Semana 13

2. SERIES
SEMANA 13
Alfonso Cubillos
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. SERIES CRITERIO DE LA INTEGRAL
CRITERIO DE LA INTEGRAL
Supongamos que f es una funci´on cont´ınua, positiva y decreciente en [1, ∞)
y sea an = f(n). Entonces
1 Si
∞
1
f(x) dx converge, entonces
∞
n=1
an converge.
2 Si
∞
1
f(x) dx diverge, entonces
∞
n=1
an diverge.
EJEMPLOS
1 Cosideremos la serie
∞
n=1
1
√
n(1 + n)
. Ya que la integral impropia
asociada a la serie
∞
1
dx
√
x(1 + x)
converge (ver ejemplo 1, semana
10), podemos concluir que la serie converge.

4. SERIES CRITERIO DE LA INTEGRAL
2 Analicemos la convergencia o divergencia de la serie
∞
n=2
ln(n2)
n
.
Apliquemos el test de la integral, consideremos la funci´on
f(x) =
ln(x2)
x
, entonces
∞
2
ln(x2)
x
dx = l´ım
t→∞
t
2
ln x2
x
dx = l´ım
t→∞
t
2
2 ln x
x
dx
u=ln x
= 2 l´ım
t→∞
ln t
ln 2
u du = 2 l´ım
t→∞
u2
2
ln t
ln 2
= l´ım
t→∞
ln2
t − ln2
2
= ∞.
Por lo tanto la serie diverge.

5. SERIES SERIES ALTERNANTES
SERIES ALTERNANTES
Una serie alternante es una serie en la cual sus t´erminos se alternan entre
positivos y negativos.
PROPOSICI ´ON
Si la serie alternante
∞
n=1
(−1)n−1
bn = b1 − b2 + b3 − b4 + · · ·
satisface
I. bn+1 ≤ bn (decreciente) para todo n = 1, 2, 3, . . .
II. l´ım
n→∞
bn = 0
entonces la serie es convergente.