En esta presentación de FdeT aprenderás a calcular las distribuciones marginales de una variable aleatoria bidimencional. Calcularemos la media de una distribución marginal y hallaremos probabilidades utilizando la función de densidad conjunta.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: función de densidad
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En este vídeo vas a aprender a
• calcular las distribuciones marginales de una variable
aleatoria bidimensional.
• Calcular la media de una distribución marginal.
• Calcular probabilidades utilizando la función de densidad
conjunta.

2. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: función de densidad
Enunciado:
Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad conjunta
𝑓 𝑥, 𝑦 =
2
75
2𝑥2 𝑦 + 𝑥𝑦2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Se pide:
a) Calcular las distribuciones marginales de 𝑋 e 𝑌.
b) Calcular la media de X
c) Calcular la probabilidad 𝑝(1 ≤ 𝑋 ≤ 2,
3
2
≤ 𝑌 ≤ 30)

3. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: función de densidad
a) Calcula las distribuciones marginales de 𝑋 e 𝑌.
Calculamos en primer lugar la distribución marginal de 𝑋, para ello recordamos
que:
𝑓𝑋 =
−∞
+∞
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Por lo tanto tenemos que:
𝑓𝑋 =
−∞
+∞
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 1
2
2
75
2𝑥2 𝑦 + 𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Si hacemos la integral llegamos a:

4. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: función de densidad
1
2
2
75
2𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2
𝑑𝑦 =
2
75 1
2
2𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2
𝑑𝑦 =
2
75
𝑥2
𝑦2
+
1
3
𝑥𝑦3 2
1
=
=
2
75
4𝑥2 +
8
3
𝑥 − 𝑥2 +
1
3
𝑥 =
2
75
3𝑥2 +
7
3
𝑥
Por tanto la distribución marginal de 𝑋 viene determinada por:
𝑓𝑋 𝑥 =
2
75
3𝑥2 +
7
3
𝑥 𝑆𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Calculamos a continuación la distribución marginal de 𝑌 de forma similar.
𝑓𝑌 𝑦 =
−∞
+∞
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥

5. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: función de densidad
𝑓𝑌 𝑦 =
−∞
+∞
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 =
0
3
2
75
2𝑥2 𝑦 + 𝑥𝑦2 𝑑𝑥 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑦 ≤ 2
𝑜 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Hacemos la integral y nos queda:
0
3
2
75
2𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2
𝑑𝑥 =
2
75
2
3
𝑥3
𝑦 +
1
2
𝑥2
𝑦2 3
0
=
=
2
75
18𝑦 +
9
2
𝑦2 − 0 =
2
75
18𝑦 +
9
2
𝑦2
Por lo tanto la distribución marginal de 𝑌 tiene por función de densidad:

6. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: función de densidad
𝑓𝑌 𝑦 =
2
75
18𝑦 +
9
2
𝑦2 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑦 ≤ 2
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
b) Calcular la media de 𝑋.
La media de 𝑋, es la esperanza matemática de 𝑋, que para calcularla basta con hallar:
𝐸 𝑋 =
−∞
+∞
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
0
3
2
75
𝑥 3𝑥2
+
7
3
𝑥 𝑑𝑥 =
2
75 0
3
3𝑥3
+
7
3
𝑥2
𝑑𝑥 =
=
2
75
3
4
𝑥4
+
7
6
𝑥3 3
0
=
327
150
Por tanto:
𝐸 𝑋 =
327
150

7. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: función de densidad
c) 𝑝 1 ≤ 𝑋 ≤ 2,
3
2
≤ 𝑌 ≤ 3
𝑝 1 ≤ 𝑋 ≤ 2,
3
2
≤ 𝑌 ≤ 3 =
1
2
3
2
3
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
=
2
75 1
2
3
2
2
2𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2
𝑑𝑦𝑑𝑥 =
2
75 1
2
7
4
𝑥2
+
37
24
𝑥 𝑑𝑥 =
=
2
75
7
12
𝑥3
+
37
48
𝑥2 2
1
=
307
1800
Por tanto:
𝑝 1 ≤ 𝑋 ≤ 2,
3
2
≤ 𝑌 ≤ 3 =
307
1800