El documento trata sobre series infinitas y criterios de convergencia. Explica conceptos como términos, sumas parciales y convergencia de series. Define series geométricas y explica que convergen cuando la razón r es menor que 1 y divergen cuando r es mayor o igual a 1. También lista propiedades de series convergentes y divergentes.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
SERIES – CRITERIOS DE CONVERGENCIA

2. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
SERIES INFINITAS

3. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
LOGRO DE LA SESIÓN
Al término de la sesión, el estudiante determina si una
serie infinita es convergente o divergente. Si es
convergente determinará su suma.
https://www.youtube.com/watch?v=oy6TH2_czQg
https://www.youtube.com/watch?v=an6WaE_7CBo

4. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Series Infinitas
Definición: Sea 𝑥𝑛 una sucesión. La expresión 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + … + 𝑥𝑛 + … es llamada Serie
Infinita.
Notación: 𝑛=1
∞
𝑥𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + … + 𝑥𝑛 + …
Los símbolos 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , se denominan términos de la serie infinita y 𝑥𝑛 es llamado el n-ésimo
término.
Si los términos de una serie son números ésta es llamada “serie numérica” y si son funciones ésta
es llamada “serie de funciones”.
𝑛=1
∞
𝑥𝑛 =

5. UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Series Infinitas
Ejemplos:
1) 1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+ ⋯ +
1
𝑛2 + ⋯ = 𝑛=1
∞ 1
𝑛2
2) 𝑥 +
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+
𝑥4
4!
+ ⋯ +
𝑥𝑛
𝑛!
+ ⋯ = 𝑛=1
∞ 𝑥𝑛
𝑛!
3) 0 −
1
6
+
2
12
−
3
20
+ ⋯ + −1 𝑛+1 𝑛−1
𝑛 𝑛+1
+ ⋯ = 𝑛=1
∞
(−1)𝑛+1 (𝑛−1)
𝑛(𝑛+1)
4) 𝑥 − 𝑥2
+ 𝑥3
− 𝑥4
+ ⋯ + −1 𝑛+1
𝑥𝑛
+ ⋯ = 𝑛=1
∞
(−1)𝑛+1
𝑥𝑛
5) 1 +
1∙3
1∙4
+
1∙3∙5
1∙4∙7
+
1∙3∙5∙7
1∙4∙7∙10
+ ⋯ +
1∙3∙5∙7∙∙∙(2𝑛−1)
1∙4∙7∙10∙∙∙(3𝑛−2)
+ ⋯ = 𝑛=1
∞ 1∙3∙5∙7∙∙∙∙(2𝑛−1)
1∙4∙7∙10.∙∙∙∙(3𝑛−2)

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Series Infinitas
Observaciones
1) En algunas series sus primeros términos pueden ser a partir de un entero no negativo 𝑘
cualquiera y se escribe
𝑛=𝑘
∞
𝑥𝑛 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘+1 + 𝑥𝑘+2 + 𝑥𝑘+3 + ⋯ + 𝑥𝑛 + ⋯
2) La letra 𝑛 usada en 𝑛=1
∞
𝑥𝑛 es una variable ficticia y puede ser reemplazada por cualquier
otro símbolo conveniente.
3) Cuando no hay peligro de confusión, generalmente se escribe 𝑥𝑛 en lugar de 𝑛=1
∞
𝑥𝑛

7. UNIVERSIDAD NACIONAL
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INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
Series Infinitas
Definición.- La suma 𝑆𝑛 de los 𝑛 primeros términos de la serie infinita 𝑥𝑛 es llamada la enésima
suma parcial de la serie y se obtiene de la siguiente manera:
𝑆1 = 𝑥1
𝑆2 = 𝑥1 + 𝑥2
𝑆3 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
⋮ ⋮
𝑆𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
La sucesión 𝑆𝑛 se denomina “sucesión de las sumas parciales” de la serie 𝑥𝑛.

8. Ejemplo: Hallar los primeros cuatro términos de la sucesión se sumas parciales {𝑆𝑛} y
determinar una fórmula para 𝑆𝑛 en términos de 𝑛 para cada serie indicada
1)
1
(2𝑛−1)(2𝑛+1)
Solución
Por fracciones parciales se tiene:
1
(2𝑛−1)(2𝑛+1)
=
𝐴
2𝑛−1
+
𝐵
2𝑛+1
=
1
2(2𝑛−1)
−
1
2(2𝑛+1)
, entonces
𝑆1 =
1
2
−
1
2(3)
𝑆2 =
1
2
−
1
2(3)
+
1
2(3)
−
1
2(5)
=
1
2
−
1
2(5)
𝑆3 =
1
2
−
1
2 3
+
1
2 3
−
1
2 5
+
1
2 5
−
1
2(7)
=
1
2
−
1
2(7)
𝑆4 =
1
2
−
1
2 3
+
1
2 3
−
1
2 5
+
1
2 5
−
1
2 7
+
1
2 7
−
1
2(9)
=
1
2
−
1
2(9)
En general
𝑆𝑛 =
1
2
−
1
2(2𝑛 + 1)
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
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9. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
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Ejemplo: Hallar los primeros cuatro términos de la sucesión se sumas parciales {𝑆𝑛} y
determinar una fórmula para 𝑆𝑛 en términos de 𝑛 para cada serie indicada.
2)
3𝑛+2𝑛
6𝑛
Solución
3𝑛+2𝑛
6𝑛 = (
1
2𝑛 +
1
3𝑛)
Usando directamente la definición de 𝑆𝑛, se tiene:
𝑆1 =
1
2
+
1
3
= 1 −
1
21 +
1
2
1 −
1
31
𝑆2 =
1
2
+
1
4
+
1
3
+
1
9
=
3
4
+
4
9
= 1 −
1
22
+
1
2
1 −
1
32
𝑆3 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
3
+
1
9
+
1
27
=
7
8
+
13
27
= 1 −
1
23
+
1
2
1 −
1
33
𝑆4 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
3
+
1
9
+
1
27
+
1
81
=
15
16
+
40
81
= 1 −
1
24
+
1
2
1 −
1
34
En general
𝑆𝑛 = 1 −
1
2𝑛
+
1
2
1 −
1
3𝑛

10. Definición: (Serie Convergente) Sea 𝑛=1
∞
𝑥𝑛 una serie infinita y sea {𝑆𝑛} la sucesión de
sumas parciales que definen esta serie infinita. Entonces, si lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 existe y es igual a 𝑆 , es
decir,
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝑆
se dice que la serie es convergente y que 𝑺 es la suma de la serie dada.
En el caso que lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 no exista se que la serie es divergente y la serie no tiene suma.
Ejemplo: Determinar la suma de la serie 𝑛=1
∞ 2𝑛+1
𝑛2(𝑛+1)2 en caso de ser convergente.
Solución
Por sumas parciales
2𝑛+1
𝑛2(𝑛+1)2 =
1
𝑛2 −
1
(𝑛+1)2 , entonces:
𝑆1 = 1 −
1
4
= 1 −
1
(1 + 1)2
𝑆2 = 1 −
1
4
+
1
4
−
1
9
= 1 −
1
(2 + 1)2
En general 𝑆𝑛 = 1 −
1
𝑛+1 2
Por lo tanto lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
1 −
1
(𝑛+1)2 = 1
Luego la serie infinita es convergente y su suma es igual a 1 y escribimos 𝑛=1
∞ 2𝑛+1
𝑛2(𝑛+1)2 = 1

11. Ejemplo: Determinar si la serie 𝑛=1
∞ 1
(2𝑛−1)(2𝑛+1)
es convergente, si es convergente halle su suma.
Solución
El termino general de la serie se puede escribir
𝑎𝑛 =
1
2𝑛 − 1 2𝑛 + 1
=
1
2
1
2𝑛 − 1
−
1
2𝑛 + 1
=
1
4𝑛 − 2
−
1
4𝑛 + 2
⟹
𝑎𝑛 =
1
4𝑛 − 2
−
1
4𝑛 + 2
La sucesión de sumas parciales es
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 + … . +𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
𝑆𝑛 =
1
2
−
1
6
+
1
6
−
1
10
+
1
10
−
1
14
+ ⋯ +
1
4𝑛 − 6
−
1
4𝑛 − 2
+
1
4𝑛 − 2
−
1
4𝑛 + 2
=
1
2
−
1
4𝑛 + 2
𝑆𝑛 =
1
2
−
1
4𝑛 + 2
⟹ lim
𝑛⟶+∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛⟶+∞
1
2
−
1
4𝑛 + 2
=
1
2
,
Entonces la serie es convergente y 𝑛=1
+∞ 1
2𝑛−1 2𝑛+1
=
1
2
lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑐𝑛 = 𝐿

12. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
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DE TRUJILLO
Propiedades:
1) La supresión o adición de un número finito de términos en una serie infinita no afecta su
convergencia o divergencia.
2) Si dos series infinitas difieren solamente en sus primeros términos entonces ambas
convergen o divergen.
3) Si una serie infinita es convergente sus términos pueden agruparse de cualquier manera y
la nueva serie converge al mismo limite.
4) Si a una serie se le multiplica por una constante 𝑐 ≠ 0 no se afecta su convergencia o
divergencia.
5) Si 𝑛=1
∞
𝑥𝑛 y 𝑛=1
∞
𝑦𝑛 son series convergentes, entonces 𝑛=1
∞
(𝑥𝑛±𝑦𝑛) también converge.
6) Si 𝑛=1
∞
𝑥𝑛 es convergente y 𝑛=1
∞
𝑦𝑛 es divergente, entonces 𝑛=1
∞
(𝑥𝑛+𝑦𝑛) es diveregente.
7) Si la serie 𝒏=𝟏
∞
𝒙𝒏 converge, entonces 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒙𝒏 = 𝟎

13. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
UNIVERSIDAD NACIONAL
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I. SERIE GEOMÉTRICA
Una serie geométrica es de la forma
𝑛=1
∞
𝑎𝑟𝑛−1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1 + ⋯
donde 𝑎 y 𝑟 son constantes, y 𝑟 es llamada razón de la serie.
La serie geométrica es convergente cuando 𝑟 < 1 y es divergente cuando |𝑟| ≥ 1.
En efecto
Por definición 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2
+ ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1
𝑟𝑆𝑛 = +𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1 + 𝑎𝑟𝑛
restando 𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟𝑛
𝑆𝑛 1 − 𝑟 = 𝑎(1 − 𝑟𝑛)
𝑆𝑛 = 𝑎
1−𝑟𝑛
1−𝑟
, 𝑟 ≠ 1
SERIES ESPECIALES

14. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
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I. SERIE GEOMÉTRICA - Conclusiones
 Si 𝑟 < 1, entonces lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑎
1−𝑟𝑛
1−𝑟
=
𝑎
1−𝑟
existe.
 Si 𝑟 > 1, entonces lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑎
1−𝑟𝑛
1−𝑟
= ∞ no existe.
 Si 𝑟 = 1, la serie geométrica toma la forma
𝑛=1
∞
𝑎(1)𝑛−1
= 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + ⋯ + ⋯
y 𝑆𝑛 = 𝑛𝑎, luego lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛𝑎 = ∞ no existe.
 Si 𝑟 = −1, la serie geométrica toma la forma
𝑛=1
∞
𝑎(−1)𝑛−1= 𝑎 − 𝑎 + 𝑎 − 𝑎 + ⋯ + (−1)𝑛−1𝑎 + ⋯
y 𝑆𝑛 =
0, 𝑛 𝑝𝑎𝑟
𝑎, 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
por lo tanto lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 no existe
SERIES ESPECIALES

15. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
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Ejemplos
1) La serie 𝑛=1
∞ 1
3𝑛−1 = 1 +
1
3
+
1
9
+ ⋯ +
1
3𝑛−1 + ⋯ es una serie geométrica con 𝑎 = 1, 𝑟 =
1
3
< 1.
Entonces la serie converge y su suma es 𝑆 =
1
1−
1
3
=
3
2
.
2) La serie 𝑛=0
∞ 2𝑛+3𝑛
5𝑛 se puede escribir 𝑛=0
∞ 2
5
𝑛
+
3
5
𝑛
= 𝑛=0
∞ 2
5
𝑛
+ 𝑛=0
∞ 3
5
𝑛
de donde
tenemos: 𝑛=0
∞ 2
5
𝑛
es una serie geométrica con 𝑎 = 1 y 𝑟 =
2
5
< 1, la cual converge y suma
es 𝑆 =
1
1−
2
5
=
5
3
La serie 𝑛=0
∞ 3
5
𝑛
es también una serie geométrica con 𝑎 = 1 y 𝑟 =
3
5
< 1, la cual converge y
suma es 𝑆 =
1
1−
3
5
=
5
2
Por lo tanto la serie 𝑛=0
∞ 2
5
𝑛
+
3
5
𝑛
es convergente y su suma es 𝐒 =
5
3
+
5
2
=
25
6
SERIES ESPECIALES

16. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
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II. SERIE ARMÓNICA
La serie armónica es de la forma 𝑛=1
∞ 1
𝑛
= 1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
𝑛
+ ⋯ .
La serie armónica es divergente.
Demostración
Si 𝑛 = 2𝑘, entonces
𝑆𝑛 = 1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
2𝑘 = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
1
2𝑘−1 + 1
+ ⋯ +
1
2𝑘 ≥
≥ 1 +
1
2
+ 2
1
4
+ 4
1
8
+ ⋯ + 2𝑘−1 1
2𝑘 = 1 +
1
2
+
1
2
+ ⋯ +
1
2
= 1 +
𝑘
2
Puesto que lim
𝑘→∞
(1 +
𝑘
2
) = ∞ y 𝑆𝑛 ≥ 1 +
𝑘
2
entonces se tiene que lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = ∞. Por lo tanto la
serie armónica es divergente.
SERIES ESPECIALES
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

17. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
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III. SERIE p o HIPERARMÓNICA
La serie p tiene la forma 𝑛=1
∞ 1
𝑛𝑝 =
1
1𝑝 +
1
2𝑝 +
1
3𝑝 + ⋯ +
1
𝑛𝑝 + ⋯
Siendo 𝑝 una constante.
Si 𝑝 = 1, se obtiene la serie armónica.
Esta serie converge para 𝑝 > 1 y diverge para 0 ≤ 𝑝 ≤ 1
SERIES ESPECIALES
Ejemplos
1. 𝑛=1
∞ 1
𝑛2 , es una serie 𝑝 con 𝑝 = 2 > 1 , luego es convergente.
2. 𝑛=1
∞ 𝑛 𝑛−1 !
𝑛!
= 𝑛=1
∞ 𝑛 𝑛−1 !
𝑛 𝑛−1 !
= 𝑛=1
∞ 1
𝑛1/2 es una serie hiperarmónica con 𝑝 =
1
2
< 1, por lo tanto
la serie es divergente

18. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
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Teorema 1
Si la serie 𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es convergente, entonces lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA
NOTA:
En general, no es cierto el inverso del teorema 1. Por ejemplo la serie 𝑛=1
∞ 1
𝑛
, no es
convergente, sabiendo que lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0.

19. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
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Teorema 2
Si no existe lim
𝑛→∞
𝑎𝑛, o lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0, la serie 𝑛=1
∞
𝑎𝑛 diverge
CRITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA
Ejemplo: Demostrar que la serie 𝑛=1
∞ 𝑛
3𝑛+5
, es divergente.
Solución
Como lim
𝑛→∞
𝑛
3𝑛+5
=
1
3
≠ 0, entonces por teorema 2, la serie 𝑛=1
∞ 𝑛
3𝑛+5
es divergente.
Ejemplo: Demostrar que la serie 𝑛=1
∞ 𝑛2+4
𝑛2+1
, es convergente.
Solución
Como lim
𝑛→∞
𝑛2+4
𝑛2+1
= 1, por teorema 2, podemos decir la serie 𝑛=1
∞ 𝑛2+4
𝑛2+1
, es divergente

20. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
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Teorema 3.(Criterio de comparación)
Sean 𝑛=1
∞
𝑎𝑛 y 𝑛=1
∞
𝑏𝑛 dos series de términos positivos y supongamos que 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, ∀𝑛
1) Si 𝑛=1
∞
𝑏𝑛 es convergente y 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, entonces 𝑛=1
∞
𝑎𝑛 también es convergente.
2) Si 𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es divergente, entonces 𝑛=1
∞
𝑏𝑛 también es divergente
CRITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA

21. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
UNIVERSIDAD NACIONAL
DE TRUJILLO
Ejemplo: Determinar si la serie 𝑛=1
∞ 1
𝑛!
es convergente o divergente.
Solución
Para 𝑛 = 1,
1
1!
= 1 ≤ 1,
𝑛 = 2,
1
2!
=
1
2
≤
1
2
𝑛 = 3,
1
3!
=
1
3×2
≤
1
22
𝑛 = 4,
1
4!
=
1
4×3×2
≤
1
23
En general
1
𝑛!
≤
1
2𝑛−1
Según nuestra notación 𝑎𝑛 =
1
𝑛!
y 𝑏𝑛 =
1
2𝑛−1 , además 𝑛=1
∞ 1
2𝑛−1 es una serie infinita
convergente, serie geométrica con 𝑟 = 1/2 . Luego por la parte 1) del teorema la serie 𝑛=1
∞ 1
𝑛!
es convergente.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA

22. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO
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Ejemplo: Determinar si la serie 𝑛=2
∞ 1
ln(𝑛)
es convergente o divergente.
Solución
Para todo 𝑛 ≥ 2, se tiene ln(𝑛) ≤ 𝑛, de donde
1
𝑛
≤
1
ln(𝑛)
𝑎𝑛 =
1
𝑛
≤
1
ln 𝑛
= 𝑏𝑛
y como 𝑛=2
∞ 1
n
es divergente (serie armónica) , por lo tanto por la parte 2 del teorema del
teorema de comparación, la serie 𝑛=2
∞ 1
ln(𝑛)
es divergente.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA

23. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMATICO