Derivadas

2. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
UNIDAD 1: FUNCIONES, LÍMITES Y DERIVADAS
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Primero ‘B’
Carrera de Telecomunicaciones

3. DERIVADAS

4. INTRODUCCIÓN
ARQUÍMEDES KEPLER, NEWTON, GALILEO
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE VELOCIDAD INSTANTÁNEA

5. LA RECTA TANGENTE
Recta que toca a una curva sin cortarla.
Recta trazada por una circunferencia y que
formaba un ángulo de 90º con su diámetro y con
solo un punto de la circunferencia.

6. DEFINICIÓN DE LA RECTA TANGENTE
La recta tangente a la curva en
el punto es aquella recta que
pasa por P con pendiente
siempre y cuando este límite exista y no
sea −∞ 𝑜 ∞
( )y f x=
( ), ( )P c f c
tan sec
0 0
( ) ( )
lim lim
h h
f c h f c
m m
h→ →
+ −
= =

7. EJEMPLO 1
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (2, 4)2
( )y f x x= =
tan
0
(2 ) (2)
lim
h
f h f
m
h→
+ −
=
2 2
0
(2 ) (2)
lim
h
h
h→
+ −
=
2
0
4 4 4
lim
h
h h
h→
+ + −
=
( )
0
4
lim
h
h
h
h
→
+
=
4=

8. EJEMPLO 2
Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la curva en los puntos con
abscisas -1, ½, 2 y 3
2
( ) 2 2y f x x x= = − + +
tan
0
( ) ( )
lim
h
f c h f c
m
h→
+ −
=
2 2
0
( ) 2( ) 2 ( 2 2)
lim
h
c h c h c c
h→
− + + + + − − + +
=
2 2 2
0
2 2 2 2 2 2
lim
h
c ch h c h c c
h→
− − − + + + + − −
=
( )
0
2 2
lim
h
c hh
h→
− − +
=
2 2c= − +

9. EJEMPLO 3
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en
1
( )y f x
x
= =
tan
0
(2 ) (2)
lim
h
f h f
m
h→
+ −
=
0
1 1
2 2lim
h
h
h→
−
+=
1
2,
2
 
 
 
( ) ( )
0
2 2
2 2 2 2
lim
h
h
h h
h→
+
−
+ +
=
0
2 (2 )
lim
2(2 )h
h
h h→
− +
=
+
tan
0
lim
2(2 )h
h
h
m
h→
−
=
+
0
1
lim
2(2 )h h→
−
=
+
1
4
= −

10. VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD
INSTANTÁNEA
Intervalo de tiempo de t = 1 a t = 2
P cayó 16(4) – 16(1) = 48 cm.
64 16
48
2 1
promV cms seg
−
= =
−
Intervalo de tiempo de t = 1 a t = 1.5
P cayó 16(2.25) – 16(1) = 20 cm.
36 16 20
40
1.5 1 0.5
promV cms seg
−
= = =
−
Intervalo de tiempo de t = 1 a t = 1.1
P cayó 16(1.21) – 16(1) = 3.36 cm.
19.36 16 3.36
33.6
1.1 1 0.1
promV cms seg
−
= = =
−
Intervalo de tiempo de t = 1 a t = 1.01
P cayó 16(1.0201) – 16(1) = 0,3216 cm.
16.3216 16 0.3216
32.16
1.01 1 0.01
promV cms seg
−
= = =
−

11. VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD
INSTANTÁNEA
Instante Posición
t s = f(t)
c
c + h
f(c)
f(c + h)
( ) ( )
prom
f c h f c
v
h
+ −
=
DEFINICIÓN: Velocidad Instantánea
Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con función de posición
f(t), entonces su velocidad instantánea en el instante c es
siempre que el límite exista y no sea −∞ 𝑜 ∞
0 0
( ) ( )
lim limprom
h h
f c h f c
v v
h→ →
+ −
= =

12. EJEMPLO 4
En el caso donde , la velocidad instantánea en t = 1 es
0
(1 ) (1)
lim
h
f h f
v
h→
+ −
=
2
( ) 16f t t=
2
0
16(1 ) 16
lim
h
h
v
h→
+ −
=
2
0
16 32 16 16
lim
h
h h
v
h→
+ + −
=
( )0
lim 32 16 32
h
v h
→
= + =

13. EJEMPLO 5
Un objeto inicialmente en reposo, cae debido a la acción de la gravedad. Determine
su velocidad instantánea en segundos y en segundos.
0
( ) ( )
lim
h
f c h f c
v
h→
+ −
=
3.8t =
2 2
0
16( ) 16
lim
h
c h c
v
h→
+ −
=
2 2 2
0
16 32 16 16
lim
h
c ch h c
v
h→
+ + −
=
( )0
lim 32 16 32
h
v c h c
→
= + =
5.4t =
3.8t =
32(3.8) 121.6v m seg= =
5.4t =
32(5.4) 172.8v m seg= =

14. LA DERIVADA
DEFINICIÓN: La Derivada
La derivada de una función f es otra función f’ cuyo valor en cualquier número x es
Si el límite existe y no es −∞ 𝑜 ∞ decimos que f es derivable en x.
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
=

15. CÁLCULO DE DERIVADAS
Sea ( ) 13 6. Encuentre '(4)f x x f= −
0
(4 ) (4)
'(4) lim
h
f h f
f
h→
+ −
=
( ) ( )
0
13 4 6 13 4 6
'(4) lim
h
h
f
h→
+ − − −      =
0
13
'(4) lim
h
h
f
h→
=
0
'(4) lim13
h
f
→
=
'(4) 13f =

16. CÁLCULO DE DERIVADAS
3
Sea ( ) 7 . Encuentre '( )f x x x f x= +
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
=
( ) ( )3 3
0
7 7
'( ) lim
h
x h x h x x
f x
h→
   + − + − +  =
2 2 3
0
3 3 7
'( ) lim
h
x h xh h h
f x
h→
+ + +
=
( )2 2
0
'( ) lim 3 3 7
h
f x x xh h
→
= + + +
2
'( ) 3 7f x x= +

17. CÁLCULO DE DERIVADAS
1
Sea ( ) . Encuentre '( )f x f x
x
=
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
=
0
1 1
'( ) lim
h
x h xf x
h→
−
+=
2
1
'( )f x
x
= −
( )
( )0
1
'( ) lim
h
x x h
f x
x h x h→
 − +
=  
+ 
( )0
1
'( ) lim
h
h
f x
x h x h→
 −
=  
+ 
( )0
1
'( ) lim
h
f x
x h x→
−
=
+

18. LA DERIVADA
TEOREMA: Derivabilidad implica continuidad
Si f’(c) existe, entonces f es continua en c.
lim ( ) ( )
x c
f x f c
→
=DEMOSTRAR:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ,
f x f c
f x f c x c x c
x c
−
= +  − 
−
( )
( ) ( )
lim ( ) lim ( ) ,
x c x c
f x f c
f x f c x c x c
x c→ →
− 
= +  −  − 
( )
( ) ( )
lim ( ) lim ( ) lim lim
x c x c x c x c
f x f c
f x f c x c
x c→ → → →
−
= +  −
−
lim ( ) ( ) '( ) 0
x c
f x f c f c
→
= + 
lim ( ) ( )
x c
f x f c
→
=

19. INCREMENTOS
Si el valor de x cambia de x1 a x2, entonces x2 – x1 es el
cambio de x y se denomina incremento de x y por lo
regular se denota por ∆x.
Si x1 = c y x2 = c + h, entonces
2 1x x x c h c h = − = + − =
Ahora suponga que y = f(x) determina una función, si x
cambia de x1 a x2, entonces y cambia de y1 = f(x1) a y2 = f(x2).
Así al incremento en x, le corresponde un
incremento en y dado por
2 1x x x = −
2 1 2 1( ) ( )y y y f x f x = − = −

20. EJEMPLO 6
2
Sea ( ) 2 . Encuentre cuando cambiade 0.4 a 1.3y f x x y x= = − 
( ) ( )y f x x f x = +  −
( ) ( )y f x x f x
x x
 +  −
=
 
La Razón
Representa la pendiente de una recta secante que pasa por (x, f(x)).
Cuando ∆x→0, la pendiente de esta recta secante tiende a la recta
tangente, y utilizamos el símbolo
( )
0 0
( )
lim lim '( )
x x
f x x f xdy y
f x
dx x x →  →
+  −
= = =
 

21. GRÁFICA DE LA DERIVADA

22. REGLAS PARA DERIVAR
'( )f x ( )xD f x
dy
dx

23. REGLAS PARA LA FUNCIÓN
CONSTANTE
0 0
( ) ( )
'( ) lim lim 0
h h
f x h f x k k
f x
h h→ →
+ − −
= = =

24. REGLAS PARA LA FUNCIÓN
IDENTIDAD
0 0 0
( ) ( )
'( ) lim lim lim 1
h h h
f x h f x x h x h
f x
h h h→ → →
+ − + −
= = = =

25. REGLAS PARA LA FUNCIÓN POTENCIA
( )
0 0
( ) ( )
'( ) lim lim
n n
h h
x h xf x h f x
f x
h h→ →
+ −+ −
= =
1 2 2 1
0
( 1)
...
2'( ) lim
n n n n n n
h
n n
x nx h x h nxh h x
f x
h
− − −
→
−
+ + + + + −
=
1 2 2 1
1
0
( 1)
...
2
'( ) lim
n n n n
n
h
n n
h nx x h nxh h
f x nx
h
− − − −
−
→
− 
+ + + +  = =

26. REGLAS PARA MULTIPLO CONSTANTE
( ) ( )F x k f x= 
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim lim
h h
F x h F x k f x h k f x
F x
h h→ →
+ −  + − 
= =
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim lim
h h
f x h f x f x h f x
F x k k
h h→ →
+ − + −
=  = 
'( ) '( )F x k f x= 

27. REGLAS PARA LA SUMA
( ) ( ) ( )F x f x g x= +
   
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim lim
h h
f x h g x h f x g x f x h f x g x h g x
F x
h h h→ →
+ + + − + + − + − 
= = +  
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim lim '( ) '( )
h h
f x h f x g x h g x
F x f x g x
h h→ →
+ − + −
= + = +

28. REGLAS PARA LA DIFERENCIA

29. ( ) ( ) ( )F x f x g x=
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim lim
h h
F x h F x f x h g x h f x g x
F x
h h→ →
+ − + + −
= =
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim
h
f x h g x h f x h g x f x h g x f x g x
F x
h→
+ + − + + + −
=
REGLA PARA EL PRODUCTO (I)

30. ( ) ( ) ( )F x f x g x=
0
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim ( ) ( )
h
g x h g x f x h f x
F x f x h g x
h h→
+ − + − 
= +  +   
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim ( ) lim ( ) lim
h h h
g x h g x f x h f x
F x f x h g x
h h→ → →
+ − + −
= +  + 
'( ) ( ) '( ) ( ) '( )F x f x g x g x f x= +
REGLA PARA EL PRODUCTO (II)

31. REGLA DEL COCIENTE (I)

32. REGLA DEL COCIENTE (II)
( )
( )
( )
f x
F x
g x
=

33. REGLA DEL COCIENTE (III)

34. PREGUNTAS