En esta presentación de FdeT aprenderás a realizar la descomposición de Cholesky de una matriz paso a paso.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- La utilidad de la descomposición de Cholesky para resolver un sistema de ecuaciones.
- Realizar la descomposición de Cholesky de una matriz.

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PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky
ENUNCIADO:
Realiza la descomposición de Cholesky de la matriz:
𝐴 =
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4

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PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky
En primer lugar vamos a dar un pequeño resumen sobre el método de descomposición de Cholesky.
El método de descomposición Cholesky es un método de descomposición LU en el caso en que A sea una matriz simétrica y
definida positiva.
Bastará con tomar 𝑈 = 𝐿𝑡
Vamos a continuación a realizar la descomposición Cholesky de la matriz del enunciado.
𝐴 = 𝐿𝑈 = 𝐿𝐿𝑡
Por lo tanto tenemos que:
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4
=
𝑙11 0 0
𝑙21 𝑙22 0
𝑙31 𝑙32 𝑙33
𝑙11 𝑙21 𝑙31
0 𝑙22 𝑙23
0 0 𝑙33

4. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky
A continuación realizamos el producto de matrices de la derecha, y tenemos
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4
=
𝑙11
2
𝑙11 𝑙21 𝑙11 𝑙31
𝑙21 𝑙11 𝑙21
2
+ 𝑙22
2
𝑙21 𝑙31 + 𝑙22 𝑙32
𝑙31 𝑙11 𝑙31 𝑙21 + 𝑙32 𝑙22 𝑙31
2
+ 𝑙32
2
+ 𝑙33
2
A continuación igualamos elemento a elemento las dos matrices, y tenemos un sistema de ecuaciones que debemos
resolver. Vamos a ir igualando de forma ordenada y resolviendo:
Si igualamos la primera fila tenemos:
𝑙11
2
= 4 𝑙11 = 2
𝑙11 𝑙21 = −1 2𝑙21 = −1 𝑙21 =
−1
2
𝑙11 𝑙31 = 0 2𝑙31 = 0 𝑙31 = 0

5. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4
=
𝑙11
2
𝑙11 𝑙21 𝑙11 𝑙31
𝑙21 𝑙11 𝑙21
2
+ 𝑙22
2
𝑙21 𝑙31 + 𝑙22 𝑙32
𝑙31 𝑙11 𝑙31 𝑙21 + 𝑙32 𝑙22 𝑙31
2
+ 𝑙32
2
+ 𝑙33
2
𝑙11 = 2 𝑙21 = −
1
2
𝑙31 = 0
A continuación igualamos la segunda fila:
𝑙21 𝑙11 = −1 2 −
1
2
= −1 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑙21
2
+ 𝑙22
2
= 4 −
1
2
2
+ 𝑙22
2
= 4 𝑙22 =
15
2
𝑙21 𝑙31 + 𝑙22 𝑙32 = −1 −
1
2
0 +
15
2
𝑙32 = −1 𝑙32 = −
2
15
= −
2 15
15

6. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4
=
𝑙11
2
𝑙11 𝑙21 𝑙11 𝑙31
𝑙21 𝑙11 𝑙21
2
+ 𝑙22
2
𝑙21 𝑙31 + 𝑙22 𝑙32
𝑙31 𝑙11 𝑙31 𝑙21 + 𝑙32 𝑙22 𝑙31
2
+ 𝑙32
2
+ 𝑙33
2
𝑙11 = 2 𝑙21 = −
1
2
𝑙31 = 0
𝑙22 =
15
2
𝑙32 = −
2 15
15
A continuación igualamos la tercera fila:
𝑙31 𝑙11 = 0 0 2 = 0 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑙31 𝑙21 + 𝑙32 𝑙22 = −1 0 −
1
2
+ −
2 15
15
15
2
= −1 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑙31
2
+ 𝑙32
2
+ 𝑙33
2
= 4 02
+ −
2 15
15
2
+ 𝑙33
2
= 4 𝑙33 =
56
15

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PROBLEMA RESUELTO: método Cholesky
Ya tenemos resuelto el sistema de ecuaciones y por lo tanto tenemos la descomposición Cholesky de la matriz A. Nos
quedaría:
4 −1 0
−1 4 −1
0 −1 4
=
2 0 0
−1
2
15
2
0
0
−2 15
15
56
15
2
−1
2
0
0
15
2
−2 15
15
0 0
56
15