1. GUIA Nº2. CALCULO I.
INGENIERIA.
La Recta.
1.- Los vértices de un cuadrilátero son los puntos ( 1,3 ), ( 7,3 ), ( 9,8 ) y ( 3,8 ).
Demostrar que el cuadrilátero es un paralelogramo.
2.- Demostrar que los puntos A( 1,1+2 3), B( )3,3 y C( 2 3-1,-1 ) son
colineales.(No usar pendiente).
3.- Determinar un punto sobre el eje X cuya distancia a ( 1,3 ) sea 2 3. ¿ Cuántos
puntos hay que cumplan con esta condición ?.
4.- Dados los puntos A( 1,0 ) y B( -5,1 ), determinar el punto medio de AB.
5.- Determinar la ecuación de cada recta L, indicando su forma:
a) y b) y c) y L
5 4
L L
3 15º 2
x x x
2 3 5
d) e) f) L
L
4 L 5
3 -4
6.- Graficar, no punto a punto, cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 1
35
3
=+
yx
b) 3
5
3
−=
+
+
y
x
c) y = 3x - 5
7.- La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es
igual
a 3.Determinar la ecuación de la recta sabiendo que contiene al punto (2,10).
8.- Determinar "m" y "n" para que la recta ( m + 2n - 3 ) x + ( 2m - n + 1 ) y + 6m + 9
=0
sea paralela al eje X e intersecte al eje Y en -3.
9.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de : 3x - 4y = 0 y
2x - 5y + 7 = 0 y forma con los ejes coordenados, un triángulo de área 8.
10.- Demostrar que las rectas 3x - 5y + 7 = 0 , 2x + 3y - 8 = 0 y 6x - 7y + 8 = 0
son
concurrentes.
11.- Determinar el ángulo obtuso ""α entre las rectas 5x + 3y - 8 = 0 e y = x - 2.
12. -Dos rectas de pendientes negativas, pasan por el origen formando un ángulo de
45º.

2. Si sus pendientes están en la razón 6:1,determinar las ecuaciones de las rectas.
13.- Sean L1
: ax - 4y + 4 = 0 y L 2
: bx - ay - 2 = 0. Determinar "a" y "b" sabiendo
que el
producto de sus pendientes es -2 y que la intersección de 1
L con el eje X es igual
a 8 veces la intersección de 2
L con el mismo eje.
14.- Si las bases de un trapecio están sobre las rectas 4x - 3y + 10 = 0 y 8x -
6y + 30
=0, determinar la altura del trapecio.
15.- Desde el punto ( -4,1 ) se traza una perpendicular a la recta 3x - 4y + 6 =
0.Determinar
la distancia de (-6,-8) a dicha perpendicular.
16.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 8x + 15y - 10 = 0 y que
estén a
5 unidades del punto ( 2,3 ).
La Circunferencia:
1.- Determinar la ecuación de la circunferencia sabiendo que:
a) C( -1,3 ) y pasa por ( 4,1 ).
b) Pasa por ( 0,4 ), ( 1,2 ) y ( 3,2 ).
c ) Es circunscrita al triángulo cuyos lados están sobre L1
: 3x + 2y = 13
2
L :x-2y+1=0 y 3
L :x+2y=3.
d) C( 0,-2 ) y es tangente a 5x - 12y + 2 = 0.
e) r = 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x - 2y - 24 = 0
2x+7y+9=0.
2.- Una circunferencia pasa por A( -3,3 ) y B( 1,4 ) y su centro está sobre la
recta
3x - 2y - 23 = 0. Hallar su ecuación.
3.- Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria y determinar si representa o no una
cir-
cunferencia. En caso afirmativo hallar su centro y radio:
a) 2x 071062 22
=++−+ yxy b) 4x 0538284 22
=+−++ yxy
c) 16x .017786416 22
=++−+ yxy
4.- Demostrar que las circunferencias x 0236422
=−+++ yxy y
02510822
=+−−+ yxyx son tangentes.
5.- Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x - 4y - 1 = 0 en el punto
(3,2).
Determinar su ecuación.
6.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por ( 1,4 ) y es tangente a la
circunfe-
rencia 052622
=++++ yxyx en el punto (-2,1).
7.- Desde A(-2,-1) se traza una tangente a la circunferencia
034622
=−−−+ yxyx .Si D es el punto de contacto, hallar la longitud del
segmento

3. .AD
8.-Determinar si las circunferencias dadas se cortan en dos puntos , son tangentes o
no se
cortan: 06741801768 2222
=+−−+=+−−+ yxyxyyxyx .
9.-Demostrar que 024042 2222
=+++=−++ yxyxyyxyx se
cortan
ortogonalmente.
10.-Hallar el área del trapecio ABCD , siendo: AB el segmento que une los centros
de las
circunferencias 02712:4: 22
2
22
1 =+−+=+ xyxCyyxC . DC el segmento
tangente
a BCDenC ).3,1(1
− el segmento paralelo a AD .
11.-Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta 2x+y=0
y que
es tangente a la recta x+y-1=0 en el punto (2,-1).
La Parábola.
1. Para cada una de las siguientes parábolas, determinar sus elementos principales y
graficarlas : a) xy 122
−= b) yx 162
−= c) yx
2
52
=
2. Si el vértice de una parábola está en el origen, determinar su ecuación dado:
a) F(-4,0) b) F(0,3) c) directriz: y=2 d) directriz: .
3
7
=x
3.- Una cuerda de la parábola 042
=− xy es un segmento de x-2y+3=0 .
Determinar su
longitud.
4.- Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los
puntos
extremos del lado recto de la parábola 042
=− yx .
5.- Determinar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y pasa
por: ).7,6(,)5,0(,)1,
2
3
( −−−
6.- Determinar la ecuación de la parábola con vértice (4,-1) ,eje focal y + 1 = 0 y pasa
por (3,-3).
7.- Para cada una de las siguientes parábolas, hallar las coordenadas del vértice y
foco,las ecuaciones de la directriz, eje focal y la longitud del lado recto.
a) 7120484 2
=−− yxy b) 01672249 2
=+++ yxx
c) 15912484 2
=++ xyx

4. 8.- Expresar el ángulo agudo que forman las rectas L ,21
Ly siendo L1
la recta que
pasa por el origen y por el vértice de la curva y 0644122
=+−− yx , y L 2
la
recta que pasa por el origen y por un punto de la curva dada, cuya abscisa es la
abscisa del foco de dicha curva y cuya ordenada es menor que 0.
9.- Una parábola de eje focal paralelo al eje X, pasa por los puntos A( -1,8 ), B( )0,
5
19
y
C(4,-2). Determinar la abscisa de un punto D, perteneciente a la parábola, si su
ordenada
es -4.
10.- Dadas las ecuaciones: y = 49 2
+− x , x = ,y y = 4, ,1
42
=+
yx
identifícarlas
y graficarlas claramente en un mismo sistema de ejes coordenados, achurando la
región que ellas encierran.
11.- En un mismo sistema de ejes coordenados, graficar e identificar las ecuaciones 12y
+ x ,0722
=− 1
612
=+
−
yx
, y = 3. Achurar la región que ellas encierran y
determinar los puntos de intersección referidos a la región.
La Elipse.
1.-Para cada una de las siguientes elipses, determinar sus elementos principales y
graficarlas:
a) 9x 22525 22
=+ y b) x 211664 22
−=+−+ yxy c) 9x 03284 22
=−−+ yy
2.- Determinar la ecuación de la elipse sabiendo que:
a) V( )0,4()0,5 ±± Fy b) F( )0,3± y pasa por ( 4,1 )
c) V
2
9
...)6,9(),6,1( 21 =−− RLLyV
d) F )2,3(),8,3( 21
F y longitud eje menor es igual a 8.
3.- El punto medio de una cuerda de la elipse x 3864 22
=−−+ yxy es ( 5,2 ).
Determinar
la ecuación de la cuerda.
4.- Determinar la ecuación de la elipse que cumple las siguientes condiciones: su eje
mayor
mide 10; uno de los extremos del eje mayor es el vértice de
y ;01792362
=−−+ yx y
uno de sus focos es el foco de la curva dada.
5.- Sean C 0444:,444: 2
2
2
1
=−−−−−= yxyCxyy . Determinar la ecuación
de la
elipse cuyo eje menor es el segmento que une los vértices de C 21
Cy y el eje
mayor es

5. el segmento que une los puntos de intersección de C .21
Cy Obtener las
coordenadas de
los focos y la longitud del lado recto de la elipse.
6.- En un mismo sistema de coordenadas graficar claramente: y = 4, x = 2 y ,
x = 0,
y =
12
16 2
x−
achurando el área de la región que ellas encierran. Determinar los
puntos de intersección correspondientes a la región.
7.- Una circunferencia con centro en el origen es tangente a una elipse de tal manera
que sus focos se encuentran sobre la circunferencia. Determinar su excentricidad.
La Hipérbola.
1.- Para cada una de las siguientes hipérbolas determinar sus elementos principales y
graficarlas:
a) 9y 364 22
=− x b) 4x 6436329 22
−=++− yxy
c) 3x 0783022
=++− xy d) x 413649 22
−+−− yxy = 0
2.- Determinar la ecuación de cada hipérbola sabiendo que:
a) V( )0,7()0,5 ±± Fy b) V( 0, )7± y e =
3
4
c) V( 0, )4± y pasa por ( -
2,5 )
d) Ejes de la hipérbola son los ejes coordenados y pasa por ( 4,2 ) y ( -6,7 ).
e) V
2
3
)3,3(),3,1( 21 =− eyV f) C( 2,-2 ), V( 0,-2 ) y L.L.R. = 8.
3.- Hallar el ángulo agudo formado por las asíntotas de la curva:
9x 04423622
=+−−− yxy
4.-Los focos de una hipérbola son ( 4,-2 ) y ( 4,-8 ) y la longitud de su eje transverso es
4.
Determinar la ecuación de la hipérbola, la L.L.R. y su excentricidad.
5.- Sea 1
916
22
=−
yx
. Determinar las ecuaciones de las rectas perpendiculares a cada
una de sus asíntotas y que pasan por su foco derecho.
6.- Determinar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son 4x - 3y = 0 y 4x + 3y -
24 =0,
y uno de sus focos está sobre la recta y = 9.
7.-Determinar el área del triángulo formado por y = 6 y las asíntoyas de
4y xxy 3693624 22
−=+− .
8.-Sea 5x 03636309 22
=+−−+ yxy . Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la
hipérbola que pasa por ( 3,7 ) y cuyos vértices coinciden con los extremos de uno
de los lados rectos de la curva dada.

6. 9.- Hallar la ecuación de la hipérbola, en la forma ordinaria, cuyas asíntotas son las
rectas 2x + y - 3 = 0, 2x - y - 1 = 0, y que pasa por el foco de y 0121282
=−−+ yx .
10.- Determinar el valor de "k", para que la ecuación 2x 02222
=−+− yky
represente dos
rectas que se intersecten.
Respuestas a los ejercicios dados
I.- La Línea Recta:
7) 2x – y + 6 = 0 ; 5x – 2y + 10 = 0 8) m = 7 ; n = -2
9) 9x – 4y – 24 = 0 ; x – 4y + 8 = 0 11) )4(−= arctagα
12) 03,0202,03 =+=+∨=+=+ yxyxyxyx 13) a = 2 ; b = -8
14) altura = 1 15) d = 7 16) 0146158,024158 =−+=++ yxyx
II.-La Circunferencia:
1)a) 29)3()1( 22
=−++ yx b) 02815822 22
=+−−+ yxyx
c) 01322344 22
=++−+ yxyx d) ( )
2
22
13
22
2 





=++ yx e) 25)3()6( 22
=++− yx
2)
4
629
2
17
)2(
2
2
=





++− yx 5) ( ) ( ) ( ) 256,2526
2222
=−+=++− yxyx
6)( ) ( ) 531
22
=−++ yx 7) 18 10)
2
321
=A
11)( ) ( ) 221
22
=++− yx
III.-La Parábola:
2)a) xy 162
−= b) yx 122
= c) yx 82
−= d) xy
3
282 −
=

7. 3) 4 5 4) 0522
=−+ yyx 5) 015282
=−−+ yxy
6) )4(4)1( 2
−−=+ xy 8)
8
9
tagarc 9)
5
19
=x 11) (0,6) ; (6,3) ; (-6,3)
IV.-La Elipse:
3) x + 2y – 9 = 0 4) 1
9
)1(
25
22
=
−
+
yx
5) 1...;)32,1(';)32,1(;1
4
)2(
)1(
2
2
=−−+−=
−
++ RLLFF
y
x
6) ;
3
32
,0 







A B(0,4) ; C(4,4) ; D(2,1) 7)
2
2
=e
V.-La Hipérbola:
3)
4
3
tgarc 4) 5...;
2
3
;1
5
)4(
4
)5( 22
===
−
−
+
RLLe
xy
5) 4x + 3y – 20 = 0 ; 4x –3y – 20 = 0 6)
( ) ( ) 1
9
3
16
4
22
=
−
−
− xy
7) A = 6
8) 0256325;0256325 =−−+=−+− yxyx 9)
( ) ( ) 1
11
1
11
14
22
=
−
−
− yx
10) k =
2
1