1. Existen varios criterios para determinar si una serie es convergente o divergente, incluyendo el criterio de comparación, el criterio del cociente, el criterio de la raíz y el criterio de la integral. 2. El criterio de comparación establece que si los términos de una serie son menores o iguales a los términos de otra serie convergente, entonces la primera serie también es convergente. 3. El criterio de la integral compara la convergencia de una serie con la convergencia de la integral asociada.

1. Criterios de convergencia para series.
Para series en general, existen una serie de criterios de convergencia:
•
1.– Primer criterio de comparación.- Si (an) y (bn) son dos sucesiones de números
reales tales que ∃ m ∈ N, tal que 0 ≤ an ≤ bn para todo natural n ≥ m. Entonces, si la
∞
serie
∑
i=1
∞
b i es convergente, la serie
∑
∞
i=1
ai es convergente. Y si la serie
∑
i=1
ai es
∞
divergente, la serie
∑
i=1
•
b i es divergente.
2.- Segundo criterio de comparación.- Si (an) y (bn) son dos sucesiones de números
reales tal que an ≥ 0 y bn> 0 para todo n ∈ N y supongamos que
∞
Entonces, si L ≠ 0, las series
∑
i=1
lim n
∑
i=1
= L ∈ R.
∞
ai y
∑
i=1
b i tiene el mismo carácter.
∞
Si L = 0, y la serie

an
bn
∞
∑
b i es convergente, entonces la serie
i=1
ai también es
convergente.
•
3. - Criterio de la integral.- Si f : [1,+∞)  R es una función decreciente y positiva y,
∞
para cada n ∈ N, se cumple que an = f(n). Entonces, la serie
impropia
•
∫
[1,∞ )
∑
i=1
ai
y la integral
f  x . dx tienen el mismo carácter de convergencia o divergencia.
4. - Criterio del cociente.- Si (an) es una sucesión de números reales, y L =
lim n
 
an1
an
∞
Entonces, si L < 1 la serie
∑
i=1
ai
converge. Y si L >1 la serie
∞
∑
i=1
•
ai diverge.
5.- Criterio de Raabe.- Si (an) es una sucesión de números reales y sea
L=

a
lim n n. 1− n1
an

∞
serie
∑
i=1
ai diverge.
∞
Entonces, si L > 1 la serie
∑
i=1
ai
converge. Y si L < 1 la

2. •
6.- Criterio de la raíz.- Si (an) es una sucesión de números reales no negativos y sea
∞
L=
n
lim n  an . Entonces, si L < 1 la serie
∑
i=1
ai
converge. Y si L > 1 la serie
∞
∑
i=1
ai diverge.
lim n
 Si ∃
 
an1
an
⇒∃
n
lim n  an . Además,
lim n
 
an1
an
=
n
lim n  an .
n
Este criterio se puede utilizar para hallar lim n  an hallando el lim n
 
an1
an
# Demostración:
1.- Si a n ≤ b n para todo n ≥ m, entonces las sumas parciales enésimas verifican:
An ≤ Bn
para todo natural n.
∞
Luego, si la serie
∑
i=1
b i es convergente lo es la también la sucesión (Bn), y estará
acotada superiormente, luego también lo estará (An), y teniendo en cuenta que (An) es monótona
creciente y acotada, Será:
∞
(An) una sucesión convergente

la serie
∑
i=1
ai es convergente
∞
Y si la serie
∑
i=1
ai es divergente lo será también la sucesión (An), que por ser monótona
creciente, no está acotada superiormente, luego por tanto, tampoco estará acotada superiormente
la sucesión (Bn), y teniendo en cuenta que es monótona creciente y no acotada, será:
∞
(Bn) una sucesión divergente

la serie
∑
i=1
b i es divergente
2.- Si L ≠ 0, ∃ m ∈ N tal que para todo n ≥ m se verifica:
L an
L
 3
2 bn
2
Y por tanto:
L.b n
3.L.bn
an
2
2
Además, si la sucesión de sumas parciales enésimas Bn converge, se cumple
L.b n
2
y
3.L.bn
también converge, lo que implica que la serie de sumas parciales enésimas An también
2

3. ∞
∑
converge. Luego la serie
i=1
ai es convergente.
∞
∑
Y si la la serie
ai es divergente, como la sucesión An diverge, entonces, las sucesiones
i=1
L.b n
2
3.L.bn
también divergen, lo que implica que Bn también diverge. Luego la serie
2
y
∞
∑
i=1
b i es divergente
∞
Luego resulta que las tres series,
∑
i=1
L.bi
,
2
∞
∑
i=1
3.L.bi
2
∞
carácter de convergencia. Y por tanto las series
∑
i=1
∞
y
∑
i=1
ai
tienen el mismo
∞
ai
y
∑
i=1
b i tiene también el mismo
carácter.
Si L = 0, ∃ un m ∈ N tal que para todo n ≥ m se verifica
an
1 y, por tanto, a n < b n y
bn
el resultado se sigue también del primer criterio de comparación.
3.- Por ser f decreciente, será para cada k ∈ N:
x=k1
∫
f(k+1) ≤
f  x . dx ≤ f (k) .
x=k
Es decir:
x=k1
ak+1 ≤
∫
f  x . dx ≤ ak
x=k
Y sumando desde k = 1 hasta k = n, obtenemos:
x=k1
Ak+1 - a1 ≤
∫
f  x . dx ≤ An
x=k
Y tomando límites a ambos miembros de la desigualdad, se obtiene el resultado pedido.
4.- Supongamos que L = lim n
cumplirá que
 
an1
an
> 1. Entonces, a partir de un cierto natural no. Se
an1
> 1. Es decir
an
an+1 > an ≠ 0 para n ≥ no.
Luego será lim an ≠ 0. Y la serie no cumplirá el criterio necesario de convergencia, por lo
∞
que
∑
i=1
ai será divergente.

4.  
an1
an
Supongamos que L = lim n
< 1 y sea x un número real tal 0 < x < 1. Entonces
existe un m ∈ N tal que:
 
an1
an
para n ≥ m.
< x.
Es decir:
an+1 < an.x.
n ≥ m.
para
Y en particular
am+1 < am .x.
am+2 < am+1.x < am.x2.
. . . . . . .
am+k < am.x < … < am.xk.
Luego se verifica:
∞
∑ ai <
i≥m
∞
∑ ai . x i
= am.
i≥m
x
1−x
< ∞.
Ahora bien teniendo en cuenta, que la suma de una serie finita de términos finitos es finita
∞
∑ ai
∞
+
i≥m
∑ ai . x
i
∞
=
i≥m
∑ ai
+ am.
i≥m
x
1−x
<∞ .
5.- Supongamos que L > 1 y sea x un número real tal que L > x >1. Entonces, ∃ m ∈ N tal
que para todo m ∈ N y para todo n ≥ m se verifica:

n. 1−

a n1
x
an
Es decir:
n. ( an - an+1 ) > x.an .
Y por tanto:
m.(am-am+1)+(m+1).(am+1-am+2)+...+n.(an-an+1) > x .(am+am+1+am+2+...+ an ).
Luego:
m.am + am+1 + . . . + an - n.an+1 > x.(am+am+1+...+an).
Y de aquí resulta:
a m1...a n
m−x . am −n. an1 m−x . am

x−1
x −1
Con lo que:
a1 ...a na 1...a m
 m−x. a m
x−1

5. ∞
∑
Y la serie
i=1
ai
es convergente, por que la sucesión de sus sumas parciales está
acotada.
Supongamos ahora que L < 1. Entonces, existe un m ∈ N tal que para todo n > m se
verifica:

n. 1−

an1
1
an
Es decir:
(n-1) an < n.an+1 .
Y por tanto:
m. am+1 < ( m + 1 ) am+2 < . . . <
( n - 1 ). an
Luego:
a m
m. am1
n−1
Y como la serie n-1 es divergente, por el primer criterio de comparación resulta que la serie
∞
∑
i=1
ai es divergente.
6.- Supongamos que L < 1 y sea x un número real tal que L < x < 1. Entonces, ∃ m ∈ Ntal
∞
que an < xn para todo n ≥ m. Y la convergencia la serie
∑
i=1
ai se sigue del primer criterio de
∞
comparación, pues por ser 0 < x < 1, la serie
∑ xn
converge.
i=1
Supongamos ahora que L > 1. Entonces, a n > 1 para infinitos valores de n y no se cumple,
∞
la condición necesaria de que lim an = 0, para que se cumpla la convergencia de la serie
∑
i=1
ai
# Observaciones y ejemplos:
∞
•
En el caso del segundo criterio de comparación, si L = 0 y la serie
∑ bi
i=1
∞
no se puede afirmar nada sobre la serie
∑
i=1
ai .
∞
Por ejemplo, si an= 0 y bn = 1, será L = 0, y la serie
∑
i=1
ai converge.
∞
Mientras, que si an = 1/n y bn = 1, será L = 0, y la serie
∑
i=1
ai diverge.
diverge,

6. ∞
•
∑ i1p
La serie
es convergente si p > 1, y divergente si p ≤ 1. Puesto que la integral
i=1
∞
i
. dx
p
x
∫
indefinida
1
es convergente si p > 1, y divergente si p ≤ 1.
∞
•
Del primer criterio de comparación, se sigue que la serie
sen 2 x
≤
n3
0 ≤
puesto que
sen 2 x
∑ n3
i=1
es convergente,
1
para todo n ∈ N. Y la serie
n3
∞
∑ i13
es
i=1
convergente.
∞
•
. Es convergente, ya que
i=1
lim n n² .
•
n
∑  n1. n2. n3
Por el segundo criterio la serie
n
= 1. Y la serie
n1 .n2 .n3
∞
∑ i12
es convergente.
i=1
En el criterio del cociente, no se puede afirmar nada si L = 1, ya que por ejemplo, para
∞
∞
1
las series ∑ 1
i=1 i
∑ i12
y
es L = 1, y la primera serie es divergente, mientras que la
i=1
segunda convergente.
•
En el criterio de la raíz, no se puede afirmar nada si L = 1, ya que por ejemplo, para las
∞
series
∞
∑ i11
i=1
y
∑ i12
es L = 1, y la primera serie es divergente, mientras que la
i=1
segunda convergente.
∞
•
La serie
∑ 1!
i
, es convergente, ya que:
i=1
1
n1!
1
lim n
=lim n
=0
1
n1
n!
# Ejemplo:
•
A veces el criterio del cociente, no justifica el carácter de una serie y, en cambio, con el
de la raíz se decide la cuestión: Por ejemplo, con la serie
{
1
si n es impar
n
2
a n=
1
si n es par
n−2
2
}

7. Aplicando el criterio del cociente:
lim n
a n1 1
=
an 8
lim n
a n1
=2
an
Que no aclara el carácter de la serie, mientras que por el criterio de la raíz, se
tiene:
n
lim n  an=
1
2
Lo que demuestra que la serie converge.
De hecho el criterio del cociente es menos potente que el de la raíz, ya que:
Lim inf (an+1 / an ) ≤ Lim inf (an )1/n ≤ Lim Sup (an)1/n ≤ Lim sup (an+1 /an ).