Derivadas

1. C´alculo: Notas sobre diferenciabilidad en una
variable
Antonio Garv´ın
Curso 04/05
1 Derivabilidad en una variable
1.1 La derivada de una funci´on en un punto
Para una funci´on f: R → R tal que todo un intervalo abierto centrado en
a es del dominio (en particular f(a) existe), decimos que la funci´on f es
derivable en a, si existe el siguiente l´ımite
lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
.
A ese l´ımite lo denotamos por f (a), es la derivada de f en a. Exigimos que
sea un n´umero real.
Una definici´on equivalente es la siguiente
f (a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
= lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
sin m´as que tomar como h la diferencia ente x y a, h = x − a. en este caso
x = a + (x − a) = a + h. As´ı x → a si y solo si h → 0.
1.2 Notaci´on
La derivada de f en un punto tambi´en se puede expresar como
f (a) = (
df
dx
)a
Cuando la consideramos como funci´on, se puede expresar como
df
dx
= f
1

2. 1.3 Interpretaci´on geom´etrica
Geometricamente, ¿qu´e es la derivada de f en un punto a?
La diferencia f(x) − f(a) mide el incremento de la funci´on f entre a y
x, mientras que x − a mide el incremento de la variable. El cociente entre
ambos incrementos
f(x) − f(a)
x − a
es precisamente la pendiente de la recta
secante a la gr´afica de la funci´on, entre los puntos (a, f(a)) y (x, f(x)). En
la siguiente gr´afica podemos observar que ocurre cuando tomamos valores
de la variable cada vez m´as proximos al punto a
a
···
x1
······················
f(a) ···
f(x1) ····················
r1
a
···
x2
·············
x1
······················
f(a) ···
f(x2) ··········
f(x1) ····················
r1
r2
El l´ımite de las secantes conforme x tiende a a es la recta tangente a
la gr´afica en el punto (a, f(a)). As´ı pues el l´ımite de las pendientes de las
secantes es la pendiente de la tangente, y por tanto podemos interpretar
f (a) como la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f(a)).
1.4 Rectas tangente y normal
De acuerdo con lo que acabamos de decir es claro que la recta tangente a la
gr´afica de y = f(x) en el punto (a, f(a)) tiene por ecuaci´on
y = f(a) + f (a)(x − a)
y puesto que la normal es la perpendicular a la tangente, su pendiente es
− 1
f (a) , y as´ı la ecuaci´on de la normal es precisamente
y = f(a) +
−1
f (a)
(x − a)
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3. 1.5 La diferencial
Si una funci´on f es derivable en un punto a, podemos definir la diferencial
de f en el punto a, dfa, como aquella aplicaci´on lineal dada por
dfa(h) = f (a)h
Se puede tambi´en definir la diferencial de f en a como la ´unica aplicaci´on
lineal λ: R → R tal que
lim
h→0
f(a + h) − f(a) − λ(h)
h
= 0
Evidentemente si f es derivable en a, tomando λ(h) = f (a)h se verifica lo
anterior ya que
lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
= L ⇐⇒ lim
h→0
f(a + h) − f(a) − Lh
h
= 0
Reciprocamente si existe una tal aplicaci´on lineal λ se puede probar que f
es derivable, y necesariamente ha de ser de la forma λ(h) = f (a)h. Por
tanto f es derivable (existe la derivada) si y solo si f es diferenciable (existe
la diferencial). Fijemonos adem´as que f (a) = dfa(1).
En una variable este concepto no aporta nada nuevo, pero es el punto
de partida para la definici´on de diferenciabilidad cuando se trabaja con m´as
de una variable. Veremos esto m´as adelante cuando hablemos de varias
variables.
Queremos por ´ultimo hacer observar como la diferencial tiene tambi´en
un significado geom´etrico. La diferencial de f en a no es m´as que la recta
tangente de f en a desplazada para que pase por el origen, o si se quiere
una paralela a la recta tangente que pasa por el origen. Esto es as´ı porque
la pendiente de y = dfa(x) es precisamente f (a), y pasa por el origen por
ser lineal. En otros t´erminos m´as precisos podemos decir que y = dfa(x) es
el espacio vectorial (o recta vectorial) tangente a y = f(x) en x = a, y que
y = f(a)+dfa(x−a) (la autentica recta tangente) es el espacio af´ın (o recta
af´ın) tangente a f en x = a que pasa por (a, f(a)). Tambi´en retomaremos
esto ´ultimo cuando hablemos del polinomio de Taylor.
1.6 Ejemplo
Por ejemplo si queremos calcular la diferencial de f(x) = x2 + x, tenemos
f (x) = 2x + 1, de donde f (a) = 2a + 1. As´ı dfa(x) = (2a + 1)x.
Fij´emonos como podemos tambi´en pensar en la diferencial como en una
funci´on de dos variables.
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4. 1.7 Propiedades
(f + g) = f + g
(λf) = λf
(fg) = f g , (fg) = f g + fg
(
f
g
) =
f
g
, (
f
g
) =
f g − fg
g2
1.8 Regla de la cadena
R
f E R
g E R
a E f(a) E g(f(a))
g ◦ f
T
(g ◦ f) (a) = g (f(a))f (a)
1.9 Ejemplo
(ex2
) = ex2
2x = 2xex2
R
f
−→ R
g
−→ R
x → x2 → ex2
y → ey
| ↑
g ◦ f
f(x) = x2
, g(x) = ex
f (x) = 2x, g (x) = ex
(g ◦ f) (x) = g (f(x))f (x) = ef(x)
2x = ex2
2x = 2xex2
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5. 1.10 Ejemplo
Podemos aplicar reiteradamente la regla de la cadena para tres o m´as fun-
ciones. Por ejemplo para tres podemos hacer lo siguiente:
f(α) = β, g(f(α)) = g(β) = γ
h(g(f(α))) = h(g(β)) = h(γ) = δ
R
f E R
g E R
h E R
α β γ δ
F = g ◦ f
T
F (α) = (g ◦ f) (α) = g (f(α))f (α)
(h ◦ g ◦ f) (α) = (h ◦ F) (α) = h (F(α))F (α) =
= h (γ)g (f(α))f (α) = h (γ)g (β)f (α)
Por ejemplo
(e sen (x2)
) = 2x cos(x2
)e sen (x2)
x
(x2)
→ x2 ( sen )
→ sen (x2
)
(ex)
→ e sen (x2)
Por otro lado, si consideramos la funci´on inversa y la relacionamos con
su derivada mediante la regla de la cadena, podemos obtener resultados
interesantes.
Recordemos que
(f ◦ f−1
)(x) = x.
Por la regla de la cadena
[f (f−1
(x))(f−1
) (x) = 1]
nos lleva a lo siguiente
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6. 1.11 Teorema de la inversa
Si f posee inversa f−1 y f (f−1(x)) = 0, entonces
(f−1
) (x) =
1
f (f−1(x)
1.12 Ejemplo
Consideremos f(x) = sen x. Si definimos f: R → [−1, 1], f no posee in-
versa (0, 2π, 4π, · · · van todos al mismo valor, 0, y as´ı f no es inyectiva).
Sin embargo si la definimos en el intervalo [−π/2, π/2] si tiene inversa, la
denominamos arcoseno, arcsen .
f(x) = sen x f−1
(x) = arcsen x
Podemos aplicar el teorema de la inversa para calcular su derivada sabiendo
que la derivada del seno es el coseno,
( arcsen ) (x) = (f−1
) (x) =
1
f (f−1(x)
=
1
cos(f−1(x)
=
=
1
cos( arcsen (x)
=
1
1 − sen 2( arcsen x)
=
1
√
1 − x2
Vamos ahora a recordar los principales resultados te´oricos sobre deriv-
abilidad.
1.13 Proposici´on:
Si una funci´on f es derivable en el entorno de un punto a, y si a es un
extremo de f (es decir, que a es m´aximo o m´ınimo) entonces f (a) = 0.
El reciproco es falso.
1.14 Ejemplo:
f(x) = x3
f (x) = 3x2
3x2
= 0 ⇐⇒ x = 0
f (0) = 0 pero 0 no es un extremo de x3.
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7. 1.15 Teorema (de Rolle):
Sea f: [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f(a) = f(b),
entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
a
······················
c
···············
b
······················f(a) = f(b) ··················································
1.16 Teorema (del valor medio):
Sea f: [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe
c ∈ (a, b) tal que
f(b) − f(a)
b − a
= f (c)
a
···
c
·········
b
······················
f(a) ···
f(b) ····················
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8. 1.17 Teorema (de Cauchy):
Sean f y g en las hip´otesis anteriores. Entonces ∃ c ∈ (a, b) tal que
g (c)
f (c)
=
g(b) − g(a)
f(b) − f(a)
Fij´emonos en que cada uno de estos teoremas son generalizaciones del
anterior.
1.18 Monoton´ıa
Sea I un intervalo abierto y sea f: I → R derivable,
a) f es creciente en I ⇐⇒ f (x) ≥ 0 ∀x ∈ I.
b) f es decreciente en I ⇐⇒ f (x) ≤ 0 ∀x ∈ I.
c) f es constante en I ⇐⇒ f (x) = 0 ∀x ∈ I.
1.19 Regla de L’Hˆopital
Indeterminaciones del tipo (0
0 )
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0
Si existe lim
x→a
f (x)
g (x)
, entonces existe lim
x→a
f(x)
g(x)
y coinciden,
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f (x)
g (x)
El resultado sigue siendo cierto para indeterminaciones del tipo ±∞
±∞. Las
del tipo 0 · ∞ se pueden transformar en los tipos anteriores.
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