Derivadas. teoremas luis florez

Derivadas. Teoremas
Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio
luisflorez.matematica@gmail.com

02/01/14

Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio-luisflorez.matematica@gmail.comcel. 955794944

1

Esquema

02/01/14


2

Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio - luisflorez.matematica@gmail.com
- cel. 955794944

Tasa de variación media en un intervalo
Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b],
contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:
Tm f[a, b] =

f(b) – f(a)
b–a

La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una
función, en un intervalo, por unidad de variable independiente.

02/01/14 Pendiente positiva

Mg. Luis Alberto Florez Del
Carpio-

Pendiente negativa

3

Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo
La evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social en España
entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la gráfica, donde
x representa el tiempo en años, siendo x = 0 el año 1980, y f(x) representa el número
de afiliados expresado en millones.

El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 1980 y 1999
f(19) – f(0)
es:

19

= 0,1241

Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el
número de afiliados aumentó por término medio, en unas 124000
personas por año.

02/01/14


4

Tasa de variación instantánea
La tasa de variación instantánea TVI(x) o t i(x) , en un punto, es el límite de las tasas
de variación media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez más
pequeños:
f ( x +h) − f ( x )

TVI (x) = ti(x) =

02/01/14

lim
h→
0

h


5

Derivada de una función en un punto
Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite.

f(p+h) – f(p)
lim
h
h→o

Si el límite existe y es finito,
la derivada de f(x) en x=p es

f(p+h) – f(p)
f '(p) = lim
h→ h
o

02/01/14


6


Interpretación geométrica de la derivada
Al hacer que h → 0, ocurrirá que
• p + h tiende (se acerca) a p
• Q recorre la curva acercándose a P
• La recta secante a la curva se
convierte en la recta tangente
• La inclinación de la recta secante tiende
a la inclinación de la recta tangente

lim
h →0

f ( p + h) − f ( p )
= f ′( p )
h

Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a
02/01/14 la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p .

7

Ecuación de la recta tangente

Ecuación de la recta que pasa por un
punto A(a, b) y de pendiente m:
y – b = m (x – a)

t
αt
f(a)

Entonces:
• Pendiente de la tangente: mt = f '(a)

αt
a

02/01/14

• Ecuación de la recta tangente:
t ≡ y – f(a) = f '(a) (x – a)

Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944

8

Ecuación de la recta normal

Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:
y – f(p) = m (x – p)

Como la tangente y la normal son
perpendiculares sus pendientes son
inversas y cambiadas de signo.
Entonces:
Pendiente de la tangente: mt = f '(p)
Ecuación de la recta tangente:
y – f(p) = f '(p) (x – a)
Pendiente de la normal:
mn = –1/f '(p)
Ecuación de la normal:
y – f(p) = [–1/f '(p)] (x – a)
02/01/14


9

Derivadas laterales
La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si
f ( x + h) − f ( x )
existe, dado por f '(a –) = lim−
h→ −
0
h
La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe,
dado por f '(a+ ) = lim*
+
h →0

f ( x + h) − f ( x )
h

Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y
por la izquierda y las derivadas laterales coinciden.

f '(a+) = tg α > 0
f '(a–) = tg β < 0
β
α
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a

Por ser f '(a+) ≠ f '(a–), f(x) no es
derivable en el punto a.


10

Teorema

Una función derivable en un punto es continua en dicho punto.
Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto

f (a + h) − f ( a ) =

f ( a + h) − f (a )
×h
h

 f (a + h) − f ( a ) 
lim ( f (a + h) − f (a ) ) = lim 
×h ÷
h →0
h →0
h


f ( a + h) − f ( a )
= lim
×lim h
f ( x) es derivable en x = a
h →0
h →0
h
= f ′(a ) × = 0
0

lim f (a + h) = f (a )
h →0

02/01/14

f ( x) es continua en x = a


11

Relación continuidad y derivabilidad
Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.

y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto

f(a + h) – f(a)
h
= lim h = 1
h
h → 0+
h → 0+

f'(0+) = lim

= tgα

f(a + h) – f(a)
–h
= lim h = –1= tg β
h
h → 0–
h → 0–

f'(0–) = lim

02/01/14

Puesto que las derivadas laterales en 0 son
diferentes la función no es derivable en dicho
punto.


12

Función derivada
Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a
cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista.
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:

f(3 + h) – f(3)
(3 + h)2 – 32
h (h + 6)
f '(3) = lim
= lim
= lim
=6
h
h
h
h→
0

h→
0

h→
0

• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:

f(2 + h) – f(2)
(2 + h)2 – 22
h (h + 4)
f '(2) = lim
= lim
= lim
= 4
h
h
h
h→
0

h→
0

h→
0

Para obtener la derivada en x

f(x + h) – f(x)
(x + h)2 – x2
h (h + 2x)
f '(x) = lim
= lim
= lim
= 2x
h
h
h
h→
0

h→
0

h→
0

Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x
02/01/14


13

Consecuencias de la definición de derivada
•

La función derivada no identifica totalmente a la función, pues funciones que
se diferencian en una constante, tienen la misma función derivada.
Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante ⇒ f’(x) = g’(x)
h(x)= g(x) + k’ siendo k’ una constante ⇒ h’(x) = g’(x)
Geométricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante una
traslación de vector paralelo al eje Y y módulo k ó k’. Por ello las tangentes a las
tres funciones son paralelas.

02/01/14


14

Derivadas de operaciones con funciones
Sean f y g dos funciones derivables en un punto x ∈ R y sea c un número real.
Entonces las funciones c·f, f + g, f·g y f/g (si g(x) ≠ 0) son también derivables en x.

•

Además se tiene:

(cf)'(x) = cf '(x)
(f + g) '(x) = f '(x) + g'(x)
(f – g) '(x) = f '(x) – g'(x)
(fg) '(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)
'

f
f ' ( x)·g ( x) − f ( x)·g ' ( x)
  ( x) =
g
g 2 ( x)
 
02/01/14

Carpio-

15

Demostración de la regla de derivación del cociente

Enunciado: La derivada de un cociente

'
f
f ' ( x)·g ( x) − f ( x)·g ' ( x)
  ( x) =
g
g 2 ( x)
 

f
f
 f ( x + h)   f ( x ) 
  ( x + h) −   ( x )

g
g
 g ( x + h)  −  g ( x ) 
 

f
 
  = lim 
 
=
  ( x) = lim
g
h→ 0
h→ 0
h
h
 
'

f ( x + h) g ( x ) −
f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h)
g ( x ) g ( x + h)
= lim
= lim
h→ 0
h→ 0
h

f ( x)·g ( x) + f ( x)·g ( x) − f ( x) g ( x + h)
g ( x ) g ( x + h)
h

= lim

1
f ( x + h) g ( x) − f ( x)·g ( x)
f ( x)·g ( x) − f ( x) g ( x + h) 

+ lim
 lim
=
h→ 0
g ( x ) g ( x + h)  h → 0
h
h


= lim

=

1
f ( x + h) − f ( x)
g ( x ) − g ( x + h) 

· g ( x) + lim f ( x)
 lim
=
h→ 0
g ( x ) g ( x + h)  h → 0
h
h


h→ 0

h→ 0

f ' ( x)·g ( x) − f ( x)·g ' ( x)
=
g 2 ( x)
02/01/14

Carpio-

16

Derivada de una función compuesta: regla de la cadena

Se define la composición de una función f con otra función g, y se denota
por gºf a la nueva función dada por (gºf) (x) = g(f(x)).
Ejemplo:
La función h(x) = (2x – 1)2 es la composición de dos funciones: f(x) = 2x–1 y g(t) = t2
R
x

f

R

g

2x–1 = t

x

R
t2 = (2x–1)2
(2x–1)2

h(x) = g(f(x)) = g(2x–1) = (2x – 1)2 = (g o f)(x)
Regla de la cadena: si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es
derivable en a, entonces la función gºf es derivable en a y su derivada es:
(gºf)'(a) = g'(f(a)) . f '(a)
Ejemplo:

Como (gºf)(x) = g(f(x)) = (2x – 1)2 ⇒
⇒ (gºf)'(x) = g'(f(x)) . f '(x) = 2(2x – 1) . (2x – 1)' = 2(2x – 1) . 2

02/01/14

Carpio-

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Regla de la cadena: Demostración
Enunciado: La derivada de la composición de funciones (fog)(x)
es: f ‘(g(x)) · g’(x)
[ f ( g ( x))]' = lim f ( g ( x + h)) − f ( g ( x)) =
h→0
h

 f ( g ( x + h)) − f ( g ( x)) g ( x + h) − g ( x) 
=
lim
·

h → 0  g ( x + h) − g ( x)
h


= lim
h→0

=

f ( g ( x + h)) − f ( g ( x))
g ( x + h) − g ( x )
·lim
=
h→0
g ( x + h) − g ( x )
h

lim

g ( x + h )→ g ( x )

f ( g ( x + h)) − f ( g ( x))
g ( x + h) − g ( x )
·lim
=
h→0
g ( x + h) − g ( x )
h

f ' ( g ( x))·g ' ( x)
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Carpio-

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Derivada de la función inversa

• Se denomina función inversa de una función f a una nueva función,
denotada por f–1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f–1(f(x)) = x.
• Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla:
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
Las gráficas de f y f–1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer
cuadrante.
Y

(f(x), x)
•

f –1(x)

• (x, f(x))

f(x)

X

Sea f una función definida en un intervalo abierto D en el que admite función inversa siendo f derivable. Entonces se tiene que, para todo punto
d
el
x el dominio de f-1 en–1 que f-1 es derivable y en el que f '(f (x)) ≠ 0 la deri–1
vada de f viene dada por:

( f −1 )' ( x) =

02/01/14

Carpio-

1
f ' ( f −1 ( x))
19

Tabla de derivadas de las funciones elementales

Función

Derivada

f(x) = c (constante) f '(x) = 0

Función
f(x) = sen x

f(x) = x n

f '(x) = n x n – 1 f(x) = cos x

f(x) = e x

f '(x) = e x

x

x

f(x) = tan x

f(x) = a (a > 0)

f '(x) = a ln a

f(x) = arcsen x

f(x) = ln x

1
f '(x) =
x

f(x) = arccos x

f(x) = logax, (a > 0) f '(x) =
02/01/14

1
x ln a

f(x) = arctan x

Carpio-

Derivada
f '(x) = cos x
f '(x) =– sen x
1
f '(x) =
Cos 2 x
1
f '(x) =
2
1–x
–1
f '(x) =
1–x 2
1
f '(x) =
1+x2
20

Obtención de la derivada de la función logaritmo neperiano

Vamos a calcular la derivada de ln( x )

a partir de la función exponencial

Sean f ( x ) = e x y g ( x ) = ln( x).

1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x.
2. Derivada función recíproca
1
−1
′( x) =
(f )
.
−1
f ′( f ( x))

}

1
g ′( x) = ln x
e
La derivada de ln( x)

es

1
x
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Demostración de la derivada de la función seno

Vamos a calcular la derivada de sen( x)
Usando la definición de derivada:

(sen(x))′= lim
h→ 0

sen(x + h) − sen(x)
=
h


h

 h 
 cos x + ·sen  
2

 2  =
= lim
h→ 
0

h


2


Como
h

lim cos  x + ÷ = cos( x)
h →0
2

h
sen  ÷
 2  =1
lim
h →0
h
2
02/01/14

h

h
2 ×cos  x + ÷×  ÷
sen
2

2
lim
h →0
h

 h 
sen  

h

 2  =
limcos x + ·
h→ 
0

h
2



2



La derivada de sen (x) es
Cos (x)


22

Obtención de la derivada de la función arcoseno

Vamos a calcular la derivada de arcsen( x)

Sean f ( x) = sen( x) y g ( x) = arcsen( x).

1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x.
1
−1
′( x) =
(f )
.
−1
f ′( f ( x))

1
g ′( x) =
cos(arcsen( x))

}

La derivada es:

1

Como:

cos(arcsen x) = 1 − ( sen (arcsen x) ) = 1 − x
2

02/01/14

2

1 − x2


23

Obtención de la derivada de la función arco tangente

Vamos a calcular la derivada de arctg( x)

Sean f ( x) = tg( x) y g ( x) = arctg( x).

1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x.
1
−1
′( x) =
(f )
.
−1
f ′( f ( x))

}

1
g ′( x) =
1 + tg 2 (arctg( x))

La derivada es:
Como:

tg (arctg x ) = x
02/01/14

1
1 + x2


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Diferencial de una función

El diferencial de una función en un punto x = a es el incremento de la
tangente al pasar del punto x = a al punto x = a + h
Tangente a la curva en (a, f(a)):
su pendiente es mt = f '(a) = tg at
f(a + h)

f(a)

•
at f '(a) . dx
•

∆x = dx

Para valores de h = ∆x = dx pequeños
∆y ≈ f '(a) . ∆x
Por tanto: ∆y ≈ dy = f '(a) . dx

h = ∆x
a

∆y = f(a + h) – f(a)

a+h

Y para un x cualquiera:
dy = f '(x) . dx

02/01/14

Carpio-

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Una aproximación geométrica al concepto de diferencial

• Supongamos un cuadrado de lado x, al que
incrementamos el lado en una cierta cantidad h.
Su superficie se incrementará en:
∆f = (x + h)2 – x2 = 2xh + h2

• Si h es muy pequeño, h2 es mucho más
pequeño.
• Entonces:
2xh = 2x dx es el diferencial de la función
f(x) = x2 y se ve que ∆f ≈ 2x dx = f '(x) dx

02/01/14

El error que se comete al aproximar el
incremento por la diferencial es h2.

Carpio-

26

Máximos y mínimos relativos

Una función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe un
intervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)<f(a)) para todo x
perteneciente al intervalo.
• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo relativo
en el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos.

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto
en su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene
máximo absoluto en su dominio.

1

5

• m(3, -1)

• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto
en el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese
mismo intervalo tiene un máximo absoluto en el
punto (1, 3).
• La función y = x2 – 6x + 8 no tiene máximos ni
mínimos en el intervalo (4, 5).

02/01/14

Carpio-

27

Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica)

Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o
mínimo en un punto c ∈ (a, b) y es derivable en él, entonces f '(c) = 0

f '(c) = 0

f '(c) = 0

f '(c) = 0

Si la función es constante
entonces f '(c) = 0

02/01/14

Si A es máximo, la tangente
en x = c es horizontal. Su
pendiente es 0

Carpio-

Si A es mínimo, la tangente
en x = c es horizontal. Su
pendiente es 0

28

Teorema de Rolle. Interpretación geométrica
Si una función y = f(x) cumple que:
• Es continua en el intervalo cerrado [a, b].
• Es derivable en su interior (a, b).
• f(a) = f(b).
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0.
Geométricamente este teorema expresa que una función que cumpla las hipótesis anteriores
va a tener, al menos, un punto (c, f(c)) en el que la tangente es horizontal.

f '(c) = 0

f '(c) = 0
f '(c) = 0
f(a) = f(b)

f(a) = f(b)
a

02/01/14

c

b

f(a) = f(b)
a

c

b

Carpio-

a

c

b

29

Teorema de Rolle: Demostración
Si una función y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es
derivable en su interior (a, b), y f(a) = f(b).
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0.

•
•

Demostración:
f es continua en [a,b] => por Teor. de Weierstrass f tiene máximo
absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b]. ∀ x ∈ [a,b] m ≤ f(x) ≤ M.
∃ x2 ∈ [a,b] ∋ f(x2)=m.
∀ ∃ x1 ∈ [a,b] ∋ f(x1)=M.
•

Si m = M => ∀ x ∈ [a,b] f(x) = M (la función es constante) => f'(x) = 0

•

Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al
interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo m= f(x2) => (a,b) se comporta
como un entorno de x2. Se cumple que ∀ x ∈ (a,b) f(x2) ≤ f(x) por lo que
f presenta un mínimo relativo en x2. (1)

•
•

f es derivable por hipótesis. (2)
De 1) y 2), por la condición necesaria para la existencia de mínimos
relativos f'(x2)=0 como queríamos demostrar

02/01/14

Carpio-

30


Teorema del valor medio o de Lagrange. Interpretación geométrica
Si una función y = f(x) cumple que:
• Es continua [a, b].
• Es derivable (a, b).
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que:
f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c).
Es decir: f’( c) =

f (b) − f ( a )
b −a

• Geométricamente: si una función que cumple las hipótesis anteriores va a a tener al
menos un punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante que pasa por los
puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
• Analíticamente: si una función cumple las hipótesis anteriores, en algún punto c ∈(a,b) la
razón incremental o tasa de variación media (f(b) – f(a)) / (b – a), es igual a la derivada en
dicho punto.
f(b) – f(a)
Pendiente de AB:

•

f(b) – f(a)

•
02/01/14

c

b–a

c'

f '(c) = f '(c') =

b–a

c y c' son los puntos
que verifican el teorema

31

Teorema del valor medio o de Lagrange: Demostración
Si una función y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable (a, b).
Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que
f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c).
•

Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + h·x, h ∈ R.

•

g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.
g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.

•

Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle
=> f(a) + h·a = f(b) + h·b => f(a) - f(b) = h·b – h·a = h·(b - a)

•

h=

•

Por definición de g(x); g’(x) = f ‘(x) +h, g’(c) =f ‘(c) +h =0 luego f ‘(c ) = – h

f (a ) − f (b)
=> por el teorema de Rolle, existe c ∈ (a,b) tal g'(c) = 0
b−a

y por tanto:
02/01/14

f ' (c ) = − h =

f (b) − f (a )
b−a

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Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado
Enunciado: Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en
(a, b), existe un punto c (a, b) tal que:

f (b) − f ( a )
f ' (c )
=
si g(b) ≠ g(a) y g' (c) ≠ 0
g (b) − g ( a )
g ' (c )

Demostración:
Sea h(x) = f(x) + kg(x)
• 1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b].
• 2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b).
• 3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle.
f(a)+kg(a)=f(b)+kg(b),

k(g(a)-g(b))=f(b)-f(a)

k=

f (b) − f (a )
g ( a) − g (b)

De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle ∃ c ∈(a,b) tal que h'(c) = 0.
• h'(x)=f'(x)+kg'(x)
h'(c)=f'(c)+kg'(c)=0
f'(c)/g'(c) = -k

f (b) − f ( a )
f ' (c )
=
g (b) − g ( a )
g ' (c )
02/01/14


33

Consecuencias del teorema del valor medio (I)
Expresión del valor de una función en el entorno de x = a
Si f(x) es continua en [a – h, a + h] y derivable en su interior entonces:
f(a + h) = f(a) + h · f '(a + θh) con θ ∈ (0, 1).

• Si f(x) cumple las hipótesis del teorema de
Lagrange en [a, b]:

•

f(a) = f(b) + (b – a) . f '(c) con c ∈ (a, b).
• Si b = a + h, entonces c = a + θh con θ ∈ (0, 1).

c
a + θh

02/01/14

a+h


34

Consecuencias del teorema del valor medio (II)
Caracterización de las funciones constantes
Si una función f(x) tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es
constante en dicho intervalo.
• f(x) es derivable en (a, b).
• f(x) tiene derivada nula en (a, b).
En consecuencia: f(x) = k en (a, b).

• Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos
de (a, b) en los que es derivable (en c no es
derivable).
• No es constante en (a, b).

02/01/14


35


Consecuencias del teorema del valor medio
(III)
Relación entre funciones con igual derivada
Si dos funciones f(x) y g(x) tienen igual derivada en todos los puntos de un intervalo
abierto, entonces difieren en una constante en ese mismo intervalo.

• En el intervalo (0, 2Π) las fi(x) son derivables y tienen igual derivada.
• Entonces se diferencian en una constante, lo que significa que cada una se obtiene
de la
02/01/14 otra trasladándola paralelamente al eje OY.
36


Regla de L'Hôpital (I)
Indeterminación del tipo

0
0

Supongamos que lim f(x) = lim g(x) = 0 y que g(x) ≠ 0 en un entorno de u.

x→u

x→u

f ( x)
f ' ( x)
También existe (puede ser finito o infinito). lim
x→ a
g ( x)
g ' ( x)
f ' ( x)
f ( x)
lim
lim
= x→a
se verifica que:
x→ a
g ' ( x)
g ( x)

Entonces, si existe lim
x→ a

Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}.

Una aproximación geométrica al teorema:

f(C) CA CA' f '(a)
≈
g(C) = CB CB' = g '(a)
02/01/14

37

Regla de L'Hôpital (II)

Indeterminación del tipo:

∞
∞

∞ y que g(x)≠0 en un entorno de u.

Supongamos que lim f(x) = lim g(x) =

x→u

x→u

f ( x)
f ' ( x)
También existe (puede ser finito o infinito). lim
x→ a
g ( x)
g ' ( x)
f ' ( x)
f ( x)
lim
lim
= x→a
se verifica que:
x→ a
g ' ( x)
g ( x)

Entonces, si existe lim
x→ a

Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}

02/01/14


38

Regla de L'Hôpital (III)
Salvando indeterminaciones del tipo .
Supongamos que hemos de calcular:

0 •∞

lim [f (x).g(x)]
x→ u ↓

Indeterminación del tipo

↓

0 ·∞

Podemos convertir esa expresión en una 0/0 o en una ∞/∞

lim[ f ( x)·g ( x)] = lim
x →u

x →u

f ( x)
= lim
1 x →u
g ( x)
0
es
0

g ( x)
1
f ( x)
∞
es
∞

Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}
02/01/14


39

Regla de L'Hôpital (IV)

Salvando indeterminaciones del tipo 1 ∞, ∞0, 00
Supongamos que hemos de calcular: lim [f(x)g(x)]
x→ u
Y que este límite es indeterminado de cualquiera de los tipos 1

∞

ó ∞ 0 ó 0 0.

A = lim [f(x)g(x)] Tomando neperianos: L A = L(lim [f(x)g(x)]).
x→u
x→u
De donde: L A = lim L [f (x)g(x)], por ser la función logaritmo continua
x→ u
Y por las propiedades de los logaritmos L A =lim [g(x) . L f(x)]
x→u
Este límite es indeterminado 0 .∞ y se puede calcular por L'Hôpital. Sea M su valor
Tendremos: L A = M ⇒ A = eM.
Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}
02/01/14


40

Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I)

ex
ex–x–1
ex–1
1
1.– lim x
= lim x
x
x=
x = lim
2e + xe 2
x(e –1)
e –1 + xe
x→
0
x→
0
x→
0
0
0
L'Hôpital
L'Hôpital
Indet
Indet
0
0
1 x
x
cos
sen
2 2
2
x
2.– lim [sen . ctg x] = lim tg x = lim 1+tg2x = 1
2
x→
0
x→
0
x→
0
2
0
L'Hôpital
Indet
Indet 0.∞
0

r2erx
r2
rerx – r
r
r
3.– lim
– 2x(erx + 1) = lim 4xerx + 4x = lim 4erx + 4xrerx + 4 = 8

4x

x→
0
x→
0
x→0
0 L'Hôpital
r>0
Indet
0
Indet ∞
–∞





02/01/14


41

Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (II)

4.- lim x

1
x-1

x→
1+




1 



1
1/x
 


Lx


x–1) = lim   x–1  = lim

lim
=1
=
L x 
LA
lim
= A⇒= L  (x 
 

x–1 x→+ 1
x→
1+
1
1+
x→
 1+
 x→

Indet 1∞

0
Indet
0

Si LA = 1 ⇒ A = e1 = e

L'Hôpital

  1 x
x
  1 
 1 x
L
LA
lim
=
 = A ⇒ = L   x lim   x  =
5.- lim 
sen  
sen 
 
sen
 x
 
0+
x→
 0+
 x→
x→
0+
0
Indet ∞

– L sen x
= lim
=
x→ 1/x
0+

∞
L'Hôpital
Indet
∞
Si LA = 0 ⇒ A = e0 = 1
02/01/14

2x
x2
ctg x
lim
=
lim
= lim tg x =
1 + tg2x 0
1/x2
x→
0+
x 0+
x→+
0

→

Indet

0
0

L'Hôpital


42

Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo
Y

Y

f(x+h)
f(x)
f(x+h)

f(x)
[
a

h
x

]
x+h b

Función creciente en [a, b]
f(x) < f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0

02/01/14

f ’(x) >0

X

[
a

h
x

x+h

]
b

X

Función decreciente en [a, b]

f(x) > f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0
f ‘ (x) < 0


43

Derivadas y curvatura: concavidad

Y

Y

α1

α2

α2
α1

[
a

x1

x2

]
b

X

[
a x1

x2

]
b

X

tg α1 < tg α2 ⇒ f '(x1) < f '(x2)
Las pendientes de las tangentes aumentan ⇒ f ' es creciente ⇒ su derivada que es f “
debe ser f”(x) > 0 ⇒ función concava

02/01/14


44

Derivadas y curvatura: convexidad

Y

Y
a2

a1

a2

a1

[
a x1

x2

]
b

X

[
a

x1

x2

]
b

X

tg a1 > tg a2 ⇒ f '(x1) > f '(x2)
Las pendientes de las tangentes disminuyen ⇒ f ' es decreciente ⇒ su derivada que es
f " debe ser negativa f” (x) < 0 ⇒ función cónvexa
02/01/14


45

Puntos de inflexión

Son los puntos en los que la función cambia de curvatura
Y

f" < 0

P(a, f(a))
f" > 0
X

f"(a) = 0

02/01/14


46

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