El documento presenta una guía de problemas de trigonometría que incluye expresar ángulos en radianes y grados, determinar valores de funciones trigonométricas dados otros valores, resolver triángulos, simplificar expresiones trigonométricas e identidades, y resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas. Se proporcionan las respuestas a la mayoría de los problemas presentados.

1. GUIA Nº1. TR
1.- Expresar en radianes:
30º, 75º, 125º, 1536º.
2.- Expresar en grados:
;
5
7
;3;
7
5
;
5
2
;
3
πππ
3.- En un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en B, senA=
5
4
y a =
20. Determinar la medida de los otros lados del triángulo.
4.- Dado senα =
nm
nm
+
−
, determinar el valor de las restantes razones
trigonométricas.
5.- Si tg θ = 2+ 3 , determinar el valor de sec θ .
6.- a) Sea tg z =
5
2
, determinar el valor de y = sen
3
z·cosz + cos
3
z·senz.
b) Sea sec
4
5
=α , determinar el valor de w =
α
α
α
α
sen
cos1
cos1
sen +
+
+
.
7.- Determinar el valor de: a) tg º302
+2tg60º-3sec30º
b) cotg
4
cos
6
·sec
3
2 πππ
ec−
8.- Si α ∈IV cuadrante y tg
8
5
−=α , determinar el valor de las restantes razones
trigonométricas.
9- Si ∈α III cuadrante y secα = a, a<0, determinar el valor de las restantes
razones trigonométricas.
10.- Si senα < 0 y cos
13
12
=α , determinar el valor de las restantes razones
trigonométricas.
11.- Si sen
n
m
=α , m, n∈I.C., probar que tg
22
· mn −α = m.
12.- Determinar el valor de:
a)
)º60sec()º45(sen)º45tg(
)º30sen(2)º60cos(3
2
−−−−
−−−
b)
)
6
(cot)
6
(tg
)
4
(cos)
4
(sen
22
22
ππ
ππ
−−
−+−
g
13.- Si sec
º60cotº30cosº30sen2
º45tg2º60tg 22
g
+
=θ , determinar el valor de senθ .
14.- Simplificar: a) secx (cosec )cot 22
xgx − b)
y
yy
sec
2)cos1(sen 22
−−+
UNIVERSIDAD DE TARAPACÁ
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

2. 15.- Demostrar las siguientes identidades:
a) sen θθθθ 2244
cossencos −=− b) (1-cos 1cos) 22
=θθ ec
c) 1
cot
tg
cos
sec
=−
α
α
α
α
g
d) θθ
θθ
θθ
cossen1
cossen
cossen 33
−=
+
+
e) cotg zzgzz 2222
coscotcos =− f) θ
θ
θ
θ
θ
eccos2
sen
cos1
cos1
sen
=
+
+
+
g) sen βαβαβα 222222
sensensencoscos −=−
16.- Un edificio de 300 m de altura proyecta una sombra de 100 m de
longitud. Determinar el ángulo de elevación visto del extremo de la
sombra a la parte superior del edificio.
17.- Desde la azotea de una casa de 9m de altura, el ángulo de elevación del
remate de un monumento es de 30º y el ángulo de depresión de su base
es de 45º. Determinar la altura del monumento.
18.- Desde la cima de una colina de 100m de altura, se observa la base de
un edificio con un ángulo de depresión de 22º y la azotea del último
piso con un ángulo de depresión de 15º. Determinar la altura del edificio.
19.- Dos observadores, en un mismo plano horizontal, distan 850m. Ubicado entre
ellos y a cierta altura está ubicado un objeto. El primer observador lo ve
con un ángulo de elevación de 42º y el segundo, con un ángulo de
elevación de 48º. Determinar a que altura está el objeto.
20.- Una escalera de 13,5m de longitud llega justamente hasta la parte
superior de un muro. Si la escalera forma un ángulo de 60º con el
muro, hallar la altura de éste y la distancia entre él y el pie de la
escalera.
21.- El ángulo de elevación de la parte superior de una columna, vista desde
el pie de una torre, es de 60º y desde la parte superior de la torre, que
tiene 15m de altura, dicho ángulo es de 30º. Hallar la altura de la
columna.
22.- Los ángulos de depresión de dos objetos vistos desde lo alto de una
antena y hacia el norte de ésta , son de 30º y 45º. Si los objetos están
separados por una distancia de 60m, determinar la altura de la antena.
23.- Expresar en función de una razón trigonométrica de un ángulo agudo:
a) cos120º b) sen220º c) sec (-160º) d) tg228º e) cotg 280º
f) cosec (-1341º).

3. 24.- Determinar el valor de:
)º30(cos2
º690sec)º45tg(
º120tg
)º2102cos(2
3
)º210(cot
22
−
−
−
−
+
− πg
25.- Si tg25º=b, determinar el valor de:
)º25tg(º385tg1
º205cotº385tg
−−
+ g
, en función de
"b".
26.- Determinar el valor de:
a) sen( )βα + , si sen ..,
5
3
sen,
13
12
IVCyIIC ∈∈−== βαβα
b) cos( .,
5
4
cos
13
5
cos), IICyIIICysi ∈∈−=−=− βαβαβα
27.- Si tg 0cot
3
5
sec,0sen,
5
12
>−=>−= ββαα gy , determinar:
a) sen( )βα − b) cos( )βα + c) tg( )βα − d) cotg( )βα −
28.- Demostrar las siguientes identidades:
a) α
ββα
ββα
tg
tg)tg(1
tg)tg(
=
−−
+−
b) cos( )βα + cos β +sen( αββα cossen) =+
c) cos(30º- ααα cos3)º30cos() =++
d) sen( )cos(sen
2
1
)
4
αα
π
α +=+
29.- Si tg310º=a, expresar en términos de “a”, el valor de:
º220cotº140tg
º310cosº320sen
g+
−
.
30.- Si
4
π
βα =+ , demostrar que (1+tg 2)tg1)( =+ βα .
31.- Si ∈α IIC y tg
3
2
−=α , demostrar que:
132
132
cot)º270sen(
)º180cos()º90tg(
−
+
=
+−
+++
αα
αα
g
32.- Determinar el valor de:
)º30(cos2
º690sec)º45tg(
º120tg5
)º2102cos(2
)º210(cot
3
1
22
−
−
−
−
+−
π
g
33.- Si sen ,,
13
12
IIIC∈−= αα determinar cos2 ααα 2sec2tg, y .
34.- Demostrar que: a) 1+tg2 ααα 2sectg = b) θ
θ
θ
tg
2cos1
2sen
=
+

4. c) β
β
β
gcot
2cos1
2sen
=
−
d) cotg2
β
β
β
g
g
cot2
1cot 2
−
= e)
2
tg
sen
cos1 α
α
α
=
−
f) cosec
2
cotcot
α
αα gg =+ g) (sen α
αα
sen1)
2
cos
2
2
+=+
h)
2
tg
cos
cos1
2cos1
2sen α
α
α
α
α
=
−
−
35.- Si tg
a
b
=α , demostrar que acos2 ab =+ αα 2sen .
36.- Dado el triángulo de la figura, demostrar:
a) sen2 2
2
c
ab
=α
b) cos2 2
22
c
ab −
=α
c) sen
c
bc
22
−
=
α
37.- Demostrar: a) α
αα
αα
2tg
sen3sen
3coscos
=
−
−
b)
2
cot
3cos2cos
3sen2sen α
αα
αα
g=
−
+
c) α
ββα
ββα
gcot
3sen)32sen(
3cos)32cos(
=
+−
+−
38.- Resolver [ ]π2,0∈∀x :
a) senx=
2
3
( R:
3
2
,
3
ππ
) b) cos
2
12
=x ( R:
4
7
,
4
5
,
4
3
,
4
ππππ
)
c) cosx+cos2x=0 ( R:
3
5
,,
3
π
π
π
) d) senx·cosx=0 ( R: 0,
2
3
,,
2
π
π
π
, 2π )
e) (tgx-1)(2senx+1)=0 ( R:
6
11
,
4
5
,
6
7
,
4
ππππ
)
f) 2cosx+secx=3 ( R: 0, π
ππ
2,
3
5
,
3
) g) senx+1=cosx ( R: 0, π
π
2,
2
3
)
h) sen2x=
2
3
( R:
3
4
,
3
,
6
7
,
6
ππππ
) i) cos
2
3
2
5
=
x
( R:
)
15
23
,
15
11
,
15
13
,
15
,
3
5 πππππ
j) cos2x+cos3x=0 ( R: )
5
9
,
5
7
,,
5
3
,
5
ππ
π
ππ
C
B
A
α

5. k) sen2x+sen4x=2sen3x ( R: 0, )2,
3
5
,
3
4
,,
3
2
,
3
π
ππ
π
ππ
l) sen 4sen52
−=− xx ( R: )
2
π
m) 2sen 1cos2
=+ xx ( R:
0, )2,
3
4
,
3
2
π
ππ
39.- Resolver para la variable en [ )π2,0 :
a) cos2u+3cosu+1=0 ( R: )
2
3
,
2
ππ
b) 2cos 1sen2
=+ uu ( R: )
2
,
6
11
,
6
7 πππ
c) tgx+3cotgx=4 ( R: )º57,251;º57,71;
4
5
;
4
ππ
d) sen3x=cos2x (R: )º18,
2
π
40.- Determinar el valor de:
a) arc sen
2
3
b) arc cotg 0 c) tg(arc sen 0) d) arc cos(sen220º)
41.- Demostrar:
a) sen(arc sen
6
621
)
3
1
arccos
2
1 −
=− b) tg(arc sen(-
16
63
)
13
5
cos)
5
3
=− arc
c) 2arc tgu=arc tg 2
1
2
u
u
−
d) arc tg
43
1
tg2
7
1 π
=+ arc
e) arc sen
24
3
tg
5
4 π
=+ arc f) arc cos
43
32
tg
4
1
tg
13
12
arcarc =+
g) arc tgA – arc tgB = arc tg
AB
BA
+
−
1
h) 2arc cotg7+arc cos
125
44
cos
5
3
arc=
i) arc tg
43
1
tg2
7
1 π
=+ arc j) arc tg(-1)+2arc tg1=
4
π
k) x + y + z = xyz, sabiendo que arc tgx+arc tgy+arc tgz=π
42.- Resolver:
a) arc senx=arc cosx b) arc tg(x+1)-arc tg(x-1)=arc cotg22
c) arc senx+arc sen(1-x)=arc cosx d) arc cos(2x
2
-1) - 2arc cos
2
1
=0
e) arc senx-arc cosx=arc sen(3x-2) f) 2arc cotg2+arc cos
5
3
=arc cosecx

6. g) arc tgx+arc tg(1-x)=arc tg
3
4
h) arc tg
42
1
tg
2
1 π
=
+
+
+
−
−
x
x
arc
x
x
43.- Resolver ∀x [ ]π2,0∈ :
a) sen4x-2sen2x=0 b) tg3x·sen4x=0 c) cos(
4
cos)
44
3 xx
=−
π
44.- Demostrar que: arc cotg
13
84
cot
8
15
cot
3
4
garcgarc =−
45.- Verificar que: arc senx+arc seny=arc sen(x )11 22
xyy −+−
RESPUESTAS GUIA DE TRIGONOMETRIA.
(2) =rad
5
2π
72º; º255,80.
5
7
=rad (6) a) y =
29
10
,
b) w=
3
10
(7)a)
3
4
),
3
1
−b (8) sen
89
5
−=α (9)sen
a
a 12
−
=α
(10)cosec
5
13
−=α (12)a) -1 b) 1;
(13)sen ..
10
99
CIsi ∈= θθ sen ..
10
99
CIVsi ∈−= θθ
(14)a) secx, b)-2cos y2
; (16) 60º; (17) 9+3 3 ; (18) )º15tgº22(tg
º22tg
100
−
(19)
º48tgº42tg
º42º·tg48··tg850
+
; (20)6,75m; 6,75· 3 m; (21) 22,5m; (22) 30( )13 +
(24)
9
32
− ; (25)
b
1
; (26)a)
65
16
);
65
63 −
b ; (27)a)
56
33
)
33
56
)
65
63
),
65
56
dcb−
(29)
1)1(
2
22
+− aa
a
; (32)
45
32
; (33) ,
169
119
−
119
169
,
119
120
−
−
; (42)a)
112);
2
1
±b ;
c) 0,
2
1
);
2
1
);
24
25
);1,
2
1
);
2
1
);
2
1
±± hgfed ; (43)a)






π
ππ
π 2,
2
3
,
2
,,0
b)






4
7
,
2
3
,
4
5
,
4
3
,
2
,
4
,2,
3
5
,
3
4
,,
3
2
,
3
,0
ππππππ
π
ππ
π
ππ
; c)






2
,
4
ππ