Este documento presenta una introducción a los conceptos de límites y derivadas en cálculo diferencial e integral. Explica las nociones básicas de límites, incluyendo su definición formal y representación numérica y gráfica. También cubre límites laterales, límites al infinito y el límite de una sucesión, ilustrando cada concepto con ejemplos.

2. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
UNIDAD 1: FUNCIONES, LÍMITES Y DERIVADAS
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Primero ‘B’
Carrera de Telecomunicaciones

3. LÍMITES

4. INTRODUCCIÓN
CÁLCULO
El estudio de los
Límites
¿Qué pasa con la función f(x) cuando x se acerca a
alguna constante c
f
:f A B
x y
→
→

5. LÍMITES DE FUNCIONES
3
1
( )
1
x
f x
x
−
=
− 1x =
¿Qué ocurre si…?
0
( )
0
f x =
¿Qué pasa con la función f(x) cuando x se acerca a 1

6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
LÍMITES

7. NOTACIÓN
3
1
1
lim 3
1x
x
x→
−
=
−
Esto se lee “el límite de cuando x
tiende a 1 es 3”.
3
1
1
lim 3
1x
x
x→
−
=
−

8. REPRESENTACIÓN NUMÉRICA
( )( )
( )
23
1 1
2 2
1
11
lim lim
1
lim 1 1 1 1 3
1
1x x
x
x xx
x
x
x
x
x
→ →
→
+ +−
=
−
+ + = + +
−
=
−

9. DEFINICIÓN
Significado intuitivo de Límite
Decir que significa que cuando x está
cerca pero diferente de c, entonces f(x) está cerca
de L.
lim ( )
x c
f x L
→
=

10. EJEMPLO 1
( )
( )
3
3
lim 2 4
lim 2 4 10
x
x
x
x
→
→
+
+ =
Cuando x está cerca
de 3, 2x + 4 está
cerca de 2.3 + 4 = 10

11. EJEMPLO 2
( )( )
( )
2
3
2
3 3
3
6
lim
3
26
lim lim
3
lim 2 3 2 5
3
3
x
x x
x
x x
x
xx x
x
x
x
x
→
→ →
→
 − −
 
− 
+  − −
=  
−

− 
+
−
 
= + =
3
1 3
3
x
x
x
−
=  
−

12. EJEMPLO 3
0
sin( )
lim 1
x
x
x→
 
= 
 

13. EJEMPLO 4
2
0
cos( )
lim
10000x
x
x
→
 
−  
2 2
0
cos( ) 1 1
lim 0
10000 10000 10000x
x
x
→
 
− = − = −  

14. EJEMPLO 5
2
lim
x
x
→
NO EXISTE

15. EJEMPLO 6
0
1
lim sin
x x→
  
  
  
NO EXISTE

16. LÍMITES LATERALES
Definición: Límites por la derecha y por la izquierda
Decir que significa que cuando x está cerca pero
a la derecha de c, entonces f(x) esta cerca de L.
Decir que significa que cuando x está cerca pero
a la izquierda de c, entonces f(x) esta cerca de L.
lim ( )
x c
f x L+
→
=
lim ( )
x c
f x L−
→
=

17. LÍMITES LATERALES
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x c x c x c
f x L f x L y f x L− +→ → →
=  = =
TEOREMA A:
2
lim No existe
x
X
→
=
2
lim 1
x
X−
→
=
2
lim 2
x
X+
→
=

18. LÍMITES LATERALES

19. ESTUDIO FORMAL DE LÍMITES
f(x) puede hacerse tan cercana como se desee a L siempre que x sea
suficientemente cercana, pero no igual a c.
lim ( )
x c
f x L
→
=

20. ESTUDIO FORMAL DE LÍMITES
Utilice la gráfica de para determinar que tan cercana
debe estar x de 2 para garantizar que f(x) esté a no menos de 0.05 de
12.
2
( ) 3y f x x= =
61 4.995 183 2.00x 
0.05 ( ) 0.05f x 

21. ESTUDIO FORMAL DE LÍMITES
0 x c  − 
( )f x L − 
c x c −   +
( )L f x L −   +

22. DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITES
Decir que significa que para cada dada, existe una
correspondiente tal que , siempre que
lim ( )
x c
f x L
→
= 0 
0  ( )f x L −  0 x c d − 
0 ( )x c f x L  −   − 

23. DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITES
0 ( )x c d f x L  −   − 

24. EJEMPLO
Demuestre que ( )4
lim 3 7 5
x
x
→
− =
( )0 4 3 7 5x x  −   − − 
( )
( )
( )
3 7 5 3 12
3 4
3 4
4
3
3
x x
x
x
x
 





− −   − 
 − 
 − 
 − 
=
0 4x  −  
( ) ( )3 7 5 3 12 3 4 3 4 3x x x x  − − = − = − = −  =
( )3 7 5x − − 

25. EJEMPLO
Demuestre que ( )lim
x c
mx b mc b
→
+ = +
( ) ( )0 x c mx b mc b  −   + − + 
( ) ( ) ( )mx b mc b mx mc m x c m x c+ − + = − = − = −
m

 =
0 x c  −  
( ) ( )mx b mc b mx mc m x c m  + − + = − = −  =
0Si m =
( ) ( )0 0 0 0x b c b+ − + = =

26. DEFINICIÓN LÍMITES POR LA
DERECHA
Límites Unilaterales
Límites por la Derecha
Decir que significa que para cada existe una
correspondiente , tales que;
lim ( )
x c
f x L+
→
= 0 
0 
0 ( )x c f x L  −   − 

27. TEOREMAS DE LÍMITES

28. EJEMPLO 2
4
9
lim
x
x
x→
+
( )22
2
4 24
4 7 9,2 4 4 4
4
lim 9lim 99 1
lim lim lim9
lim 4 4
xx
x x x
x
xxx
x
x x
→→
→ → →
→
+++
= = = +
2
2
8,1 4 2
1 1 5
lim 9 4 9
4 4 4x
x
→
 = + = + =
 

29. TEOREMA DE SUSTITUCIÓN
Si f es una función polinomial o una función racional, entonces:
lim ( ) ( )
x c
f x f c
→
=
con tal que f(c) esté definida. Para las funciones racionales, el valor del
denominador en c, debe ser diferente de 0.

30. EJEMPLO
5 4
22
7 10 13 6
lim
3 6 8x
x x x
x x→
− − +
− −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
5 45 4
222
7 2 10 2 13 2 67 10 13 6 11
lim
3 6 8 23 2 6 2 8x
x x x
x x→
− − +− − +
= = −
− − − −

31. TEOREMA
• Si f(x) = g(x) para toda x en un intervalo abierto que contenga a c,
excepto posiblemente en el mismo número c, y si existe
entonces existe y
lim ( )
x c
g x
→
lim ( )
x c
f x
→
lim ( ) lim ( )
x c x c
f x g x
→ →
=
( )( )
( )( )
2
2
2 53 10 5
6 2 3 3
x xx x x
x x x x x
− ++ − +
= =
+ − − + +
2
22 2
3 10 5
lim lim
6 3x x
x x x
x x x→ →
+ − +
=
+ − + ?

32. EJEMPLO 1
1
lim
1x
x
x→
−
−
( )( )
( )1 1 1
1 11
lim lim lim 1 1 1 2
1 1x x x
x xX
x
x x→ → →
+ −−
= = + = + =
− −

33. TEOREMA DEL EMPAREDADO
Sean f, g, y h funciones que satisfacen para
toda x cercana a c, excepto posiblemente en c. Si
entonces
( ) ( ) ( )f x g x h x 
lim ( ) lim ( )
x c x c
f x h x L
→ →
= =
lim ( )
x c
g x L
→
=

34. EJEMPLO
2
sin( )
1 1
6
x x
x
−  
Supongamos que se ha demostrado la desigualdad anterior para toda x cercana pero distinta
de 0. ¿Qué podemos concluir acerca de ?
0
sin( )
lim
x
x
x→
2
sin( )
( ) 1 , ( ) , ( ) 1
6
x x
f x g x h x
x
= − = =
0 0
lim ( ) 1 lim ( )
x x
f x h x
→ →
= =
0
sin( )
lim 1
x
x
x→
=

35. LÍMITES QUE INVOLUCRAN
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

36. EJEMPLO
2
0
cos( )
lim
1t
t t
t→ +
( )
2 2
0 0 0
cos( )
lim lim limcos( ) 0 1 0
1 1t t t
t t t
t
t t→ → →
 
= =  = 
+ + 

37. LÍMITES AL INFINITO
LÍMITES INFINITOS

38. EJEMPLO
1
lim 0kx x→
=
Sea 0 dada 
1
,kM Entonces x M

=  
1 1 1
0k k k
x x M
− =  =

39. EJEMPLO 2
lim 0
1x
x
x→
=
+
2
22
22
1
lim lim lim
111 1
x x x
x
x x x
xx
xx
→ → →
= =
++ +
2
1
lim
0
0
1 0 1lim lim1
x
x x
x
x
→
→ →
= = =
++

40. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

41. EJEMPLO 1
lim
2n
n
n→
+
+
1
2
n
n
a
n
+
=
+
1
2
1 1
2 2
1
1
1 1 1 0
lim lim lim 1
22 2 1 01
n n n
n n n
n n
n
→ → →
 
+ + + +   
= = = =    + + +    +
 

42. PREGUNTAS