COLLEGE BOARD Puerto Rico

1. REPASO DE COLLEGE BOARD
Prof. Juan Serrano, MA
1

2. Bosquejo general del curso
2
Aritmética
Álgebra
Geometría
Análisis de datos y probabilidad
Estándares:

3. INDICE
■ ARITMETICA
– Propiedades y operaciones de los números reales
– Razón y proporción y porcentaje
– Patrones numéricos
– Conceptos simples de teoría de números: divisibilidad,
factorización prima, múltiplos, máximo común divisor y
mínimo común múltiplo.
■ ALGEBRA
– Expresiones Algebraicas: simplificación, evaluación,
factorización
– Ecuaciones lineales
– Inecuaciones lineales con variable
– Exponentes racionales y radicales
– Polinomios
– Ecuaciones cuadráticas, racionales y con radicales
– Variación
– Patrones algebraicos
– Rectas y sus propiedades
– Funciones: dominio, campo de valores, evaluación, graficas
– Funciones lineales, cuadráticas y exponenciales
– Operaciones con funciones
– Relaciones de cambio
– Sistema de ecuaciones
3

4. INDICE
■ GEOMETRIA
– Coordenadas cartesianas
– Transformaciones: traslaciones y reflexiones
– Distancia y punto medio
– Rectas y ángulos
– Semejanza y congruencia
– Triángulos y cuadriláteros: perímetro y área
– Círculos y polígonos
– Volumen y área de superficie de solidos
■ ANALISIS DE DATOSY PROBABILIDAD
– Medidas de tendencia central: media, mediana y moda
– Medidas de dispersión
– Interpretación de tablas, graficas figuras
– Técnicas de conteo, combinaciones y permutaciones
– Probabilidad de un evento
– Población y muestra
– Probabilidad condicional
4

5. ARITMETICA
5

6. ARITMETICA
1-1 Números Reales
Un conjunto es una colección de elementos enumerados entre llaves. El conjunto
{ }gfedcba ,,,,,, , consta de siete (7) elementos, llamados .,,,,,, gfedcba Un conjunto que
no contiene elementos es llamado conjunto vacío o conjunto nulo. Los símbolos son: { }o
Ø, se utilizan para representar el conjunto vacío.
Existen muchos conjuntos diferentes de números. Los más utilizados son:
Números Naturales o de Contar: { }.....6,5,4,3,2,1
Números completos o Cardinales: { }.....6,5,4,3,2,1,0
6

7. Hay otros como:
Números enteros: { }.....5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5..... -----
Números racionales: finitos o periódicos: { }4,2,1,333.0,
4
1,
2
1 -
Números irracionales: infinitos: { }2,...,424344.5 p
Números reales: {Todos los números que pueden ser representados
en la recta numérica}
Considere el siguiente ejemplo:
þ
ý
ü
î
í
ì
------ 5,7,9.2,
7
4
,9,0,3,96,
2
1
4,5.0,6
ARITMETICA
7

8. REPASO DE:
ARITMÉTICA, ALGEBRA & GEOMETRÍA
Considere el siguiente ejemplo:
þ
ý
ü
î
í
ì
------ 5,7,9.2,
7
4
,9,0,3,96,
2
1
4,5.0,6
Enumera los elementos de los siguientes conjuntos:
a) Números naturales
9
b) Números completos
0,9
c) Enteros
9,0,96,6 --
d) Números racionales
-6,-0.5,
2
1
4 ,-96,0,9,
7
4
- ,-2.9
e) Números irracionales
5,7,3 -
f) Números reales
þ
ý
ü
î
í
ì
------ 5,7,9.2,
7
4
,9,0,3,96,
2
1
4,5.0,6
ARITMETICA
8

9. 1-1 Números Impares
Estos son los siguientes:
Números Impares: 1,3,5,7,9,.....
Números pares: 2,4,6,8,10,12,..... Þ Todos aquellos divisibles por 2.
Números primos: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,..... ot ros Þ Números
cuyos únicos
factores son el 1 y el número.
Nota: El número 1 no es primo.
1-2 Operaciones con Fracciones
Los números o variables multiplicados en un problema de multiplicación se llaman
factores.
Si cba =× , entonces a y b , son factores.
ARITMETICA
9

10. 1.3 Operaciones con Fracciones
Los números o variables multiplicados en un problema de multiplicación se llaman
factores.
Si cba =× , entonces a y b , son factores.
PARTES DE UNA FRACCIÓN:
den
num
Þ
Þ
25
10
Las fracciones se pueden llevar a su forma más simple.
Veamos como:
5
2
525
510
25
10
=
¸
¸
= , El mayor número que divide a 10 y 25 es 5, por lo
tanto es el
ARITMETICA
10

11. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES:
dc
ac
d
c
b
a
=×
Veamos el siguiente ejemplo:
26
5
6156
630
156
30
1213
56
12
5
13
6
=
¸
¸
==
×
×
=×
DIVISIÓN DE FRACCIONES:
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
=×=¸
Veamos el siguiente ejemplo:
25
18
5
6
5
3
6
5
5
3
=×=¸ , Si no hay un número que los divida a
ambos, la fracción se queda
igual.
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES:
c
ba
c
b
c
a +
=+ ó
c
ba
c
b
c
a -
=-
Veamos el siguiente ejemplo:
15
11
15
29
15
2
15
9
=
+
=+ Þ Fracción con denominador
común.
Veamos el siguiente ejemplo:
13
3
13
58
13
5
13
8
=
-
=- Þ Fracción con denominador
común.
DENOMINADORES DISTINTOS: Para resolver este tipo de fracción hay que escribir la
fracción con un denominador común. Veamos:
Suma:
( )
( )
( )
( ) 10
7
10
25
10
2
10
5
25
21
52
51
5
1
2
1
=
+
=+=+=+
ARITMETICA
11

12. Resta:
( )
( )
( )
( ) 12
1
12
8
12
9
43
42
34
33
3
2
4
3
=-=-=-
NÚMEROS MIXTOS: Un número mixto consta de un número completo seguido de una
fracción.
Cambie el siguiente número mixto por una fracción:
( )
( )
( )
( ) 3
17
3
2
3
15
13
12
31
35
3
2
1
5
3
2
5
3
2
5 =+=+=+=+=
Cambie
3
17
por un número mixto:
3
3
5
5
02
15
173 Þ
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS MIXTOS:
4
69
5
23
4
15
5
3
4
4
3
3 =×=÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
ó
4
3
17
ARITMETICA
12

13. 1-4 Leyes de divisibilidad
Reglas que resumen el momento de dividir por un número de más de dos dígitos. Para ese
momento recuerda lo siguiente:
a) 2: si el número termina en 0, 2, 4, 6, 8,...
b) 3: si la suma de los dígitos es divisible por 3.
c) 4: si los últimos dos dígitos son divisibles entre 4.
d) 5: si el número termina en 0 o en 5.
e) 6: si el número es divisible entre 2 y 3.
f) 9: si la suma de sus dígitos es divisible entre 9.
g) 10: si el número termina en 0.
ARITMETICA
Aplica a los siguientes ejercicios las reglas
de divisibilidad
1) 125
2) 436
3) 1287
4) 333
5) 956
6) 120
13

14. 1-5 Factorización Prima
Los números primos son los números naturales, excluyendo al 1 (uno) que solo puede dividirse entre si
mismo y 1.
¿Cuál es el siguiente número primo?
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ___. E l próximo es el 31.
Determina los factores primos de:
a) 15253222120 3
×=××××=
EJERCICIOS:
1) 75 4) 108
2) 160 5) 156
3) -64
ARITMETICA
14

15. 1-6 Decimales
Para sumar o restar números con puntos decimales:
1) Alinee los números por los puntos decimales.
2) Sume o reste los números como si fueran enteros.
3) Coloque el punto decimal en la suma o resta directamente bajo los puntos decimales de los
números sumados o restados.
Ejemplos: Suma y Resta:
a)
81.3
45.1
36.2
+ b)
84.0
56.1
4.2
- c)
57.18
43.06
00.25
- d)
12.33
62.01
5.31
+
Ejemplos: Multiplicación y División:
a)
0426.0
02.00
13.02
x b)
446.4
234
2106
9.01
34.2
+
x
c)
12
6.195
100
100
12.0
956.1
=´ Þ
3.16
6.195.12 Þ Como el divisor, es 0.12, es 12 centésimas,
multiplicamos el divisor y el dividendo por 100.
ARITMETICA
15

16. d) Þ=´
104
6.2
10
10
4.10
26.0
Þ
025.0
600.2104 Como el divisor, es 10.4, décimas,
multiplicamos el divisor y el
dividendo por 10.
EJERCICIOS:
1) =´ 1.214.3
2) =´ 02.0003.0
3) =¸ 5.025.4
4) =¸ 2.172.36
ARITMETICA
16

17. 1-7 Por ciento
La palabra porcentaje significa por ciento. El símbolo es “%” y se lee por ciento.
Observa los siguientes ejemplos:
1) Convirtamos 16% en un decimal.
2) Convirtamos 2.3% en un decimal.
3) Convirtamos 1.14 en un porcentaje.
A) Para expresar un número decimal en porcentaje, lo multiplicamos por 100%.
4) Determinemos el 12% de 200.
A) Para calcular el porcentaje, utilizamos la multiplicación. Cambiamos 12% por su
expresión decimal y después multiplicamos por 200.
ARITMETICA
17

18. 5) Cierto sistema de sonido importado tiene un impuesto del 8%.
a) Determinemos el impuesto de venta del sistema, si su precio es de $580.
b) Determinemos el costo total, incluyendo el impuesto.
ARITMETICA
18

19. a) $38.40
b) $34.56
c) $33.60
d) $3.84
Un articulo cuesta $48.00 y tiene un 20% de descuento. Los clientes que
paguen utilizando la tarjeta de crédito de establecimiento reciben un 10% de
descuento adicional. Cuánto mas pagara una persona que NO utilice la tarjeta
de crédito, que otra que la utilice?
19

20. ■ Un articulo cuesta $48.00 y tiene un 20% de descuento. Los clientes que paguen utilizando la tarjeta
de crédito de establecimiento reciben un 10% de descuento adicional. Cuánto mas pagara una
persona que NO utilice la tarjeta de crédito, que otra que la utilice?
■ SOLUCION
■ 1) COSTO DE $48.00Y PAGA UN 20% DE DESCUENTO:
■ 2) A 38.40 LE APLICAS EL DESCUENTO DE 10%:
■ 3) EL CLIENTE QUE NO USA LATARJETA DE CREDITO PAGA 3.84 MAS,YA QUE:
■ 4) LA CORRECTA ES: D
48.00 𝑥 .20 = 9.60 48.00 𝑥 .80 = 38.40
38.40 𝑥 .10 = 3.84 38.40 𝑥 .90 = 34.56
38.40 − 34.56 = 3.84
20

21. 𝐿𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑥 + 2 ≤ 4. 𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
a) −6 ≤ 𝑥 ≤ 6
b) −6 ≤ 𝑥 ≤ 2
c) 𝑥 ≥ −6 𝑜 𝑥 ≤ 6
d)−4 ≤ 𝑥 ≤ 4
21

22. Solución
−4 − 2 ≤ x ≤ 4 − 2
−6 ≤ 𝑥 ≤ 2
22

23. ■ Cuál de las siguientes opciones es equivalente a la frase, “la suma de 6p y 3 es
igual al producto de p y
2
3
”?
A) 6𝑝 =
2
3
𝑝 + 3
B) 3 2𝑝 + 1 =
2
3
𝑝
C) 3(6p) =
2
3
𝑝
D) 6 𝑝 + 3 =
2
3
𝑝
SOLUCION
23

24. ■ La suma de las puntuaciones de Carlos y Ana en un examen es 126. Si la puntuación
de Ana fue 3 más que el doble de la de Carlos. Cuál fue la puntuación de Ana en el
examen?
■ Solución
■ Si C representa la puntuación de Carlos y A representa la puntuación de Ana,
entonces se genera el siguiente sistema de ecuaciones:
𝐶 + 𝐴 = 126
𝐶 = 126 − 𝐴
𝐴 = 3 + 2𝐶
(1)
(2)
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵: 𝑳𝑬𝑻𝑹𝑨 𝑫, 𝟖𝟓
24

25. DEFINICION DE FUNCION:
Una función y = f(x) es creciente para todo valor
de x si a medida que aumente el valor de x
aumenta el valor de y. Como la opción B, es
decreciente ya que los valores de y disminuyen
para todo valor de x en su dominio.
SOLUCION ES LA D
25

26. ALGEBRA
26

27. 2-1 Enteros
El conjunto de los números enteros contiene los números negativos, los positivos y el cero.
Suma y Resta:
a) Signos iguales se suma.
3 + 5 = 8 y -3 – 5 = -8
b) Signos distintos se resta y se escribe el signo del valor absoluto mayor.
-3 + 5 = 2 y 3 – 5 = -2
Multiplicación y División:
a) Signos iguales el resultado es positivo.
( ) 30103 =-- y ( ) 30103 =
51050 =-¸- y 51050 =¸
b) Signos distintos el resultado es negativo:
( ) 30103 -=- y 2045 -=-×
51050 -=¸- y 5525 -=-¸
ALGEBRA
27

28. 2-1 Ecuaciones e inecuaciones
Una ecuación es una proposición matemática de igualdad. Las ecuaciones deben contener un signo de
igual y expresión matemática a cada lado del mismo.
Ejemplos:
î
í
ì
+-=-
=+
5342
74
2
xx
x
* Los números que hacen que una proposición sea
verdadera, se llaman soluciones o raíces de la ecuación.
Estas son parte del conjunto solución que hace cierta la
ecuación.
Ejemplo 1: Resuelve la ecuación: 942 =+x :
ALGEBRA
28

29. Ejemplo 2: Resuelve: 10352 -=+- bb
Ejemplo 3: Resuelve: ( ) ( ) xxx 5.341.21.34 +-=-
Ejemplo 4: Resuelve: ( ) ( )[ ]ccc ----=- 24362157 .
Ejemplo 5: Resuelve: 9
3
2
5 -=-
x
Þ Nota: Cuando hay una fracción, se elimina.
Ejemplo 6: Resuelve: ( ) xx
3
1
4
2
1
=+
ALGEBRA
29

30. 2-1 Inecuaciones combinadas
a) DESIGUALDADES CON UNA O DOS VARIABLES:
Ejemplo 1: Resuelve 2275 -³-t :
Solución: 2275 -³-t
155 -³t
3-³t
La gráfica es:
Cualquier número real mayor que o igual a -3, satisface la desigualdad.
SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD
> es menor que
³ es mayor o igual que
< es menor que
£ es menor o igual que
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
ALGEBRA
30

31. Ejemplo 2: Resuelve la desigualdad y dé la solución tanto en la recta numérica como la notación de intervalo.
2
3
2
2
1
4
1
+<-
z
z
Ejemplo 3: Resuelva la desigualdad ( ) ( ) ( )32189432 --+£+- ppp
ALGEBRA
Solución página 10
31

32. 2-1 Leyes exponenciales
Resumen de las reglas de los exponentes:
Para todos los números a y b y todos los enteros m y n .
nmnm
aaa +
=× Þ Regla del producto.
Ejemplo 1:
83535
xxxx ==× +
nm
n
m
a
a
a -
= Þ Regla del cociente, 0¹a .
Ejemplo 2:
2555
5
5 224
2
4
=== -
m
m
a
a
1
=-
Þ Regla del exponente negativo, 0¹a .
32

33. Ejemplo 3:
25
1
5
1
55
5
5
2
231
3
==== --
10
=a Þ Regla del exponente cero, 0¹a .
Ejemplo 4:
1033
3
3
=== -
xx
x
x
( ) nmnm
aa ×
= Þ Elevar una potencia a una potencia.
Ejemplo 5:
( ) 256222 84242
=== ×
( ) mmm
baab = Þ Elevar un producto a una potencia.
Ejemplo 6:
( ) ( ) ( ) 623223
1644 xxx =-=-
33

34. m
mm
b
a
b
a
=÷
ø
ö
ç
è
æ
Þ Elevar un cociente a una potencia, 0¹a .
Ejemplo 7:
3
33
y
x
y
x
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
Podrías en ocasiones encontrar ejercicios con la aplicación de todas las reglas:
Ejemplo 1: ( ) 623
2
2
42
93
2
6
yy
yx
yx
==÷÷
ø
ö
çç
è
æ
Ejemplo 2: 39
15
153
393
5
33
23
143
13
24
8
2226
3
zx
y
y
zx
y
zx
yy
zxx
zxy
yx
==÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
--
------
-
-
34

35. 2-1 Método de factorizar
Resumen de las reglas de factorizar.
Diferencia de cuadrados Þ ( )( )bababa -+=- 22
Ejemplo 1: Reescriba cada expresión como una diferencia de dos cuadrados.
Luego utilice la fórmula.
Solución:
a) ( )( )44416 222
-+=-=- xxxx
b) ( ) ( ) ( )( )yxyxyxyx 353535925
2222
-+=-=-
Diferencia de cubos Þ ( )( )2233
babababa ++-=-
Ejemplo 2: Reescriba cada expresión como una diferencia de cubos. Luego utilice
la fórmula.
a) 63
827 yx - Þ ( ) ( ) ( )( )422232363
4692323827 yxyxyxyxyx ++-=-=-
b) 63
648 xy - Þ
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )42223236363
42282888648 xyxyxyxyxyxy ++-=-=-=-
35

36. Suma de cubos Þ ( )( )2233
babababa +-+=+
Ejemplo 3: Reescriba como una suma de dos cubos 33
4+x . Determina que “x”
corresponde a “a” y 4 corresponde a “b”.
a) 643
+x Þ ( )( )164464 23
+-+=+ xxxx
b) 273
+x Þ ( )( )933327 2333
+-+=+=+ xxxxx
Trinomios cuadrados perfectos Þ ( ) 222
2 bababa ++=+
Ejemplo 4:
a) ( )( ) ( )22
5552510 +=++=++ xxxxx
b) ( ) 963 22
++=+ yyy
Þ ( ) 222
2 bababa +-=-
Ejemplo 5: Para determinar si es o no es un trinomio cuadrado perfecto, tome el
doble del producto de x y 4 para ver si obtienes 8x.
( )( ) xx 842 =
a) ( )22
4168 -=+- xxx
Tanteo
Ejemplo 6:
a) 25102
+- aa
( )( ) ( )2
555 -=-- aaa
36

37. MAS EJERCICIOS:
1) xx 63 2
-
2) 252
-x
3) 273
-x
4) 18 3
+x
5) 32
1262 xxx +-
6) 862
++ xx
37

38. 2-1 Ecuaciones cuadráticas
Fórmula Cuadrática Þ
a
acbb
x
2
42
-±-
=
El problema debe estar de la forma canónica, si esta de esta forma reescribe el problema.
02
=++ cbxax
Ejemplo 1:
a) Resuelve 0822
=-+ xx Datos: 8,2,1 -=== cba
( ) ( ) ( )( )
( )
4
2
8
2
62
2
2
4
2
62
2
62
2
3242
12
81422
2
-=
-
=
--
=
==
+-
=
±-
=
+±-
=
--±-
=
x
x
x
b) Resuelve 169 2
+-=- xx Datos: 1,6,9 =-== cba
Reescribe el problema: 1690 2
+-= xx , también 0169 2
=+- xx
( ) ( ) ( )( )
( ) 3
1
18
6
18
06
18
36366
92
19466
2
==
±
=
-±
=
--±--
=x
38

39. Propiedad de la raíz cuadrada Þ nn
kxkx ±=Þ=
Ejemplo 2:
a) 812
=x
9
81
±=
±=
x
x
b) ( ) 7242
2
=+x
( )
2
72
2
42
2
=
+x
( ) 364
2
=+x Þ nn
kxkx ±=Þ=
364 ±=+x
46 -±=x Las soluciones: { }2,10-
39

40. Completar al cuadrado Þ Para completar al cuadrado, la expresión tiene que
estar de la forma canónica y esta igualada a algo.
Tiene que verificar siempre si factoriza por tanteo y
luego aplicar la fórmula.
Ejemplo 1: Ecuaciones con radicales.
( )( ) 4955
4925102
=++
=++
xx
xx
( ) 495
2
=+x Þ nn
kxkx ±=Þ=
75
495
±=+
±=+
x
x
1257
257
57
-=--=
=-=
-±=
x
x
x
40

41. Ejemplo 2: Ecuaciones con irracionales.
( )( ) 3233
32962
=--
=+-
xx
xx
( ) 323
2
=-x
323 ±=-x
243
243
243
-=
+=
±=
x
x
x
Ejemplo 3: Completa al cuadrado. Busca el valor de C.
cxx ++122
Paso 1: 6
2
12
2
===
b
c
Paso 2: El paso 1 al cuadrado.
( ) 366
2
==c
Paso 3: Sumar en ambos lados de la ecuación.
41

42. 2-6 Expresiones racionales
Ejemplo 1: Simplifica una expresión.
Solución:
( )
( )( ) 1
2
15
52
22
-
=
--
-
x
x
xx
xx
Ejemplo 2: Usa el proceso de eliminación:
Solución:
( )
( )
( )
( ) zz
z
wz
wz
wz
wz
wzz
zwz 1
1
1
1
1
3
2
3
2
3
2
33
22
-=
-
=
--
-
=
-
-
=
-
-
Ejemplo 3:
Solución: 23
2
3
2
4
3
4
3
16
15
5
4
a
b
ba
ab
a
b
b
a
==×
Ejemplo 4:
Solución:
rtrst
rst
st
sr
r
st 2
3
6
12
15
5
8
223
22
232
2
==×
42

43. Ejemplo 5:
Solución:
ya
x
xy
ab
ba
yx
ab
xy
ba
yx
22
3
33
2
3
2
33
2
3
2
2
5
15
4
5
2
15
4
=×=¸
Ejemplo 6:
Solución:
( )( )
( )( )
( ) ( )
3
43
2
13
13
24
2
33
34
82
2
2
+
+
=
-
+
×
++
-+
=
-
+
×
++
-+
x
x
x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
Ejemplo 7:
Solución:
( )( )
( )( ) 4
2
34
33
3
2
12
9
3
2
9
12
3
2
2
2
2
2
+
+
=
-+
-+
×
+
+
=
-+
-
×
+
+
=
-
-+
¸
+
+
a
a
aa
aa
a
a
aa
a
a
a
a
aa
a
a
43

44. 2-7 Radicales
Simplificar radicales. Indice
Radicando signo de raíz cuadrada
Ejemplo 1:
a) 2224 =×=
b) 333327 33
=××=
c) 510
xx =
d)
5
4
25
16
=
Ejemplo 2: Radicales con índice distinto de 2.
a) 43
12
3 12
xxx == Þ Se divide el exponente del radicando por el índice.
b) 24
xx =
c) 5 345 23
yyy =
d) 4 384 35
zzz =
e) 4 264 24244 256
baabbbaaba ==
Ejemplo 3:
a) xzzyxzzyxxzyx 5451680 3221243125
=×××××=
b) 3 2853 242153 2517
2322754 yxyxyyxxyx =×=
44

45. 2-1 Ecuación de la recta
Pendiente de la recta
12
12
""
""
xx
yy
zontalcambiohorixCambioen
icalcambiovertyCambioen
-
-
== , Siempre que 21 xx ¹ .
Ejemplo 1: Determina la pendiente de la recta
Dos puntos de la recta son ( )3,2- y ( )4,1 - .
Sea ( ) ( )3,2, 22 -=yx y ( ) ( )4,1, 11 -=yx .
Entonces:
( )
3
7
3
7
12
43
12
12
-=
-
=
--
--
=
-
-
=
xx
yy
m
La pendiente de la recta es
3
7
- .
45

46. 2-1 Ecuación de la recta
Pendiente de la recta
12
12
""
""
xx
yy
zontalcambiohorixCambioen
icalcambiovertyCambioen
-
-
== , Siempre que 21 xx ¹ .
Ejemplo 1: Determina la pendiente de la recta
Dos puntos de la recta son ( )3,2- y ( )4,1 - .
Sea ( ) ( )3,2, 22 -=yx y ( ) ( )4,1, 11 -=yx .
Entonces:
( )
3
7
3
7
12
43
12
12
-=
-
=
--
--
=
-
-
=
xx
yy
m
La pendiente de la recta es
3
7
- .
46

47. 47

48. 48

49. Ejemplo 1: Determina la pendiente y la intersección del eje “y” de la ecuación
625 =+- yx .
Solución: Escribe la ecuación en la forma pendiente intersección, despejando “y”.
625 =+- yx
652 += xy
2
6
2
5
2
65
+=
+
=
xx
y
3
2
5
+= xy
La pendiente es
2
5
, la intersección del eje “y” es ( )3,0 .
49

50. FORMA PUNTO PENDIENTE
La forma punto pendiente de una ecuación lineal es ( )11 xxmyy -=- , en donde “m” es
la pendiente de la recta y ( )11, yx , es un punto en la recta.
Ejemplo 1: Escriba, en la forma pendiente intersección, la ecuación de la recta que pasa
por el punto ( )4,1 y que tiene una pendiente de -2.
Solución: ( )11 xxmyy -=-
( )124 --=- xy
224 +-=- xy
62 +-= xy
La gráfica que resulta de 62 +-= xy tiene una pendiente de -2 y pasa por el punto ( )4,1 .
50

51. 51

52. Ejemplo 1: Determina si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente.
843 =- yx
1686 -=+- yx
Solución: Escriba cada ecuación de la forma pendiente intersección.
843 =- yx 1686 -=+- yx
834 +-=- xy 1668 -= xy
2
4
3
-= xy 2
4
3
-= xy
Como ambas soluciones tienen la misma pendiente,
4
3
, y la misma intersección ( )2,0 , las
ecuaciones representan la misma recta. Por lo tanto es dependiente.
52

53. VER GUIA DE ESTUDIA PARA MAS EJEMPLOS
53

54. GEOMETRIA
54

55. Formulas importantes:
55
Área de un triángulo:
𝐴 =
1
2
𝑏ℎ
Área de unTrapecio:
𝐴 =
1
2
𝑏(𝑏1 + b2)
Área de un Rombo:
𝐴 =
1
2
𝑑1 d2
Área de un cuadrado:
𝐴 = 𝑏ℎ

56. DISTANCIA
Un joven sale de su casa y viaja 12 millas al norte y luego 16 millas al oeste. A cuantas millas se
encuentra de su casa?
A) 20
B) 24
C) 25
D) 26
casa
16 millas
12 millas
d millas
SOLUCION: LA SITUACION SE PUEDE REPRESENTAR MEDIANTE EL SIGUIENTE TRIANGULO RECTANGULO
PASO 1: REALIZAR EL DIBUJO PASO 2: ANALIZAR EL PROBLEMA PARA RESOLVER
SI d REPRESENTA LA DISTANCIAA LA QUE SE ENCUENTRA
EL JOVEN DE SU CASA, ENTONCESAL UTILIZAR EL
TEOREMA DE PITAGORAS SE OBTIENE LO SIGUIENTE:
d2 = 𝑎2 + 𝑏2
d2 = 162 + 122
d2 = 2562 + 1442
= 2562 + 1442
= 400 =20
56

57. En la figura al lado, el perímetro del cuadrado X es 12 y el perimetro del
cuadrado Z es 28. Cual es el perímetro del cuadradoV ?
A) 40
B) 44
C) 100
D) 121
V
Z
X
SOLUCION
Si el perimetro de cuadrado X es 12, entonces cada lado mide 3 unidades, porque todos los lados de un cuadrado
son iguales. De igual manera, si el perimetro del cuadrado Z es 28, entonces cada lado mide 7 unidades. Cada lado
del cuadradoV mide 7 + 3 = 10 unidades. Por lo tanto, el perimetro del cuadradoV es 40.
SOLUCION DE FORMAALGEBRAICA
𝑃 = 4𝑍
( ) = 4𝑍28
Z = 7
𝑃 = 4𝑋
12
X = 3
RESOLVER PARA LA Z: RESOLVER PARAX: RESOLVER PARAV:
COMO Z MIDE 7Y X MIDE 3 ENTONCES:
( ) = 4𝑋
𝑍 + 𝑋 = 𝑉
4(10) = 40
7 + 3 = 10
7
3
57

58. GEOMETRIA
A
D
C
E
B
En la figura anterior, 𝐴𝐵 ≅ 𝐵𝐶. 𝑆𝑖 𝐴𝐶 mide 30 centímetros y 𝐵𝐷 mide 20 centímetros.
Cuántos centímetros mide 𝐴𝐵? ES UNTRIANGULO ISOSCELES
15 CM 15 CM
30 CM
20 CM
58

59. GEOMETRIA
A B
D C
1
2
3
4
5
6
Cuál es la probabilidad de obtener una B y un 5 al hacer grira cada ruleta de la figura mostrada una sola vez?
P(4) =
1
4
P(5) =
1
6
P(4) x P(6) =
1
4
𝑥
1
6
=
1
24
Como son eventos independientes, entonces:
59

60. 60

61. SOLUCION
Para hallar x: Par lineal
3x + 5 + 6x – 14 = 180
9x – 9 = 180
9x = 180 + 9
9x = 189
x = 21
(3x + 5)O
(y + 8)O
(6x - 14)O
61

62. SOLUCION
Para hallar 5x: Angulo recto
5x = 90
x = 18
Para hallar 9y: Angulo recto
9y = 90
y = 10
5x0 9y0
62

63. SOLUCION
Para hallar 5x: Angulo recto
5x = 90
x = 18
Para hallar 9y: Angulo recto
9y = 90
y = 10
63

64. Solución:
Para hallar x: El ángulo xo es consecutivo del mismo lado con el 72o
por lo tanto la suma de sus medida es 180o.
x = 108o
Para hallar y: El ángulo 3yo es par lineal con el ángulo 72o.
3y + 72 = 180
3y = 108
y = 36
Para hallar z: El ángulo (3z + 18)o es correspondiente con el angulo xo
que mide 108o.
3z + 18 = x
3z + 18 = 108
3z = 108 – 18
3z = 90
z = 30
64

65. SOLUCION
Para hallar y: El ángulo yo es consecutivo del mismo lado con el
(y + 12)o por lo tanto la suma de sus medida es 180o.
y = 93o
m < y – 18 = 93 – 18 = 75
m < y + 12 = 93 + 12 = 105
Para hallar z: El ángulo zo es un angulo recto con (y – 18)o .
z = y – 18
z = 93 – 18
z = 750
Para hallar x: El ángulo xo es un ángulo recto por definición.
m < x = 90o
65
(y + 12)o
(y – 18)o
(x)o (z)o

67. A = 135m2
A = 192`pulg2
A = 972m2 A = 82pulg2 A = 147m2
67
10m
15m
12m
8
24
24 pulg
3. 10 pulg
10 pulg

68. GEOMETRIA cont.
Cuál es el valor de x, si el perímetro de la figura es 62?
x + 3
x
A) 28
B) 20
C) 14
D) 11
Solución:
2 ( x + 3 ) + 2 ( x ) = 62
2x + 6 + 2x = 62
4x + 6 = 62
4x = 56
x = 14
68

69. EXPLICACIONES PARA SUPLIR
LA RESPUESTA
69

70. 70

71. 71

72. 72

73. 73

74. 74