Universidad de Tarapacá
Departamento de Matemática
Ingenierías- Guía 4 de Cálculo 3
REGLA DE LA CADENA
30. Dada z = x2
y y...
36. Si w = x3
f
y
x
;
z
x
, demuestre que x
@w
@x
+ y
@w
@y
+ z
@w
@z
= 3w
37. Si u = f
y x
xy
;
z x
zx
, demostrar que x2...
implícitamente x = f (y; z) en el punto (1; 1; 1) y determine
@x
@y
y
@x
@z
en
(1; 1; 1) :
46. Calcular
@z
@x
y
@z
@y
si 3...
54. Enuncie las condiciones su…cientes que permiten determinar la naturaleza
del valor extremo local.
55. Como ha podido a...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Guía 4 Cálculo III

195 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
195
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
3
Acciones
Compartido
0
Descargas
1
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Guía 4 Cálculo III

  1. 1. Universidad de Tarapacá Departamento de Matemática Ingenierías- Guía 4 de Cálculo 3 REGLA DE LA CADENA 30. Dada z = x2 y y2 donde x =sen t e y = et , hallar dz dt cuando t = 0; a) Aplicando la Regla de la Cadena b) Por sustitución directa. 31. Determine dz dt , utilizando la regla de la cadena, si a) 8 < : z = x2 + y2 donde, x = et ; y = e t b) 8 < : z = x2 + y2 donde, x = et ; y = e t c) 8 < : z = x2 + y2 donde, x = et ; y = e t d) 8 < : z = x2 + y2 donde, x = et ; y = e t 32. Dada z = 2xy donde x = s2 + t2 e y = s t , hallar @z @s y @z @t , a) Aplicando la Regla de la Cadena b) Por sustitución directa. 33. Hallar @w @r y @w @t cuando r = 1 y t = 2 si w = xy + yz + xz donde, x = r cos t e y = r sen t: 34. Describa la Regla de la Cadena si f es una función de tres variables las que a su vez son funciones de cuatro variables.¿ Que ocurre si f es función de cuatro variables las que a su vez son funciones de tres variables ?. Escriba las expresiones de las derivadas que se obtienen para cada caso. 35. Hallar las expresiones para las derivadas parciales de las funciones: a) F (x; y) = f (g (x) + h (y) ; g (x) h (y)) b) F (x; y) = f (g (x) ; g (x) h (y) ; h (y)) c) F (x; y; z) = f (g (x + y) ; h (x + z)) d) F (x; y; z) = f (x2 y2 ; y2 z2 ; x2 z2 ) 1
  2. 2. 36. Si w = x3 f y x ; z x , demuestre que x @w @x + y @w @y + z @w @z = 3w 37. Si u = f y x xy ; z x zx , demostrar que x2 @u @x + y2 @u @y + z2 @u @z = 0 38. Demostrar que z = f(x+ay)+g(x ay) satisface la ecuación zyy = a2 zyy 39. Sea f(u; v:w) una función con derivadas parciales continuas de orden 1 y 2, y sea g(x; y) = f(x + y; x y; y). Calcule gxx + gyy en términos de derivadasde f(u; v; w). 40. Encontrar la transformada de la expresión x4 y00 (x) + 2x3 y0 (x) + y(x) si se hace el cambio x = 1 t TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA 41. Diga que entiende por función implícita y determine las condiciones bajo las cuales la ecuación F (x; y) = 0 de…ne una función implícita única y = f (x) : 42. Calcular dy dx si y3 + y2 5y x2 + 4 = 0 43. Para cada una de las funciones F, demostrar que la ecuación F (x; y) = 0 de…ne una función implícita y = f (x) en el punto (xo; yo) dado y determinar f0 (x) : a) F (x; y) = x2 xy + y2 3 en (1; 2) b) F (x; y) = x cos xy en 1; 2 c) F (x; y) = 2ex+y x + y en (1; 1) 44. Determine las condiciones bajo las cuales la ecuación F (x; y; z) = 0 pueda resolverse para z y determine las expresiones para @z @x y @z @y : 45. Sea F (x; y; z) = x3 2y2 + z2 . Demostrar que F (x; y; z) = 0 de…ne 2
  3. 3. implícitamente x = f (y; z) en el punto (1; 1; 1) y determine @x @y y @x @z en (1; 1; 1) : 46. Calcular @z @x y @z @y si 3x2 z x2 y2 + 2z3 + 3yz 5 = 0 47. Dada F (x; y; z; u) = xy2 ux2 + 3zu2 + 2yz2 2xyzu, si u = f (x; y; z) determinar @u @x , @u @y y @u @z : 48. Probar que la ecuación y2 x x2 y + xsin(z) = 2 de…ne una función implícita z = z(x; y) en un entorno del punto (1; 1; 0). Hallar el plano tangente a la super…cie z = z(x; y) en el punto (1; 1; 0). 49. Demuestre que la ecuación del plano tangente a la super…cie S dada por F(x; y; z) = 0 en el punto P0 = (a; b; c) es rF (P0) (P P0) = 0, o (x a) @F @x (P0) + (y b) @F @y (P0) + (z c) @F @z (P0) = 0 VALORES EXTREMOS 50. ¿Qué entiende por valor extremo de una función f : Rn ! R ? 51- Señale la diferencia entre "valor extremo local" y "valor extremo abso- luto". 52. De…na "punto crítico" o "punto estacionario" para f : Rn ! R y señale la condición necesaria ( pero no su…ciente) para la existencia de un valor estremo local. 53. Determine los puntos críticos para cada una de las siguientes funciones: a) f (x; y) = x2 2xy + 2y2 2x + 2y + 4 b) f (x; y) =sen xy c) f (x; y) = x3 y3 3xy + 4 d) f (x; y) = ex2+y2 3
  4. 4. 54. Enuncie las condiciones su…cientes que permiten determinar la naturaleza del valor extremo local. 55. Como ha podido apreciar en su respuesta anterior, la naturaleza del valor extremo tiene que ver con el Hessiano. Determine la matriz Hessiana ( matriz cuyo determinante es el Hessiano) de las funciones del ejercico 4 anterior, en los puntos críticos encontrados. 56. Para las siguientes funciones, determine, si existen, valores extremos lo- cales: a) f (x; y) = x3 + y3 3x 12y + 20 b) f (x; y) = (x2 2x + 4y2 8y) 2 c) f (x; y; z) = x2 + y2 + z2 6xy + 8xz 10yz d) f (x; y) = x2 y2 5x2 8xy 5y2 e) f (x; y; z) = 4x + xy x2 y2 z2 yz f) f (x; y) =sen (x + y) +sen x+sen y g) f (x; y) = (x2 + y2 ) e (x2+y2 ) h) f (x; y) = 1 x + xy 8 y 57. Determine los extremos (locales y absolutos) de cada una de las funciones en las regiores dadas: a) f (x; y) = x+y en la región = f(x; y) 2 R2 = 1 x 1 ; 1 y 1g b) f (x; y; z) = x + y + z en la región donde x2 + y2 + z2 < 1 c) f (x; y) = 144x3 y2 (1 x y) en la región donde x; y 0 58. Hallar los extremos de las funciones z = f(x; y) dadas en la forma implícita a) x2 + y2 + z2 2x + 4y 6z 11 = 0 b) x3 y2 3x + 4y + z2 + z 8 = 0 4

×