y = 25
-35y + 8y = 25 + 56
-27y = 81
y = 81/-27 = y = -3
encontramos el valor de x: x = 8 + 5y x = 8 + 5(-3)
x = 8 – 15
Ejercicios:
1. - 2x + y = 3 2.- x + y = 1 3.- 5x + 2y = 3
x + y = 8 x – y = 1 2x + 3y =-1
4.- 5x – y = 0 5.- 4x – 5y = 3 6.- 2x – 2y = 10
2x + y = 1 3x – 3y = -3 3x + 2y = 10

48
c.- Método de Igualación: también es algebraico y consiste en despejar la misma
incógnita en cada una de las ecuaciones para después igualar sus valores.
Ejemplo: Resolver: 2x + 1 = y 4(2x + 1) = 5y
5 4
8x + 4 = 5y
2x – 3y = -8
8x – 5y = -4
sustituimos la x en las dos ecuaciones: 8x – 5y = -4 = x = -4 + 5y
8
2x – 3y = -8 = x = -8 + 3y
2
igualamos los valores de x: -4 + 5y = -8 + 3y = 2(-4 + 5y) = 8(-8 + 3y)
8 2
-8 + 10y = -64 + 24y
10y – 24y = -64 + 8
-14y = -56
y = -56/-14
y = 4

49
sustituimos y en la segunda ecuación: 2x – 3y =-8 2x –3(4) = -8
2x – 12 = -8
x = -8 +12
2
x = 4/2 = x = 2
Ejercicios:
1.- 2x + y = 3 2.- x + y = 5 3.- 2x – 7y = 10
4x + 4y = 8 x – y = 0 4x - y = -6
4.- 2x - y = -6 5.- 5x + 2y = 3 6.- 8x – 4y = 9
x + y = 1 2x + 3y =-1 6x + 2y = 7
Función Cuadrática: se llama función cuadrática a toda función real de variable
real, definida de la siguiente manera: f(x) = Ax2
+ B x + C, donde A ,B, C sin
números reales y A ≠ 0. Es decir:
F : R R x f(x) = Ax2
+ Bx + C

50
Ejemplo: Dado f(x) = 3x2
dónde x = -2,-1,0,1,2
x f(x) = 3x2
y
-2 3(-2)2
= 3. 4 12
-1 3(-1)2
= 3 .1 3
0 3(0)2
= 3 . 0 0
1 3(1)2
= 3 . 1 3
2 3(2)2
= 3 .4 12
Representación gráfica: f(x)
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1 0 1 2 x

51
Ejercicios: Todos estos ejercicios con los valores: x = - 2 , -1 , 0 , 1 , 2
a) f(x)= 3 + x2
b) f(x)= x2
+ 2 c) f(x)= 2x2
– 1
d) f(x)= 6x2
– 2 e) f(x)= 2 + x2
f) f(x)= 10 – x2
3
g)f(x) = x2
+ 6 h) f(x)= 4x2
– x i) f(x)= x2
+ 5x
2
Ecuación de Segundo Grado:
Una ecuación de segundo grado y variable x es una igualdad de la forma:
Ax2
+ Bx + C = 0 ; A ≠ 0
Resolución de la ecuación de segundo grado:
Hallar los ceros o raíces de una función cuadrática equivale a resolver la
ecuación de segundo grado.
Los valores de “x” que anulan a la función cuadrática, se llaman ceros de la
función o raíces de la ecuación.
En las gráficas cuando la función es cero, la curva corta al eje de las “x”, por lo
tanto una ecuación de segundo grado puede tener dos raíces, una o ninguna.
Resolver una ecuación de segundo grado es hallar él o los valores de”x “ que lo
transforman en una identidad.

52
Fórmula: x = - b ± b2
– 4 . a . c
2 . a
La formula se llama resolvente de una ecuación de 2do
grado, la cual permite
hallar directamente las raíces de la ecuación, sin más que sustituir en dicha
resolvente los valores de A, B y C..
Ejemplo: Resolver x2
– 5x + 6 = 0 donde: a = 1
b = -5
c = 6
x = -(- 5) ± (-5)2
– 4 . 1 . 6 x = 5 ± 25 - 24
2 . 1 2
x1 = 5 + 1 x1 = 5 + 1 x1 = 6 x1 = 3
2 2 2
x2 = 5 – 1 x2 = 4 x2 = 2
2 2

53
Ejercicios:
1) x2
+ 3x – 10 = 0 2) - x2
+ x + 12 = 0 3) 2x2
+ 5x – 3 = 0
4) 3x2
– x – 2 = 0 5) 6x2
+ x – 1 = 0 6) –4x2
+ 5x + 6 = 0
7) x2
+ 4x + 3 = 0 8) x2
– 5x + 4 = 0 9) 2x2
+ 0x – 8 = 0
Ecuación Irracional:
Son aquellas en que la incógnita se encuentra bajo el signo radical. Para resolver
una ecuación irracional se aísla su raíz, pasando al otro miembro la “x”, y
finalmente se eleva al cuadrado los dos miembros de la ecuación, para destruir la
raíz.

54
Ejemplo: Resolver x + 25 – x2
= 7
Pasamos al otro miembro la x : 25 – x2
= 7 – x
Elevamos al cuadrado los dos miembros : ( 25 – x2
)2
= (7 – x)2
Producto notable: 25 – x2
= 49 – 14x + x2
donde: a2
– 2ab + b2
2x2
– 14x + 24 = 0 ecuación de segundo grado :
x = -(-14) ± (14)2
– 4 . 2 . 24 x1 = 14 ± 196 - 192
2 . 2 4
x1 = 14 + 2 x1 = 4 x2 = 14 – 2 x2 = 3
4 4
Ejercicios:
a) 4x – 3 - x + 6 = x – 3 b) x + 40 – x2
= 8
c) x + 26 – x2
= 6 d) x + 65 – x2
= 9

55
e) x + 16 – x2
= 4 f) 3 + x – 8 = 14 – x
g) x + 20 – x2
= 6 h) 4 + x – 7 = 13 – x
Teorema de Pitágoras:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
B Los puntos A, B, y C del plano determi-
nan un triángulo rectángulo y sus lados
están formados por los vectores AB= a
y AC = b . La diferencia de estos vec-
tores es el vector CB = a – b .
A C
El producto escalar es CB . CB = ( a – b ) . ( a – b )

56
Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden respectivamente 3 m y 4 m.
Hallar el valor de la hipotenusa.
B / CB / 2
= / BA /2
+ / CA /2
x2
= (4m)2
+ (3m)2
4 m x x2
= 16m2
+ 9m2
x = 25 m2
x = 5 m
A 3 m C
Primer Teorema de Euclides:
En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto al cuadrado, es igual al
producto de la longitud de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre
ella.
/ AB /2
= / AC / . / AD / .

57
Segundo Teorema de Euclides:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la altura
correspondiente a la hipotenusa, es igual al producto de las longitudes de las
proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa. / BD /2
= / AD / . / DC /.
Ejemplos:
1) En el triángulo rectángulo B, BD es la perpendicular a la hipotenusa AC. Se
conocen AB = 8m y AD = 2m, se pide el valor de la hipotenusa AC.
B
A D C
Aplicamos el 1er
Teorema:
/ AB /2
= AD . AC AC = AB2
AD
/ AC / = ( 8m)2
AC = 64m2
AC = 32 m
2m 2m

58
2) Los puntos ABC determinan un triángulo rectángulo en B y BD es la
perpendicular a la hipotenusa. Se conocen AD = 4m y DC = 8 m. Hallar el valor
de BD.
B Aplicamos el segundo Teorema.
A D C
/ BD /2
= AD . DC = / BD / = 4m . 8m
/ BD / = 32m = 25
m = 4 2m

59
Ejercicios: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, aplicando el Teorema
correspondiente:
1) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide
10 m y uno de sus catetos 6 m. Hallar el valor
del otro cateto.
B
10 m solución: 8 m
X
A 6 m C
2) ABC es un triángulo rectángulo en B y BD es la perpendicular a la hipotenusa
AC . Se conocen AD = 3m , DC = 6m . Hallar AB.
B
Solución: 3 3
A D C

60
2) El triángulo ABC es rectángulo en B y BD es la perpendicular a la
hipotenusa. Se conocen AB = 10 m y AD = 5 m . Hallar: BC.
B
x solución: 300
10 m
A 5 m C
3) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:
A
Solución: x1= -5
x + 1 x x2 = 1
B x + 2 C

61
4) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:
A
5
2 solución: x = 1
C x B
6) Dado el triángulo rectángulo, calcular: AD y DC.
B solución: DC = 2,49 m
AD = 1,12 m
2 m 3m
A D C

62
Probabilidad: también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama de
las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la
posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La
probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento
necesario de la estadística.
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo
XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores,
como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes
contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un
intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por
ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la
probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.
La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1,
ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la
probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos
estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o
acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual
probabilidad de ocurrir. Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos
se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por
ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la
probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian
acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas probabilidades de

63
ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al lanzar un par
de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades.
Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles
resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada
aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.
Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad
y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un
3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una
persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso
hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la
persona esté a menos de 10 pasos del origen.
En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente
excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos
sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es
igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son
excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son
independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el
otro ocurra o no. Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los
casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de
que al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurra.
Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se
sabe que otro suceso ha ocurrido o va a ocurrir.
Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no
ocurra es q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y
la de que no ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente
excluyentes X e Y son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y
no ocurra es p contra P. Si un experimento debe dar como resultado uno de los
sucesos O1, O2,…, On, mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2,

64
…, pn, respectivamente, y si a cada uno de los posibles resultados se le asigna un
valor numérico v1, v2, … vn, el resultado esperado del experimento es E = p1v1 +
p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si
saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5; pierde 12 pasteles si saca un 6. El resultado
esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o lo que es
lo mismo, un pastel.
El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis
estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo
que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin
hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos
darán 7. Este concepto se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la
probabilidad de un suceso que no se puede medir o es imposible de obtener. Así, si
la estadística a largo plazo muestra que por cada 100 personas entre 20 y 30 años
sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que quiere decir que la probabilidad de
que una de esas personas llegue a los 70 años es de un 42 por ciento.
La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas
y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan
dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia
problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante
relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del
cálculo.
P= CF casos favorables
CP casos posibles
Ejemplos: 1.- Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara.
P= 1 lo que significa 0,5 x 100% = 50%
2

65
2.- Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N° 5.
P= 1 lo que significa 0,16 x 100% = 16,6%
6
Ejercicios: Hallar la probabilidad de que:
a.- Al lanzar dos dados salga el N° 4 y 6.
b.- Al lanzar dos monedas salga cara y sello.
c.- Al meter la mano en un envase que contiene una ficha azul, dos rojas y una verde,
salga una azul y una roja.
d.- Al lanzar una moneda y un dado salga sello y 3.

66
Estadística: rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y
analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de
experimentos y la toma de decisiones.
Historia:
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de
estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en
pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de
personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban
ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción
agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios
analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir
las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas
incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos
de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas
tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al
año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba
hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de
datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control.
Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en
Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer
estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762
respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey

67
Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este
censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de
nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en
1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado
Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de
defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad
de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés
Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX,
con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de
las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de
reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las
descripciones verbales.
En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para
describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales,
psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y
analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en
reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa
información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance
de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden
aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones
probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos
estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias
estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un
determinado estudio estadístico.
Métodos estadísticos:
La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos
al contar o medir cosas. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial
cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta.

68
El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información
y cuánta se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en
obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera
que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las
moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los
objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por
ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una encuesta electoral.
El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias
del total de la población no es tarea fácil.
Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar
con un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo,
en los primeros estudios sobre crecimiento de la población los cambios en el
número de habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de
nacimientos y el de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en
estudios de población comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del
número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por
tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el
número anual de nacimientos por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se
dieron cuenta que las predicciones obtenidas utilizando este método no daban
resultados correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que
limitan el crecimiento de la población. Dado que el número de posibles
nacimientos depende del número de mujeres, y no del total de la población, y dado
que las mujeres sólo tienen hijos durante parte de su vida, el dato más importante
que se ha de utilizar para predecir la población es el número de niños nacidos
vivos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear. El valor obtenido utilizando
este dato mejora al combinarlo con el dato del porcentaje de mujeres sin
descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos y fallecimientos sólo es
útil para indicar el crecimiento de población en un determinado periodo de tiempo
del pasado, el número de nacimientos por cada 1.000 habitantes sólo expresa la

69
tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo el número de nacimientos por cada
1.000 mujeres en edad de procrear sirve para predecir el número de habitantes en
el futuro.
Tipos de Gráficos:
1.- Gráfico de Barras:
45kg
pesos 40kg
35kg
30kg
25kg
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Alumnos

70
2.- Gráfico Circular:
3.- Gráfico de Líneas:
20
15
notas 10
05
01
5 10 15 20
alumnos

71
4.- Gráfico de puntos:
5000 *
4000 *
Bolívares 3000 *
2000 *
1000 *
01 05 10 15 20
Compradores
Ejemplo: Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:
Intervalos frecuencia clase frecuencia acumulada
01 - 05 6 6
06 - 10 8 14
11 - 15 4 18
16 - 20 5 23

72
y
8
7
6
5
Frecuencia 4
3
2
1
01 05 10 15 20
Intervalos

73
Ejemplo: Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular
Clases frecuencias punto medio frecuencia acumulada
01-05 5 3 5
06-10 6 8 11
11-15 4 13 15
16-20 7 18 22
Ejercicios: Con los siguientes datos, hacer un gráfico de barras
Intervalos frecuencias Punto medio P . m x f
001-002 6
003-004 8
005-006 7
007-008 4

74
La parte de la estadística que trata de describir y analizar los datos sin sacar
conclusiones se llama estadística descriptiva. La parte de la estadística que trata de
dar soluciones y conclusiones para los cuales son válidos, se llama estadística
inductiva o inferencial.
Población:
Es una colección de datos con características especiales (cualidad) de un grupo
de individuos o de un grupo de objetos.
Ejemplos:
1.- Conjunto de cadetes de la Guardia Nacional.
2.- Número de docentes del Estado Miranda.
3.- Investigación de los sueldos mensuales de los médicos de un hospital.
Muestra:
Es una parte de la población que se elige con el fin de investigar las propiedades
de la población de donde fue recolectada.
Ejemplos:
1.- Cadetes del 2do
año de la Guardia Nacional.
2.- Número de docentes del Municipio Guaicaipuro.
3.- Sueldos mensuales de los médicos de la unidad de pediatría.
Elemento Característica
Alumno Estatura, sexo, edad, calificaciones.
Docente Salario, estado civil.
Hogar Gastos.

75
División de la Estadística:
La estadística puede dividirse fundamentalmente en dos partes: Estadística
Descriptiva y Estadística Inferencial.
Estadística Descriptiva:
Esta se ocupa de la recolección, clasificación, ordenación, tabulaciones y
representaciones gráficas de los datos estadísticos que se deriven de la medición de
las características objeto de estudio.
Estadística Inferencial:
Esta se propone obtener conclusiones válidas de la población en estudio, a partir
del análisis de subconjuntos representativos llamados muestras.
Razones, Proporciones y Porcentajes:
Razón: Es un cociente que indica la relación existente entre dos cantidades, una
como numerador con otra como denominador, pero el numerador no debe estar
contenido en el denominador; por tanto la razón puede ser un número mayor que la
unidad.
R = a R = razón
b a = dato que posee la característica
b = dato que no posee la característica

76
Ejemplo :
En una escuela hay 500 alumnos, de los cuales 300 son varones y 200 son
hembras. La razón de varones con respecto a las hembras es: R = 300 varones = 3
200 hembras 2
Proporción:
Es un cociente que indica la relación existente entre una cantidad y el total de las
unidades consideradas. La proporción se calcula mediante la ecuación:
P = a a = cantidad
n n = unidades consideradas
Ejemplo:
Se aplicó un test a un grupo de 40 personas, de los cuales 25 son mujeres y 15 son
hombres. La proporción de mujeres es:
P = 25 = 0,625
40
La proporción de hombres es: P = 15 = 0,375
40

77
Porcentaje:
Son proporciones que se han multiplicado por cien.
P % = P . 100 P % = Porcentaje
P = Proporción
Medidas de Tendencia Central:
Las medidas de tendencia central son los números alrededor de los cuales se
encuentra la mayoría de las observaciones de una serie.
La Media Aritmética:
Es el punto de balance de una distribución. Se le denomina simplemente media X .
Media Aritmética Simple:
Se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el número de ellos. La media de
un conjunto de números: X1, X2, X3,..........Xn se obtiene mediante la ecuación:
X = X1 + X2 + X3..........+ X = ∑ X
n n

78
Ejemplo: Calcule la media de las siguientes calificaciones: 18, 16, 18, 16,20, 18, 14,
16, 18, 14
X = 18 + 16 + 18 + 20 + 18 + 14 + 16 + 18 + 14 = 168 = 16,8
10 10
Media Aritmética para una Distribución de Frecuencia Simple:
Cuando el número de datos de la muestra es elevado, el calculo de la media se
simplifica si agrupamos los datos en una distribución de frecuencias simple.
Pasos para calcularla:
1.- Se multiplica cada dato por su respectiva frecuencia.
2.- Se suman estos productos.
3.- Se divide la suma anterior por el numero total de datos de la muestra, es decir:
X = ∑ f . X
n

79
Ejemplo:
Los siguientes datos corresponden al numero de hijos de un grupo de personas:
2 0 2 4 4 6 6 4 6 7
4 4 7 4 2 0 4 6 7 7
Calcular la media de hijos del grupo, usando una distribución de frecuencias
simple:
N° de Hijos N° de Personas f . X
X f
0 2 0
2 3 6
4 7 28
6 4 24
7 4 28
∑ 20 86
X = ∑ f . X = 86 = 4,3
n 20

80
Media Aritmética para datos agrupados en Intervalos:
Cuando los datos están agrupados en intervalos, el cálculo de la media se hace de
la siguiente manera:
1.- Calculamos las marsas de clase correspondientes a cada intervalo.
2.- Multiplicamos cada marca de clase por su respectiva frecuencia.
3.- Sumamos los resultados obtenidos y lo dividimos por el número total de datos de
la muestra:
X = ∑ f . Mc
n

81
Ejemplo:
La siguiente distribución representa las calificaciones de 30 alumnos en una
evaluación:
Calificaciones N° de alumnos Mc f . Mc
X f
5 - 7 4 6 24
8 - 10 6 9 54
11 - 13 8 12 96
14 - 16 7 15 105
17 - 19 5 18 90
∑ n=30 369
La calificación promedio o media del grupo es:
X = ∑ f . Mc = 369 = 12,3 puntos
n 30

82
Media Aritmética Ponderada:
Pasos para calcularla:
1.- Multiplicar cada valor por su respectiva ponderación.
2.- Sumar todos los productos y dividirlos por el número total de ponderaciones.
X = w1 . X1 + w2 . X2 +…….………. + wn . Xh = ∑ w . X
W1 + w2 + w3 +…………….wk ∑ w
Ejemplo:
La siguiente tabla representa las asignaturas cursadas por un alumno de
Administración de Recursos Humanos en un semestre:
Asignatura Calificación Unidad Crédito
Nómina 7 3
A. R. H 8 2
Registro y Control 5 3
Evaluación y Eficiencia 9 4
Calcular su rendimiento promedio en el semestre.
X = 7 .3 + 8 . 2 + 5 . 3 + 9 . 4 = 21 + 16 + 15 + 36 = 88 = 7,33
12 12 12
El promedio del alumno en el semestre es de 7,33 puntos en una escala del 1 al 9.

83
La Media Aritmética de Varias Medias:
Cuando tenemos varias medias correspondientes a dos o más muestras y se desea
hallar la media de todas las medias como si se tratara de un solo grupo, se puede
hacer usando la media ponderada.
Ejemplo:
Se aplicó un test a tres grupos de alumnos y los resultados fueron:
X1 = 60 ; X2=50 ; X3=40 ; n1=10 ; n2=60 ; n3=30
Calcular la media aritmética de los grupos combinados.
X = n1 . X1 + n2 . X2 + n3 . X3 = 10 . 60 + 60 . 50 + 30 . 40 =
n1 + n2 + n3 10 + 60 + 30
X = 600 + 3000 + 1200 = 4800 = 48 puntos
100 100

84
La Mediana:
Se define como el valor de la variable que supera la mitad de los datos y a su vez
es superado por la otra mitad de los datos. Por esta razón se le considera como el
valor central, ya que estará situado en el centro de la distribución.
Mediana para Datos no Agrupados:
a.- Cuando el número de datos es impar: ordenando previamente los datos, la
mediana coincide con el término central. 12, 13, 14,15, 17, 18, 19
El término central es Md =15 puntos.
b.- Cuando el número de datos en par: ordenando previamente los datos, la mediana
será la media aritmética de los términos centrales. 14, 15, 15, 16, 17, 18
La mediana es: Md = 15 + 16 = 15,5 puntos
2
Mediana para Datos Agrupados en Frecuencias Simples:
Pasos:
1.- Se calculan las frecuencias acumuladas.
2.- Se halla la mitad de los datos de la muestra, es decir. n/2.
3.- La mediana será el valor de la variable cuya frecuencia acumulada sea n/2 o la
inmediata superior.

85
Ejemplo:
La siguiente distribución representa las calificaciones de un grupo de alumnos:
Calificaciones Alumnos fa
X f
13 1 1
14 4 5
15 8 13
16 10 23
17 6 29
18 2 31
19 3 34
20 2 36
∑ n=36
La mediana anterior se calcula:
1.- Calculamos n/2 = 36/2 = 18
2.- Ubicamos la mitad de los datos, es decir 18, en la referencia acumulada igual a
18 o en la inmediata superior, el valor de la variable correspondiente es 16; luego
Md=16 puntos.
El resultado indica que la mitad de los alumnos tiene calificaciones mayores que
16 puntos y la otra mitad menores que 16 puntos.

86
Mediana para Datos Agrupados en Intervalos:
Cuando los datos están agrupados en intervalos, la mediana se calcula a través
de los siguientes pasos:
1.- Se determina la posición de la mediana, es decir n/2.
2.- Se determina el intervalo medianal (intervalo que contiene a la mediana). Que es
aquel cuya frecuencia acumulada sea igual a n/2 o la inmediata superior.
3.- Se efectúa la diferencia entre el orden de la mediana y la frecuencia acumulada
anterior a la que contiene.
4.- Se calcula la mediana mediante la ecuación:
Md = Lri + n
- fa (anterior) . C
2
f
Md = Mediana
Lri= Límite real inferior del intervalo medianal.
n/2 = Posición de la mediana.
f = frecuencia medianal.
C = Amplitud del intervalo medianal.
Lri = 10 + 11 = 10,5
2

87
Ejemplo:
Calcular la mediana del siguiente grupo de calificaciones:
Calificaciones N° de Alumnos fa
X f
5 - 7 4 4
8 - 10 6 10
11 - 13 8 18
14 - 16 7 25
17 - 19 5 30
∑ n = 30
Solución:
Calculamos n/2 = 30/2 = 15
El intervalo que contiene a la mediana es aquel cuya frecuencia acumulada sea
igual a 15 o la inmediata superior, en nuestro caso la inmediata superior a 15, es
decir fa= 18; luego la mediana está en el intervalo 11 – 13
De donde: Lri = 10,5 ; n/2 = 15 ; fa(anterior)= 10 ; f = 8 ; C = 3
Aplicando la ecuación: Md = 10,5 + 15 – 10 . 3 = 10,5 + (0,625) . 3
8
10,5 + 1,875 = 12,375
Este resultado significa que 15 alumnos tiene más de 12,375 puntos y los otros 15,
menos de 12,375 puntos.

88
Calculo de la Mediana en forma Gráfica:
Pasos:
1.- Se grafica un polígono de frecuencias acumuladas u ojiva.
2.- Se determina el orden de la mediana.
3.- Se localiza este punto en el eje vertical, el de las frecuencias acumuladas.
4.- Por este punto se traza una paralela al eje de las abscisas hasta tocar la curva de
la ( fa).
5.- se traza una perpendicular al eje horizontal por el punto de corte con la curva.
6.- El corte de la perpendicular con el eje de las abscisas es la mediana.
Ojiva
(fa)
A 30
l 25
u 20
m 15
n 10
o 5
s 0
4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5
Calificaciones
Md = 12,375

89
La Moda:
Es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia. La moda se simboliza :
Mo.
Moda para Datos Agrupados:
Ejemplo 1: La moda en la serie de calificaciones : 17, 15, 18, 17, 14, 19 es:
Mo = 17, ya que tiene mayor frecuencia (se repite dos veces).
Ejemplo 2: La moda en la serie de calificaciones: 14,17, 11, 10, 19, 12, 15 es:
Mo= no tiene, ya que ninguna calificación se repite.
Ejemplo 3: La moda de las siguientes calificaciones: 20, 15, 20, 15, 18, 17, 15, 20,
18 es: Mo= 20 y 15, ya que ambas presentan mayor frecuencia.

90
Moda para datos Agrupados en Frecuencias Simples:
Pesos Frecuencias
X f
46 1
47 4
48 5
49 3
50 2
51 3
52 2
∑ n=20
La moda de esta distribución es Mo= 48 kg, ya que es el peso con mayor
frecuencia.

91
Moda para Datos Agrupados en Intervalos:
Cuando los datos están agrupados en intervalos, la moda es la marca de clase con
mayor frecuencia
Calificaciones N° de alumnos Mc
X f
5 - 7 4 6
8 - 10 6 9
11 - 13 8 12
14 - 16 7 15
17 - 19 5 18
∑ n=30
Es Mo= 12 puntos, ya que es la marca de clase con mayor frecuencia.
Relación entre las Medidas de Tendencia Central:
Se cumple la relación empírica de Pearson:
Media – Moda = 3.(Media – Mediana).
Moda = 3 Mediana – 2 Media.
Esta relación permite calcular, cualquiera de ellas, conociendo las otras dos.
Cuando tenemos una distribución abierta, la relación anterior nos permite calcular
la media a partir de la mediana y la moda.

92
Medidas de Posición:
Son valores que permiten dividir un conjunto de datos en partes iguales.
Percentiles:
Se llaman percentiles a los valores que corresponden a determinados porcentajes
de la frecuencia acumulada. Por ejemplo, el percentil veinte P20 es el valor que
corresponde al 20% de las frecuencias acumuladas.
Cuartíles:
Los tres percentíles que dividen el total de los datos en cuatro partes iguales P25,
P50, P75 reciben el nombre de cuartiles y se representan por Q1, Q2, y Q3 .
Deciles:
Los percentiles múltiplos de diez P10, P20, P30, .......,P90 reciben el nombre de
deciles y se representan por D1, D2, D3,..........D9.
De lo anterior podemos deducir:
P25 P50 P75
Q1 D5= Q2 = Md Q3

93
Calculo de las Medidas de Posición para Datos no Agrupados:
Para calcularlas utilizaremos el mismo procedimiento que se usa en el calculo de
la mediana para datos no agrupados, tanto para datos pares como datos impares.
1.- Cuando n es par:
Dx = x . n Qx = x . n Px = x . n
10 4 100
Ejemplo:
Los siguientes datos corresponden a las calificaciones obtenidas por ocho
alumnos en una evaluación de Matemática: 18, 16, 19, 18, 13, 20, 10, 17 puntos.
Calcular: D4, Q3 y P25
Ordenamos los datos: 10, 13, 16, 17, 18, 18, 19, 20
D4 = 4 . 8 = 3,2 ; Q3 = 3 . 8 = 6 ; P25 = 25 . 8 = 2
10 4 100
2.- Cuando n es impar:
Dx= x . (n + 1) ; Qx= x . (n + 1) ; Px= x . (n + 1)
10 4 100

94
Ejemplo:
Los siguientes datos representan las edades de un grupo de alumnos: 20, 18, 19,
22, 19 y 23 años.
Calcular: D7, Q3 y P50
Ordenamos los datos: 18, 19, 19, 20, 21, 22, 23
D7 = 7 . 8 = 5,6 ; Q3 = 3 . 8 = 6 ; P50= 50 . 8 = 4
10 4 100
Calculo de las Medidas de Posición para Datos Agrupados en Intervalos:
Se utiliza el mismo procedimiento para el calculo de la mediana.
P = Lri + P - fa (anterior) . C
f
P = Valor que representa la posición de la medida.
Lri= Límite real inferior del intervalo que contiene la medida buscada.
fa = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida.
C = Amplitud del intervalo que contiene la medida de posición.

95
Ejemplo:
En la siguiente distribución, calcular: Q1, D5 y P60
Calificaciones N° de Alumnos fa
X f
5 - 7 4 4
8 - 10 6 10
11 - 13 8 18
14 - 16 7 25
18 - 19 5 30
∑ n = 30
Calculamos Q1:
Hallamos la posición de la media: P = 1 . n = 1 . 30 = 7,5
4 4
Q1 está ubicado en el intervalo 8 – 10
De donde: Lri = 7,5 ; P = 7,5 ; fa(anterior)= 4 ; f = 6 ; C = 3
Aplicando la ecuación: Q1 = 7,5 + 7,5 – 4 . 3 = 7,5 + 1,74 = 9,24 puntos
6
Este resultado significa que el 25% de los alumnos, tienen calificaciones menores
que 9,24 puntos.
Calculamos el D5
Primero hallamos la posición de la medida: P = 5 . n = 5 . 30 = 15
10 10

96
El D5 está en el intervalo 11 – 13
De donde: lri = 10,5 ; P = 15 ; fa(anterior) = 10 , f =8 , C =3
D5 = 10,5 + 15 – 10 . 3 = 10,5 + (0,625 . 3) = 10,5 + 1,875 = 12,375
8
Calculamos el P75 = 75 . n = 75 . 30 = 22,5
100 100
El P75 está en el intervalo 14 – 16
De donde: Lri = 13,5 ; P = 22,5 ; fa(anterior) = 18 ; f = 7 , C = 3
P75 = 13,5 + 22,5 – 18 . 3 = 13,5 + (0,642 . 3) = 13,5 + 1,926 = 15,426
7

97
Hallar la probabilidad de que:
a) Al lanzar dos dados y una moneda salga: 3,4 y cara.
b) Al lanzar tres dados salga: 3,6,5.
c) Al lanzar cuatro dados y dos monedas salga:1,6,4,3,cara y sello.
d) En un recipiente que contiene 3 metras azules, 2 metras rojas y 5 metras
verdes, al meter la mano sacar una azul y dos rojas.
e) En el siguiente cuadro numérico al lanzar un dardo, que posibilidad hay
de
Acierte el N° 4.
4 5 8 9 1 0 3
12 4 7 10 23 13 43
32 89 45 54 78 98 46
27 37 4 60 100 48 41
96 3 12 76 1 0 52

98
Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras,
uno de líneas y uno circular.
Clases frecuencias punto medio f. acumulada
00-06 5
07-13 7
14-20 4
21-27 8
Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras y
uno de puntos:
Intervalos frecuencias punto medio p .m x f
1 – 10 5
11 - 20 8
21 – 30 6
31 - 40 9

99
Un alumno realizó una encuesta a sus profesores y encontró que sus edades
eran: 32, 28, 32, 31, 30, 32, 25 y 41 años. Determine: Media de las edades,
mediana, moda, rango, desviación típica y varianza.
Antonio obtuvo las calificaciones:19, 18, 15, 15, 16 y 17 puntos. Determine:
Media de las calificaciones, mediana, moda, rango, desviación típica y
Varianza.
Halle la media aritmética : mediana, moda, rango, desviación típica y
varianza de los siguientes datos: 5, 8, 4, 3, 7, 8, 4, 2, 9, 5, 6, 7.
Calcule: Q3, D9, P50 y P84 de los datos: 200, 140, 230, 155, 180, 205, 140, 165
140, 190, 180, 225, 240, 140, 140, 155, 165, 140, 140, 140
El número de hijos por familia de un grupo de docentes es: 2, 1, 2, 4, 4, 6, 6,
4, 6, 7, 4, 4,7, 4, 2, 1, 4, 6, 7, 7. Elabore una distribución de frecuencias
simple y luego determine : Media de hijos por familia, mediana, moda,
desviación típica y varianza.
Las edades de un grupo de alumnos son: 13, 15, 14, 16, 18, 13, 14, 17, 15, 16,
13, 15, 14, 16, 16, 17 y 15 años. Elabore una distribución de frecuencias simple
y luego determine: la media de las edades, mediana, moda, desviación típica y
varianza.

100
Calcule : Q1, D5, P70, y P50 en la distribución:
X f
36 2
37 1
38 3
39 4
40 5
41 4
42 2
43 3
44 1
Tres secciones A, B y C de una escuela presentaron los siguientes resultados
en una evaluación de matemática:
XA = 11,9 puntos con nA = 24 alumnos.
XA = 14,2 puntos con nB = 30 alumnos
XA = 10,8 puntos con nB= 28 alumnos.
Calcule la media aritmética de los grupos combinados

101
Calcule la media de las medias en:
___ ___ ___
X1 = 60 X2 = 40 X3 = 50
__ __ __
X4 = 12 X5 = 30 X6 = 60
Un carro a una velocidad de 60 km/h en la primera hora de recorrido, 70km/h
en la segunda hora y 80 km/h en la tercera hora. Halle la velocidad promedio
del carro.
___
Si una distribución tiene X = 18, Md = 14 y Mo = 12 entonces es
¿simétrica?, ¿asimétrica positiva? o ¿asimétrica negativa?

102
Dada la distribución de frecuencias:
Peso Alumnos
(kg) f
50-52 6
53-55 11
56-58 7
59-61 9
62-64 7
∑ n=40
Calcule: la media de los pesos, Md, Mo, D3, Q1, P60, Q, S, S 2
Dada la distribución:
Bs f
201-230 8
231-260 10
261-290 16
291-320 14
321-350 10
351-380 7
∑ n=65
Calcule: la media aritmética, Md, Mo, D4, P80, Q3, S, S

103
Dada la distribución:
Puntajes Alumnos
f
7-11 2
12-16 7
17-21 12
22-26 7
27-31 2
∑ n=30
Calcule: la media de las calificaciones, Md, Mo, Q1, P60, Q, S, S 2
La antigüedad en el trabajo de un grupo de docentes, se muestra en la distri-
bución:
Antigüedad Docentes
(años) f
1- 5 12
6-10 22
11-15 35
16-20 46
21-25 46
26-30 29
31-35 10
∑ n=200
Calcule: la antigüedad promedio del grupo de docentes, Md, Mo, D8, Q1,
P60, Q, S, S 2

104
Nociones elementales de Informática:
a) Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una
manera formalizada, ajustada para la comunicación, interpretación o
procedimiento manual o automatizado.
b) Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a
un hecho o fenómeno.
c) Tipos de datos:
1) Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan
origen al proceso.
2) Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no
permiten verificar todas las transacciones.
d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras,
capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se
trate de una lectura o de una escritura.
e) Formas de procesamiento de datos:
.- Medios perforados.
.- Soportes perforados: tarjetas perforadas.
cintas perforadas.

105
.- Medios magnéticos: tambor magnético.
soporte magnético.
cintas magnéticas.
disco magnético.
.- Medios ópticos.
.- Terminales de teclado-pantalla.
.- Impresora.
Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está
formada por:
a) Monitor o pantalla.
b) Teclado.
c) C .P.U
d) Impresora.
e) Mouse.
f) Fax.
g) Scanner.

108
Partes de un Computador
Unidad de Entrada Unidad de Memoria Unidad de Salida
Traduce palabras y números Almacena datos e
lenguaje a lenguaje de máqui- instrucciones
nas.
Unidad de Control
Controla los cálculos y el orden
de las instrucciones
Unidad Aritmética
Ejecuta todos los cálculos
Unidad Central de Procesamiento
Traduce el
lenguaje de
máquina a
palabras y
números

109
Características de los computadores:
a) Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo:
.- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos.
.- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por
medio de lenguajes de programación.
b) Tienen gran velocidad de cálculo.
c) Tienen gran capacidad de almacenamiento.
d) Tienen gran precisión.
e) Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos
Tópicos.
f)Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.
Aplicaciones de los computadores:
Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los
trabajos administrativos de la oficina, dando lugar a una técnica conocida con el
nombre de ofimática.

110
Tareas administrativas del computador:
a) Gestión de personal.
b) Proceso de nóminas.
c) Control de inventarios.
d) Gestión de almacén.
e) Facturación y contabilidad.
f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio.
g) Información de productores, partes y materiales.
h) Estado de cuentas de los clientes.
Aplicaciones Industriales:
a) Control de procesos industriales.
b) Robótica industrial.
c) Diseño.
d) Otros.
Aplicaciones tecno-científico:
a) Predicciones meteorológicas.
b) Control ambiental.
c) Control de comunicación satelital.
d) Programas de simulación (vuelos).
e) Otros.

111
Aplicaciones médicas:
a) Control clínico del paciente.
b) Mantenimiento de hospitales.
c) Tomografía computarizada.
d) Otros.
Concepto de algoritmo:
El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente
especificado y sin ambigüedades que conducen a la solución de un problema
específico (definido), siguiendo un número infinito de pasos (instrucciones)
ordenadas lógicamente.

112
Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:
Proceso salida - entrada
Operación
Manual decisión
Inicio-fin introducción
manual
magnetic-tape
documento punched
card

113
Representación gráfica de algoritmos :
1) Algoritmo para abrir una puerta
inicio
acercarse a
la puerta
intentar abrirla
dándole vuelta
al pomo
no ¿ está cerrada si buscar la introducir la
con llave? Llave llave en la
cerradura
darle vuelta a
la llave
dar vuelta no ¿ Se abrió
al pomo la puerta
abrir comple-
salir tamente la
puerta
fin

114
Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.
Algoritmo:
1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0)
2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)
3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N)
4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.
5.- Imprimir : SUM.
Comienzo
N = 0
SUM = 0
N = N + 1
SUM = SUM + N
Si
¿ Es N < 20
No
Imprima SUM fin

115
Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enteros
positivos.
Algoritmo:
1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.
2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2)
3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)
4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X)
5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.
6.- Imprimir
Comienzo
N = 0
X = 0
SUM = 0
X = X + 2
N = N + 1
SUM = SUM + X
Si ¿ Es N < 20 ? No Imprima
fin

116
1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.
2) Representar el algoritmo para bañarse.
3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.
4) Representar el algoritmo para levantarse.
Problema N° 1: Multiplicar dos números enteros positivos
1) Leer los N° enteros positivos A y B
2) Asignar a las variables PROD y N el valor 0
3) Sumar a PROD el valor en A
4) Aumentar a N en 1.
5) Si N < B pasar a instrucción3.
6) Imprimir: PROD
Problema N° 2 : Dividir dos números enteros positivos.
1) Leer los N° enteros positivos A y B.
2) Asignar a las variable COC el valor 0.
1) Efectuar A – B y asignarlo a A.
2) Aumentar a COC en 1.
3) Asignar a RES el valor A.
4) Imprimir: COC y RES

117
Problema N° 3: Determinar el Máximo Común Divisor de dos N° enteros
positivos, utilizando divisiones sucesivas.
1) Leer los números enteros positivos A y B.
2) Si A > B, pasar a instrucción 4.
3) Intercambiar valores de A y B.
4) Dividir a entre b y obtener cociente C y resto R.
5) Si R = 0 pasar a instrucción 7
6) Asignar en A el valor de B, y en B el valor R.
7) Imprimir; MCD (A , B) = B

119
Laberinto de los Números Reales y Radicales
Descripción:
Consta de un tablero de cartulina en el que se dibuja un laberinto. Este laberinto
en su trayectoria tiene 20 preguntas identificadas como ¿1? y 20 respuestas
identificadas como 1 .
Además en la ruta el jugador encontrará observaciones como : “avanza
espacios” ; “pierdes un turno” ; “retrocede espacios” ; “avanza siguiente
pregunta” ; “vuelve a lanzar”.
Se utilizará un dado convencional por tablero. Se elaborarán 4 fichas de color:
rojo, verde, azul, amarillo.
Regla del Juego:
1.- Se podrá jugar de 2, 3 ó 4 jugadores.
2.- Se utilizará un dado a la vez.
3.- Se rifará el salidor, lanzando el dado y quien saque el mayor número saldrá
primero.
4.- El jugador al ir avanzando respetará las observaciones en la ruta. Al caer en
una estrella de pregunta, tendrá que contestarla y si lo hace correctamente
ganará un (1) punto. Si no la contesta se le restará 0,5 puntos a lo que lleve
acumulado.
5.- Ganará el jugador que al llegar a la meta, tenga el mayor puntaje.
6.- El docente estará pendiente de cada tablero y llevará las anotaciones correspon-
dientes.
Objetivo Terminal:
Con el juego se busca lograr la comprensión y desarrollo de los objetivos de los
Números Reales, Irracionales y Radicales, mediante una interacción entre
compañeros y profesor.

120
Avanza
a 6
Avanza
a 2
Avanza
a 4
Avanza
a 8
Avanza
a 11
Avanza
a 14
Avanza
a 16
16
Avanza
a 19
Pierde
1 turno
Pierde
1 turno
Pierde
1 turno
Pierde
1 turno
Pierde
1 turno
Atrás 3
espacios
Atrás 4
espacios
Atrás 2
espacios
Atrás 4
espacios
Atrás 1
espacios
Atrás 2
espacios
Vuelve a
lanzar
Vuelve
a
lanzar
Vuelve
a
lanzar
Vuelve
a
lanzar
Avanza
1
espacio
Avanza
5
espacios
Avanza
1
espacio

121
Preguntas Respuestas
Cara Posterior Cara Posterior
Preguntas:
3
El decimal 3,8 es
un N°:
1
Define Número
Irracional
2
El conjunto de los
N° Reales es:
4
Las expresiones
decimales se
clasifican en:
6
Calcular la fracción
generatriz f = 3,4
5
En 0,4166 ¿Cuál es la
parte entera, ante
periodo y periodo

122
9
En n
a = b
n = ?  = ?
b = ?
7
Suma los Reales
5/2 + 2 + 0,36 =
8
Representar 2
10
Simplificar 125
12
Multiplicar
4
3a2
. 4
2a
11
Sumar los radicales
43 + 53 + 3 =
13
Multiplicar
3
a2
. b
15
Dividir
3
a2
. 5
4
ab2
16
Resuelve la potencia
( 4
a2
b)3
=
14
Dividir
3
4a2
b =
3
2ab

123
Respuestas:
18
Restar
5x - 2x =
17
Racionalizar
... a.....
5
a3
19
Racionalizar
.... 2......
2 + 2
20
Resuelve la potencia
5
 3
a =
1
Son los N° decimales que no
podemos expresar exactamente
por N° racionales.
2
Es el conjunto formado por la
unión de los Q e I. Se anota
como R.
3
Irracional, porque es una
expresión decimal limitada
4
a) Decimal mixta
b) Decimal pura

124
2
5
Parte entera: 0
Ante periodo: 41
Periodo: 66
6
10f = 10 . 3,4 = 34,4
-f = -1 . 3,4 = - 3,4
9f = 31
f = 31
9
7
4,274
8
2 2
9
 = signo radical
n = índice de la raíz
a = cantidad subradical
b = raíz n-sima de a
10
6
53
= 6/3
5 = 5
11
103
12
4
6a3

125
13
6/3
(a2
)2
. 6/3
b3
= 6
a4
b3
14
3
4a2
b = 3
2a
2ab
15
12
(a2
)4
. 12
56
=
12
(ab2
)3
12 a8
.56
= 12
56
.a5
a3
.b6
b6
16
4
(a2
b)3
= 4
a6
b3
= aa2
b3
17
...a... . 5
a2
= a 5
a2
=
5
a3 5
a2
a
5
a2
18
3x
19
2 . 2-2 = 2(2-2)
2+2 2-2 22
– (2)2
2(2-2) = 2 - 2
4 - 2
20
15
a

126
Ludo del Sistema de Coordenadas Rectangulares
Descripción:
Consta de un tablero rectangular elaborado en cartulina, distinguido con cuatro
colores : verde, azul, amarillo y rojo. Además contiene 16 fichas (4 verdes, 4 azules,
4 amarillas y 4 rojas) para ser utilizado por cuatro jugadores.
El recorrido en el juego estará representado por varias operaciones relacionadas
con el sistema de coordenadas rectangulares, sistema de ecuaciones y función afín.
Regla del Juego:
1.- Se rifa el salidor ( saldrá primero el que saque el mayor número del dado).
2.- Se utilizará un dado a la vez.
3.- Se podrá jugar con una ficha a la vez, hasta que se introduzcan una a una en la
casilla de llegada.
4.- Al llegar a una casilla con operaciones, hay que contestar. Si es correcto
esperara su siguiente turno, si es incorrecto se perderá un turno de juego.
5.- Ganará el que introduzca todas las fichas en el triángulo de llegada.
Objetivo Terminal:
El alumno mediante el juego del Ludo, conocerá las operaciones fundamentales
del sistema de coordenadas de coordenadas, sistemas de ecuaciones y función afín.

128
Subiendo y bajando la escalera (Estadística)
Descripción:
Este juego se dibujará en una hoja blanca o cartulina, utilizando cuatro fichas
de colores diferentes para identificar los jugadores .
Regla del juego:
1.- Constará de 24 escalones enumerados.
2.- Por cada escalón habrá una tarjeta con una pregunta, ejercicio o sugerencia,
deberá
contestar o resolver el ejercicio para poder avanzar.
3.- Se jugará de dos (2) hasta cuatro (4) alumnos por cada escalera.
4.- Se utilizará un (1) dado a la vez.
5.- Cada alumno debe tener hojas blancas, lápiz, regla y colores, para poder
cumplir con
los ejercicios.
6.- El docente supervisará el desarrollo del juego.
7.- Ganará el alumno que logre contestar todas las preguntas y llegue primero.
8.- Habrá ocho (8) tarjetas de inmunidad para solventar las preguntas, si no la
sabe, y
librarse de la caída de la casilla 13.
Objetivo terminal:
El objetivo de este juego es obtener el conocimiento básico de los objetivos de
estadística y probabilidad del programa de Matemática de una manera sencilla y
amena.

129
Vuelve a empezar
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

130
Tarjetas de Preguntas
Posterior
3
Toma una tarjeta de
inmunidad
1
Define Estadística
2
¿ Qué significa % ?
4
Hallar la probabilidad de
que al lanzar un dado salga
el N° 4
5
¿Este es un gráfico?
frecuencia
rojo
verde
azul
amarillo
morado
6
¿ Que es la
probabilidad ?

131
7
Lanza dos monedas y halla
la probabilidad de que salga
cara y sello
8
Toma una tarjeta de
inmunidad
11
¿ Este es un gráfico de?
0
20
40
60
80
100
1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.
9
¿Qué significa fr ?
10
Toma una tarjeta de
inmunidad
13
Define población
14
Toma una tarjeta de
inmunidad
12
Avanza 2 escalones

132
15
Define muestra
16
¿ Cuál es la moda en?
3,4,5,2,1,3,6,8,3
19
Grafica el siguiente cuadro:
Intervalos Frecuencia
00 - 05 1
06 - 10 4
11 - 15 6
16 – 20 2
17
Toma una tarjeta de
inmunidad
18
Retrocede 4 escalones
20
Toma una tarjeta de
inmunidad
21
Define la mediana
22
Calcular la media en:
5, 3, 10, 9, 5, 6, 4

133
Tarjetas de Inmunidad
23
¿ Qué porcentaje es
350 de 1000?
24
Calcular la mediana en:
1, 3, 4, 5, 6, 2, 8

134
Respuestas
1.- Es la ciencia en la que se ordena y clasifican experiencias sobre fenómenos
que han ocurrido
2.- Significa porcentaje
3.-
4.- La probabilidad es P = 1/6
5.- Gráfico circular
6.- Es el estudio de fenómenos ocurridos al azar
7.- P = 2/4
8.-
9.- Frecuencia relativa
10.-

135
11.- Gráfico de barras
12.- Avanza 2 escalones
13.- Es el conjunto de todos los objetos de estudio de una investigación
14.-
15.- Es un subconjunto de la población
16.- La moda es: 3
17.-
18.- Retrocede 4 escalones
19.-
0
2
4
6
00 - 05 06 - 10 11 - 15 16 - 20

136
20.-
21.- La mediana es el valor central de una distribución.
22.- x = 42 x = 6
7
23.- 35%
24.- es 5

137
Crucigrama Matemática (Teorema de Pitágoras y Euclides)
10
Verticales:
1.- este triángulo se denomina
3.- Este triángulo se llama
4.- Este triángulo se llama
8.- Esta fórmula corresponde al teorema /CB/2
= /BA/2
+ /CA/2
10.- En 4m x x es igual a
3m
Horizontales:
1.- El rectángulo tiene ángulos 7.- x este cateto se llama
2.- se denomina 9.- Nació en Siracusa en 287-212 a de J .C
5.- Figura formada por dos líneas que parten de un mismo punto.
6.- los lados de un triángulo se llaman
1
2 4 3
6
5
7
9
8

138
Crucigrama Matemático:
1 5
2 3
6 7
4
8 9
10 11 10
12
Horizontal: Vertical:
1.- Suma de 3 + 4 1.- se define + como
2.- Se llama 3.- 8 se escribe
4.- . se escribe 5.- 3 se escribe
6.- Siete en ingles 7.- 21 – 1 es igual
8.- 2 + 3 es igual 9.- x en x = 5 – 1 es igual
10.- 13 se escribe 11.- se conoce como
12.- + se escribe

149
BIBLIOGRAFIA
NAVARRO, E………………………………..Matemática 9no
Grado. Distribuidora
Zacarías. Caracas Venezuela.1987.
SARABIA, José y BARRAGÁN, Fernando. Matemática 9no
Grado. Ediciones
CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993
PULIDO, Jesús………………………….Estadística General. Caracas I.U.M.P.M
1986.
MICROSSOF ENCARTA 99

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