RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESFUERZOS
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Este documento presenta un video tutorial sobre la resolución de problemas de resistencia de materiales. Explica cómo determinar los esfuerzos principales y los ejes principales aplicando el teorema de Cauchy a un estado de esfuerzos dado, y resuelve un ejemplo calculando los esfuerzos y ejes principales para el estado de esfuerzos planteado.
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- 1. ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? • Planteamiento del tensor de esfuerzos aplicando el Teorema de Cauchy • Determinación del esfuerzo del sólido, esfuerzo normal y esfuerzo cortante • Determinación de los esfuerzos principales y los ejes principales Vídeo tutorial FdeT PROBLEMA RESUELTO: RESISTENCIA MATERIALES Javier Luque javier@fdet.es Área de ingeniería industrial http://fdet.es http://fdetonline.com
- 2. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 En el estado de esfuerzos que se presenta se pide hallar: a) Esfuerzos y ejes principales b) Esfuerzo sobre el plano bisector que pasa por el eje Y X Y Z 1000 400200 Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2
- 3. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Según el teorema de Cauchy “en dos planos perpendiculares entre sí, las componentes perpendiculares a la arista común de los esfuerzos cortantes que actúan sobre dichos planos son de igual magnitud y concurren o se alejan de la arista”
- 4. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Según el teorema de Cauchy “en dos planos perpendiculares entre sí, las componentes perpendiculares a la arista común de los esfuerzos cortantes que actúan sobre dichos planos son de igual magnitud y concurren o se alejan de la arista” Esto permite identificar el signo y cuantía de cada componentes de esfuerzo. 𝜎 𝑋 = 0 𝜎 𝑌 = +400 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑍 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 X Y Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Sentidos positivos en axiles 𝜎 𝑋 𝜎 𝑋 𝜎 𝑌 𝜎 𝑌 𝜎 𝑍 𝜎 𝑍 Z
- 5. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Según el teorema de Cauchy “en dos planos perpendiculares entre sí, las componentes perpendiculares a la arista común de los esfuerzos cortantes que actúan sobre dichos planos son de igual magnitud y concurren o se alejan de la arista” Esto permite identificar el signo y cuantía de cada componentes de esfuerzo. 𝜎 𝑋 = 0 𝜎 𝑌 = +400 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑍 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑋𝑌 = 200 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑌𝑍 = 𝜏 𝑍𝑋 = 0 X Y Z Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Sentidos positivos en cortantes XY 𝜏 𝑋𝑌 𝜏 𝑌𝑋 𝜏 𝑋𝑌
- 6. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Según el teorema de Cauchy “en dos planos perpendiculares entre sí, las componentes perpendiculares a la arista común de los esfuerzos cortantes que actúan sobre dichos planos son de igual magnitud y concurren o se alejan de la arista” Esto permite identificar el signo y cuantía de cada componentes de esfuerzo. 𝜎 𝑋 = 0 𝜎 𝑌 = +400 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑍 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑋𝑌 = 200 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑌𝑍 = 𝜏 𝑍𝑋 = 0 X Y Z Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Sentidos positivos en cortantes XZ 𝜏 𝑋𝑍 𝜏 𝑍𝑋 𝜏 𝑍𝑋 𝜏 𝑋𝑍
- 7. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Según el teorema de Cauchy “en dos planos perpendiculares entre sí, las componentes perpendiculares a la arista común de los esfuerzos cortantes que actúan sobre dichos planos son de igual magnitud y concurren o se alejan de la arista” Esto permite identificar el signo y cuantía de cada componentes de esfuerzo. 𝜎 𝑋 = 0 𝜎 𝑌 = +400 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑍 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑋𝑌 = 200 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑌𝑍 = 𝜏 𝑍𝑋 = 0 X Y Z Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Sentidos positivos en cortantes YZ 𝜏 𝑌𝑍 𝜏 𝑍𝑌 𝜏 𝑍𝑌 𝜏 𝑌𝑍
- 8. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Los esfuerzos principales se obtienen a partir de calcular el estado de esfuerzos 𝜌 en un punto, tomando un volumen infinitesimal del mismo. 𝜌 𝑛 (l,m,n) 𝑢
- 9. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Los esfuerzos principales se obtienen a partir de calcular el estado de esfuerzos 𝜌 en un punto, tomando un volumen infinitesimal del mismo. 𝜌 𝑛 (l,m,n) 𝑢 𝝈 𝒁 𝝉 𝒁𝑿𝝉 𝒁𝒀
- 10. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Los esfuerzos principales se obtienen a partir de calcular el estado de esfuerzos 𝜌 en un punto, tomando un volumen infinitesimal del mismo. 𝜌 𝑛 (l,m,n) 𝑢 𝝈 𝒁 𝝉 𝒁𝑿𝝉 𝒁𝒀 𝝈 𝒀 𝝉 𝒀𝑿 𝝉 𝒀𝒁
- 11. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Los esfuerzos principales se obtienen a partir de calcular el estado de esfuerzos 𝜌 en un punto, tomando un volumen infinitesimal del mismo. 𝜌 𝑛 (l,m,n) 𝑢 𝝈 𝒁 𝝉 𝒁𝑿𝝉 𝒁𝒀 𝝈 𝒀 𝝉 𝒀𝑿 𝝉 𝒀𝒁 𝝈 𝑿 𝝉 𝑿𝒁 𝝉 𝑿𝒀
- 12. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Los esfuerzos principales se obtienen a partir de calcular el estado de esfuerzos 𝜌 en un punto, tomando un volumen infinitesimal del mismo. 𝝈 𝑿 · 𝑿 𝟐 + 𝝈 𝒀 · 𝒀 𝟐 + 𝝈 𝒁 · 𝒁 𝟐 + 𝟐 · 𝝉 𝑿𝒀 · 𝑿 · 𝒀 + 𝟐 · 𝝉 𝑿𝒁 · 𝑿 · Z +𝟐 · 𝝉 𝒀𝒁 · 𝒀 · Z =1 Siendo: X, Y y Z, las coordenadas del punto donde se quiere realizar el estudio 𝜌 𝑛 (l,m,n) 𝑢 𝝈 𝒁 𝝉 𝒁𝑿𝝉 𝒁𝒀 𝝈 𝒀 𝝉 𝒀𝑿 𝝉 𝒀𝒁 𝝈 𝑿 𝝉 𝑿𝒁 𝝉 𝑿𝒀
- 13. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Los esfuerzos principales se obtienen a partir de calcular el estado de esfuerzos 𝜌 en un punto, tomando un volumen infinitesimal del mismo. 𝝈 𝑿 · 𝑿 𝟐 + 𝝈 𝒀 · 𝒀 𝟐 + 𝝈 𝒁 · 𝒁 𝟐 + 𝟐 · 𝝉 𝑿𝒀 · 𝑿 · 𝒀 + 𝟐 · 𝝉 𝑿𝒁 · 𝑿 · Z +𝟐 · 𝝉 𝒀𝒁 · 𝒀 · Z =1 Siendo: X, Y y Z, las coordenadas del punto donde se quiere realizar el estudio 𝑋 = 𝑙 𝜎 𝑌 = 𝑚 𝜎 𝑍 = 𝑛 𝜎 𝜌 𝑛 (l,m,n) 𝑢 𝝈 𝒁 𝝉 𝒁𝑿𝝉 𝒁𝒀 𝝈 𝒀 𝝉 𝒀𝑿 𝝉 𝒀𝒁 𝝈 𝑿 𝝉 𝑿𝒁 𝝉 𝑿𝒀
- 14. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Los esfuerzos principales se obtienen a partir de calcular el estado de esfuerzos 𝜌 en un punto, tomando un volumen infinitesimal del mismo. 𝝈 𝑿 · 𝑿 𝟐 + 𝝈 𝒀 · 𝒀 𝟐 + 𝝈 𝒁 · 𝒁 𝟐 + 𝟐 · 𝝉 𝑿𝒀 · 𝑿 · 𝒀 + 𝟐 · 𝝉 𝑿𝒁 · 𝑿 · Z +𝟐 · 𝝉 𝒀𝒁 · 𝒀 · Z =1 Siendo: X, Y y Z, las coordenadas del punto donde se quiere realizar el estudio 𝑋 = 𝑙 𝜎 𝑌 = 𝑚 𝜎 𝑍 = 𝑛 𝜎 𝜌 𝑛 (l,m,n) 𝑢 𝝈 𝒁 𝝉 𝒁𝑿𝝉 𝒁𝒀 𝝈 𝒀 𝝉 𝒀𝑿 𝝉 𝒀𝒁 𝝈 𝑿 𝝉 𝑿𝒁 𝝉 𝑿𝒀 Al mismo tiempo l, m y n son los cosenos directores de la normal al plano de estudio.
- 15. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Realizando un giro de ejes coordenados se puede conseguir que sólo existan esfuerzos normales, anulándose todos los demás (cortantes). Los ejes que permiten este estado de esfuerzos se denominan ejes principales. 𝝈 𝑿 · 𝑿 𝟐 + 𝝈 𝒀 · 𝒀 𝟐 + 𝝈 𝒁 · 𝒁 𝟐 =1 𝑋 = 𝑙 𝜎 𝑌 = 𝑚 𝜎 𝑍 = 𝑛 𝜎 Como los esfuerzos principales son perpendiculares a las superficies que representan, se cumple: 𝜌 = 𝜌 𝑢 𝜌 𝑥 = 𝜌 · 𝑙 𝜌 𝑦 = 𝜌 · 𝑚 𝜌 𝑧 = 𝜌 · 𝑛 (𝜎 𝑥−𝜌)𝑙 + 𝜏 𝑥𝑦 𝑚 + 𝜏 𝑥𝑧n = 0 𝜏 𝑦𝑥 𝑙 + (𝜎 𝑦−𝜌)𝑚 + 𝜏 𝑦𝑧n = 0 𝜏 𝑧𝑥 𝑙 + 𝜏 𝑧𝑦 𝑚 + (𝜎𝑧−𝜌)n = 0
- 16. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝑋 = 𝑙 𝜎 𝑌 = 𝑚 𝜎 𝑍 = 𝑛 𝜎 𝜎 𝑋 = 0 𝜎 𝑌 = +400 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑍 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑋𝑌 = 200 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑌𝑍 = 𝜏 𝑍𝑋 = 0 0 − 𝜌 200 0 200 400 − 𝜌 0 0 0 (−1000 − 𝜌) = 0 −1000 − 𝜌 𝜌2 − 400𝜌 − 40000 = 0 (𝜎 𝑥−𝜌)𝑙 + 𝜏 𝑥𝑦 𝑚 + 𝜏 𝑥𝑧n = 0 𝜏 𝑦𝑥 𝑙 + (𝜎 𝑦−𝜌)𝑚 + 𝜏 𝑦𝑧n = 0 𝜏 𝑧𝑥 𝑙 + 𝜏 𝑧𝑦 𝑚 + (𝜎𝑧−𝜌)n = 0
- 17. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝑋 = 𝑙 𝜎 𝑌 = 𝑚 𝜎 𝑍 = 𝑛 𝜎 𝜎 𝑋 = 0 𝜎 𝑌 = +400 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑍 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑋𝑌 = 200 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑌𝑍 = 𝜏 𝑍𝑋 = 0 0 − 𝜌 200 0 200 400 − 𝜌 0 0 0 (−1000 − 𝜌) = 0 −1000 − 𝜌 𝜌2 − 400𝜌 − 40000 = 0 (𝜌2 − 400𝜌 − 40000) = 0 −1000 − 𝜌 = 0 𝜌3 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜌2 = −82,8 𝑘𝑔 𝑐𝑚2𝜌1 = 482,8 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 (𝜎 𝑥−𝜌)𝑙 + 𝜏 𝑥𝑦 𝑚 + 𝜏 𝑥𝑧n = 0 𝜏 𝑦𝑥 𝑙 + (𝜎 𝑦−𝜌)𝑚 + 𝜏 𝑦𝑧n = 0 𝜏 𝑧𝑥 𝑙 + 𝜏 𝑧𝑦 𝑚 + (𝜎𝑧−𝜌)n = 0
- 18. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝑋 = 𝑙 𝜎 𝑌 = 𝑚 𝜎 𝑍 = 𝑛 𝜎 𝜎 𝑋 = 0 𝜎 𝑌 = +400 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑍 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑋𝑌 = 200 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑌𝑍 = 𝜏 𝑍𝑋 = 0 0 − 𝜌 200 0 200 400 − 𝜌 0 0 0 (−1000 − 𝜌) = 0 −1000 − 𝜌 𝜌2 − 400𝜌 − 40000 = 0 (𝜌2 − 400𝜌 − 40000) = 0 −1000 − 𝜌 = 0 𝜌3 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜌2 = −82,8 𝑘𝑔 𝑐𝑚2𝜌1 = 482,8 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 Que uno de los esfuerzos coincida con una de las tensiones indica que es esfuerzo principal y su dirección, eje principal (𝜎 𝑥−𝜌)𝑙 + 𝜏 𝑥𝑦 𝑚 + 𝜏 𝑥𝑧n = 0 𝜏 𝑦𝑥 𝑙 + (𝜎 𝑦−𝜌)𝑚 + 𝜏 𝑦𝑧n = 0 𝜏 𝑧𝑥 𝑙 + 𝜏 𝑧𝑦 𝑚 + (𝜎𝑧−𝜌)n = 0
- 19. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝑋 = 𝑙 𝜎 𝑌 = 𝑚 𝜎 𝑍 = 𝑛 𝜎 𝜌3 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜌2 = −82,8 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜌1 = 482,8 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑋 = 0 𝜎 𝑌 = +400 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑍 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑋𝑌 = 200 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑌𝑍 = 𝜏 𝑍𝑋 = 0 Para el eje principal 1 (0 − 482,8)𝑙1 + 200𝑚1 + 0𝑛1 = 0 200𝑙1 + (400 − 482,8)𝑚1 + 0𝑛1 = 0 0𝑙1 + 0𝑚1(−1000 − 482,8)𝑛1 = 0 Se escogen 2 del sistema anterior y se añade la ecuación geométrica que relaciona los 3 cosenos directores 𝑙1 2 + 𝑚1 2 + 𝑛1 2 = 1 (𝜎 𝑥−𝜌)𝑙 + 𝜏 𝑥𝑦 𝑚 + 𝜏 𝑥𝑧n = 0 𝜏 𝑦𝑥 𝑙 + (𝜎 𝑦−𝜌)𝑚 + 𝜏 𝑦𝑧n = 0 𝜏 𝑧𝑥 𝑙 + 𝜏 𝑧𝑦 𝑚 + (𝜎𝑧−𝜌)n = 0
- 20. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝑋 = 𝑙 𝜎 𝑌 = 𝑚 𝜎 𝑍 = 𝑛 𝜎 (𝜎 𝑥−𝜌)𝑙 + 𝜏 𝑥𝑦 𝑚 + 𝜏 𝑥𝑧n = 0 𝜏 𝑦𝑥 𝑙 + (𝜎 𝑦−𝜌)𝑚 + 𝜏 𝑦𝑧n = 0 𝜏 𝑧𝑥 𝑙 + 𝜏 𝑧𝑦 𝑚 + (𝜎𝑧−𝜌)n = 0 𝜌3 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜌2 = −82,8 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜌1 = 482,8 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑋 = 0 𝜎 𝑌 = +400 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑍 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑋𝑌 = 200 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑌𝑍 = 𝜏 𝑍𝑋 = 0 Para el eje principal 1 (0 − 482,8)𝑙1 + 200𝑚1 + 0𝑛1 = 0 200𝑙1 + (400 − 482,8)𝑚1 + 0𝑛1 = 0 0𝑙1 + 0𝑚1(−1000 − 482,8)𝑛1 = 0 Se escogen 2 del sistema anterior y se añade la ecuación geométrica que relaciona los 3 cosenos directores 𝑙1 2 + 𝑚1 2 + 𝑛1 2 = 1 𝑙1 = 0,383 𝑚1 = 0,924 𝑛1 = 0
- 21. Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 a) Esfuerzos y ejes principales Datos en 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝑋 = 𝑙 𝜎 𝑌 = 𝑚 𝜎 𝑍 = 𝑛 𝜎 𝜌3 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜌2 = −82,8 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜌1 = 482,8 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑋 = 0 𝜎 𝑌 = +400 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜎 𝑍 = −1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑋𝑌 = 200 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜏 𝑌𝑍 = 𝜏 𝑍𝑋 = 0 Para el eje principal 2 (0 + 82,8)𝑙2 + 200𝑚2 + 0𝑛2 = 0 200𝑙2 + (400 + 82,8)𝑚2 + 0𝑛2 = 0 0𝑙2 + 0𝑚2(−1000 + 82,8)𝑛2 = 0 Se escogen 2 del sistema anterior y se añade la ecuación geométrica que relaciona los 3 cosenos directores 𝑙2 2 + 𝑚2 2 + 𝑛2 2 = 1 𝑙2 = 0,924 𝑚2 = −0,383 𝑛2 = 0 (𝜎 𝑥−𝜌)𝑙 + 𝜏 𝑥𝑦 𝑚 + 𝜏 𝑥𝑧n = 0 𝜏 𝑦𝑥 𝑙 + (𝜎 𝑦−𝜌)𝑚 + 𝜏 𝑦𝑧n = 0 𝜏 𝑧𝑥 𝑙 + 𝜏 𝑧𝑦 𝑚 + (𝜎𝑧−𝜌)n = 0
- 22. Fin Vídeo tutorial: PROBLEMA RESUELTO RESISTENCIA DE MATERIALES 01 b) Esfuerzo sobre el plano bisector que pasa por el eje Y 𝜌 𝑥 = 𝜎 𝑥·l + 𝜏 𝑥𝑦·m + 𝜏 𝑥𝑧·n 𝜌 𝑦 = 𝜏 𝑦𝑥·l +𝜎 𝑦·m + 𝜏 𝑦𝑧·n 𝜌 𝑧 = 𝜏 𝑧𝑥·l + 𝜏 𝑧𝑦·m + 𝜎𝑧·n 𝜌 𝑥 = 0· −1 2 + 200·0 + 0· 1 2 = 0 𝜌 𝑦 = 200· −1 2 +400·0 + 0· 1 2 = −141,4 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝜌 𝑧 = 0· −1 2 + 0·0 + − 1000· 1 2 = −707,1 𝑘𝑔 𝑐𝑚2 𝑙 = −1 2 𝑚 = 0 𝑛 = 1 2 Para el primer bisector X Y Z 𝑛 (l,m,n) 𝜌 = (−141,4)2+(−707,1)2= 721,1 𝑘𝑔 𝑐𝑚2