Semana 15

2. SERIES
SEMANA 15
Alfonso Cubillos
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. SERIES SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN
TEOREMA
Si f tiene una representaci´on por series de potencias (expansi´on) en a, esto es,
si
f(x) =
∞
n=0
cn(x − a)n
, con |x − a| < R
entonces los coeficientes estan determinados por la f´ormula
cn =
f(n)(a)
n!

4. SERIES SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN
Si sustituimos el valor de cn en la serie de potencias tenemos
f(x) =
∞
n=0
f(n)(a)
n!
(x − a)n
a la anterior expresi´on la llamaremos la serie de Taylor de f alrededor de a.
En particular, si tomamos que a = 0, la serie de Taylor toma la forma
f(x) =
∞
n=0
f(n)(0)
n!
xn
la cual se conoce como serie de Maclaurin

5. SERIES SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN
SERIES DE TAYLOR FRECUENTES
1
1 − x
=
∞
n=0
xn
, |x| < 1
1
1 + x
=
∞
n=0
(−1)n
xn
, |x| < 1
1
1 + x2
=
∞
n=0
(−1)n
x2n
, |x| < 1
ex
=
∞
n=0
xn
n!
, |x| < ∞

6. SERIES SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN
SERIES DE TAYLOR FRECUENTES
sin x =
∞
n=0
(−1)nx2n+1
(2n + 1)!
, |x| < ∞
cos x =
∞
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
, |x| < ∞
ln(1 + x) =
∞
n=1
(−1)n−1xn
n
, −1 < x ≤ 1
tan−1
x =
∞
n=0
(−1)nx2n+1
2n + 1
, |x| ≤ 1

7. SERIES SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN
EJEMPLO
Determinar las series de Maclaurin de las siguientes funciones
1 e−6x =
∞
n=0
(−6x)n
n!
=
∞
n=0
(−1)n6nxn
n!
2 tan−1(3x4) =
∞
n=0
(−1)n(3x4)2n+1
2n + 1
=
∞
n=0
(−1)n32n+1x8n+4
2n + 1
3 Expresar la cos x2
dx como una serie de potencias. Como
cos x2
= 1 −
x4
2!
+
x8
4!
−
x12
6!
+
x16
8!
− · · ·
Entonces
cos x2
dx = C + x −
x5
5 · 2!
+
x9
9 · 4!
−
x13
13 · 6!
+
x17
17 · 8!
− · · ·