El documento explica cómo usar el método de iteración del punto fijo para resolver una ecuación. Primero, se expresa la ecuación como x = g(x) para aplicar el método. Luego, se demuestra que la función g(x) cumple las condiciones necesarias para garantizar la convergencia del método. Finalmente, se realizan 6 iteraciones que producen una aproximación de la solución con un error menor a 10-4.

1. ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Resolver una ecuación de forma aproximada utilizando el método de iteración simple
del punto fijo.
- Estudiar la convergencia del método de iteración simple del punto fijo en un
caso concreto.
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ITERACIÓN PUNTO FIJO 01

2. Enunciado:
Calcula la raíz de la ecuación
𝑥2 − ln 1 + 2𝑥 = 0
Que se encuentra en el intervalo 1,2 , utilizando el método de iteración simple del punto fijo con un error inferior a 10−4.
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3. En primer lugar tenemos que expresar la ecuación de forma:
𝑥 = 𝑔(𝑥)
Para que podamos aplicar el método de iteración simple del punto fijo.
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4. En primer lugar tenemos que expresar la ecuación de forma:
𝑥 = 𝑔(𝑥)
Para que podamos aplicar el método de iteración simple del punto fijo.
Recordemos que la convergencia del método nos la garantiza el siguiente
Teorema:
Sea 𝑔: 𝑎, 𝑏 → [𝑎, 𝑏] función continua en 𝑎, 𝑏 . Si existe la derivada de 𝑔(𝑥) en 𝑎, 𝑏 y cumple:
𝑔´(𝑥) ≤ 𝑘 < 1 ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
Entonces la función 𝑔(𝑥) tiene un único punto fijo p en el intervalo 𝑎, 𝑏 . Y el método iterativo
𝑥 = 𝑔(𝑥) es convergente a dicho punto fijo.
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5. Por lo tanto debemos buscar la función 𝑔(𝑥) de forma que cumpla las hipótesis del teorema anterior.
Consideramos la ecuación a resolver:
𝑥2
− ln 1 + 2𝑥 = 0
Despejamos x, como sigue:
𝑥2 = ln 1 + 2𝑥 𝑥 = ln(1 + 2𝑥)
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6. Por lo tanto debemos buscar la función 𝑔(𝑥) de forma que cumpla las hipótesis del teorema anterior.
Consideramos la ecuación a resolver:
𝑥2
− ln 1 + 2𝑥 = 0
Despejamos x, como sigue:
𝑥2 = ln 1 + 2𝑥 𝑥 = ln(1 + 2𝑥)
De esta forma definimos
𝑔 𝑥 = ln(1 + 2𝑥)
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7. Veámos si la función cumple las hipótesis del Teorema en el intervalo 1,2
• En primer lugar tenemos que la función debe estar definida como, 𝑔: 1,2 → [1,2].
Es decir se debe cumplir que:
𝑔 1,2 ⊆ [1,2]
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8. Veámos si la función cumple las hipótesis del Teorema en el intervalo 1,2
• En primer lugar tenemos que la función debe estar definida como, 𝑔: 1,2 → [1,2].
Es decir se debe cumplir que:
𝑔 1,2 ⊆ [1,2]
Para demostrar esta inclusión, estudiamos en primer lugar la monotonía de la función g.
𝑔´ 𝑥 =
1
2 ln(2𝑥 + 1)
·
1
2𝑥 + 1
· 2
Es decir su derivada viene dada por:
𝑔´ 𝑥 =
1
ln(2𝑥 + 1)
·
1
2𝑥 + 1
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9. 𝑔´ 𝑥 =
1
ln(2𝑥 + 1)
·
1
2𝑥 + 1
> 0 ∀𝑥 ∈ [1,2]
Por lo tanto tenemos que la función 𝑔(𝑥) es monótona creciente en el intervalo [1,2]
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10. 𝑔´ 𝑥 =
1
ln(2𝑥 + 1)
·
1
2𝑥 + 1
> 0 ∀𝑥 ∈ [1,2]
Por lo tanto tenemos que la función 𝑔(𝑥) es monótona creciente en el intervalo [1,2]
En consecuencia
𝑔 1 ≤ 𝑔 𝑥 ≤ 𝑔 2 ∀𝑥 ∈ 1,2
Como
𝑔 1 ≈ 1,04
𝑔(1) ≈ 1,26
Se tiene que
𝑔 𝑥 ∈ 𝑔 1 , 𝑔 2 ⊂ [1,2]
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11. • Tenemos que comprobar que 𝑔´(𝑥) ≤ 𝑘 < 1 ∀𝑥 ∈ [1,2]
Estudiamos la monotonía de la función 𝑔´(𝑥) en el intervalo [1,2]
𝑔´´ 𝑥 =
1
ln(1 + 2𝑥)
·
1
1 + 2𝑥
ln(1 + 2𝑥)
·
1
1 + 2𝑥
+
1
ln(1 + 2𝑥)
·
−2
(1 + 2𝑥)2
Simplificando tenemos:
𝑔´´ 𝑥 =
1 − 2ln(1 + 2𝑥)
(1 + 2𝑥)2ln(1 + 2𝑥) ln(1 + 2𝑥)
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12. 𝑔´´ 𝑥 =
1 − 2ln(1 + 2𝑥)
(1 + 2𝑥)2ln(1 + 2𝑥) ln(1 + 2𝑥)
El denominador es siempre una cantidad positiva en el intervalo [1,2].
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13. 𝑔´´ 𝑥 =
1 − 2ln(1 + 2𝑥)
(1 + 2𝑥)2ln(1 + 2𝑥) ln(1 + 2𝑥)
El denominador es siempre una cantidad positiva en el intervalo [1,2].
El numerador es negativo en dicho intervalo, por lo que tenemos que:
Basta con observar que:
1 − 2 ln 1 + 2𝑥 < 0 1 < ln 1 + 2𝑥 𝑒1
< 1 + 2𝑥
Y esto ocurrirá sí y sólo si
𝑥 >
𝑒 − 1
2
≈ 0,85
Por tanto el numerador es negativo en [1,2]
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14. En consecuencia
𝑔´´ 𝑥 < 0 𝑥 ∈ [1,2]
Y por lo tanto la función 𝑔´(𝑥) es decreciente en [1,2]
Por lo tanto tenemos que:
𝑔´ 𝑥 ∈ 𝑔´ 2 , 𝑔´ 1 ≈ [0´1576, 0´31802]
Por lo tanto si llamamos 𝑘 = max 𝑔´ 𝑥 : 𝑥 ∈ 1,2
Se tiene que 𝑘 = 0,31802 …
Se tiene que:
𝑔´(𝑥) ≤ 𝑘 < 1 ∀𝑥 ∈ [1,2]
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15. Tenemos por el Teorema anterior, que la función tiene un único punto fijo en el intervalo [1,2] y el método iterativo
converge a dicho punto fijo.
Realizamos a continuación iteraciones en el método del punto fijo para llegar a obtener la solución aproximada de la
ecuación. Partiremos del punto
𝑥0 = 1
Y realizaremos las iteraciones
𝑥 𝑛+1 = 𝑔 𝑥 𝑛 𝑛 ≥ 1
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16. 𝑥0 = 1
𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 𝑔 1 = 1,03184584 …
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17. 𝑥0 = 1
𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 𝑔 1 = 1,03184584 …
Para hallar el número de iteraciones necesarias para obtener una aproximación de la raíz con un error inferior a 10−4,
usaremos la expresión:
𝐸 ≤
𝑘 𝑛
1 − 𝑘
𝑥1 − 𝑥0
Siendo k el valor que hace que 𝑔´(𝑥) ≤ 𝑘 < 1
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18. Si imponemos:
𝑘 𝑛
1 − 𝑘
𝑥1 − 𝑥0 ≤ 10−4
Como
𝑥1 − 𝑥0 = 1,03184584 − 1 = 0,03184584
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19. Si imponemos:
𝑘 𝑛
1 − 𝑘
𝑥1 − 𝑥0 ≤ 10−4
Como
𝑥1 − 𝑥0 = 1,03184584 − 1 = 0,03184584
Como 𝑘 = 0,31802 …. Tomaremos como aproximación para hacer los cálculos 𝑘 = 0,32
Entonces sustituyendo:
0,32 𝑛
1 − 0,32
· 0,03184584 ≤ 10−4
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20. 0,32 𝑛
1 − 0,32
· 0,03184584 ≤ 10−4
Despejando n tenemos:
0,32 𝑛
≤ 0,0021352
De donde sacamos que:
𝑛 ≥ 𝑙𝑜𝑔0,320,0021352 = 5,39
Es decir necesitaremos 6 iteraciones para obtener una aproximación de la ecuación con un error inferior a 10−4.
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21. Calculamos 6 iteraciones del método:
𝑥0 = 1
𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 𝑔 1 = 1,03184584 …
𝑥2 = 𝑔 𝑥1 = 𝑔 1,03184584 = 1,058121269 …
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22. Calculamos 6 iteraciones del método:
𝑥0 = 1
𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 𝑔 1 = 1,03184584 …
𝑥2 = 𝑔 𝑥1 = 𝑔 1,03184584 = 1,058121269 …
𝑥3 = 𝑔 𝑥2 = 𝑔 1,058121269 = 1,066127554
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23. Calculamos 6 iteraciones del método:
𝑥0 = 1
𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 𝑔 1 = 1,03184584 …
𝑥2 = 𝑔 𝑥1 = 𝑔 1,03184584 = 1,058121269 …
𝑥3 = 𝑔 𝑥2 = 𝑔 1,058121269 = 1,066127554
𝑥5 = 𝑔 𝑥4 = 𝑔 1,066127554 = 1,0685285335 …
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24. Calculamos 6 iteraciones del método:
𝑥0 = 1
𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 𝑔 1 = 1,03184584 …
𝑥2 = 𝑔 𝑥1 = 𝑔 1,03184584 = 1,058121269 …
𝑥3 = 𝑔 𝑥2 = 𝑔 1,058121269 = 1,066127554
𝑥5 = 𝑔 𝑥4 = 𝑔 1,066127554 = 1,0685285335 …
𝑥6 = 𝑔 𝑥5 = 𝑔 1,0685285335 = 1,06924511719 …
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25. Calculamos 6 iteraciones del método:
𝑥0 = 1
𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 𝑔 1 = 1,03184584 …
𝑥2 = 𝑔 𝑥1 = 𝑔 1,03184584 = 1,058121269 …
𝑥3 = 𝑔 𝑥2 = 𝑔 1,058121269 = 1,066127554
𝑥5 = 𝑔 𝑥4 = 𝑔 1,066127554 = 1,0685285335 …
𝑥6 = 𝑔 𝑥5 = 𝑔 1,0685285335 = 1,06924511719 …
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26. Por lo tanto la aproximación:
𝑥6 = 1,06924511719 …
Es una aproximación de la solución con un error inferior a 10−4
FIN
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