CAP´
ITULO IX.
´
SERIES NUMERICAS

SECCIONES
A. Series de t´rminos no negativos.
e
B. Ejercicios propuestos.

401
´
A. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS.

Dada una sucesi´n {a1 , a2 , . . . , an , . . . }, se llama serie de t´rmino genera...
an
= ∞, entonces
n→∞ bn

c) Si l´
ım

bn converge.

an converge =⇒
n≥1

n≥1

Para utilizar los criterios de comparaci´n es...
8. Criterio del producto (Pringsheim).
a) Si l´ np an = L ≥ 0, para alg´n p > 1, entonces
ım
u

an converge.

b) Si l´ np ...
Como adem´s l´ Sn = l´
a ım
ım

5n2 − 3n + 2
= 5, la serie es convergente.
n2 − 1

Observaci´n: No confundir con la condic...
Soluci´n
o

Tenemos que
1
1
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Por el criterio de comparaci´n, como l´
o
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Dicho l´
ımite es un n´mero real no nulo cuando α = 3/2. Como es mayor
u
que uno, la serie es convergente.

PROBLEMA 9.7.
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Soluci´n
o

Aplicamos en este caso el criterio de Pringsheim:
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√
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PROBLEMA 9.12.

Estudiar el car´cter de la serie
a
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n!
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Soluci´n
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Si calculamos el ...
Soluci´n
o
ln n
1
Por el criterio de comparaci´n, como
o
> y la serie arm´nica
o
n
n
divergente, la serie dada tambi´n es ...
Soluci´n
o

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2
Como 0 ≤
≤ 2 y la serie
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Por tanto la serie dada es convergente.

PROBLEMA 9.20.

Estudiar el car´cter de la serie
a
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pues x2n → 0 y x2n−2 → 0 cuando x2 < 1.
La serie es convergente cuando 2x2 < 1, es decir cuando |x| <
√
divergente cuando ...
Como el l´
ımite es menor que uno, la serie es convergente.

PROBLEMA 9.24.

Estudiar el car´cter de la serie
a

an de t´r...
Esto quiere decir que las dos series tienen el mismo car´cter y como la serie
a
a
2
de t´rmino general bn =
e
es una serie...
Como el l´
ımite es menor que uno, la serie es divergente.

PROBLEMA 9.27.

Estudiar el car´cter de la serie
a

an de t´rm...
Soluci´n
o

Por el criterio de Raabe,

l´ n
ım



sen a n

n
n−1 
sen a
n−1


1 −

= l´ n 1 −
ım

n−1
n

= l´ n 1 −
...
Por lo tanto, l´ an = e2b = 0 y la serie es divergente.
ım

PROBLEMA 9.31.

Estudiar el car´cter de la serie
a
an =

an de...
PROBLEMA 9.32.

Estudiar el car´cter de la serie
a
an =

an de t´rmino general
e

1
√ n.
(1 + 1/ n)

Soluci´n
o

Aplicamos...
Esto muestra que la serie es convergente.

PROBLEMA 9.34.

Estudiar el car´cter de la serie
a
n+1
n

an =

an de t´rmino g...
PROBLEMA 9.36.

Estudiar el car´cter de la serie
a
an =

an de t´rmino general
e

ln 2 · ln 3 . . . ln n
.
n!

Soluci´n
o
...
Cuando a = 1, sustituimos este valor en la serie y obtenemos
n!
=
2 · 3 · · · · · (n + 1)

1
n+1

la cual es evidentemente...
Cuando x = 0, la serie dada es

1 que es evidentemente divergente.

Cuando x < 0, l´ n 1 − ex(1−2n) = −∞ < 1 por lo que la...
PROBLEMA 9.41.
∞

Calcular la suma de la serie
n=1

n2

1
√

− 2 2n + 1

.

Soluci´n
o

Si descomponemos el t´rmino genera...
Soluci´n
o
Por el criterio de Pringsheim, l´ np an = l´
ım
ım
2 > 1, por lo que la serie es convergente.

np (n + 12)
= 1 ...
Soluci´n
o
El t´rmino general de la serie es an =
e

1
. Al descom(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)

ponerlo en fracciones simples ...
Soluci´n
o

Escribimos el t´rmino general en la forma an =
e

3!
y lo
(n + 3)(n + 2)(n + 1)

descomponemos en fracciones s...
Sumando los primeros t´rminos de la sucesi´n resulta:
e
o
an =
an−1 =
a3 =
a2 =
Sn =

1
1
−
ln n ln(n + 1)
1
1
−
ln(n − 1)...
PROBLEMA 9.47.

Estudiar el car´cter y hallar la suma de la serie
a

n≥1

2n + 1
.
7n

Soluci´n
o

Aplicando el criterio d...
Soluci´n
o

El proceso que seguiremos es el siguiente:
Sn = x + 4x2 + 9x3 + · · · + (n − 1)2 xn−1 + n2 xn
xSn = x2 + 4x3 +...
B. EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.- Estudiar la convergencia de las siguientes series:
a)

nn
.
(2n + 1)n

Resp.: Convergente (...
Resp.: Divergente (cociente).

j)

1
.
(ln n!) + n2

Resp.: Convergente (comparaci´n con
o

k)

1/n2 ).

1 1·3 1·3·5
+
+
+...
1 · 11 · 21 . . . (10n − 9)
.
(2n − 1)!

s)

Resp.: Divergente (cociente).
n!
.
nn
Resp.: Convergente (ra´
ız).

t)

√
2n ...
Resp.: S =

f)
n≥2

e2 + 1
.
(e2 − 1)3

2n + 3
.
(n − 1)n(n + 2)

Resp.: S = 65/36.

g)
n≥1

(4n2

n
.
− 1)2

Resp.: S = 1...
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Analisis

  1. 1. CAP´ ITULO IX. ´ SERIES NUMERICAS SECCIONES A. Series de t´rminos no negativos. e B. Ejercicios propuestos. 401
  2. 2. ´ A. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS. Dada una sucesi´n {a1 , a2 , . . . , an , . . . }, se llama serie de t´rmino general o e an , y que representaremos por an , a la sucesi´n de sumas parciales {Sn } o n≥1 definida por S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , . . . , Sn = a1 + a2 + · · · + an , . . . . Si existe S = l´ Sn , la serie ım n→∞ se escribe an se dice convergente y tiene suma S y n≥1 an = S. n≥1 Si dicho l´ ımite es infinito o no existe, la serie an es divergente. n≥1 Enunciaremos a continuaci´n los criterios generales para estudiar el car´cter o a (convergente o divergente) de una serie. Nos limitaremos a las series de t´rminos no negativos (an ≥ 0) aunque el primer criterio es v´lido para e a series generales. 1. Condici´n del resto. o Si una serie an es convergente, entonces l´ an = 0. ım n→∞ n≥1 De aqu´ se deduce que si el t´rmino general de una serie no converge ı e a cero, dicha serie es divergente. 2. Criterio de comparaci´n. o Dadas dos series bn , si an ≤ bn , ∀n y an y n≥1 n≥1 bn converge, n≥1 an converge. entonces n≥1 Rec´ ıprocamente, si una serie es divergente y todos sus t´rminos son e mayores o iguales que los de otra serie, esta ultima es tambi´n diver´ e gente. 3. Criterio de comparaci´n por paso al l´ o ımite. an a) Si l´ ım = L (L finito y L = 0), entonces n→∞ bn an converge ⇐⇒ n≥1 b) Si l´ ım n→∞ bn converge. n≥1 an = 0, entonces bn bn converge =⇒ n≥1 an converge. n≥1 402
  3. 3. an = ∞, entonces n→∞ bn c) Si l´ ım bn converge. an converge =⇒ n≥1 n≥1 Para utilizar los criterios de comparaci´n es conveniente conocer la o convergencia de las siguientes series: 1/np es convergente cuando p > 1 y - Serie arm´nica: La serie o n≥1 divergente cuando p ≤ 1. a · rn es convergente cuando |r| < 1 -Serie geom´trica: La serie e n≥1 y divergente cuando |r| ≥ 1. 4. Criterio del cociente (D’Alembert). an+1 Sea L = l´ ım . Entonces, n→∞ an a) si L < 1, an converge; n≥1 an diverge. b) si L > 1, n≥1 5. Criterio de la ra´ (Cauchy). ız √ Sea L = l´ n an . Entonces, ım n→∞ a) si L < 1, an converge; n≥1 an diverge. b) si L > 1, n≥1 6. Criterio de Raabe. an+1 a) Si l´ n · 1 − ım an b) Si l´ n · 1 − ım an+1 an > 1, entonces an converge. < 1, entonces an diverge. Nota: Este criterio puede ser conveniente en los casos en que los criterios del cociente o de la ra´ no son concluyentes. ız 7. Criterio de la integral. Sea f : [1, ∞) → R una funci´n decreciente y f (x) > 0, ∀x. Entonces o ∞ f (n) converge ⇐⇒ f (x)dx converge. 1 n≥1 403
  4. 4. 8. Criterio del producto (Pringsheim). a) Si l´ np an = L ≥ 0, para alg´n p > 1, entonces ım u an converge. b) Si l´ np an = L > 0, para alg´n p ≤ 1, entonces ım u an diverge. 9. Criterio logar´ ıtmico. Si l´ ım log 1/an = L, entonces log n a) an converge cuando L > 1. b) an diverge cuando L < 1. PROBLEMA 9.1. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e n(n + 1) . n2 + 2n Soluci´n o Como l´ ım n(n + 1) = 1 = 0, la serie es divergente. n2 + 2n PROBLEMA 9.2. Sabiendo que la suma de los n primeros t´rminos de una serie e es 5n2 − 3n + 2 Sn = , n2 − 1 hallar el t´rmino general y estudiar su naturaleza. e Soluci´n o Aplicamos la f´rmula an = Sn − Sn−1 y obtenemos: o an = 5n2 − 3n + 2 5(n − 1)2 − 3(n − 1) + 2 3n2 − 17n + 10 − = 4 . n2 − 1 (n − 1)2 − 1 n − 2n3 − n2 + 2n 404
  5. 5. Como adem´s l´ Sn = l´ a ım ım 5n2 − 3n + 2 = 5, la serie es convergente. n2 − 1 Observaci´n: No confundir con la condici´n necesaria de convergencia en la o o que debe ser cero el l´ ımite del t´rmino general de la serie an , no del t´rmino e e general de la sucesi´n de sumas parciales Sn . En este caso, como l´ Sn = 5, o ım quiere decir que la suma de la serie es precisamente 5. PROBLEMA 9.3. Hallar el mayor valor entero que debe tomar k para que la serie nk an de t´rmino general an = e sea convergen(n + 1)(n + 2)(n + 3) te. Soluci´n o Aplicando el criterio logar´ ıtmico, l´ ım log(1/an ) log n log (n+1)(n+2)(n+3) log(n + 1)(n + 2)(n + 3) − log nk nk = l´ ım log n log n 3 + 6n2 + 11n + 6) − k log n log(n l´ ım log n log(n3 )(1 + 6/n + 11/n2 + 6/n3 ) − k log n l´ ım log n 3 log n + log(1 + 6/n + 11/n2 + 6/n3 ) − k log n l´ ım log n log(1 + 6/n + 11/n2 + 6/n3 ) l´ 3 − k + ım = 3 − k. log n = l´ ım = = = = Para que sea convergente, debe ser 3 − k > 1, y como k debe ser entero, el mayor valor que hace la serie convergente es k = 1. PROBLEMA 9.4. Estudiar el car´cter de la serie a an = √ an de t´rmino general e 1 1 −√ . n−1 n+1 405
  6. 6. Soluci´n o Tenemos que 1 1 √ −√ = n−1 n+1 √ √ 2 n+1− n+1 = . n−1 n−1 Por el criterio de comparaci´n, como l´ o ım 2/(n − 1) = 2 y la serie 1/n 1/n es divergente, la serie dada es divergente. PROBLEMA 9.5. Estudiar el car´cter de la serie a an de t´rmino general e n an = √ . 2n3 + 1 Soluci´n o Aplicamos el criterio de Prinsgheim, y tenemos: l´ nα √ ım nα+1 n = l´ √ ım . 2n3 + 1 2n3 + 1 Para que dicho l´ ımite sea real debe ser el grado del numerador igual al grado del denominador. En este caso α + 1 = 3/2 =⇒ α = 1/2. Como α < 1, la serie es divergente. PROBLEMA 9.6. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e n4 n . +1 Soluci´n o Aplicando el criterio de Pringsheim, tenemos: l´ nα ım n nα+1/2 = l´ √ ım . n4 + 1 n4 + 1 406
  7. 7. Dicho l´ ımite es un n´mero real no nulo cuando α = 3/2. Como es mayor u que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.7. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e 1 . 1 + np Soluci´n o 1 = 1. De este modo, 1 + np cuando p > 1, la serie es convergente y cuando p ≤ 1, la serie es divergente. Seg´n el criterio de Pringsheim, si α = p, l´ nα u ım PROBLEMA 9.8. Estudiar el car´cter de la serie a an de t´rmino general e √ x+n−1 an = √ . x2 + n2 + 1 Soluci´n o Aplicamos nuevamente el criterio de Pringsheim y debemos determinar el valor de α para que l´ nα an sea un n´mero real no nulo. Tenemos que ım u √ x+n−1 l´ nα √ ım = 1 cuando α = 1/2. x2 + n2 + 1 Como es un valor menor que uno, se deduce que la serie es divergente. PROBLEMA 9.9. Estudiar el car´cter de la serie a an de t´rmino general e √ √ an = n + 1 − n. 407
  8. 8. Soluci´n o Aplicamos en este caso el criterio de Pringsheim: √ √ l´ nα ( n + 1 − n) = l´ √ ım ım nα √ . n+1+ n Este l´ ımite es finito cuando α = 1/2 por lo que la serie es divergente. PROBLEMA 9.10. Estudiar el car´cter de la serie a an = √ n an de t´rmino general e 1 . n+1 Soluci´n o Como l´ an = l´ √ ım ım n 1 1 n = 1 = 0, = l´ n+1 = l´ ım ım n+1 n+1 n la serie es divergente. PROBLEMA 9.11. Estudiar el car´cter de la serie a an = ln an de t´rmino general e n+1 . n Soluci´n o n+1 1 n+1 ∼ −1= y n n n 1/n es divergente, la serie dada tambi´n diverge. e Debido a la equivalencia de los infinit´simos ln e como la serie 408
  9. 9. PROBLEMA 9.12. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e n! . n2 Soluci´n o n! Si calculamos el l´ ımite del t´rmino general se obtiene que l´ e ım 2 = ∞ por n lo que la serie es divergente. PROBLEMA 9.13. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e 5 · loga n . 3 · logb n Soluci´n o Aplicando la f´rmula del cambio de base de logaritmos, podemos escrio bir 5 ln b 5 · (ln n/ ln a) an = = · . 3 · (ln n/ ln b) 3 ln a Como el t´rmino general es constante, no tiende a cero, por lo que la serie e es divergente. PROBLEMA 9.14. Estudiar el car´cter de la serie a an = 409 an de t´rmino general e ln n . n
  10. 10. Soluci´n o ln n 1 Por el criterio de comparaci´n, como o > y la serie arm´nica o n n divergente, la serie dada tambi´n es divergente. e 1/n es PROBLEMA 9.15. Demostrar que las series u1 + u2 + · · · + un + . . . y ln(1 + u1 ) + ln(1 + u2 ) + · · · + ln(1 + un ) + . . . tienen el mismo car´cter si un > 0 y a l´ un = 0. ım n→∞ Soluci´n o Utilizando el criterio de comparaci´n tenemos: o l´ ım ln(1 + un ) ım(1 + un )1/un = ln e = 1 = 0. = l´ ln(1 + un )1/un = ln l´ ım un Esto asegura que ambas series tienen el mismo car´cter. a PROBLEMA 9.16. Estudiar el car´cter de la serie a an de t´rmino general e √ an = arc sen(1/ n). Soluci´n o √ arc sen(1/ n) √ = 1, la serie dada es equivalente a la serie Debido a que l´ ım 1/ n √ arm´nica o 1/ n, la cual es divergente. PROBLEMA 9.17. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e 1 + sen2 n . n2 410
  11. 11. Soluci´n o 1 + sen2 n 2 Como 0 ≤ ≤ 2 y la serie 2/n2 es convergente, por el criterio 2 n n de comparaci´n se deduce la convergencia de la serie dada. o PROBLEMA 9.18. Estudiar el car´cter de la serie a an de t´rmino general e an = n! . nn Soluci´n o Aplicamos el criterio del cociente de D’Alembert: n!/nn n!(n − 1)n−1 l´ ım = l´ ım n = l´ ım (n − 1)!/(n − 1)n−1 n (n − 1)! n−1 n n−1 = e−1 . Como el l´ ımite es menor que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.19. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e nn . 3n · n! Soluci´n o Aplicando el criterio del cociente: l´ ım an an−1 = l´ ım = nn 3n−1 · (n − 1)! nn−1 1 · = l´ ım · 3n · n! (n − 1)n−1 3 (n − 1)n−1 1 l´ ım 3 n n−1 n−1 = 411 1 1 l´ ım 1 + 3 n−1 n−1 = e < 1. 3
  12. 12. Por tanto la serie dada es convergente. PROBLEMA 9.20. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e 1 a tg n . n 2 2 Soluci´n o Aplicando el criterio de D’Alembert: l´ ım an+1 an tg(a/2n+1 ) 2n 1 a a · = l´ tg n+1 · cotg n ım n+1 n) 2 tg(a/2 2 2 2 n a 2 1 1 l´ n+1 · ım = < 1. 2 2 a 4 = l´ ım = Esto prueba que la serie es convergente. PROBLEMA 9.21. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e 2n x2n respecto a los diversos valores de x. 1 + x2n Soluci´n o 2n → ∞ y la serie ser´ divergena En primer lugar, si x2 = 1 =⇒ an = 1+1 te. Si x2 > 1 =⇒ l´ an = l´ 2n · l´ ım ım ım divergente. x2n = ∞ · 1 = ∞. La serie es 1 + x2n Para x2 < 1 aplicamos el criterio de D’Alembert: l´ ım an 2n x2n 1 + x2(n−1) 2x2 (1 + x2n−2 ) = l´ ım · n−1 2(n−1) = l´ ım = 2x2 , an−1 1 + x2n 2 1 + x2n x 412
  13. 13. pues x2n → 0 y x2n−2 → 0 cuando x2 < 1. La serie es convergente cuando 2x2 < 1, es decir cuando |x| < √ divergente cuando 2x2 > 1, es decir cuando |x| > 2/2. √ 2/2 y Para el caso en que 2x2 = 1 tenemos x2 = 1/2, de donde: an = 2n (1/2n ) 1 = →1 n) 1 + (1/2 1 + (1/2n ) con lo que la serie es tambi´n es divergente cuando |x| = e √ 2/2. PROBLEMA 9.22. Estudiar el car´cter de la serie a an = ln an de t´rmino general e n2 + 2n + 2 . n2 − 2n + 2 Soluci´n o Si aplicamos el criterio de Pringsheim resulta: l´ nα ln ım n2 + 2n + 2 = l´ nα ım n2 − 2n + 2 n2 + 2n + 2 −1 n2 − 2n + 2 = l´ nα ım n2 4n . − 2n + 2 Si hacemos α = 1, el l´ ımite da como resultado 4. De aqu´ se concluye que la ı serie es divergente. PROBLEMA 9.23. Estudiar el car´cter de la serie a an de t´rmino general e 2n − 1 . an = √ ( 2)n Soluci´n o Por el criterio de la ra´ ız: l´ ım n 2n − 1 1 √ 1 2n − 1 1 √ = l´ √ n 2n − 1 = √ l´ ım ım =√ . 2n − 3 ( 2)n 2 2 2 413
  14. 14. Como el l´ ımite es menor que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.24. Estudiar el car´cter de la serie a an de t´rmino general e 1 . (ln n)ln n an = Soluci´n o Aplicando el criterio logar´ ıtmico tenemos: l´ ım ln (ln n)ln n ln n ln(ln n) ln(1/an ) = l´ ım = l´ ım = l´ ln(ln n) = ∞ > 1. ım ln n ln n ln n Esto indica que la serie es convergente. PROBLEMA 9.25. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e ln a n+1 n−1 . Soluci´n o 2 n−1 Comparamos esta serie con la de t´rmino general bn = e a que tenemos: l´ ım an bn ln 1 + = l´ ım 2 n−1 a 2 n−1 2 = l´ ln 1 + ım n−1 414 a  = l´  ım n−1 2 ln 1 + 2 n−1 2 n−1 a  a = (ln e)a = 1a = 1. , con lo
  15. 15. Esto quiere decir que las dos series tienen el mismo car´cter y como la serie a a 2 de t´rmino general bn = e es una serie arm´nica, es convergente o n−1 cuando a > 1 y divergente cuando a ≤ 1. PROBLEMA 9.26. Estudiar el car´cter de la serie a an de t´rmino general e an = logn a . loga n Soluci´n o Aplicando la f´rmula del cambio de base en los logaritmos podemos escrio bir ln a/ ln n ln a 2 an = = . ln n/ ln a ln n Aplicando el criterio logar´ ıtmico: ln(1/an ) l´ ım ln n ln ln n 2 ln a 2 ln(ln n) − 2 ln(ln a) ln n ln n ln(ln a) ln(ln n) − 2 l´ ım . = 2 l´ ım ln n ln n = l´ ım = l´ ım El segundo l´ ımite da como resultado cero y para calcular el primero, aplicamos el criterio de Stolz: l´ ım ln(ln n) ln n ln n = l´ ım ln ln(n−1) ln(ln n) − ln[ln(n − 1)] = l´ ım ln n − ln(n − 1) ln n n−1 1 = l´ ım ln n n−1 1 = l´ ım ln n n−1 1 = l´ ım ln ln n −1 ln(n − 1) n n−1 · ln n − ln(n − 1) ln(n − 1) ln · n n−1 ln(n − 1) 415 = l´ ım 1 = 0. ln(n − 1)
  16. 16. Como el l´ ımite es menor que uno, la serie es divergente. PROBLEMA 9.27. Estudiar el car´cter de la serie a an de t´rmino general e n 3n − 1 an = 2n−1 . Soluci´n o Por el criterio de la ra´ de Cauchy: ız l´ ım n n 3n − 1 2n−1 n 3n − 1 = l´ ım 2n−1 n = (1/3)2 = 1/9. Como el l´ ımite es menor que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.28. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e n+1 2n − 1 n . Soluci´n o Aplicamos nuevamente el criterio de la ra´ ız: l´ ım n n+1 2n − 1 n = l´ ım n+1 1 = < 1. 2n − 1 2 Se deduce que la serie es convergente. PROBLEMA 9.29. Estudiar el car´cter de la serie a an de t´rmino general e n sen a an = (a fijo). n 416
  17. 17. Soluci´n o Por el criterio de Raabe,  l´ n ım  sen a n  n n−1  sen a n−1  1 − = l´ n 1 − ım n−1 n = l´ n 1 − ım n (n − 1)n sen a nn (n − 1) sen a = ∞ · 1 = ∞. n−1 Como el l´ ımite es mayor que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.30. Estudiar el car´cter de la serie a an = tg n a + b n an de t´rmino general e con 0 < a < π/2. Soluci´n o Aplicamos el criterio de la ra´ ız: l´ ım √ n an = l´ tg a + ım b n = tg a. De aqu´ se deduce que si 0 < a < π/4, la serie es convergente pues el l´ ı ımite anterior es menor que uno. Si π/4 < a < π/2, el citado l´ ımite es mayor que uno por lo que la serie es divergente. Para a = π/4 se tiene: l´ an ım π b tg(π/4) + tg(b/n) = l´ tg ım + = l´ ım 4 n 1 − tg(π/4) tg(b/n) 1 + tg(b/n) n = l´ ım = eL , 1 − tg(b/n) n donde L = l´ n ım 1 + tg(b/n) −1 1 − tg(b/n) = l´ n tg(b/n) · l´ ım ım = l´ n · ım 2 tg(b/n) 1 − tg(b/n) 2 = 2b. 1 − tg(b/n) 417 n
  18. 18. Por lo tanto, l´ an = e2b = 0 y la serie es divergente. ım PROBLEMA 9.31. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e nln n . (ln n)n Soluci´n o Aplicamos el criterio de Cauchy o de la ra´ ız: l´ ım √ n an = l´ ım nln n/n . ln n Tomando logaritmos resulta: l´ ln ım √ n an = l´ ım (ln n)2 ln n ln n − ln(ln n) = l´ ım − ln(ln n) . n n Utilizamos el criterio de Stolz para calcular el l´ ımite del primer sumando: l´ ım (ln n)2 n (ln n)2 − [ln(n − 1)]2 n − (n − 1) l´ ım[ln n + ln(n − 1)][ln n − ln(n − 1)] n l´ ln n(n − 1) ln ım n−1 ln(n2 − n) n − 1 = l´ ım l´ ln(n2 − n) ım n−1 n−1 2 − n) − ln[(n − 1)2 − (n − 1)] ln(n l´ ım n − 1 − (n − 1 − 1) 2−n n l´ ln 2 ım = ln 1 = 0. n − 3n + 2 = l´ ım = = = = = Como el l´ ımite del segundo sumando es l´ ln(ln n) = +∞, resulta que ım l´ ln ım √ n an = −∞ =⇒ l´ ım de modo que la serie es convergente. 418 √ n an = 0 < 1,
  19. 19. PROBLEMA 9.32. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e 1 √ n. (1 + 1/ n) Soluci´n o Aplicamos el criterio logar´ ıtmico: √ l´ ım ln(1/an ) ln n ln 1 + = l´ ım 1 √ n n √ n ln 1 + = l´ ım 1+ = l´ ım ln n √ ln 1 √ n n 1 √ n √ n n ln n √ √ n 1 = l´ ım l´ ln 1 + √ ım ln n n ln n n . Es evidente que el l´ ımite del segundo factor es 1. Utilizaremos el criterio de Stolz para calcular el l´ ımite del primer factor: √ √ √ n n− n−1 n − (n − 1) 1 √ l´ ım = l´ ım = l´ √ ım · n ln n ln n − ln(n − 1) n + n − 1 ln n−1 1 n−1 √ = +∞. = l´ √ ım = l´ √ ım √ n+ n−1 ( n + n − 1) n − 1 n−1 En definitiva, l´ ım ln(1/an ) = +∞ > 1 y la serie es convergente. ln n PROBLEMA 9.33. Estudiar el car´cter de la serie a an = n+1 n an de t´rmino general e n+1 n+1 − n −n . Soluci´n o Por el criterio de la ra´ ız: l´ ım n n+1 n n+1 n+1 − n −n = l´ ım 419 1 n+1 n+1 n − n+1 n = 1 < 1. e−1
  20. 20. Esto muestra que la serie es convergente. PROBLEMA 9.34. Estudiar el car´cter de la serie a n+1 n an = an de t´rmino general e n + 2n + 1 n −n . Soluci´n o Aplicando el criterio de la ra´ ız: l´ ım √ n an = l´ ım 1 + n+1 n n 2n+1 n = l´ ım 1 1+ 1 n n + 2n+1 n = 1 < 1. e+2 La serie es convergente. PROBLEMA 9.35. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e nn . 1 · 3 · 5 · . . . (2n − 3)(2n − 1) Soluci´n o Aplicando el criterio del cociente de D’Alembert: l´ ım an an−1 nn 1 · 3 · 5 · . . . (2n − 3) · 1 · 3 · 5 · . . . (2n − 3)(2n − 1) (n − 1)n−1 1 nn nn−1 n = l´ ım · = l´ ım · 2n − 1 (n − 1)n−1 2n − 1 (n − 1)n−1 = l´ ım = l´ ım n l´ ım 2n − 1 n n−1 Por tanto la serie es divergente. 420 n−1 = 1 · e > 1. 2
  21. 21. PROBLEMA 9.36. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e ln 2 · ln 3 . . . ln n . n! Soluci´n o Aplicando el criterio del cociente de D’Alembert: l´ ım an an−1 ln 2 · ln 3 . . . ln n (n − 1)! · n! ln 2 · ln 3 . . . ln(n − 1) ln n = 0 < 1. = l´ ım n = l´ ım Entonces se trata de una serie convergente. PROBLEMA 9.37. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e n! . (a + 1)(a + 2) . . . (a + n) Soluci´n o Aplicamos el criterio del cociente: l´ ım n! (a + 1)(a + 2) . . . (a + n − 1) n · = l´ ım = 1. (a + 1)(a + 2) . . . (a + n) (n − 1)! a+n El criterio no permite decidir sobre la convergencia de la serie por lo que aplicamos el criterio de Raabe: l´ n 1 − ım n an = l´ ım = a. a+n a+n Resulta que si a < 1, la serie es divergente; si a > 1, la serie es convergente. 421
  22. 22. Cuando a = 1, sustituimos este valor en la serie y obtenemos n! = 2 · 3 · · · · · (n + 1) 1 n+1 la cual es evidentemente divergente. PROBLEMA 9.38. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) . 2 · 4 · 6 · · · · · (2n + 2) Soluci´n o Aplicaremos el criterio de D’Alembert: an l´ ım = l´ ım an−1 1·3·5·····(2n−1) 2·4·6·····(2n+2) 1·3·5·····(2n−3) 2·4·6·····(2n) = l´ ım 2n − 1 = 1. 2n + 2 Como este criterio no decide el car´cter de la serie, aplicamos el criterio de a Raabe: l´ n 1 − ım an an−1 2n − 1 2n + 2 = l´ n 1 − ım = l´ ım 3n 3 = . 2n + 2 2 Como el l´ ımite es mayor que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.39. Estudiar el car´cter de la serie a −n2 x an = e an de t´rmino general e seg´n los valores de x. u Soluci´n o Por el criterio de Raabe, tenemos: 2x l´ n 1 − ım e−n −(n−1)2 x e 2 x+n2 x+x−2nx = l´ n 1 − e−n ım 422 = l´ n 1 − ex(1−2n) . ım
  23. 23. Cuando x = 0, la serie dada es 1 que es evidentemente divergente. Cuando x < 0, l´ n 1 − ex(1−2n) = −∞ < 1 por lo que la serie es diverım gente. Cuando x > 0, l´ n 1 − ex(1−2n) = +∞ > 1 por lo que la serie es converım gente. PROBLEMA 9.40. Estudiar el car´cter de la serie a an = an de t´rmino general e α(α + 1) . . . (α + n − 1) seg´n los valores de α y β . u β(β + 1) . . . (β + n − 1) Soluci´n o Por el criterio de Raabe:  l´ n 1 − ım an an−1 = l´ n 1 − ım α(α+1)...(α+n−1) β(β+1)...(β+n−1) α(α+1)...(α+n−2) β(β+1)...(β+n−2)   = l´ n 1 − ım α+n−1 β+n−1 √ β+n−1− α+n−1 √ = l´ n ım β+n−1 β+n−1−α−n+1 √ = l´ n · √ ım √ β + n − 1( β + n − 1 + α + n − 1) n(β − α) β−α √ = l´ ım . = 2 + ... 2 β+n−1+ n √ De aqu´ se deduce que si β − α > 2, la serie es convergente. Si β − α < 2, la ı serie es divergente. En el caso en que β −α = 2, es decir β = α+2, al sustituir en la serie original α(α + 1) . Aplicando ahora el criterio de Pringsheim, resulta (α + n)(α + n + 1) α(α + 1) es finito y no nulo cuando p = 1 lo (α + n)(α + n + 1) que hace que la serie sea divergente. resulta que l´ np ım En definitiva, la serie es convergente si y s´lo si β − α > 2. o 423
  24. 24. PROBLEMA 9.41. ∞ Calcular la suma de la serie n=1 n2 1 √ − 2 2n + 1 . Soluci´n o Si descomponemos el t´rmino general en fracciones simples, obtenemos: e A B 1 √ √ √ = + . − 2 2n + 1 n− 2−1 n− 2+1 √ √ Esto implica que 1 = A(n − 2 + 1) + B(n − 2 − 1) por lo que A = 1/2 y B = −1/2. n2 Sumando ahora los n primeros t´rminos de la sucesi´n tenemos: e o an = an−1 = an−2 = ... a2 = a1 = Sn = En definitiva, S = 1/2 1/2 √ √ − n− 2−1 n− 2+1 1/2 1/2 √ √ − n− 2−2 n− 2 1/2 1/2 √ √ − n− 2−3 n− 2−1 1/2 1/2 √ − √ 1− 2 3− 2 1/2 1/2 √ − √ − 2 2− 2 1 1 1 1 1 √ + √ − √ √ . − 2 1− 2 − 2 n− 2+1 n− 2 an = l´ Sn = ım 1 1 1 √ + √ . 2 1− 2 − 2 PROBLEMA 9.42. Dada la serie de t´rmino general an = e que es convergente y sumarla. 424 n3 n + 12 , demostrar + 5n2 + 6n
  25. 25. Soluci´n o Por el criterio de Pringsheim, l´ np an = l´ ım ım 2 > 1, por lo que la serie es convergente. np (n + 12) = 1 cuando p = n3 + 5n2 + 6n Para sumar la serie descomponemos el t´rmino general en fracciones sime ples: A B C n + 12 = + + n3 + 5n2 + 6n n n+2 n+3 A(n + 2)(n + 3) + Bn(n + 3) + Cn(n + 2) = n(n + 2)(n + 3) =⇒ n + 12 = A(n + 2)(n + 3) + Bn(n + 3) + Cn(n + 2). an = Para n = 0, 12 = 6A =⇒ A = 2. Para n = −2, 10 = −2B =⇒ B = −5. Para n = −3, 9 = 3C =⇒ C = 3. De aqu´ obtenemos: ı an = an−1 = an−2 = an−3 = ... 2 5 3 − + n n+2 n+3 2 5 3 − + n−1 n+1 n+2 5 3 2 − + n−2 n n+1 2 5 3 − + n−3 n−1 n 2 5 3 − + 4 6 7 2 5 3 a3 = − + 3 5 6 2 5 3 a2 = − + 2 4 5 2 5 3 a1 = − + 1 3 4 2 2 3 3 2 2 Sn = − − + − + + =⇒ S = l´ Sn = −1 + 1 + 2 = 2. ım n+1 n+2 n+3 3 2 1 a4 = PROBLEMA 9.43. Sumar la serie 1 1 1 + + + . . .. 1·3·5 3·5·7 5·7·9 425
  26. 26. Soluci´n o El t´rmino general de la serie es an = e 1 . Al descom(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) ponerlo en fracciones simples resulta: A B C + + 2n − 1 2n + 1 2n + 3 A(2n + 1)(2n + 3) + B(2n − 1)(2n + 3) + C(2n − 1)(2n + 1) = (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) =⇒ A(2n + 1)(2n + 3) + B(2n − 1)(2n + 3) + C(2n − 1)(2n + 1) = 1 an = =⇒ A = 1/8, B = −1/4, C = 1/8. Por tanto, an = an−1 = an−2 = ... a2 = a1 = Sn = 1 8 1 8 1 8 1 2 1 − + 2n − 1 2n + 1 2n + 3 1 2 1 − + 2n − 3 2n − 1 2n + 1 1 2 1 − + 2n − 5 2n − 3 2n − 1 1 8 1 8 1 8 1 2 1 − + 3 5 7 1 2 1 − + 1 3 5 1 1 1 − +1− 2n + 3 2n + 1 3 Tenemos entonces que S = l´ Sn = ım 1 8 PROBLEMA 9.44. ∞ Sumar la serie n=1 1 n+3 3 . 426 1− 1 3 = 1 . 12 .
  27. 27. Soluci´n o Escribimos el t´rmino general en la forma an = e 3! y lo (n + 3)(n + 2)(n + 1) descomponemos en fracciones simples: 6 A B C = + + . (n + 3)(n + 2)(n + 1) n+3 n+2 n+1 Esto implica que 6 = A(n + 2)(n + 1) + B(n + 3)(n + 1) + C(n + 3)(n + 2) lo que al resolver produce los valores A = 3, B = −6, C = 3. Sumando ahora los n primeros t´rminos de la sucesi´n: e o 6 3 3 − + n+3 n+2 n+1 3 6 3 − + n+2 n+1 n 3 6 3 − + n+1 n n−1 an = an−1 = an−2 = ... 3 6 3 − + 5 4 3 3 6 3 − + 4 3 2 3 6 3 3 6 3 − + + − + . n+3 n+2 n+2 3 3 2 a2 = a1 = Sn = Entonces S = l´ Sn = 1/2. ım PROBLEMA 9.45. ∞ Sumar la serie n=2 ln n+1 n . ln n ln(n + 1) Soluci´n o Escribimos el t´rmino general como e an = ln(n + 1) − ln n 1 1 = − . ln n · ln(n + 1) ln n ln(n + 1) 427
  28. 28. Sumando los primeros t´rminos de la sucesi´n resulta: e o an = an−1 = a3 = a2 = Sn = 1 1 − ln n ln(n + 1) 1 1 − ln(n − 1) ln n ... 1 1 − ln 3 ln 4 1 1 − ln 2 ln 3 1 1 − . ln 2 ln(n + 1) Entonces S = l´ Sn = 1/ ln 2. ım PROBLEMA 9.46. ln 1 − Sumar la serie n≥2 1 . n2 Soluci´n o Escribimos el t´rmino general de la forma: e an = ln n2 − 1 (n + 1)(n − 1) = ln = ln(n + 1) − 2 ln n + ln(n − 1). 2 n n2 Dando valores decrecientes a n tenemos: an = ln(n + 1) − 2 ln n + ln(n − 1) an−1 = ln n − 2 ln(n − 1) + ln(n − 2) an−2 = ln(n − 1) − 2 ln(n − 2) + ln(n − 3) ... a4 = ln 5 − 2 ln 4 + ln 3 a3 = ln 4 − 2 ln 3 + ln 2 a2 = ln 3 − 2 ln 2 + ln 1. n+1 − ln 2. n La suma de la serie es S = l´ Sn = ln 1 − ln 2 = − ln 2. ım Sn = ln(n + 1) − ln n − ln 2 = ln 428
  29. 29. PROBLEMA 9.47. Estudiar el car´cter y hallar la suma de la serie a n≥1 2n + 1 . 7n Soluci´n o Aplicando el criterio de D’Alembert, an 2n + 1 7n−1 1 2n + 1 1 = l´ ım · = l´ ım · = < 1. n an−1 7 2(n − 1) + 1 7 2n − 1 7 La serie es convergente. l´ ım 5 2n + 1 3 . Los t´rminos e Para hallar su suma escribimos Sn = + 2 + · · · + 7 7 7n de la serie resultan de multiplicar los t´rminos de la progresi´n aritm´tica e o e 3, 5, . . . 2n+1 por los correspondientes de la progresi´n geom´trica 1/7, 1/72 , . . . 1/7n . o e Estas series, llamadas aritm´tico-geom´tricas, se suman de la siguiente fore e ma: 3 5 2n − 1 2n + 1 Sn = + 2 + · · · + n−1 + 7 7 7 7n 1 3 5 2n − 1 2n + 1 Sn = 2 + 3 + · · · + + n+1 7 7 7 7n 7 Restando: 6 3 2 2 2 2n + 1 Sn = + 2 + 3 + · · · + n − n+1 7 7 7 7 7 7 2 2 3 2n + 1 n+1 − 72 = + 7 1 − n+1 . 7 7 7 −1 Como l´ ım 2n + 1 = 0, resulta que la suma de la serie es: 7n+1 6 3 2/49 10 5 S= + = =⇒ S = . 7 7 6/7 21 9 PROBLEMA 9.48. n2 xn , 0 < x < 1. Sumar la serie n≥1 429
  30. 30. Soluci´n o El proceso que seguiremos es el siguiente: Sn = x + 4x2 + 9x3 + · · · + (n − 1)2 xn−1 + n2 xn xSn = x2 + 4x3 + · · · + (n − 2)2 xn−1 + (n − 1)2 xn + n2 xn+1 . Restando miembro a miembro: (1 − x)Sn = x + 3x2 + 5x3 + · · · + (2n − 1)xn − n2 xn+1 x(1 − x)Sn = x2 + 3x3 + · · · + (2n − 3)xn + (2n − 1)xn+1 − n2 xn+2 . Restando nuevamente las dos ultimas igualdades: ´ (1 − x)2 Sn = x + 2x2 + 2x3 + · · · + 2xn − (n2 + 2n − 1)xn+1 + n2 xn+2 xn+1 − x2 − (n2 + 2n − 1)xn+1 + n2 xn+2 . = x+2· x−1 Como 0 < x < 1, (n2 + 2n − 1)xn+1 → 0 y n2 xn+2 → 0 cuando n → ∞. Resulta entonces que si llamamos S = l´ Sn a la suma de la serie, ım tenemos: 2x2 x2 + x (1 − x)2 S = x − =⇒ S = . x−1 (1 − x)3 430
  31. 31. B. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Estudiar la convergencia de las siguientes series: a) nn . (2n + 1)n Resp.: Convergente (ra´ ız). b) 24n−3 . (4n − 3)! Resp.: Convergente (cociente). n . en Resp.: Convergente (cociente). c) d) 2n . 1 · 3 · 5 . . . (2n + 1) Resp.: Convergente (cociente). e) cos2 n . n2 Resp.: Convergente (comparaci´n con o √ 3 f) n+2 . +1 n3 Resp.: Convergente (comparaci´n con o n2 . n! Resp.: Convergente (cociente). g) h) nn · n! . (3n)! Resp.: Convergente (cociente). i) 1/n2 ). (2n)! . (n!)2 431 1/n8/3 ).
  32. 32. Resp.: Divergente (cociente). j) 1 . (ln n!) + n2 Resp.: Convergente (comparaci´n con o k) 1/n2 ). 1 1·3 1·3·5 + + + ... 3 3·6 3·6·9 Resp.: Convergente (cociente). l) 1 · 3 . . . (2n − 1) . 2 · 4 . . . 2n Resp.: Divergente (Raabe). m) 1 n(n + 1) . Resp.: Divergente (comparaci´n con o n) 1/n). 2n . n Resp.: Divergente (cociente). o) 2 · 5 · 8 . . . (3n − 1) . 1 · 5 · 9 . . . (4n − 3) Resp.: Convergente (cociente). p) nn/2 · 5n . n! Resp.: Convergente (ra´ ız). q) 1 . (3n − 2)(3n + 1) Resp.: Convergente (comparaci´n con o r) 1 n ln 1 + 1 n . Resp.: Divergente (l´ an = 0). ım 432 1/n2 ).
  33. 33. 1 · 11 · 21 . . . (10n − 9) . (2n − 1)! s) Resp.: Divergente (cociente). n! . nn Resp.: Convergente (ra´ ız). t) √ 2n senn 3 u) . en n2 Resp.: Convergente (ra´ ız). 1 . n ln n Resp.: Divergente (integral). v) 2.- Calcular la suma de las siguientes series: a) n≥1 3n + 5 . 2n Resp.: S = 11. n(n − 1)xn para |x| < 1. b) n≥1 Resp.: S = √ c) n≥1 2x2 . (1 − x)3 √ n+1− n √ . n2 + n Resp.: S = 1. d) n≥1 1 . (3n + 2)(3n + 8) Resp.: S = 13/240. e) n≥2 n−1 en 2 . 433
  34. 34. Resp.: S = f) n≥2 e2 + 1 . (e2 − 1)3 2n + 3 . (n − 1)n(n + 2) Resp.: S = 65/36. g) n≥1 (4n2 n . − 1)2 Resp.: S = 1/8. nen . h) n≥1 Resp.: S = ∞. i) n≥1 2n2 + n − 1 . en Resp.: S = 2e2 − 2e + 9 . (e − 1)3 434

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