Concepto básico de serie de números reales

1. SERIES DE NÚMEROS REALES

2. OBJETIVO GENERAL
Determinar si una serie de números reales es convergente o divergente.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1 Entender la definición de una serie infinita convergente
2 Usar las propiedades de las series infinitas geométricas.
3 Usar el criterio del término n−ésimo para la divergencia de una serie infinita

3. CONTENIDO
1 SERIES
2 CRITERIO DEL n−ÉSIMO TÉRMINO PARA LA DIVERGENCIA
3 SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA

4. SERIES
SERIE INFINITA
Si trata de sumar los términos de una sucesión infinita
{an} = {a1,a2,a3,...,an,an+1}
se obtiene una expresión de la forma
a1 +a2 +a3 +···+an +an+1 +···
la cual se podrá denotar ası́
∞
∑
n=1
an = a1 +a2 +a3 +···+an +an+1 +··· conocida como Serie infinita
Es decir, una serie infinita es la suma de todos los términos de una sucesión {an}.

5. SERIES
Preguntas Interesantes
1 ¿Tiene sentido hablar de una suma infinita?
2 ¿Es posible calcular el valor total de dicha suma?
Estas preguntas se contestarán a medida que se estudien las series infinitas.

6. SERIES
NOTA: Es importante indicar que al decir que una serie es “di-
vergente” significa que su suma es incalculable; de lo contrario, es
“convergente”.

7. CRITERIO DEL n−ÉSIMO TÉRMINO PARA LA DIVERGENCIA
Criterio del n−ésimo término para la divergencia
TEOREMA
Si
lı́m
n→∞
(an) ̸= 0 entonces
∞
∑
n=1
an diverge

8. CRITERIO DEL n−ÉSIMO TÉRMINO PARA LA DIVERGENCIA
EJEMPLOS SOBRE SERIES DIVERGENTES
1
∞
∑
n=1
2n−3
5n+1
es divergente porque
lı́m
n→∞
2n−3
5n+1
=
2
5
̸= 0
2
∞
∑
n=1
en
n2
es divergente porque
lı́m
n→∞
en
n2
= ∞ ̸= 0

9. SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA
Sumas Parciales
DEFINICIÓN
Dada una serie
∞
∑
n=1
an = a1 +a2 +a3 +···+an +···
denote con Sn la n-ésima suma parcial.
En otras palabras,
Sn =
n
∑
i=1
ai = a1 +a2 +a3 +···+an

10. SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA
Con base en la definición de suma parcial, se puede construir la sucesión de sumas parciales
{S1 +S2 +S3 +S4 +···+Sn +Sn+1 +···}
de tal forma que
S1 = a1
S2 = a1 +a2
S3 = a1 +a2 +a3
S4 = a1 +a2 +a3 +a4
.
.
. =
.
.
.
Sn = a1 +a2 +a3 +a4 +···+an

11. SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA
Sucesión de Sumas Parciales
EJEMPLO
Determine la sucesión de sumas parciales de la serie
∞
∑
n=1
1
2
n

12. SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA
Sucesión de Sumas Parciales
SOLUCIÓN
Dado que
S1 =
1
2
S2 =
1
2
+
1
4
=
3
4
S3 =
1
2
+
1
4
+
1
8
=
7
8
S4 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
=
15
16

13. SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA
Sucesión de Sumas Parciales de
∞
∑
n=1
1
2
n
Es
{S1 , S2, S3, S4, ..., Sn, ...}
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1
2
,
3
4
,
7
8
,
15
16
, ...,
2n−1
2n
, ...}

14. SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA
Sucesión de Sumas Parciales
EJEMPLO
Determine la sucesión de sumas parciales de la serie
∞
∑
n=1
1
n2 +7n+12

15. SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA
NOTA:
∞
∑
n=1
1
n2 +7n+12
=
∞
∑
n=1
1
n+3
−
1
n+4

16. SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA
Sucesión de Sumas Parciales
SOLUCIÓN
Dado que
S1 =
1
4
−
1
5
S2 =
1
4
−
1
5
+
1
5
−
1
6
S3 =
1
4
−
1
6
+
1
6
−
1
7
S4 =
1
4
−
1
7
+
1
7
−
1
8
−→
S1 =
1
4
−
1
5
S2 =
1
4
−
1
6
S3 =
1
4
−
1
7
S4 =
1
4
−
1
8

17. SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA
Sucesión de Sumas Parciales de
∞
∑
n=1
1
n2 +7n+12
=
∞
∑
n=1
1
n+3
−
1
n+4
Es
{S1 , S2, S3, S4, ..., Sn, ...}
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1
4
−
1
5
,
1
4
−
1
6
,
1
4
−
1
7
,
1
4
−
1
8
, ...,
1
4
−
1
n+4
, ...}

18. SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA
DEFINICIÓN
Dada la serie
∞
∑
n=1
an y sea
Sn = a1 +a2 +a3 +a4 +...+an (n−ésima suma parcial)
Si la sucesión de sumas parciales {Sn} converge a L, entonces
∞
∑
n=1
an = L (es decir, la serie es convergente)
En caso contrario, si la sucesión de sumas parciales {Sn} no converge, entonces
∞
∑
n=1
an (es decir, la serie es divergente)

19. SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA
EJEMPLO
1
∞
∑
n=1
1
2
n
= 1 porque la sucesión de sumas parciales asociada es
{Sn} =
2n −1
2n
y
lı́m
n→∞
(Sn) = lı́m
n→∞
2n −1
2n
= 1