Cuaderno de Matemática 1er año Media

Autor: Luis. E. Camacho. S.
Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación
Deposito Legal
lf03220035101806X

1
Prologo
El cuaderno de Matemática que utilizarán los alumnos del 1º Año de Media General,
refleja en forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa actual.
Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un
instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje
dentro y fuera del aula.
Todos los juegos de Matemática que aparecen en este cuaderno, son creación del
profesor Luis Eduardo Camacho, se aplicaron con anterioridad y los resultados fueron
muy satisfactorios.
Los Teques, Septiembre del 2003

2
Agradecimientos:
Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo:
Msc. Miguel Carmona, especialista de Matemática
Msc. Milagros Coromoto Camacho, Asesora Metodológica
Marcos Salas, Asesor en Computación
Especialmente a:
A mi esposa: por su apoyo.
A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.
A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.
A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen”
Liceo San Pedro de Los Altos
U. E. C. “Andrés Bello”

3
Contenido
.- Números Naturales.....................5
.- Adición en N, multiplicación en N..............5,6
.- Propiedades de la multiplicación en N............7
.- Ecuaciones en N.............8,9
.- N° enteros, adición en Z............10
.- Propiedades de la suma en Z, sustracción en Z............11
.- Multiplicación en Z, propiedades............12,13
.- División en Z............14
.- Relaciones de orden.........15
.- Potencia en N..............15,16
.- N° racionales..........17
.- Adición en Q, propiedades...............17,18
.- Sustracción en Q..............19
.- Multiplicación en Q, propiedades................19,20
.- División en Q..............21
.- Potencia en Q ................21
.- Expresión decimal y científica................21,22
.- Fracción generatriz.................22,23
.- Geometría, circunferencia...............24,25
.- Clasificación de triángulos ..................26,27,28
.- Cuadriláteros...................28,29
.- Polígonos.................29,30,31,32
.- Cálculos de áreas...............32,33
.- Medidas de capacidad y longitud................33,34,35
.- Poliedros..................35,36,37,38,39
.- Ejercicios......................40,41,42
.- Probabilidad estadística.................43,44,45,46
.- Estadística................47,48,49,50,51,52,53,54
.- Informática..................55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67
.- Ejercicios...................68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80
.- Juegos Matemáticos.............81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95
96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,
114,115,116,117,118,119,120
.- Páginas de resolución de ejercicios...........121,122,123,124,125,126,127
128
.- Bibliografía...............129

4
Números Naturales: Llamamos número natural a cada uno de los números que
empleamos para contar. Al conjunto de los números naturales le asignamos la letra N,
entonces:
N = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Adición en N:
La adición en N cumple con las siguientes propiedades:
# Conmutativa: a + b = b + a
# Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
# Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a
# Elementos Regulares: x + a = x + b ↔ a + b
Multiplicación en N:
La multiplicación en N cumple con las siguientes propiedades:
# Conmutativa: a . b = b . a
# Asociativa: (a . b) . c = a . (b . c)
# Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a
# Factor Cero: a . 0 = 0 . a = 0
# Elementos regulares: a . x = b . x ↔ a = b
# Distributiva: a . (b + c) = (b + c) . a = ab + ac

5
1.-Resuelve por propiedad conmutativa:
a) 4 + 7 =
b) 5 + 8 =
c ) 7 + 9 =
d.) 4 + 12 =
2.-Resuelve por propiedad asociativa:
a) 2 + 8 + 7 =
b) 1 + 8 +6 =
c) 3 + 8 +4 =
d) 4 + 7 +9 =
3.-Resuelve por elemento neutro:
a) 5 + 0 =
b) 4 + 0 =
4.- Resuelve por elementos regulares: a) 18 + x = 18 + 83 c) 12 + x = 12 + 5
b) x + 21 = 10 + 21 d) x + 24 = 4 + 24
Aplica las Propiedades de la Multiplicación:
1.- Resuelve por Conmutativa:
a) 5 . 6 =
b) 3 . 7 =
c) 4 . 8 =
d) 8 . 4 =
e) 7 . 5 =

6
2.- Resuelve por Asociativa:
a) 3 . 8 . 7 =
b) 4 . 8 . 3 =
c) 9 . 6 . 3 =
d) 4 . 7 . 9 =
3.- Resuelve por Elemento Neutro:
a) 4 . 0 =
b) 3 . 0 =
c) 0 . 9 =
d) 0 . 7 =
4.-Resuelve por elementos regulares:
a) x . 3 = 4 . 3
b) x . 6 = 2 . 6
c) x . 9 = 3 . 9
d) x . 7 = 5 . 7

7
Ecuaciones en N: las ecuaciones de la forma x + b = a ( con a ε N y b ε N) sólo tienen
solución en N cuando es a ≥ b ; teniéndose que: x + b = a ↔ x = a – b
Ejemplos:
1) Resuelve: x + 5 = 6 x = 6 – 5 x = 1
2)Resuelve: x – 7 = 10 x = 10 + 7 x = 17
3)Resuelve : 2x + 4 = 10 x = 10 – 4 x = 6 x = 3
2 2
4)Resuelve: x + 4 = 5 x = 10 – 8 x = 2
2
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x +3 = 4 b) x + 3 = 5 c) 2x + 4 = 8
d) 3x – 5 = 10 e) 2x + 3x = 15 f) 4x – x = 20 – 5
g) 3x – 2x = 5 h) x + 2x = 9 i) x – 3 = 6
2

8
Guía para resolver problemas con números naturales:
x = número x + 1 = un número más uno.
2x = dos veces un número x + 2 = un número más dos.
3x = tres veces un número x + (x +1)= suma de dos N° consecutivos.
x/2 = mitad de un número. 2x + 1 = un número impar.
x + (x +1) = dos N° consecutivos. 2x+(2x+2)= dos N° pares consecutivos.
En las ecuaciones
con N° naturales
debes recordar
que x es una
incógnita que
debes hallar.
Los números
naturales son un
subconjunto de los
números enteros N
 Z

9
Números Enteros: Es el conjunto formado por los números positivos, los negativos y el
cero.
+ _
Z = +1,+2,+3,+4,+5,.... Z = -1,-2,-3,-4,-5,.....
*
Z = ....-5,-4,-3,-2,-1,+1,+2,+3,+4,+5.... Z = 0
Adición de N° Enteros: a) (2)+(6)+(8)= b) (3)+(8)+(5)+(4)=
c) (-2)+(-4)+(7)= d) (-19)+(-5)+(-6)=
e) (4)+(-6)+(-5)= f) (-2+7)+(5-1)=
Propiedades de la suma en Z:
a)Conmutativa: (a) + (b) = (b) + (a) Resuelve: a) (3) + (6)=
b) (-5) +(-6)=
c) (4) + (-9) =
Recuerda que en la suma de
N° enteros, los números de
igual signo se suman y se
coloca el mismo signo, y los
de diferentes signos se
restan y se coloca el signo
de mayor valor absoluto.

10
b)Asociativa: (a) +(b + c) = (a + b) +( c) Resuelve: a) (3)+(7)+(5)=
b) (-7)+(-6)+(9)=
c) (-4)+(-7)+(-9)=
d) (-8)+(4)+(-12)=
c)Elemento Neutro: (a) + (0) = (0) + (a) = a
Resuelve: a) (3)+(0)= c) (6)+(0)=
b) (7)+(0)= d) (-8)+(0)=
d) Elemento Simétrico: (a)+(-a) = 0
Resuelve: a) (5) + (-5)=
b) (6) + (-6)=
c) (-4) + (4)=
d) (-7) + (7)=
Sustracción de N° Enteros:
Resuelve: a) (5)-(-4)=
b) (5)-(7)-(9)=
c) (4+1)-(3-1)=
d) (8-2) – (-3-4) =

11
Multiplicación de N° Enteros:
Resuelve: a) (9).(7)=
b) (5).(4)=
c) (-3).(2).(4)=
d) (2).(4).(-3).(2)=
Propiedades de la Multiplicación:
Conmutativa. (a).(b) = (b).(a)
Resuelve: a) (3).(4)=(4).(3) b) (5).(-4) =(-4).(5) c) (-9).(-6) = (-6).(-9)
d) (-6).(5)=(5).(-6) e) (5).(8)=(8).(5)
El orden de
los factores no
altera el
producto

12
Asociativa: (a).(b . c) = (a . b).(c)
Resuelve: a) (2).(4).(5)= d) (3).(8).(4).(5)=
b) (-6).(2).(-3)= e) (-4).(6).(2)=
c) (-7).(5).(-4)= f) (-4).(9).(3) =
Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a
Resuelve: a) (5).1=
b) (-6).1=
c) (8).1=
d) (-5).1=
Factor Cero: a . 0 = 0 . a = 0
Resuelve: a) (5) . 0 =
b) (-9) . 0 =
c) 0 . (-7) =
d) 0 . (6) =

13
División de N° Enteros:
Resuelve: a) (4) : ( 2) =
b) (5+3) : (2) =
c) (-2+4) : (2) =
d) (7-1) : (5+ 1) =
e) (8-3+4) : (2+1)=
f) (5-3).(2-1) : (2) =
g) (3+6-2) : (2+5) : (4-2) =
h) (-3+9-2) + (-5+7-1) : (15-10) =
i) (2+8-4) . (-1+3-6) : (9-1) =
j) (5-2+9) – (-3+4-6) : (14+3) =
Al dividir N°
enteros, recuerda
dividir los signos
también.
Resuelve
éstos ejercicios

14
Relaciones de orden “mayor que” y “menor que”:
1) Ordena de menor a mayor (<) a) 5,-3,8,0,-1,6,100
b) -5,-3,0,10,-26,8,-20
c) -7,0,3,7,-20,-13,36
d) 2,-4,-8,0,-1,24,-25
2) Ordena de mayor a menor (>): a) -3,4,7,-100,-26
b) -5,-12,-15,18,1,0
c) -7,-120,-36,0,-1,8,9,44
d) 20,-1,0,-38,-4,16,2,3
Potenciación: Es una multiplicación reiterada.
par
Regla para potenciar: (+) = +
impar
(+) = +
par
(-) = +
impar
(-) = -

15
0
Propiedades: 1) a = 1
1
2) a = a
m n m +n
3) a . a = a
m n m-n m n m . n
4) a : a = a 5) (a ) = a
Ejercicios:
a) 2³ = b) 2.2.2.2 =
c) ( -3)2
= d) (2)2
. (2)3
=
e) a² = f) 6 ². 6 ³=
g) 53
. 42
. 52
= h) 32
. 40
. 33
i) ( 22
. 32
)3
= j) (52
. 43
)2
. (23
. 3 ) =
2 . 32
22
. 4 . 52
k) (32
. 43
. )2
. (52
. 3)2
= l) (23
. 32
)2 2
=
(32
. 43
. 52 )2
23
. 32
Puedes aprenderte
estas propiedades,
para que se te facilite
el objetivo.
Realiza estos
ejercicios en
tu cuaderno.

16
3.- Números Racionales:
Un número racional es el conjunto formado por todas las fracciones equivalentes a una
dada. Un número racional está compuesto por un numerador y un denominador.
a numerador
b denominador
Hallar el m. c. m en :
a) 2 y 8 b) 4 y 9 c) 5 y 12 d) 3,2,4
e) 8,5,3 f) 2,7,6 g) 3,9,14 h) 5,8,7
Adición de N° Racionales:
Resuelve: a) 2 + 3 = b) 4 + 7 = c) 5 + 8 =
5 4 3 5 3 2
Debes recordar que para hallar el
mínimo común múltiplo, se toman
los N° comunes y no comunes con
su mayor exponente.

17
Propiedades de la Suma de N° Racionales:
Conmutativa: a + c = c + a
b d d b
Resuelve: a) 2/3 + 5/3 = b) 3/2 + 5/4 = c) 5/6 + 7/5 =
Asociativa: a + c + e = a + c + e
b d f b d f
Resuelve: a) 4/5 + 3/6 + 3/2 = b) 4/2 + 2/3 + 7/2 = c) 4/6 + 7/8 + 3/5 =
Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a
b b
Resuelve: a) 4/3 + 0 b) 5/3 + 0 c) 6/2 + 0 d) 5/2 + 0 e) 2/5 + 0
Elemento Simétrico: a - a
+
b b
Resuelve: a) 5/6 = b) 6/8 = c) 4/9 = d ) 3/5 = e) 7/9 = f) 8/5 =

18
Sustracción de Números Racionales:
Resuelve: a) 5/6 – 8/6 = b) 5/6 – 5/3 = c) 6/8 – 9/6 = d) 5/6 – 3/2 =
Problemas Simples:
a) Si sumamos 2/5 con 3/6, que fracción obtenemos.
b) Un tanque de agua vacío se llenó de la siguiente manera: el primer día con ½ de agua,
el segundo día con 2/3 de aguay el tercer día con ¾ de agua. ¿ Cuál es la capacidad
del tanque?
Multiplicación de N° Racionales:
a) 6/4 . 5/3 = b) 5/4 . 2/4 = c) 7/6 . 4/5 = d) 6/3 . 5/2 = e) 6/4 . 4/3 =
Propiedades de la Multiplicación de N° Racionales:
Conmutativa: a . c c . a
=
b d d b
Resuelve: a) 5/4 . 7/6 = b) 5/3 . 6/5 = c) 4/3 . 7/2 = d) 6/2 . 9/5 =

19
Asociativa: a . c . e = a . c . e
b d f b d f
Resuelve: a) 7/4 . 6/5 . 3/2 = b) 3/2 . 4/2 . 6/5 = c) 4/3 . 7/5 . 4/1 =
Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a
b b b
Resuelve : a) 4/5 . 1 = b) 4/7 . 1 = c) 3/5 . 1 = d) 2/5 . 1 = e) 6/4 . 1 =
Factor Cero : a a
. 0 = 0 .
b b
Resuelve: a) 5/3 . 0 = b) 4/2 . 0 = c) 3/6 . 0 = d) 2/5 . 0 = e) 3/8 . 0 =
Distributividad a . c + e a . c + a . e
‫־‬ = ‫־‬
b d f b d b f
Resuelve: a) 6/4 . ( 5/3 + 7/3 ) = b) 5/3 . ( 2/2 – 5/3 ) = c) 2/6 . ( 5/6 + 7/3 ) =

20
División de N° Racionales:
Ejemplo : 2 : 3 2 . 7 14
= =
4 7 4 3 12
Resuelve: a) 2/4 : 7/9 = b) 6/2 : 3/5 = c) ( 5/4 . 8/6 ) : 7/3 =
d) (7/2 : 9/3) : 8/4 = e) (5/3 + 1/5) : 2/3 = f) 6/4 + ( 7/3 : 3/2) =
Potenciación de N° Racionales :
Resuelve : a) 2/5 ³ b) 2/4 ² c) 2/3 . 2/3 ² d) 2/3 ³ . 2/3 ² ²
e) 3/5 ³ : 3/5 f) 2/4 ² . 2/4 ³ ³
Expresión Decimal y Científica:
Calcula: a) 4 = 0,4 b) 8 = c) 486 = d) 5789 = e) 44,567 =
10 100 1000 10 100

21
Escribe en Notación Científica:
Calcula: a) 1.600.000 = 1,6 x 106
b) 1.470.000 = c) 45.200.000.000 =
d) 0,00083 = e) 0,3478 = f) 172 = g) 12,347 = h) 0,0789=
Escribe en forma decimal:
Calcula: a) 3,2 x 104
= 3,2 x 10.000 = 32.000 b) 1,3 x 103
= c) 1,26 10-4
=
d) 3,55 x 10-6
= e) 45 x 10-1
= f) 1,26 x 10-2
= g) 684 x 102
=
Fracción Generatriz:
A,BCDE..... A= unidad 1
B= décima 0,1
C= centésima 0,01
D= milésima 0,001
E= décima de mil 0,0001
Etc.......
Observa la
estructura de
un N° decimal

22
Dado el decimal: 8,3 5 dónde: 8 es la parte entera
3 es el ante período
5 es el período
a) Dado f: 3,4 5 100f = 100 . 3,4 5 = 345, 5
-10f= -10 . 3,4 5 = -34, 5
90f = 311
f= 311
90
Resolver: a) 4,3 4 b) 6,57 8 = c) 9,4 32 = d) 95, 3 6 = e) 10,58 90 =
f) 7,4 4 g) 58, 78 9 = h) 4, 678 5 = i) 67,4 8546

23
Geometría :
Circunferencia: es una línea cerrada y plana cuyos puntos están a igual distancia del
centro.
Elementos de la Circunferencia:
a) Radio: es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier
punto de ella.
b) Arco: es la porción de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.
c) Cuerda: es todo segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.
d) Diámetro: es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Radio . Arco

24
Cuerda Diámetro
Fórmula de la Circunferencia:
C = 2 . π . r
Calcular: a) C = x b) C = x c) C = x d) C = x
r = 4 cm r = 3 cm r = 2 cm r = 6 cm
Construir circunferencias de:
a) 5 cm de diámetro.
b) 2.5 cm de diámetro.
c) 4 cm de radio.
d) 3 cm de radio
e) 20 mm de radio.
f) 30 mm de diámetro.

25
Triángulos: Un triángulo es un polígono de tres lados. Está compuesto por: lados,
vértices, ángulos internos y externos, tiene superficie y perímetro.
Clasificación de los triángulos:
Según sus lados: a.- Equilátero b.- Isósceles c.- Escaleno
Según sus ángulos: d.- Rectángulo e.- Acutángulo f.- Obtusángulo
a b c d
e f
Ángulos Internos:
A α A + α B + α C = 180°

26
Ejercicios: 1) Dado : Hallar : x
2) Dado Hallar : x
Ángulos Externos :
B A +  B +  C = 360°
C
A
1.- Dado 120°
Hallar: X
X 80°

27
X
2.- Dado
Hallar: X
100°
120°
Cuadriláteros: un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
Paralelogramo Rectángulo Rombo
a b e f s
v t
d c g h
u
Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo

28
Trapecio Escaleno
i e
m n
:
Construir los siguientes cuadriláteros:
1.- Un rombo, con las siguientes medidas: diagonal ac = 6cm, diagonal bd = 4cm.
2.- Un rombo: diagonal ac = 5cm, diagonal bd= 3cm.
3.- Un paralelogramo, cuyas diagonales midan cb = 7cm. , ad = 4cm y α a ó c = 50°.
4.- Un paralelogramo donde ab= 6cm y en ‘el construyamos un ángulo de 30°, ac= 5cm.
Polígonos: llamamos polígonos a la figura representada por una línea poligonal cerrada y
sus puntos interiores.
Polígono regular Polígono irregular
b
b
a c
c a
e d e d

29
Nombre de los Polígonos:
3 lados : triángulo
4 lados: cuadrilátero
5 Lados: pentágono
6 lados: hexágono
7 lados: heptágono
8 lados: octógono
9 lados: eneágono
10 lados: decágono
Polígonos inscritos: son los que tienen todos sus vértices sobre la misma circunferencia.
Ejercicios: construir polígonos sabiendo que uno de sus lados mide:
a.- Triángulo y uno de sus lados 3cm.
b.- Cuadrilátero y uno de sus lados 2 cm.
c.- Pentágono y uno de sus lados 3cm.
d.- Hexágono y uno de sus lados 4 cm

30
Polígonos inscritos: son los que tienen todos sus vértices sobre la misma circunferencia
a
b e
d
c
Polígonos circunscritos: son los que tienen todos sus lados tangentes a la misma
circunferencia.

31
Ejercicios: construir polígonos sabiendo que uno de sus lados mide:
a.- Triángulo y uno de sus lados 3cm.
b.- Cuadrilátero y uno de sus lados 2 cm.
c.- Pentágono y uno de sus lados 3cm.
d.- Hexágono y uno de sus lados 4 cm
Cálculo de Áreas:
a.- A (triángulo) = b . h b.- A(rectángulo) = b . h c.- A(cuadrado)= L²
2
d.- A(paralelogramo) = b . h e.- A(trapecio)= B1 + B2 . h
2
f.- A(rombo) = D1 . D2
2

32
Ejercicios:
a.- Calcula el área del triángulo cuya base es 2 cm y la altura 3 cm.
b.- Calcula el área del trapecio cuya base 1 es igual a 4 cm, base 2 igual a 3cm y la altura
2 cm.
c.- Calcula el área del cuadrado, sabiendo que uno de sus lados mide 4 cm.
d.- Calcula el área del paralelogramo, sabiendo que base mide 4 cm y su altura 5 cm.
e.- Calcula el área del rombo, sabiendo que una diagonal mide 3 cm y la otra
diagonal mide 4 cm.
Medidas de Capacidad: Es el volumen que ocupan los líquidos y la unidad más usada es
el litro.
Kl- hl – dal -l- dl – cl - ml
Kl= kilo-litro hl= hecto-litro dal= decalitro l= litro dl= decilitro
Cl= centrilitro ml= mililitro
Estas unidades aumentan de 10 en 10, y disminuyen de igual forma. De mayor a menor
multiplicamos y de menor a mayor dividimos.

33
Ejercicios: 1.- Transformar 25 Kl a l 2.- Transformar 267 l a cl
3.- Transformar 1280 cl a dal 4.- Transformar 34 dl a hl
Volumen cúbico: Estas unidades aumentan de 1000 en 1000, y disminuyen de igual forma.
De mayor a menor multiplicamos y de menor a mayor dividimos.
Kl³-hl³-dal³-l³-dl³-cl³-ml³
Ejercicios: 1.- Transformar 3,4 m³ a cm³ 2.- Transformar 0,042 dam³ a mm³
3.- Transformar 4876 m³ a hm³ 4.- Transformar 346 dam³ a hm³
5.- Transformar 12345 mm³ a km³ 6.- Transformar 830 cm³ a hm³
Medidas de longitud: Viene dado por la unidad del metro, y es la distancia que existe entre
dos cuerpos.
Km-hm-dam-m-dm-cm-mm
Km= kilómetro hm= hectómetro dam= decámetro m= metro dm= decímetro
cm= centímetro mm= milímetro

34
Transformar: a.) 3,4m a cm b.) 0,456 dam a mm c.) 4876 m a hm
d.) 28 dam a dm e.) 24546 mm a cm f.) 7463 h a Km
Identificar Poliedros:
Son los cuerpos geométricos limitados totalmente por polígonos.
Cubo Prisma
Paralelepípedo Tetraedro

35
Vi pirámide
Caras de un poliedro: son los polígonos que lo limitan.
Aristas de un poliedro: son los lados de los polígonos que forman sus caras, o los
segmentos formados por la intersección de cada dos de sus caras.
Vértices de un poliedro: son los vértices de los polígonos que forman sus caras o los
puntos de intersección de sus aristas.
Calcular el volumen de poliedros:
1) Volumen del cubo: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura,
pero la base es un cuadrado así que el área vale : A = lado2
.
Fórmula: V = (lado)3

36
2) Volumen del paralelepípedo: se calcula multiplicando la superficie de la base por
la altura, pero la base es un rectángulo cuya área vale:
A = largo x ancho.
a
Fórmula: V = l . a . h
h
l = largo
l a = ancho
h = altura
3) Volumen del cilindro: se calcula multiplicando la superficie de la base por la
altura, pero la base es un círculo cuya superficie vale: C =  . r2
Fórmula: V =  . r2
. h
r = radio
h h = altura

37
4) Volumen de un prisma regular : se calcula multiplicando la superficie de la base
por la altura.
Fórmula: V = p . a . h
2
5) Volumen de la esfera: fórmula. V = 4 .  . r3
3
r

38
5) Volumen de una pirámide: se calcula multiplicando la superficie de la base por la
altura y el resultado se divide por tres.
Fórmula: V = b . h
3
6) Volumen de un cono: se calcula multiplicando la superficie de su base por su
altura y el resultado se divide por tres.
Fórmula: V =  . r2
. h
3
h
r

39
Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen:
a) 3,4 m3
a cm3
b) 0,042 dam3
a mm3
c) 4876 m3
a hm3
d) 0,086 cm3
a dam3
e) 4 km3
a mm3
f) 18742 cm3
a dam3
Calcular el volumen del cubo, cuyas aristas son:
a) l = 6 m b) l = 5 cm c) l = 3 cm
d) l = 7 m e) l = 4 m f) l = 8 cm
Calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyos datos son:
a) l = 3 m b) l = 4 m c) l = 5 cm
a = 2,5 m a = 3 m a = 3 cm
h = 1,8 m h = 2 m h = 6 cm
d) l = 5 m e) l = 6 cm f) l = 7 m
a = 4 m a = 4,5 cm a = 8 m
h = 8 m h = 7 cm h = 10 m

40
Calcular el volumen de un cilindro, cuyos datos son:
a) r = 12 cm b) r = 10 m c) r = 8 cm
h = 45 cm h = 7 m h = 5 cm
 = 3,14  = 3,14  = 3,14
d) r = 23 cm e) r = 14 m f) r = 9 cm
h = 30 cm h = 14 m h = 14 cm
 = 3,14  = 3,14  = 3,14
Calcular el volumen de un prisma, cuyos datos son:
1) b = 240 cm2
2) b = 124 cm2
h = 14 cm h = 16 cm
3) b = 24 m2
4) b = 45 cm2
h = 6 m h = 5 cm
Calcular el volumen de una esfera, cuyos datos son:
1) r = 3 cm 2) r = 4 m 3) r = 5 cm
 = 3,14  = 3,14  = 3,14

41
Calcular el volumen de un cono, cuyos datos son:
1) r = 6 m 2) r = 8 cm 3) r = 7 m
h = 4 m h = 6 cm h = 5 m
 = 3,14  = 3,14  = 3,14

42
Probabilidad: también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama de las
matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que
un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está
basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII
Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como
Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su
desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias
preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces se han de
lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.
La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos
inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad
1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos estudian la
probabilidad de un suceso favorable en un experimento o acontecimiento con un número
finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad de ocurrir. Si un experimento
tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables, la probabilidad de un
suceso favorable es f/n. Por ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas
posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más
complicados estudian acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas
probabilidades de ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al
lanzar un par de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas
probabilidades. Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de

43
posibles resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada
aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.
Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad y la
estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un 3 y al
menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una persona lanza
una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso hacia atrás si sale
cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la persona esté a menos de
10 pasos del origen.
En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente
excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos
sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es igual al
producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son excluyentes si la
ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son independientes si la
ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el otro ocurra o no.
Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los casos de un conjunto
dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de que al menos uno de los
casos de un conjunto dado de sucesos ocurra. Probabilidad condicional es la
probabilidad de que un suceso ocurra cuando se sabe que otro suceso ha ocurrido o va a
ocurrir.
Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no ocurra es
q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y la de que no
ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente excluyentes X e Y
son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y no ocurra es p contra P.
Si un experimento debe dar como resultado uno de los sucesos O1, O2,…, On,
mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2, …, pn, respectivamente, y si a
cada uno de los posibles resultados se le asigna un valor numérico v1, v2, … vn, el
resultado esperado del experimento es E = p1v1 + p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una

44
persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5;
pierde 12 pasteles si saca un 6.
El resultado esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o
lo que es lo mismo, un pastel.
El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis estadístico.
Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo que significa
(se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin hacer trampas, un
gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos darán 7. Este concepto
se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la probabilidad de un suceso que no
se puede medir o es imposible de obtener. Así, si la estadística a largo plazo muestra que
por cada 100 personas entre 20 y 30 años sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que
quiere decir que la probabilidad de que una de esas personas llegue a los 70 años es de
un 42 por ciento.
La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y
sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares
como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas
matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la
teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.

45
P = CF casos favorables
CP casos posibles
Ejemplos: 1.- Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara.
P= 1 lo que significa 0,5 x 100% = 50%
2
2.- Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N° 5.
P = 1 lo que significa 0,16 x 100% = 16,6%
6
Ejercicios: Hallar la probabilidad de que:
a.- Al lanzar dos dados salga el N° 4 y 6.
b.- Al lanzar dos monedas salga cara y sello.
c.- Al meter la mano en un envase que contiene una ficha azul, dos rojas y una verde,
salga una azul y una roja.
d.- Al lanzar una moneda y un dado salga sello y 3.

46
Estadística: Rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar
datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la
toma de decisiones.
Historia:
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística,
pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos
de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas
cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla
para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o
cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la
renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros
bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El
primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar
material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares
con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya
información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos
sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la
edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes
caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las
propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la
conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó un
censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el
Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a

47
principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de
población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las
partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la
ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés
Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la
generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias
naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información
a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.
En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir
con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos,
biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El
trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino
sobre todo en el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría
de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos
conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas
distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar
datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las
inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un
determinado estudio estadístico.
Tipos de Gráficos:
1.- Gráfico de Barras:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1er
trim.
2do
trim.
3er
trim.
4to
trim.
Este
Oeste
Norte

48
2.- Gráfico Circular:
C i r c u l a r
3.- Gráfico de Polígono:
Polígono de Frecuencias
0
5
10
1 - 2 3 - 4
- 10
5 - 6 7 - 8 9-10
10101
7 -Calificaciones
N°

49
4.- Gráfico de Ojiva:
Ojiva
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 15
Ca lifica cione s
Alumnos

50
5.- Gráfico de Columnas:
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Alumnos
C a l i fi c a c i o n e s
C o lu m n a s
6.- Gráfico de Áreas:
0
2
4
6
8
1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 -12 13 -15
Calificaciones
Alumnos
Areas

51
Ejemplo: Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:
Intervalos frecuencia clase frecuencia acumulada
01 - 05 6 6
06 - 10 8 14
11 - 15 4 18
16 - 20 5 23
8
7
6
5
Frecuencia 4
3
2
1
01 05 10 15 20
Intervalos

52
Ejemplo: Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular
Clases frecuencias punto medio frecuencia acumulada
01-05 5 3 5
06-10 6 8 11
11-15 4 13 15
16-20 7 18 22
Realiza el gráfico.
Correspondiente.

53
Ejercicios: Con los siguientes datos, hacer un gráfico de barras
Intervalos frecuencias Punto medio P . m x f
001-002 6
003-004 8
005-006 7
007-008 4
Completa el
cuadro y realiza el
gráfico.
correspondientes

54
Nociones elementales de Informática:
a) Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una manera
formalizada, ajustada para la comunicación, interpretación o procedimiento
manual o automatizado.
b) Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a un
hecho o fenómeno.
c) Tipos de datos:
1) Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan origen
al proceso.
2) Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no permiten
verificar todas las transacciones.
d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras,
capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se trate
de una lectura o de una escritura.
e) Formas de procesamiento de datos:
.- Medios perforados.
.- Soportes perforados: tarjetas perforadas.
cintas perforadas.

55
.- Medios magnéticos: tambor magnético.
soporte magnético.
cintas magnéticas.
disco magnético
.- Medios ópticos.
.- Terminales de teclado-pantalla.
.- Impresora.
Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está formada
por:
a) Monitor o pantalla.
b) Teclado.
c) C .P.U
d) Impresora.
e) Mouse.
f) Fax.
g) Scanner.

57
Partes de un Computador
Unidad de Entrada Unidad de Memoria Unidad de Salida
Traduce palabras y números Almacena datos e Traduce el lenguaje
a lenguaje de máquinas instrucciones de máquina a pala-
bras y números
Unidad de Control
Controla los cálculos y el orden
de las instrucciones
Unidad Aritmética
Ejecuta todos los cálculos
Unidad Central de Procesamiento

58
Características de los computadores:
a) Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo:
.- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos.
.- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por
medio de lenguajes de programación.
a) Tienen gran velocidad de cálculo.
b) Tienen gran capacidad de almacenamiento.
c) Tienen gran precisión.
d) Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos
Tópicos.
e) Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.
Aplicaciones de los computadores:
Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los trabajos
administrativos de la oficina, dando lugar a una técnica conocida con el nombre de
ofimática.
Tareas administrativas del computador:
a) Gestión de personal.
b) Proceso de nóminas.
c) Control de inventarios.

59
d) Gestión de almacén.
e) Facturación y contabilidad.
f)Análisis de todos los datos relacionados con el negocio.
g) Información de productores, partes y materiales.
h) Estado de cuentas de los clientes.
Aplicaciones Industriales:
a) Control de procesos industriales.
b) Robótica industrial.
c) Diseño.
d) Otros.
Aplicaciones tecno-científico:
a) Predicciones meteorológicas.
b) Control ambiental.
c) Control de comunicación satelital.
d) Programas de simulación (vuelos).
e) Otros.

60
Aplicaciones médicas:
a) Control clínico del paciente.
b) Mantenimiento de hospitales.
c) Tomografía computarizada.
d) Otros.
Concepto de algoritmo:
El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente
especificado y sin ambigüedades que conducen a la solución de un problema específico
(definido), siguiendo un número infinito de pasos (instrucciones) ordenadas lógicamente.

61
Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:
Proceso salida - entrada
Operación
Manual decisión
Inicio-fin introducción
manual
magnetic-tape
documento punched
card

62
Representación gráfica de algoritmos :
Problema N° 1: Algoritmo para abrir una puerta
inicio
acercarse a
la puerta
intentar abrirla
dándole vuelta
al pomo
no ¿ está cerrada si buscar la introducir la
con llave? Llave llave en la
cerradura
darle vuelta a
la llave
dar vuelta no ¿ Se abrió
al pomo la puerta
abrir comple-
salir tamente la
puerta
fin

63
Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.
Algoritmo:
1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0)
2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)
3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N)
4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.
5.- Imprimir : SUM.
Comienzo
N = 0
SUM = 0
N = N + 1
SUM = SUM + N
Si
¿ Es N < 20
No
Imprima SUM fin

64
Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enteros positivos.
Algoritmo:
1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.
2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2)
3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)
4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X)
5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.
6.- Imprimir
Comienzo
N = 0
X = 0
SUM = 0
X = X + 2
N = N + 1
SUM = SUM + X
Si ¿ Es N < 20 ? No Imprima fin
SUM

65
1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.
2) Representar el algoritmo para bañarse.
3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.
4)Representar el algoritmo para levantarse.
Problema N° 1: Multiplicar dos números enteros positivos
1) Leer los N° enteros positivos A y B
2) Asignar a las variables PROD y N el valor 0
3) Sumar a PROD el valor en A
4) Aumentar a N en 1.
5) Si N < B pasar a instrucción 3.
6) Imprimir: PROD
Problema N° 2 : Dividir dos números enteros positivos.
1) Leer los N° enteros positivos A y B.
2) Asignar a las variable COC el valor 0.
3) Efectuar A – B y asignarlo a A.
4) Aumentar a COC en 1.
5) Asignar a RES el valor A.
6) Imprimir: COC y RES

66
Problema N° 3: Determinar el Máximo Común Divisor de dos N° enteros
positivos, utilizando divisiones sucesivas.
1) Leer los números enteros positivos A y B.
2) Si A > B, pasar a instrucción 4.
3)Intercambiar valores de A y B.
4) Dividir a entre b y obtener cociente C y resto R.
5) Si R = 0 pasar a instrucción 7
6) Asignar en A el valor de B, y en B el valor R.
7) Imprimir; MCD (A , B) = B

67
Determina el valor de cada una de las siguientes expresiones.
a) –4+(4+7-9)-{ (4-2)-(6+9)}-(4+1-7)=
b) {-(3+8-4)-(4+12-5)}+{(8-6)-(5+13)}=
c) {-(9-5+14)-(6-5+11)+(15-9+7)}+{(2-24)-(4+10)}=
d) {-(3+15+19-3)-(4+3-9)}-{(13+8+4)-(25-14+2)}=
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
a) x + 8 = 18 b) x – 4 = 10 c) 10 + x = 30
d) 20 + x = 70 e) 82 – x = 68 f) 5x + 10 = 15
g) x + 20 = 34 h) x – 25 = 50 i) 4x = 124
j) 5x + 103 = 153 k) 42x – 84 = 126 l) 1200 = 90 + 111x

68
Determinar el resultado de cada una de las siguientes operaciones:
a) (15+1):8= b) 20 : (7+3)= c) (-36) : (6-12)=
d) (23-11) : (-6)= e) 45 : (14-5)= f) (-80) : (15+5)=
Efectuar cada una de las siguientes expresiones:
a) 32
.34
.35
= b) 23
.34
.25
.310
= c) a3
.b2
a.b3
=
3.36
3.22
.2.35
a2
.b3
Hallar el m .c .m de los siguientes números:
a) 20 y 4 b) 30 y 6 c) 5 y 7 d) 15 y 25 e)21 y 34
f)12,3,15 g) 24,12,30 h) 4,8,9 i) 9,10,7 j) 5,9,16
Determinar el M .C .D de los siguientes números:
a) 72 y 90 b) 140 y 35 c) 24 y 56 d) 14 y 8 e) 12 y 34
f) 25 y 46 g) 14 y 28 h) 35 y 42 i) 28 y 35 j) 21 y 30

69
Efectuar cada una de las siguientes adiciones:
a) 2/6 + 7/4 = b) 5/3 + 6/5 = c) 8/4 + 9/2 + 5/2 =
d) 5/2 + 7/5 = e) 4/3 + 8/6 + 9/4 = f) 8/4 + 12/4 + 3/6 =
g) 4/8 + 9/8 + 10/6 = h) 9/6 + 13/6 = i) 12/5 + 8/4 + 9/8 =
Efectuar cada uno de los siguientes productos dando el resultado como
una fracción irreducible:
a) ( 3/4 ) . (-5/3)= b) (2/3) . (-4/5) . (5/3) = c) (2/7) . (-4/5) . (-3/4) =
d) (4/6) . (5/6) . (5/2) = e) (7/6) . (4/5) . (3/6) = f) (5/3) . (5/3) . (2/4) =
Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, dando la
respuesta lo más simplificado posible:
a) (3/4 + 2/5) : 2/3 = b) (5/2 – 1/5) : 2/4 = c) (2/3 –1/5 + 5/4) : 3/5 =
d) (6/5 . 3/5) . (2/3 – 5/4) = e) (5/6 : 4/3) : 6/4 = f) (4/6 – 8/4) . 6/3 =
g) (4/5 : 7/4) – (4/5 . (6/3) = h) (1/5 . 2/4) + (5/4) = i) (6/5 + 5/4) : 9/4 =

70
Efectuar cada una de las siguientes potencias:
a) (2/3)4
. (2/3)3
= b) (-1/3)2
: (-2/3)4
= c) (3/5) . (3/5)4
=
d) (3/4)2
. (6/5) = e) (2/3)4
. (1/5) 4
= f) (6/4)3
: (6/4)2
=
g) (4/3)3
. (3/5)5
. (4/3)2 3
= h) (4/2)3
. (5/2)3 5
: (4/2) .(5/2)2
=
Determinar el representante decimal correspondiente a cada una de las
siguientes fracciones:
a) 4/10 = b) 8/100 = c) 486/1000 = d) 39/10.000 = e) 765/100 =
f) 34,2/10 = g) 2,45/100 = h) 0,0078/1000 = i) 8765/100 =
j) 78/1000 = k) 24537/10 = l) 2655364/10.000 = m) 2453/100.000 =
Determinar la fracción generatriz de cada uno de los siguientes números decimales:
a) 2, 35 = b) 34, 24 = c) 4, 786 = d) 76, 345 = e) 54, 8976 =
f) 5, 7 6 5 = g) 45,9 87 = h) 876,98 65 = i) 9,567 87 =

71
Calcular la longitud de cada una de las siguientes circunferencias cuyos radios son:
a) r = 2 cm b) r = 6 cm c) r = 2,4 cm d) r = 10 cm
e) r = 3,5 cm f) r = 34 mm g) r = 45 mm h) r = 5 m.
Dibujar los triángulos cuyos lados se dan a continuación:
a) ab = 2 cm b) ab = 19 mm c) ab = 23 mm d) ab = 4 cm
ac = 2,2 cm ac = 20 mm ac = 20 mm ac = 6 cm
bc = 2 cm bc = 23 mm bc = 26 mm bc = 7 cm
Construir circunferencias de :
a) 3 cm de radio b) 23 mm de radio c) 5,3 cm de diámetro
d) 45 mm de diámetro e) 3,3 cm de radio f) 8 cm de diámetro

72
Construir los siguientes cuadriláteros:
a) Un paralelogramo: ab = 4 cm ; ad = 2 cm
b) Un rectángulo: ab = 6 cm ; ad = 2 cm
c) Un rombo: diagonal ac = 5 cm; diagonal bd = 3 cm
d) Un trapecio isósceles :b1 = 5 cm ; b2 = 2 cm ; h = 3 cm
e) Un trapecio rectángulo: b1 = 6 cm; b2 = 3 cm; h = 4 cm
f) Un trapecio escaleno : b1 = 4 cm ; b2 = 2 cm; h = 3 cm
Construir polígonos, cuyas circunferencias son:
a) Un triángulo, en una circunferencia de 5 cm de diámetro.
b) Un cuadrilátero, en una circunferencia de 4 cm de diámetro.
c) Un pentágono, en una circunferencia de 6 cm de diámetro.
d) Un hexágono, en una circunferencia de 7 cm de diámetro.

73
Calcular las siguientes áreas:
a) De un triángulo: b = 5 cm; h = 6 cm
b) De un rectángulo: b = 4 cm ; h = 3 cm
c) De un cuadrado: l = 3 cm
d) De un paralelogramo: b = 6 cm; h = 2 cm
e) De un trapecio: B1= 5 cm; B2= 3 cm; h = 3 cm
f) De un rombo: D1= 4 cm; D2= 5 cm
Dibujar los triángulos cuyos ángulos y lados adyacentes se dan a con-
tinuación:
a) αA = 68°; ab = 23 mm; ac = 22 mm
b) αB = 120°; ba = 17 mm; bc = 23 mm
c) αC = 47°; ca = 20 mm; cb = 32 mm
d) αA = 100°, ab = 5 cm; ac = 2 cm
e) αB = 45°; ba = 4 cm; bc = 6 cm

74
Calcular el valor del ángulo x en cada una de las siguientes figuras:
a) 75° b)
x 45°
x
52°
c) 56°
x
52° 82°

75
En cada una de las siguientes figuras calcular el área sabiendo que:
a) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 m2
.
b) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 cm2
.
c) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 km2.
a) b)
c)

76
Calcular el área de cada una de las siguientes figuras: (dibujarlas)
a) Un cuadrado si uno de sus lados mide 5 cm.
b) Un triángulo cuya base es 4 cm, y su altura 6 cm.
c) Un rectángulo cuya base es 3 cm, y su altura 4 cm.
d) Un paralelogramo cuya base es 5 cm, y su altura 5 cm.
e) Un trapecio cuya b1= 4 cm; b2= 6 cm y su altura 4 cm.
f) Un rombo cuyo D1= 4 cm; D2= 3 cm.
Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen:
a) 2,6 m3
a ml3
b) 0,0003 hl3
a cl3
c) 456,74 l3
a mm3
d) 3,53678 dal3
a ml3
e) 1234,65 kl3
a dl3
f) 2,4 x 102
dal3
a hl3

77
Transformar cada una de las siguientes medidas de longitud:
a) 45 km a hm b) 456,3 m a km c) 1,245 mm a m d) 0,786 m a km
e) 984 dam a dm f) 12,45 km a mm g) 56,387 dm a hm h)36,2 km a m

78
Hallar la probabilidad de que:
a) Al lanzar dos dados y una moneda salga: 3,4 y cara.
b) Al lanzar tres dados salga: 3,6,5.
c) Al lanzar cuatro dados y dos monedas salga:1,6,4,3,cara y sello.
d) En un recipiente que contiene 3 metras azules, 2 metras rojas y 5 metras
verdes, al meter la mano sacar una azul y dos rojas.
e) En el siguiente cuadro numérico al lanzar un dardo, que posibilidad hay de
Acierte el N° 4.
4 5 8 9 1 0 3
12 4 7 10 23 13 43
32 89 45 54 78 98 46
27 37 4 60 100 48 41
96 3 12 76 1 0 52

79
Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras,
uno líneas y uno de puntos:
Clases frecuencias punto medio f. acumulada
00-06 5
07-13 7
14-20 4
21-27 8
Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras
uno de puntos.
Intervalos frecuencias punto medio p. m x f
1 – 10 5
11 - 20 8
21 – 30 6
31 - 40 9

81
Ludo de los Números Naturales
Descripción:
Consta de un tablero rectangular elaborado en cartulina, distinguido con cuatro
colores : verde, azul, amarillo y rojo. Además contiene 16 fichas (4 verdes, 4 azules, 4
amarillas y 4 rojas) para ser utilizado por cuatro jugadores.
El recorrido en el juego estará representado por varias operaciones relacionadas con
los números naturales.
Regla del Juego:
1.- Se rifa el salidor ( saldrá primero el que saque el mayor número del dado).
2.- Se utilizará un dado a la vez.
3.- Se podrá jugar con una ficha a la vez, hasta que se introduzcan una a una en la
casilla de llegada.
4.- Al llegar a una casilla con operaciones, hay que contestar. Si es correcto esperara
su siguiente turno, si es incorrecto se perderá un turno de juego.
5.- Ganará el que introduzca todas las fichas en el triángulo de llegada.
Objetivo Terminal:
El alumno mediante el juego del Ludo, conocerá las operaciones fundamentales de
los números naturales.

83
Relaciónate con los Números Naturales
Descripción:
Consta de 55 piezas rectangulares, elaboradas en cartulina doble-fax, donde cada lado
consta de relaciones de dos números, donde se pueden sumar o multiplicar según el
objetivo que se quiera lograr. La relación viene dada d todas las combinaciones de los
números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Se elaborarán 17 circunferencias en cartulina de 20 cm ó 30 cm de diámetro, cada una
enumerada del 1 al 17.
Regla del juego:
1.- Se debe repartir 11 piezas a cada alumno en grupos de cinco (5), en una meza o el
piso.
2.- Se dispondrá de las 17 circunferencias ya recortadas en medio de los jugadores (suma)
y 35 circunferencias para el (producto).
3.- Se les indicará a los alumnos que introduzcan las 11 fichas de cada combinación,
dependiendo de la suma o el producto de los números en la circunferencia
correspondiente.
4.- Ganará el que termine de relacionar las fichas dentro de las circunferencias en forma
correcta.
Objetivo Terminal:
El alumno conocerá mediante el juego , los números naturales, las relaciones entre
ellos, además de sumar y multiplicar en N.

84
SUMA
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
17

85
PRODUCTO
0 1 4 9
16 25 36 49
64 81 8 3
5 6 7 12
21 18 15 24
20 28 27 45
32 63 36 42

86
72 48 54 40
35 56 14
PIEZAS

91
Memoria de los Números Enteros
Descripción:
Consta de 56 piezas en forma de cuadriláteros, elaborados en cartulina doble-fax,
donde un lado estará con un número, palabra o signo, relacionado con el tema de los
números enteros (preferiblemente en colores), y el otro lado en blanco.
Regla del juego:
1.- Se colocará todas las piezas con el color blanco hacia arriba.
2.- Pueden jugar hasta 5 alumnos.
3.- Cada alumno irá levantando de dos piezas hasta que coincidan las figuras, una vez
que coincidan se anexarán al jugador.
4.- Ganará aquel jugador que logre acumular el mayor número de parejas.
Objetivo Terminal:
Comprobar que el alumno esté en capacidad de relacionar los números negativos, los
positivos y el cero como números enteros.
Conocer que los números enteros se escriben como Z.
Establecer que los números naturales son un sub-conjunto de los números enteros.

95
Juguemos con los Dados
Suma de Fracciones
Descripción del juego:
Se formarán 6 grupos de seis alumnos y cada grupo se dividirá en tres (3 equipos).
Luego se les entregará dos (2) dados que tienen en cada cara una fracción. Los
alumnos dirán que pareja del grupo de seis comienza lanzando los dados, para comenzar
la competencia entre ellos.
Al lanzar los dados quedarán dos fracciones que la pareja tendrá que sumar y los que
lo hagan en menor tiempo y correctamente se anotarán un (1) punto y competirá con la
otra pareja.
La pareja ganadora se queda y sale la perdedora, y así sucesivamente.
Al final competirán entre sí los ganadores de los seis equipos, y se irán eliminando
hasta quedar un (1) ganador. El profesor recogerá el record de todos los competidores,
asignándole desde 0,25 puntos hasta 2 puntos a los ganadores (dependiendo de las veces
que haya ganado).
Propósito:
.- Practicar la suma de fracciones con igual y diferentes denominadores.
.- Compartir conocimientos. Solidaridad.
.- Ser críticos.
Objetivo terminal:
Que los alumnos afiancen los conocimientos en suma de fracciones.

96
Caras de los Dados
Primer Dado:
Segundo Dado:
4
6
5
2
6
4
2
7
4
6
3
5
3
4
2
5
3
6
1
2
2
3
1
4

97
Carrera Geométrica
Descripción:
El juego consiste de un tablero de cartulina doble-fax, construido por los alumnos,
conteniendo cuadros sucesivos en los que hay preguntas, observaciones y respuestas que
el jugador debe acatar.
Se jugará con cuatro alumnos en el piso o una mesa. Se utilizará un dado por juego.
Ganará el alumno que logre salvar todos los obstáculos y llegue primero. Consta de
26 tarjetas de preguntas y 26 tarjetas de respuestas.
Regla:
1.- Se sorteará el salidor, lanzando el dado.
2.- Cuando caiga en ? se deberá levantar la tarjeta de arriba y leer la pregunta al
jugador. Si coincide con la tarjeta de respuesta podrá volver a lanzar el dado.
3.- Cuando caiga en “avanzar”, “ pierdes turno, “retrocede espacios”, debes cumplir con
lo escrito.
4.- Los espacios con figuras geométricas son neutros.
5.- El jugador que llegue primero, será el ganador.
Objetivo Terminal:
Se cumplirá el objetivo, si los alumnos responden satisfactoriamente todas las
preguntas en los que ha caído el alumno.
El juego persigue estimular al alumno en el conocimiento teórico y práctico de la
geometría de 7mo
grado.
Parte posterior Parte anterior
. 1- Pregunta 1.- Respuesta

99
Preguntas
1.- ¿La Geometría
estudia?
2.-¿ La
circunferencia es?
3.-¿ Radio es?
4.- ¿El arco es? 5.- ¿Define la
Cuerda?
6.- ¿ El Diámetro
es?
7.- ¿ La fórmula
C = 2. . r es para
calcular la?
8.- ¿ El segmento de
la figura es? 9.- ¿ Un triángulo
es?
10.-Qué triángulo
es?
11.- ¿ Qué triángulo
es?
12.- ¡Los ángulos de
la figura son?
13.- ¿ Un
cuadrilátero es?
14.- ¿ Qué triángulo
es?
15.- La figura
representa un:
16.- ¿ Un polígono
es?
17.- La figura
representa un:
18.-Los ángulos de
la figura son:

100
Respuestas
19.- La figura
representa un:
20.- La figura
representa un: 21.- ¿Un polígono
de 6 lados se
llama?
22.-En la fórmula:
At = b . h
2
b = ?
h = ?
23.- ¿ La notación
Kl se llama?
24.-¿ La unidad
para medir la
longitud es?
25.-¿ La figura es
un?
26.- La figura es
un?
1.- Estudia el
espacio y las
formas, figuras y
cuerpos que se
imaginen.
2.- Es una línea
cerrada y plana
cuyos puntos están a
igual distancia del
centro.
3.-Es cualquier
segmento que une el
centro de la
circunferencia con
cualquier punto.
4.- Es la porción de
circunferencia
comprendida entre
dos de sus puntos.
5.- Es todo
segmento que une
dos puntos
cualquiera de la
circunferencia.
6.- Es toda cuerda
que pasa por el
centro de la
circunferencia

101
7.- Circunferencia 8.- Radio
9.- Un triángulo es
un polígono de tres
lados.
10.- Equilátero 11.- Rectángulo 12.- Internos
13.- Es un polígono
de cuatro lados 14.- Isósceles
15.- Paralelogramo
16.- Llamamos
polígono a la figura
representada por
una línea poligonal.
17.- Rectángulo 18.- Externos
19.- Un polígono
regular 20.- Rombo 21.- Hexágono

102
22.- b = base
h = altura 23.- Kilolitro 24.- Metro
25.- Cubo 26.- Cilindro

103
Juego de Dominó en la Geometría
Descripción:
El juego de dominó consta de 28 fichas rectangulares. Cada ficha está dividida en
dos recuadros iguales. Cada recuadro expresa una relación.
El juego tiene 56 relaciones en total, las cuales pertenecen al objetivo de figuras
geométricas y cuerpos geométricos. El juego consiste en empatar la figura, fórmula o
cálculo del extremo de una ficha, con una relación de su misma clase, perteneciente a
otra ficha:
Regla del Juego:
Juegan cuatro (4) jugadores por mesa de juego, en el taller, o juntando pupitres en
una aula normal. Para una sección de 24 a 32 alumnos, se necesitará 6 ó 8 juegos
semejantes.
El juego se desarrolla en la misma forma que un dominó convencional: se revuelven
las fichas boca abajo, cada jugador recoge 7 piezas y las ordena frente suyo.
El jugador irá colocando las fichas dependiendo de la relación que exista al momento
de jugar. Ganará el jugador que logre colocar todas las fichas. Su quipo sumará un (1)
punto cada vez que llegue primero uno del equipo.

104
Se jugarán 11 rondas por cada juego de manera que siempre halla un equipo
ganador.
FICHAS

107
Subiendo y bajando la escalera (Estadística)
Descripción:
Este juego se dibujará en una hoja blanca o cartulina, utilizando cuatro fichas de
colores diferentes para identificar los jugadores .
Regla del juego:
1.- Constará de 24 escalones enumerados.
2.- Por cada escalón habrá una tarjeta con una pregunta, ejercicio o sugerencia, deberá
contestar o resolver el ejercicio para poder avanzar.
3.- Se jugará de dos (2) hasta cuatro (4) alumnos por cada escalera.
4.- Se utilizará un (1) dado a la vez.
5.- Cada alumno debe tener hojas blancas, lápiz, regla y colores, para poder cumplir con
los ejercicios.
6.- El docente supervisará el desarrollo del juego.
7.- Ganará el alumno que logre contestar todas las preguntas y llegue primero.
8.- Habrá ocho (8) tarjetas de inmunidad para solventar las preguntas, si no la sabe, y
librarse de la caída de la casilla 13.
Objetivo terminal:
El objetivo de este juego es obtener el conocimiento básico de los objetivos de
estadística y probabilidad del programa de Matemática de una manera sencilla y amena.

108
Vuelve a empezar
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

109
Tarjetas de Preguntas
Posterior
3
Toma una tarjeta de
inmunidad
1
Define Estadística
2
¿ Qué significa % ?
4
Hallar la probabilidad de
que al lanzar un dado salga
el N° 4
5
¿Este es un gráfico?
frecuencia
rojo
verde
azul
amarillo
morado
6
¿ Que es la
probabilidad ?

110
7
Lanza dos monedas y halla
la probabilidad de que salga
cara y sello
8
Toma una tarjeta de
inmunidad
11
¿ Este es un gráfico de?
0
20
40
60
80
100
1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.
9
¿Qué significa fr ?
10
Toma una tarjeta de
inmunidad
13
Define población
14
Toma una tarjeta de
inmunidad
12
Avanza 2 escalones

111
15
Define muestra
16
¿ Cuál es la moda en?
3,4,5,2,1,3,6,8,3
19
Grafica el siguiente cuadro:
Intervalos Frecuencia
00 - 05 1
06 - 10 4
11 - 15 6
16 – 20 2
17
Toma una tarjeta de
inmunidad
18
Retrocede 4 escalones
20
Toma una tarjeta de
inmunidad
21
Define la mediana
22
Calcular la media en:
5, 3, 10, 9, 5, 6, 4

112
Tarjetas de Inmunidad
23
¿ Qué porcentaje es
350 de 1000?
24
Calcular la mediana en:
1, 3, 4, 5, 6, 2, 8

113
Respuestas
1.- Es la ciencia en la que se ordena y clasifican experiencias sobre fenómenos que han
ocurrido
2.- Significa porcentaje
3.-
4.- La probabilidad es P = 1/6
5.- Gráfico circular
6.- Es el estudio de fenómenos ocurridos al azar
7.- P = 2/4
8.-
9.- Frecuencia relativa
10.-

114
11.- Gráfico de barras
12.- Avanza 2 escalones
13.- Es el conjunto de todos los objetos de estudio de una investigación
14.-
15.- Es un subconjunto de la población
16.- La moda es: 3
17.-
18.- Retrocede 4 escalones
19.-
0
2
4
6
00 - 05 06 - 10 11 - 15 16 - 20

115
20.-
21.- La mediana es el valor central de una distribución.
22.- x = 42 x = 6
7
23.- 35%
24.- es 5

116
Crucigrama Matemático:
1 5
2 3
6 7
4
8 9
10 11 10
12
Horizontal: Vertical:
1.- Suma de 3 + 4 1.- se define + como
2.- Se llama 3.- 8 se escribe
4.- . se escribe 5.- 3 se escribe
6.- Siete en ingles 7.- 21 – 1 es igual
8.- 2 + 3 es igual 9.- x en x = 5 – 1 es igual
10.- 13 se escribe 11.- se conoce como
12.- + se escribe

117
Bingo Geométrico
El juego consiste en llenar el cartón del bingo geométrico primero que los demás. Este
consta de 7 cartones y 12 fichas que estarán dentro de una bolsa.
Habrá un cantador que puede ser un jugador o el profesor. Podrán participar hasta 7
jugadores.

119
Memoria Geométrica
El juego es individual. Cada alumno encuentra las sumas y cuando uno de los
participantes designado por el profesor lee sus resultados, los demás lo confirman o los
corrigen.
Ganará el jugador que obtenga los resultados correctos.
Número de: Triángulos:_____ Cuadrados:_____ Hexágonos:____ Círculos.____
Triángulos pequeños:_____ Triángulos grandes:_____ Cuadrados pequeños:_____
Cuadrados grandes:_____ Hexágonos pequeños:_____ Hexágonos grandes:_____
Círculos pequeños:_____ Círculos grandes:____

128
BIBLIOGRAFIA
NAVARRO, E……………………………..Matemática 7mo
Grado. Distribuidora
Zacarías. Caracas Venezuela.1987.
SARABIA, José y BARRAGÁN, F........ Matemática 7mo
Grado. Ediciones
CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993
MICROSSOF ENCARTA 99

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