Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial e integral. Explica brevemente la historia del cálculo desde sus orígenes en el antiguo Egipto y la India hasta su desarrollo moderno en el siglo XVII por Newton y Leibniz. También define conceptos básicos como funciones, límites, derivadas, integrales y sistemas de coordenadas rectangulares que serán importantes para el estudio del cálculo.

2. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
UNIDAD 1: FUNCIONES, LÍMITES Y DERIVADAS
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Primero ‘B’
Carrera de Telecomunicaciones

3. INTRODUCCIÓN

4. INTRODUCCIÓN
¿QUÉ ES CÁLCULO?
Rocas

5. INTRODUCCIÓN
• Límites
• Derivadas
• Integrales
• Sumas
infinitas
• Diferencial
• Integral

6. INTRODUCCIÓN
En los primeros años el Cálculo surge como una idea
Cálculo de variables, volúmenes y áreas (1820 AC)
encontradas en el papiro de Moscow
Eudoxus. Usó el método exhaustivo (precursor de los
límites) para calcular áreas y volúmenes (408 – 355 AC)
Archimedes. Siguiendo las ideas de Eudoxus inventó la
heurística (similar a la integración) para calcular áreas (287
– 212 AC)

7. INTRODUCCIÓN
Ibn Al-Haytham. Deriva una fórmula para la suma de 4 potencias de una
progresión aritmética (1000 DC).
Bhaskara II. Anticipó una forma de derivada (precursor del
teorema de Rolle) (1114 – 1185 DC)
Sharaf Al-Din Al-Tusi. Descubrió la derivada de un
polinomio cúbico (1135 - 1213 DC)

8. INTRODUCCIÓN
Los estudios de Bonaventure Cavalieri que argumentaban que el volumen puede ser calculado
mediante la suma de los volúmenes de secciones (infinitesimales) fueron completados por John
Wallis, Isaac Barrow y James Gregory.
Barrow GregoryWallisCavalieri
Barrow Gregory
2do Teorema
Fundamental
del Cálculo

9. INTRODUCCIÓN
Se le atribuyen
muchos
principios del
Cálculo
Reemplazo el
cálculo
infinitesimal con
representaciones
Geométricas
Derivadas mas
complejas para
resolver
problemas de
Física
Introdujo la regla
del producto, la
regla de la
cadena
Principia
Mathematica
NEWTON

10. INTRODUCCIÓN
Sistematizó la idea
de cálculo
infinitesimal
Su trabajo
conduce a
fórmulas de la
regla del producto,
la regla de la
cadena
Formalizó la
notación y
simbología
LEIBNIZ

11. INTRODUCCIÓN

12. PRE-REQUISITOS
•Pre – Cálculo
Básico
•Trigonometría
Básica
•Álgebra Básica•Geometría
Básica

13. GRÁFICAS Y MODELOS
LINEALES

14. NÚMEROS REALES
• El Cálculo está basado en los
Números Reales y sus
propiedades.
• El conjunto de los números reales,
puede ampliarse a los números
complejos (a + bi).
(C)

15. DECIMALES PERIÓDICOS Y NO-
PERIÓDICOS
1
0.5
2
=
3
0.375
8
=
3
0.428571428571428571...
7
=
Cualquier número racional
puede escribirse como
decimal.
Todo número racional puede
escribirse como un decimal
periódico.
Un decimal que termina
puede considerarse como
periódico con 0’s que se
repiten.
Los decimales
periódicos son
Racionales

16. DENSIDAD
Existe un número infinito de
números reales entre a y b
Entre dos números reales
distintos existe tanto un número
Racional como un Irracional
Los Números Racionales e
Irracionales son DENSOS en la
recta real

17. SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES

18. SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES

19. SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES

20. FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS
x
( )f x
Input
Output
Input
Outputx
( )f x
f

21. FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS
f
DOMINIO
RANGO
( )
   )
,
, , 0, , ...a b
= − 


22. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

23. NOTACIÓN FUNCIONAL
• Se utiliza una sola letra para denotar una función:
, ,f g F
• El ejemplo de la derecha se lee ‘f de x’ o ‘f en x’ y denota el valor que
f le asigna a x
( )f x
2
2
2
2 2 2
( ) 3
(2) (2) 3 1
( 1) ( 1) 3 2
( ) ( ) 3 2 3
f x x
f
f
f a b a b a ab b
= −
= − =
− = − − = −
+ = + − = + + −
EJEMPLO:

24. GRÁFICAS
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
x f(x)
-3 -7
-2 -5
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
3 5
y = 𝑓(𝑥)
y = 2𝑥 − 1

25. INTERSECCIONES
y = 2𝑥 − 1
Intersección en el eje x:
y = 0
0 = 2𝑥 − 1
x = 1/2
Intersección en el eje y:
x = 0
y = 2(0) − 1
y = −1

26. SIMETRÍA DE UNA GRÁFICA
( ) ( )f x f x− =
Función Par: Simétrica
respecto al eje y
2
( ) 2f x x= −
2
2
( ) ( ) 2
( ) 2
( ) ( )
f x x
f x x
f x f x
− = − −
− = −
− =
EJEMPLO:

27. SIMETRÍA DE UNA GRÁFICA
( ) ( )f x f x− = −
Función Impar: Simétrica
respecto al origen 0
3
( ) 2f x x x= −
( )
( )
3
3
3
( ) ( ) 2( )
( ) 2
( ) 2
( ) ( )
f x x x
f x x x
f x x x
f x f x
− = − − −
− = − +
− = − −
− = −
EJEMPLO:

28. PUNTOS DE INTERSECCIÓN
2
2
2
2 1
2 1 0
1 0
1 5
2 2
1 5
2 2
A
B
x x
x x
x x
x
x
− = −
− − + =
− − =
= −
= +
2
( ) 2f x x= −
( ) 1g x x= −
2
2
2
2
1
2
1
2 1
2 2 1
1 0
1 5
2 2
1 5
2 2
f
g
A
B
y x
y x
x y
x y
y y
y y y
y y
y
y
= −
= −
= +
= +
+ = −
+ = + +
+ − =
= − −
= − +
:( 0.62, 1.62)
:(1.62,0.62)
A
B
− −

29. PREGUNTAS