1. Ejercicio 1
El tornillo de la prensa ajustable en forma de C ejerce una fuerza vertical de 𝑭 = 𝟖𝟎𝟎 𝑵 en 𝑨 sobre el bloque fijador
𝑩. Determine las fuerzas que ejerce el bloque sobre el tubo liso en 𝑪 y 𝑫 y la fuerza que ejerce el tubo sobre el cojín
𝑷. Desprecie los pesos tanto del bloque como del tubo.
𝑅 𝑐 cos 30° = 𝑅 𝐷 cos 30°
𝑅 𝑐 = 𝑅 𝐷
𝑅 𝑐 sen 30° + 𝑅 𝐷 sen 30° = 800
𝑅 𝑐 (
1
2
) + 𝑅 𝑐 (
1
2
) = 800
𝑅 𝑐 = 800 𝑁
𝑅 𝐷 = 800 𝑁
𝑹 𝑷 = 𝟖𝟎𝟎 𝑵
2. Ejercicio 2
Se tiene una placa donde se dan las coordenadas de las intersecciones de CD y AB con los planos x-y e y-z expresadas
en metros. Determinar el momento de la tensión de 5000 N del cable respecto a C.
𝑟⃗𝐶𝐴 = 𝐴 − 𝐶 = (0, 1.5, 0.9) − (1.2, 1.8, 0) = (−1.2, −0.3, 0.9)
𝑇⃗⃗ = 𝑇 𝑢⃗⃗⃗⃗
𝑢⃗⃗ =
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (1.8, 0.9, 0) − (0, 1.5, 0.9) = (1.8, −0.6, −0.9)
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √(1.8)2 + (−0.6)2 + (−0.9)2 = 2.1
𝑢⃗⃗ =
(1.8, −0.6, −0.9)
2.1
𝑇⃗⃗ = 5000
(1.8, −0.6, −0.9)
2.1
=
5000
2.1
(1.8, −0.6, −0.9)
𝑀 𝐶 = 𝑟⃗𝐶𝐴 × 𝑇⃗⃗ =
5000
2.1
|
𝑖⃗⃗ 𝑗⃗⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗
−1.2 −0.3 0.9
1.8 −0.6 −0.9
|
𝑀 𝐶 =
5000
2.1
(0.81 𝑖⃗⃗ + 0.54 𝑗⃗⃗⃗ + 1.26 𝑘⃗⃗⃗⃗)
𝑴 𝑪 =
𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟕
(𝟐𝟕 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟏𝟖 𝒋⃗⃗⃗ + 𝟒𝟐 𝒌⃗⃗⃗⃗) 𝑵 𝒎
3. Ejercicio 3
Tratando de derribar una rama casi aserrada, el podador tira con una fuerza de 400 N de la cuerda enlazada en A a la
rama. Hallar el momento respecto al punto C de la fuerza que se ejerce sobre la rama y consignar el módulo de ese
momento.
𝑟⃗𝐶𝐴 = 𝐴 − 𝐶 = (0, 8, 11) − (0, 2, 8) = (0, 6, 3)
𝑇⃗⃗ = 𝑇 𝑢⃗⃗⃗⃗
𝑢⃗⃗ =
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (6, 10, 2) − (0, 8, 11) = (6, 2, −9)
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √(0)2 + (2)2 + (−9)2 = 11
𝑢⃗⃗ =
(6, 2, −9)
11
𝑇⃗⃗ = 400
(6, 2, −9)
11
=
400
11
(6, 2, −9)
𝑀 𝐶 = 𝑟⃗𝐶𝐴 × 𝑇⃗⃗ =
400
11
|
𝑖⃗⃗ 𝑗⃗⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗
0 6 3
6 2 −9
|
𝑀 𝐶 =
400
11
(−60 𝑖⃗⃗ + 18 𝑗⃗⃗⃗ − 36 𝑘⃗⃗⃗⃗)
|𝑀 𝐶| =
400
11
√(−60)2 + (18)2 + (−36)2
|𝑀 𝐶| = 2 627.3 𝑁𝑚
𝑀 𝐶 =
5000
7
(27 𝑖⃗⃗ + 18 𝑗⃗⃗⃗ + 42 𝑘⃗⃗⃗⃗) 𝑁𝑚
𝑴 𝑪 = −𝟐𝟏𝟖𝟏. 𝟖 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟔𝟓𝟒. 𝟓𝟓 𝒋⃗⃗⃗ − 𝟏𝟑𝟎𝟗 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝑵𝒎
4. Ejercicio 4
Las dos fuerzas que actúan sobre los mangos de las llaves para tubos constituyen un par M. Expresar éste en forma de
vector.
𝑟⃗𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (−0.15, −0.25, 0) − (0, 0.25, 0) = (−0.15, −0.5, 0) = −0.15 𝑖⃗⃗ − 0.5 𝑗⃗⃗⃗
𝐹⃗1 = 150 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝑀 = 𝑟⃗𝐴𝐵 × 𝐹⃗1 = (−0.15 𝑖⃗⃗ − 0.5 𝑗⃗⃗⃗ ) × 150 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 = 22.5 𝑗⃗⃗⃗ − 75 𝑖⃗⃗
𝑴 = −𝟕𝟓 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟐𝟐. 𝟓 𝒋⃗⃗⃗ 𝑵𝒎
Ejercicio 5
La fresa especial está sometida a la fuerza de 1200 N y al par de 240 N m que se muestran. Hallar el momento de este
sistema respecto al punto O.
𝐹⃗ = 240 sin 30 𝑗⃗⃗⃗ − 240 cos30 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝐹⃗ = 120 𝑗⃗⃗⃗ − 120√3 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂 = 𝑀 + 𝑟⃗𝑂𝐴 × 𝐹⃗ = 120 𝑗⃗⃗⃗ − 120√3 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 150 𝑖⃗⃗ + 120√3 𝑗⃗⃗⃗ + 120 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑴 𝑶 = −𝟏𝟓𝟎 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟏𝟐𝟎(𝟏 + √𝟑) 𝒋⃗⃗⃗ + 𝟏𝟐𝟎(𝟏 − √𝟑) 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝑵𝒎
7. Ejercicio 8
Representar la resultante del sistema de fuerzas que actúa sobre el conjunto de tubos mediante un sistema fuerza-par
en A.
𝐹⃗1 = 120 𝑖⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗2 = −100 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗3 = −180 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗4 = 160 sen 25° 𝑖⃗⃗ + 160 cos 25° 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗5 = −160 sen 25° 𝑖⃗⃗ − 160 cos 25° 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝑅⃗⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 + 𝐹⃗3 + 𝐹⃗4 + 𝐹⃗5 + 𝐹⃗6
𝑅⃗⃗ = 120 𝑖⃗⃗ − 100 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 180 𝑗⃗⃗⃗ 160 sin 25 𝑖⃗⃗ + 160 cos 25° 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 160 sin 25 𝑖⃗⃗ − 160 cos 25° 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑹⃗⃗⃗ = 𝟏𝟐𝟎 𝒊⃗⃗⃗ − 𝟏𝟖𝟎 𝒋⃗⃗⃗ − 𝟏𝟎𝟎 𝒌⃗⃗⃗⃗
𝑟⃗⃗⃗ = (0.3 − 0.1 cos 25° , 0.2, 0.1 sen 25°) − (0.3 + 0.15 cos 25° , 0.2, −0.15 sen 25°)
𝑟⃗⃗⃗ = (−0.25 cos 25° , 0, 0.25 sen 25°)
𝑀 = 𝑟⃗ × 𝐹⃗4 = |
𝑖⃗⃗ 𝑗⃗⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗
−0.25 cos25° 0 0.25 sen 25°
160 sen 25° 0 160 cos 25°
|
𝑀 = 40 𝑗⃗⃗⃗
𝑟⃗1 = 0.25 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑟⃗2 = 0.3 𝑖⃗⃗
𝑀⃗⃗⃗𝐴 = 𝑟⃗1 × 𝐹⃗1 + 𝑟⃗2 × 𝐹⃗2 + 𝑀 + 50 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀⃗⃗⃗𝐴 = 0.25 𝑘⃗⃗⃗⃗ × (120 𝑖⃗⃗) + 0.3 𝑖⃗⃗ × (−100 𝑘⃗⃗⃗⃗) + 40 𝑗⃗⃗⃗ + 50 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑴⃗⃗⃗⃗ 𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 𝒋⃗⃗⃗ + 𝟓𝟎 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝑵𝒎
8. Ejercicio 9
Al espárrago B del soporte rígido se aplica un par del sentido que se indica y de momento 290 Nm junto con las dos
fuerzas indicadas. Si se aplicaran las dos fuerzas en A en vez de en B, calcular el momento resultante M (incluido en
par dado) aplicado en B que compensara totalmente el traslado de las fuerzas en lo que concierne a la respuesta del
soporte como cuerpo rígido.
𝐹⃗1 = −900 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗2 = −1250 cos60° 𝑖⃗⃗ − 1250 sen 60° 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗2 = −625 𝑖⃗⃗ − 625 √3 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁
𝑟⃗⃗⃗ = 0.3 𝑖⃗⃗ − 0.275 𝑗⃗⃗⃗ + 0.45 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 = 𝑟⃗⃗⃗ × 𝐹⃗1 + 𝑟⃗⃗⃗ × 𝐹⃗2 + 290 𝑖⃗⃗
𝑀 = (0.3 𝑖⃗⃗ − 0.275 𝑗⃗⃗⃗ + 0.45 𝑘⃗⃗⃗⃗) × (−900 𝑗⃗⃗⃗) + |
𝑖⃗⃗ 𝑗⃗⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗
0.3 −0.275 0.45
−625 −625√3 0
| + 290 𝑖⃗⃗
𝑀 = −270 𝑘⃗⃗⃗⃗ + 405 𝑖⃗⃗ + 281.25√3 𝑖⃗⃗ − 281.25 𝑗⃗⃗⃗ − (187.5√3 + 171.875) 𝑘⃗⃗⃗⃗ + 290 𝑖⃗⃗
𝑴 = 𝟏𝟏𝟖𝟐. 𝟏𝟒 𝒊⃗⃗⃗ − 𝟐𝟖𝟏. 𝟐𝟓 𝒋⃗⃗⃗ − 𝟕𝟔𝟔. 𝟔𝟑 𝒌⃗⃗⃗⃗
9. Ejercicio 10
El motor de 30 Kb está montado sobre el soporte y su eje resiste el empuje de 15 kp y el par de 2,5 m kp aplicados a
él. Determinar la resultante del sistema de fuerzas indicado, en función de una fuerza R en A y un par M.
𝐹⃗1 = −15 𝑖⃗⃗ 𝑘𝑝
𝐹⃗2 = −20 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑘𝑝
𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2
𝑅⃗⃗⃗⃗ = −15 𝑖⃗⃗ − 20 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑘𝑝
𝑟⃗⃗⃗ = 0.075 𝑖⃗⃗ + 0.2 𝑗⃗⃗⃗ + 0.025 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 = 𝑟⃗⃗⃗ × 𝐹⃗1 + 𝑟⃗⃗⃗ × 𝐹⃗2 − 2.5 𝑖⃗⃗
𝑀 = 𝑟⃗⃗⃗ × 𝑅⃗⃗⃗⃗ − 2.5 𝑖⃗⃗
𝑀 = (0.075 𝑖⃗⃗ + 0.2 𝑗⃗⃗⃗ + 0.025 𝑘⃗⃗⃗⃗) × (−15 𝑖⃗⃗ − 20 𝑘⃗⃗⃗⃗ ) − 2.5 𝑖⃗⃗
𝑀 = 3 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 0.375 𝑗⃗⃗⃗ + 1.5 𝑗⃗⃗⃗ − 5 𝑖⃗⃗ − 2.5 𝑖⃗⃗
𝑴 = −𝟕. 𝟓 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟏. 𝟏𝟐𝟓 𝒋⃗⃗⃗ + 𝟑 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝒌𝒑 𝒎
14. Ejercicio 13
Calcular el momento Mo de la fuerza de 350 N respecto al punto O de la base del robot si 𝜽 = 𝟐𝟎°.
𝑀 𝑂 = (350 cos20°)(0.965)
𝑴 𝑶 = 𝟑𝟏𝟕. 𝟑𝟖 𝑵𝒎
Ejercicio 14
El sistema de cables poleas mostrado soporta la mitad del peso de 600 lb de la plataforma de trabajo. Si la fuerza
ejercida hacia arriba en E por el cable EF la fuerza hacia arriba ejercida en G por el cable GH se representa con una sola
fuerza equivalente F, ¿cuál es el valor de F y en qué punto corta su línea de acción al eje x?
𝐹 =
600
2
𝑙𝑏
𝑭 = 𝟑𝟎𝟎 𝒍𝒃
𝑆𝑒 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎 𝑎 4 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥.
15. Ejercicio 15
Reemplazar las fuerzas y los pares que se muestran actuando sobre el aparato por una única fuerza. Precisar la línea
de acción de esta fuerza.
𝐹⃗1 = −1000 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗2 = 500 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗3 = −500 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 + 𝐹⃗3
𝑹⃗⃗⃗⃗ = −𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝑵
𝑟⃗ = 0.9 𝑖⃗⃗
𝑀 = 𝑟⃗ × 𝐹⃗2 = 0.9 𝑖⃗⃗ × (500 𝑘⃗⃗⃗⃗ )
𝑀 = −450 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁𝑚
𝑟⃗1 = −3 𝑖⃗⃗ + 12 𝑗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂 = 𝑟⃗ × 𝐹⃗1 + M + 140 𝑗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂 = (−3 𝑖⃗⃗ + 12 𝑗⃗⃗⃗ ) × (−1000 𝑘⃗⃗⃗⃗) − 450 𝑗⃗⃗⃗ + 140 𝑗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂 = 3000 𝑗⃗⃗⃗ − 12 000 𝑖⃗⃗ − 450 𝑗⃗⃗⃗ + 140 𝑗⃗⃗⃗
𝑴 𝑶 = −𝟏𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟐𝟔𝟗𝟎 𝒋⃗⃗⃗ 𝑵𝒎