Guía Transformadas de Funciones

1. GUIA DE TRANSFORMADAS DE FUNCIONES
TEMA 1.
Para cada una de las siguientes funciones, determine mediante la definición, su transformada de Laplace,
compruebe sus resultados usando la función “compuerta” (conocida también como función de corte)
Para las siguientes graficas, determine la transformada de Laplace usando la función compuerta.
5 π
4
2 4 π 2π
-3
3
2 2
1
1 3 1 2 2
2 ; 0 1 4 ; 0 2
1) ( ) 2) ( )
2 ; 1 0 ; 2
; 0 2 2 1 ; 0 1
3) ( ) 4) ( )
2 ; 2 0 ; 1
0 ; 0
5) ( ) ; 2
0 ; 2
t t
f t f t
t t
t t t t
f t f t
t t
t
f t t t
t
π
π π π
π
≤ < ≤ < 
= = 
− ≥ ≥ 
≤ < + ≤ < 
= = 
> ≥ 
< <

= − ≤ ≤
 >
2 ; 0 2
6) ( ) 5 ; 2 4
0 ; 4
t t
f t t
t
≤ <

= < <
 ≥

2. TEMA II.
Usando la tabla de transformadas de Laplace y la propiedad de linealidad, determine la transformada
correspondiente a cada una de las siguientes funciones.
4 4 3
2
2
1) ( ) 3 6) ( ) 3 6 2 1
2) ( ) 2 7) ( ) 5 2 3cos2
3) ( ) 4 cos5 8) ( ) 4 16 9
4) ( )
t
f t e f t t t t
f t t f t sen t t
f t t f t t t
f t sen tπ
−
= = + − +
= = −
= = − + +
= 2
3
10) ( ) cos
5) ( ) (2 1) 11) ( ) (4 5)
f t t
f t t f t sen t
=
= − = +
TEMA III
Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones ( use propiedades)
2 3
2
2
1) ( ) 7) ( ) ( ) , constantes
2) ( ) 3 ( 5) 8) ( ) cos( ) , cosntantes
3) ( ) ( 2) ( 1)
t t
f t t e f t t e u t
f t t u t f t t wt w
f t t u t
α
β α β
θ θ
− −
= = −
= − = +
= + − 0 0
5
4 3
2
9) ( ) 2 ( ) ( 2 )
4) ( ) 2 ( 3) 10) ( ) cos 3
5) ( ) 3 cos(2 1) 11) ( ) 2
6) ( ) ( 2)
t
t t
f t sen w t t u t t
f t sen w t f t e h t
f t e t t f t t e sen t
f t t u t
−
− −
= − −
= − =
= − =
= − 2 3
12) ( ) t
f t t e=
TEMA IV. TRANSFORMADAS INVERSAS
Determine la transformada inversa de Laplace de cada una de las siguientes funciones.
2 3 2
2 2
3 2 3 2
4 2
2 3
1) ( ) 7) ( )
( 1) 2 3 2
5 1
2) ( ) 8) ( )
2 4 2
3) ( )
5 4
s s
F s F s
s s s s s
s s s
F s F s
s s s s s
s
F s
s s s
+ +
= =
− − −
+ + +
= =
+ + − +
=
+ +
2
3 2
2
3 2 2
2
1
9) ( )
6 11 6
3 1 2 4 9
4) ( ) 10) ( )
5 ( 2) ( 2)( 3 3)
1
5) ( )
4 13
s
F s
s s s
s s s
F s F s
s s s s s
s
F s
s s
+
=
+ + +
+ + +
= =
− + + +
+
=
+ + 2
3 2 2
1
11) ( )
9 6 5
2 1
6) ( ) 12) ( )
3 4 2 ( 1)
s
F s
s s
s
F s F s
s s s s s
+
=
+ +
+
= =
+ + + +

3. 2 2
2 2 2
4 2
1 2
13) ( ) 19) ( )
( 1) ( 1)( 4)
1 1
14) ( ) 20) ( )
( 1)( 2 5) ( 1)( 4 13)
1
15) ( )
5 4
s
F s F s
s s s s
s
F s F s
s s s s s s
F s
s s
+
= =
+ + +
+
= =
+ + + + + +
=
+ + 4 3 2
4 4 2
4
2
21) ( )
4 4 4 5
1
16) ( ) 22) ( )
( 2) 2 1
17) ( ) 23)
( 2)
s
F s
s s s s
s
F s F s
s s s
s
F s F
s
+
=
+ + − −
= =
+ − +
=
+ 2 2
2 3
3 2 2
( )
( 2) ( 1)
3
18) ( ) 24) ( )
6 11 6 9
s
s
s
s s
s s e
F s F s
s s s s
−
=
+ +
− +
= =
+ + + +
3 2
2 2
2 3
2 2 2 2
3
( 3)
25) ( ) 30) ( )
9 4 9
3
26) ( ) 31) ( )
4 ( 2)
27) ( )
( 1)
s
s
s
s
s
e s e
F s F s
s s s
e e
F s F s
s s s
e
F s
s
−
−
−
−
−
+
= =
− + +
= =
+ +
=
+
4
3 2
2
2 2
2
2 2
1
32) ( )
3 2
3 2 5
28) ( ) 33) ( )
3 2
4
29) ( ) 34) ( )
4 ( 1)
s
s s s
s
s s
e
F s
s s
e e s e
F s F s
s s se
e e
F s F s
s s s
π
−
− −
− −
−
=
+
+ − +
= =
− +
= =
+ 2
( 2)s −
TEMA V. ECUACIONES DIFERENCIALES.
Usando el método de la transformada de Laplace, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales con
condiciones iniciales
2
2
(1) '' 8 ' 7 ; (0) 1, '(0) 1
(2) '' 3 ' 2 2 ; (0) 0, '(0) 1
(3) '' 4 ' 5 cos ; (0) 0, '(0) 3
(4) ''' 3 '' 4 2 ; (0) 1, '(0) 0, ''(0) 2
(5) ''' 2 '' ' 2 ( 2) ; (0) 0, '(0) 0, ''(0) 1
(6)
t
t
y y y t y y
y y y sen t y y
y y y e t y y
y y y t e y y y
y y y y u t y y y
−
+ + = = = −
− + = = =
− + = = =
+ − = = = = −
− − + = − = = =
''' 3 '' 3 ' cos ; (0) 0, '(0) 0, ''(0) 0y y y y ht y y y+ + + = = = =

4. (7) 2 ''' 2 '' 2 ' ; (0) 0, '(0) 0, ''(0) 0, '''(0) 0
(8) '' 4 ' 3 ; (0) 1, '(0) 1
(9) '' 4 cos2 ; (0) 2, '(0) 1
(10) 2 '' 0 ; (0) 0, '(0) 0, ''(0) 1, '''(0) 0
(11) '' 3 ' 2 ( 1) ; (0)
I V t
t
I V
y y y y y e y y y y
y y y e y y
y y t y y
y y y y y y y
y y y u t y
−
−
+ + + + = = = = =
+ + = = =
+ = = − =
+ = = = = =
+ + = − =
( 2)
0, '(0) 1
(12) '' 4 ' 4 ( 2) ( 2) ; (0) 1, '(0) 1
1 ; 0 1
(13) '' 4 ' 4 ( ) donde ( ) y (0) '(0) 0
0 ; 1
1 ; 0
(14) '' ( ) donde ( ) y (
0 ;
t
y
y y y t e u t y y
t
y y y f t f t y y
t
t
y y f t f t y
t
π
π
− −
=
+ + = − − = = −
< <
+ + = = = =
>
< <
+ = = 
>
0) '(0) 0
(15) '' 7 ' 6 ( 2) ( 4) (0) 1, '(0) 0t
y
y y y e t t y yδ δ
= =
− + = + − + − = =

5. TEMA VI.
Usando la transformada de Laplace resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales.
2
2
2
2
2 3 1
(1) ; (0) 1, (0) 2. (2) ; (0) 0, (0) 0
5
0
(3) ; (0) 0, (0) 1
2 0
0
(4) ; (0) 1, '(0) 0,
4 0
t
dx dx dy
x y x
dt dt dt
x y x y
dy dx dy
x y x y e
dt dt dt
dx dy
x y
dt dt
x y
dx dy
y
dt dt
d x dx dy
dt dtdt
x x
d y dy dx
dt dtdt

= − + + =
= − = = =
= − − + − =


+ − + =
= =
 + + =

+ + =
= =
+ − =
3
3
3
3
2
2
2
2
(0) 1, '(0) 5
4 6
(5) ; (0) 0, (0) 0, '(0) 0, ''(0) 0
2 2 0
3 3 0
(6) ; (0) 0, '(0) 2, (0) 0
3 t
y y
dx d y
x sent
dt dt
x y y y
dx d y
x
dt dt
d yd x
y
dtdt
x x y
d x
y t e
dt
−


= − =



− + =
= = = =
 + − =


+ + =

= = =
 + =
TEMA VII
Para cada una de las siguientes funciones definidas en su intervalo fundamental, determine lo siguiente:
a) Su grafica en su intervalo fundamental
b) La grafica de su extensión periódica (indicando su periodo)
c) Indique si satisface las condiciones para decidir si es par, impar o no par y no impar, si es así indique a
que tipo pertenece.
d) Los coeficientes trigonométricos de Fourier, ,
e) La serie de Fourier

6. Deducir las siguientes series de Fourier

7. Demostrar las siguientes relaciones
Si , entonces
Si entonces
Si entonces

8. PROBLEMARIO DE TRANSFORMADA DE FOURIER
I. Para las siguientes funciones, determine su Transformada de Fourier, indicando su espectro de
amplitud )(ωF y su espectro de fase )(ωΦ .
1. t
etf
−
=)( 5.


 <<
=
casootro
tt
tf
;0
0;sen
)(
π
2. t
etSgntf
−
=)( ... *1
6.




<<−
=
casootro
tt
tf
;0
22
;cos
)(
ππ
3. ⋯2
2
)(
t
etf
−
=
2
7. )(3cos)( 2
tutetf t−
=
4.


 <−
=
casootro
tt
tf
:0
1;1
)(
2
8. )2()63(cos)( 42
++= −−
tutetf t
II. Use las propiedades de la Transformada de Fourier para determinar la transformada de las siguientes
funciones.
1. f (t) = t 2. f ( t) = t  3. ttutf 0sen)()( ω= 4. ttutf 0cos)()( ω=
5. Si [ ] )(2 0
0
ωωδπω
−=ℑ ti
e , determine [ ])( 0ωδ −ℑ t y [ ])(tδℑ .
6. Si [ ] 2
2
ω
−=ℑ t , determine 





−ℑ 2
1
t
y 





ℑ 2
5
t
7. Si





>
<
=
2
;0
2
;
)(
π
π
t
tA
tf y su transformada es
)
2
(
)
2
(sen
)(
πω
πω
πω AF =
1
* Sgn t, indica la función signo de t
2
Use el hecho de que ∫
∞
∞−
−
−+=+= aattatqueydxe x 22
)(2
2
π

9. Determine












ℑ
)
2
3
(
)
2
3
(sen
3
t
t
A , y 





ℑ
t
tsen
Hint: use la propiedad de simetría de la transformada de Fourier.
III. Use la propiedad de simetría de la Transformada de Fourier para determinar
1. 





ℑ
t
i
2. 





−ℑ
t
i
t
π
δ )( 3. 





+
ℑ 2
1
1
t
4. 





+
−
ℑ 22
ta
tia
5. 





+
ℑ
tia
1
6. [ ])(6 tδπℑ
En los siguientes problemas use las propiedades de la Transformada de Fourier.
Si [ ] 2
2
ω
−=ℑ t , demuestre que
ω
ωπ i
e
t
−
−=





−
ℑ 2
)1(
1
Si [ ] i
eAtf ωπ2
)( =ℑ , demuestre que [ ] i
eAtft ωππ −
=−ℑ
2
)2(
Si [ ] 3
2)( −
=ℑ ωtf , demuestre que
ω
ω 43
9
2
)
3
4
( i
e
t
f −−
=




 −
ℑ
Si [ ]
ωi
tSgn
2
=ℑ , determine [ ])3( tfℑ
Si





>
<
=
2
1
;0
2
1
;2
)(
t
t
tf y [ ]
)
2
(
)
2
(sen
2)(
ω
ω
=ℑ tf , determine [ ])2( tf −ℑ
Si t
etf
−
=)( y [ ] 2
1
2
)(
ω+
=ℑ tf , determine 





−ℑ )
2
(
t
f

10. Para cada una de las siguientes gráficas determine su Transformada de Fourier
A cos t A A
-T T
- π/2 π/2 -b -a a b -A
A tA 0senω
A A
T/2 T
-A T -T
A A A
A/2
-T T a b T 2 3
2 A
1 A
1/2
1 2 4 T T/2 T
A A
A -T T
-A -2 -1 1 2
-1 4 -A/2
A
1 t2
t0 2t0 3t0 1 2 3

11. A
.... .... ... ... ......
-2T -T T 2T -T / d / T
Para las siguientes gráficas, determine su Transformada de Fourier.
Use la propiedad de desplazamiento en el tiempo.
A
-10 -8 -6 6 8 10
A
-10 -8 -6 6 8 10
En las siguientes gráficas se presenta el espectro de amplitud y el espectro de fase en el
dominio de la frecuencia, determine la función f ( t ) que le corresponde en el dominio del
tiempo.
A )(ωF )(ωΦ A )(ωF )(ωΦ
0tω−
- w0 w0 w0 w0
- 2
π
|F(w)| φ(w) |F(w)| φ(w)
A π/2 A
-w0 w0 -w0 -w0
-π/2
- π/2

12. Para las siguientes gráficas, determine su transformada de Fourier. (Use la propiedad de
modulación).
1 cos 100 t
A cos 20t
π 2π 3π
-nπ/20 nπ/20 -1