Análisis de vigas 1.
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Cálculo de viga en equilibrio isostático con cargas aplicadas. Obtención de las leyes de esfuerzos cortantes y flectores así como sus respectivos diagramas de fuerzas.
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- 1. ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS • Sustitución de carga continua por carga equivalente discreta • Cálculo de esfuerzos cortantes • Cálculo de esfuerzos flectores • Dibujo del diagrama de esfuerzos cortantes y flectores Javier Luque javier@fdet.es Área de ingeniería industrial http://fdet.es http://fdetonline.com
- 2. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS Sea una viga sometida a las cargas que se indican representar sus diagramas de esfuerzos cortantes y flectores 3 T·m 4 T 2 T/m 3m 2m 1m
- 3. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS El primer paso consiste en aplicar las ligaduras externas como reacciones 𝑅 𝑎𝑦 𝑅 𝑎𝑥 𝑀 𝑎 3 T·m 4 T 2 T/m 3m 2m 1m
- 4. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS El segundo paso consiste en sustituir las cargas distribuidas por cargas equivalentes discretas 𝑅 𝑎𝑦 𝑅 𝑎𝑥 𝑀 𝑎 3 T·m 4 T 3m 2m 1m En el caso de la carga triangulas la carga corresponde a su área y se ubicará en el c.d.g. del área ocupada 6 T 1m1m 𝑆 = 1 2 · 3 + 2 + 1 · 2 = 6 𝑇 El c.d.g. de un triángulo se encuentra a 𝐻 3 desde la base 2m h/3 h
- 5. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS 𝑅 𝑎𝑦 𝑅 𝑎𝑥 𝑀 𝑎 3 T·m 4 T 3m 2m 1m 6 T 1m1m 2m Ecuaciones del equilibrio: 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0 𝑀 𝑎 = 0
- 6. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS 𝑅 𝑎𝑦 𝑅 𝑎𝑥 𝑀 𝑎 3 T·m 4 T 3m 2m 1m 6 T 1m1m 2m Ecuaciones del equilibrio: 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0 𝑀 𝑎 = 0 𝑅 𝑎𝑥 = 0 Esto implica que la viga no experimenta esfuerzos axiles
- 7. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS 𝑅 𝑎𝑦 𝑅 𝑎𝑥 𝑀 𝑎 3 T·m 4 T 3m 2m 1m 6 T 1m1m 2m Ecuaciones del equilibrio: 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0 𝑀 𝑎 = 0 𝑅 𝑎𝑦 − 6 − 4 = 0 𝑅 𝑎𝑦 = 10 𝑇 El empotramiento del voladizo asume toda la carga vertical
- 8. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS 𝑅 𝑎𝑦 𝑅 𝑎𝑥 𝑀 𝑎 3 T·m 4 T 3m 2m 1m 6 T 1m1m 2m Ecuaciones del equilibrio: 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0 𝑀 𝑎 = 0 −𝑀 𝑎 − 3 − 6 · 3 + 1 − 4 · 3 + 2 = 0+- 𝑀 𝑎 = −47 𝑇 · 𝑚 En este caso, el signo positivo se interpreta como hemos de considerar el signo opuesto al escogido inicialmente 𝑀 𝑎 = 47 𝑇 · 𝑚 +
- 9. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS Diagramas de esfuerzos: 𝑆1 𝑆3𝑆2 Esfuerzos cortantes: 𝑅 𝑎𝑦 𝑆2X Entre X=0 y X=5 Por semejanza de triángulos 𝑃 𝑋 = 2 6 → 𝑃 = 2𝑋 6 = 𝑋 3 P 𝑇 𝑥 = 10 − 0 𝑋 𝑥 3 𝑑𝑥 = 10 − 𝑥2 6 X=0 X=5
- 10. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS Diagramas de esfuerzos: 𝑆1 𝑆3𝑆2 Esfuerzos cortantes: 𝑅 𝑎𝑦 𝑆3X Entre X=5 y X=6 Por semejanza de triángulos 𝑃 𝑋 = 2 6 → 𝑃 = 2𝑋 6 = 𝑋 3 P 𝑇 𝑥 = 10 − 4 − 0 𝑋 𝑥 3 𝑑𝑥 = 6 − 𝑥2 6 X=5 X=6 5 4 T
- 11. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS Diagramas de esfuerzos: 𝑆1 𝑆3𝑆2 𝑇 𝑥 = 10 − 0 𝑋 𝑥 3 𝑑𝑥 = 10 − 𝑥2 6 X=0 X=5 𝑇 0 = 10 𝑇 𝑇 5 = 5,83 𝑇 𝑇′(𝑥) = − 𝑥 3 (decreciente) 𝑇′′ (𝑥) = − 1 3 (convexa) 10T 5,83T X=5m
- 12. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS Diagramas de esfuerzos: 𝑆1 𝑆3𝑆2 𝑇 5 = 1,83 𝑇 𝑇 6 = 0 𝑇′(𝑥) = − 𝑥 3 (decreciente) 𝑇′′ (𝑥) = − 1 3 (convexa) 10T 5,83T 𝑇 𝑥 = 10 − 4 − 0 𝑋 𝑥 3 𝑑𝑥 = 6 − 𝑥2 6 X=5 X=6 1,83T 0T X=6m
- 13. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS Diagramas de momentos: 𝑆1 𝑆3𝑆2 𝑅 𝑎𝑦 𝑆1X Entre X=0 y X=3 P 𝑀 𝑥 = 𝑇 𝑥 · 𝑑𝑥 = 10 − 𝑥2 6 · 𝑑𝑥 = 10𝑥 − 𝑥3 18 + 𝐾1 𝑀 0 = −47 𝑇 · 𝑚 → 𝐾1 = −47 𝑀 𝑥 = 10𝑥 − 𝑥3 18 − 47
- 14. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS Diagramas de momentos: 𝑆1 𝑆3𝑆2 𝑅 𝑎𝑦 𝑆2 X Entre X=3 y X=5 P 𝑀 𝑥 = 𝑇 𝑥 · 𝑑𝑥 = 10 − 𝑥2 6 · 𝑑𝑥 = 10𝑥 − 𝑥3 18 +K2 3 T·m En x=3 hay una discontinuidad debida al momento 𝑀 𝑥 = 3+ − 𝑀 𝑥 = 3− = 3 10𝑥 − 𝑥3 18 + 𝐾2 − (10𝑥 − 𝑥3 18 − 47) = 3 𝐾2 = −44 𝑀 𝑥 = 10𝑥 − 𝑥3 18 −44
- 15. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS Diagramas de momentos: 𝑆1 𝑆3𝑆2 𝑅 𝑎𝑦 𝑆3 X Entre X=5 y X=6 P 𝑀 𝑥 = 𝑇 𝑥 · 𝑑𝑥 = 6 − 𝑥2 6 · 𝑑𝑥 = 6𝑥 − 𝑥3 18 + K3 𝑀 5− = 𝑀 5+ Los límites laterales son iguales al no haber salto de discontinuidad 10𝑥 − 𝑥3 18 −44 = 6𝑥 − 𝑥3 18 + K3 → K3 = −24 𝑀 𝑥 = 6𝑥 − 𝑥3 18 − 24
- 16. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS Diagramas de momentos: 𝑆1 𝑆3𝑆2 Entre X=0 y X=3 𝑀 𝑥 = 10𝑥 − 𝑥3 18 − 47 X=0 X=3 𝑀 0 = −47 𝑇 𝑀 3 = −18,5 𝑇 𝑀′(𝑥) = 10 − 𝑥2 9 (creciente) 𝑀′′(𝑥) = − 1 4,5 (convexa) X=3X=0 -18,5T -47T
- 17. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS Diagramas de momentos: 𝑆1 𝑆3𝑆2 Entre X=3 y X=5 X=3 X=5 𝑀 3 = −15,5 𝑇 𝑀 5 = −0,94 𝑇 𝑀′(𝑥) = 10 − 𝑥2 9 (creciente) 𝑀′′(𝑥) = − 1 4,5 (convexa) X=3X=0 -18,5T -47T 𝑀 𝑥 = 10𝑥 − 𝑥3 18 −44 X=5 -15,5T -0,94T
- 18. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO VIGAS ISOSTÁTICAS Diagramas de momentos: 𝑆1 𝑆3𝑆2 Entre X=5 y X=6 X=5 X=6 𝑀 5 = −0,94 𝑇 𝑀 6 = 0𝑇 𝑀′(𝑥) = 6 − 𝑥2 9 (creciente) 𝑀′′(𝑥) = − 1 4,5 (convexa) X=3X=0 -18,5T -47T X=5 -15,5T -0,94T 𝑀 𝑥 = 6𝑥 − 𝑥3 18 − 24 X=6 Fin