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Cuaderno de Actividades: Física IdR                                π        π   ≡ cos { 2β − α } ≡ 0 → 2β − α ≡ ≡ 60º ≡dβ ...
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Cap 1 2- cinematica de una particula 1-31-2011 i

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Cap 1 2- cinematica de una particula 1-31-2011 i

  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I 1) Cinemática de una PartículaLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 1
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I1) Cinemática de una Partícula Fenómeno → Movimiento … Teoría de la relatividad (TR)…A Einstein En la descripción del Fenómeno Movimiento debemos de considerar lo siguiente, a) El observador, referencia, O → Descriptor del movimiento τ “La trayectoria es función O del estado del observador”, τ ≡ τ(O) Por ejemplo, si se deja caer una pelota, la caída es descrita por O y O’, tal como se muestra a continuación, 1° 2° O (reposo) O’ (v=cte) τ τ’ Por lo tanto, la trayectoria es una función de estado del observador.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 2
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física I b) El móvil, representado por el punto P usando el Modelo de Partícula, el cual se usa cuando del movimiento del cuerpo solo nos interesa la componente trasnacional. Modelo de Partícula: Móvil P ≡Definición de Cinemática: La cinemática describe el fenómeno movimientousando las cantidades cinemáticas (cc):rr : vector posiciónrv : vector velocidadra : vector aceleración1,1) Cantidades Cinemáticas, cc ri) Vector Posición, rDescribe la posición del móvil en el tiempo. Es el problema fundamental de lacinemática, r r r ≡r ( t ) → ( O) τ r r Vector desplazamiento, ∆r : Describe como cambia la r , ∆r ≡ rf − ri ≡ r ( t f ) − r ( ti ) r r r r r r r ≡ r ( t ) − r ( 0) ti → tf : ∆t = tf - tiLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 3
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física I r v ( ti ) tan r vm r r r ( ti ) ∆r v ( tf ) r r ( tf ) r τ sec rii) Vector velocidad, v Describe los cambios de la posición respecto del t, r r dr v≡ dt r r  ∆r  v ≡ lim   ∆t →0 ∆t   } r vmedia r Definición de Vector velocidad media, vm r r ∆r  1  r vm ≡ ≡   ∆r ∆t  ∆t Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 4
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física I r Definición de rapidez, v r v : rapidez¿? Describa que es el tiempo según la lectura de “Breve historia del tiempo” de Stephen Hawking.¿? Describa, de igual forma, que es el tiempo según la lectura de “Brevísima historia del tiempo” también de Stephen Hawking.¿? Cual es el último trabajo de divulgación de este brillante científico y propalador de las ciencias. riii) Vector Aceleración, a Describe los cambios de la velocidad respecto del t.  r r r r  ∆v  r dv d 2 r ← a ≡ lim   r r a≡ ≡  {  → a // ∆v ∆t →0 ∆t dt dt 2  am  r r da¿? Será importante definir . Existirá alguna rama de la tecnología dt donde interese conocer esta cantidad.1,2) Tipos de Movimientosi) Movimiento Rectilíneo, MR Definición: τ → Λ (ℜ)Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 5
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física I j) Movimiento Rectilíneo Uniforme, MRU k) Condición r ˆ ˆ v ≡ vx i ≡ v i ≡ cte v = cte kk) Ecuaciones l) v = cte r r II) r ≡r ( t) r t f =t r dr r r r r dt ∫ v≡ : → r ≡r ( t ) ≡ r ( ti ) +v (t −ti ) ti r r r v ( t ) → r ≡ ∫ v dt r r ( t) ≡ x( t) i r r r ˆ r ( t ) ≡ r ( 0 ) + vt ←ti = 0 ∧t f = t x ( t ) ≡ x ( 0 ) + vtLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 6
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física I v 0 x x(t)kkk) Graficasl) v-t v A(t)=x(t) AA 0 tll) x-t x A 0 t No da información cinemáticajj) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)k) Condiciones r τ → ℜ ∧ a ≡ ax i ≡ a iˆ ≡ cte ˆ a = ctekk) EcuacionesLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 7
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física Il) a = cte r rII) v ≡v ( t) r tf r dv r r r r dt ∫ a≡ : → v ≡v ( t ) ≡ v ( ti ) + a (t −ti ) ti r r r v ( t ) → v ≡ ∫ a dt r v ( t) ≡ v( t) i r r r ˆ v ( t ) ≡ v ( 0 ) + a t ←ti = 0 ∧t f = t v ( t ) ≡ v ( 0 ) + at r rIlI) r ≡r ( t) r tf r dr v≡ :∫ → dt ti r r r r 1r r ≡ r ( t ) ≡ r ( ti ) + v ( ti ) (t − ti ) + a (t f − ti ) 2 2 r r r v ( t ) → r ≡ ∫ v dt r r r r 1r r ≡ r ( t ) ≡ r ( 0 ) + v ( 0 ) t + a t 2 ←ti = 0 ∧ t f = t 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 8
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física I r 1 2 r ( t) ≡ x( t) i → ˆ x ( t ) ≡ x ( 0 ) + vt + at 2 a(t) v(t) 0 x x(t)kkk) Gráficasl) a-t a A(t)=v(t) AA 0 tll) v-t v A(t)=x(t) A 0 tlll) x-t x t A: no proporciona información cinemática.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 9
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física Ijjj) Movimientos Generalesa ≡ a(t) → v ≡ v(t) → x ≡ x(t) dvde a ≡ dt →v≡ ∫ adt → a ≡ a(t) : “fácil” → a ≡ a(v) : Regla de la cadena, definición de diferencial exacta o cambio de variable → a ≡ a(x) : Idem dxde v ≡ → x = ∫ vdt dt →x = x(t)¿? Encuentre casos reales donde la aceleración dependa de la velocidad o posición.S1P14) La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X esta dada por x = t3 - 12t2 + 36t + 30 con x en metros y t en segundos. Determine:a) La velocidad media entre 2 s ≤ t ≤ 6 s.b) La aceleración media entre 0 s ≤ t ≤ 4 s.c) Los intervalos de tiempo de movimiento desacelerado.d) Los intervalos de tiempo de movimiento acelerado.Solución: P 0 X(t) xx(t) = t3 -12t2 +36t + 30a) vm :2→ 6Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 10
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física I ∆x x ( 6 ) − x ( 2 ) vm ≡ = =? ∆t 6−2b) am : 0→ 4 ∆v v ( 4 ) − v ( 0 ) am ≡ = =? ∆t 4−0 3t 2 − 24t + 36 dx v≡ ≡ 3 ( t 2 − 8t + 12 ) dt 3 ( t − 4 ) − 12 2c) ∧ d)Movimientos acelerados: r r rDEF: v ↑← v ↑↑ a v+ a+ 0 x −v −aMovimientos desacelerados: r r rDEF: v ↓ ← v ↑↓ a v- a+ x v+ a-Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 11
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física I a→ v→ a v + - - + t 0 2 4 6 dva ≡ 6t − 24 ≡ a ( t ) ≡ dtv ≡ v(t) → P v 4 t 2 6 12 0 → 2c) ∆t  4 → 6 2 → 4d) ∆t  6 →ii) Movimientos Planares o BidimensionalesLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 12
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física I Las trayectorias están contenidas en un plano. τ → ℜ2 (Π)j) Movimiento Parabólico, MP r Caso a ≡ cte .Los movimientos parabólicos con raceleración constante son determinadoscuando la v(0) no es paralela a la a . El plano del movimiento es determinado r rpor los vectores velocidad inicial v (0) y aceleración a . El eje de la parábola es rparalelo a la a ≡ cte . Estos movimientos también presentan simetría derapideces y tiempos a un mismo nivel. r r y a≡g Z r A A’ v ( 0) r v ( 0) ta td P 0 x 0 Y X ry→ a : simplifica la descripción:x : MRU → ax ≡ 0y : MRUV → ay = a ≡ g (por lo general)Esto es debido al “carácter” vectorial de la Física → Cinemática.Mov Parab ≡ MRUx “+” MRUVy MRUVx “+” MRUVy (caso general, x e y en cualquier dirección)Simetrías ξ r a ≡ cte PLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 13
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física I Proporcionalidad de la trayectoria a ambos lados del eje Para todo nivel va ≡ vd ta ≡ tdAplicación importante del MP: Movimiento de proyectilesComo ha de suponerse, este movimiento no toma en cuenta alturas superioresa 20 km, existencia de aire ni rotación de la tierra. El movimiento de proyectilesconstituye un caso interesante de la ciencia donde determinados campos deinvestigación, el desarrollo de proyectiles, por ejemplo, resultan favorecidos pormotivos impropios. El desarrollo de la cohetería efectuado desde finales delsiglo XIX hasta mediados del siglo XX, jugo un papel preponderante en las 2guerras mundiales así como en la conquista del espacio…El movimiento de proyectiles suele describirse usando ciertos parámetros comotiempo de vuelo, tv, alcance o rango, R y altura máxima, H. Si consideramos lasiguiente geometría, r r y a≡g Z r r a≡g r v ( 0) r v ( 0) θ θ 0 x 0 Y XLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 14
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física I i) Tiempo de vuelo, tv 2v(0) sen(θ ) tv ≡ g ii) Alcance o Rango, R v 2 (0) sen(2θ ) R≡ g iii) Altura máxima, H v 2 (0) sen 2 (θ ) H≡ 2g¿? Conceptos de simetría. Como debo entender su manifestación en lanaturaleza. Simetría en la física. Simetría en las matemáticas. r¿? Qué otros tipos de MP que no guarden la condición de a cte sedesarrollan en el universo.¿? Busque 5 ejemplos reales de MP.¿? Como se vinculan el desarrollo de las computadoras y de la cohetería con la carrera espacial.¿? Que opina de la discrepancia acerca de la paternidad de la cohetería: Werner von Braun- Pedro Paulet.¿? 2009: Año internacional de la astronomía.¿? Asteroide 2009 DD45: eventos de colisión-extinción.S1P16) Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles con una rapidez inicial v0 directamente hacía una colina, cuyo ángulo de elevación es α ¿cuál será el R ángulo respecto de la horizontal al que deberá v0 apuntarse el cañón, para obtener el mayor θ α alcance R posible a lo largo de la colina?Solución:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 15
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física Iθ / Rmáx =?τ → x, y → P: y ≡ a + bx + cx2 y P R θ r v (0) α 0 xx: MRUx(t) ≡ x(0) + vx (0) t → x ≡ 0 + v(0) cosθ t …. (1)y: MRUV r g 2y(t) ≡ y(0) + vy (0) t – (1/2)g t2 , g = 10, → y ≡ 0 + v(0) senθ t − t …. (2) 2De (1): xt= …(1’) v ( 0 ) cos θ x 1 x21’ → 2: y ≡ v ( 0 ) senθ − v ( 0 ) cos θ 2 v 2 ( 0 ) cos 2 θLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 16
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física I   g  2 P: y ≡ { tgθ} x −  2 x   2v ( 0 ) cos θ  2 P – P: xp ≡ Rcosα yp ≡ Rsenα→ Rsenα ≡ {tgθ} Rcosα - g R2cos2α 2v2(0)cos2θ 1   gR 2 cos 2 α   Rsenα ≡ (tgθ ) R cos α − 2 R cos α   2v ( 0 ) cos θ  2  gR (θ ) cos αtgα ≡ tgθ − ...( I ) 2v 2 ( 0 ) cos 2 θ d g cos α d  R(θ )  : 0 = sec 2 θ − 2   dθ 2v ( 0 ) dθ  cos 2 θ  }0 dR cos 2 θ + R { 2 senθ cos θ } d  R ( θ )  dθ  =dθ  cos 2 θ  cos 4 θ g cos α  2 Rsenθ 0 = sec 2 θ −  cos3 θ  2v 2 ( 0 )   g cos α tgθ0 = 1− R v2 ( 0) v2 ( 0)R≡ ...( II ) g cos α tgθII → I g cos α v2 ( 0)tgα ≡ tgθ − x 2 v 2 (0) cos 2 θ g cos α tgθLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 17
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física I sec 2 θ 2tg 2θ − sec 2 θtgα ≡ tgθ − ≡ 2tgθ 2tgθ tg 2θ − 1 1tgα = ≡− = −ctg 2θ 2tgθ  2tgθ   1 − tg 2θ   −tgα = ctg 2θ π  π αctg  + α  = ctg 2θ ⇒ θ = + 2  4 2¿? Evalúe para v(0)= 50, θ ≡ 45º y α ≡ 30º¿? Resuelva el problema asumiendo un sistema con eje x sobre la colina.¿? Es más simple.jj) Movimiento Circular, MCLa trayectoria será de una circunferencia. Y t n R t s θ x t=0 0La descripción del MC se realiza frecuentemente usando las variables s o θ,esto es, usando variables lineales o angulares.k) Cantidades Cinemáticas del MCLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 18
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física Il) Posiciónm) Lineal: s= s(t)mm) Angular: θ =θ(t)mmm) Relación: s= Rθll) Velocidadm) Velocidad Lineal, v=vt La llamada velocidad tangencial es la velocidad definida en las cantidades cinemáticas iniciales, se relaciona con s mediante la rapidez,r r r dsv = vt → v = dtmm) Velocidad Angular, ωDescribe los cambios de θ respecto del tiempo. Se define de la siguiente forma, dθ r r r ω= → ω = r × vt u[ω]= rad/s dtmmm) Relación entre | v| y ωrvt = ω Rlll) Aceleraciónm) Aceleración, aEl vector aceleración suele descomponerse en dos direcciones adecuadas,tales como la radial y la tangencial, resultando,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 19
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física I r r r  vt2  d 2s  a = ar + at =   eˆn +  2  etˆ  R  dt A la componente radial de la aceleración se le denomina aceleracióncentrípeta, acp.mm) Aceleración Angular, αDescribe los cambios de la ω respecto del tiempo, r r dω α= u[α]= rad/s2 dtmmm) Relación entre at y αat = α Rkk) Tipos de movimientos CircularesAl igual que en el caso de los MR podrían ser MCU, MCUV o generales.¿? De 5 ejemplos concretos de movimientos circulares.¿? Los planetas hacen MC.jjj) Movimientos Planares Generales: Coordenadas Polares (r,θ)Este sistema se usa para describir movimientos planares (→ MC). En particulares usado para los movimientos planetarios.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 20
  21. 21. Cuaderno de Actividades: Física I y t y ˆ eθ ˆ er r j θ i x x ˆ r, er ˆ θ, eθ { r ,θ , er , eθ } ˆ ˆ { ↔ x, y, i , ˆ ¿? ˆ j }x = r cos θ  r ≡ r ( t ) y = r s enθ θ ≡ θ ( t ) ( )er = er i , ˆ  e ≡ cos θ i + senθ ˆˆ ˆ ˆ j  ˆ r ˆ j ˆ ˆ ˆ j( )eθ = eθ i , ˆ  eθ ≡ − s enθ i + cosθ ˆ  ˆ ˆ jk) Cantidades cinemáticas en (r,θ) rl) r r r = r( t) r ( r , θ) = r er ˆ er = er ( t ) ˆ ˆ rll) vLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 21
  22. 22. Cuaderno de Actividades: Física I r ˆ r dr d (rer ) v≡ ≡ ˆ& ≡ rer + r (er ) &ˆ dt dt d d dt ˆ& er ≡ (er ) ≡ ˆ dt { cos θ i + senθ ˆ ˆ j } & { ≡ θ − senθ i + cos θ ˆ ˆ j } &ˆ er . = θ eθ ˆ r v ( r , θ) ≡r er +rθ eθ &ˆ &ˆ riii) a rr dv da≡ ≡ dt dt &ˆ &ˆ rer + rθ eθ { } ≡ &&ˆr + r (er & + (rθ & eθ + rθ (eθ & re & ˆ ) {&) ˆ & ˆ ) { { re & & ˆ & & ˆ &&ˆ & ˆ ≡ &&ˆr + rθ eθ + rθ eθ + rθ eθ − rθ 2 er r { } { a ( r , θ) ≡ && −rθ2 er + rθ +2rθ eθ r & ˆ && && ˆ }¿? Aplicación de las coordenadas polares al movimiento planetario.¿? En particular el movimiento de la Luna es problema CAOS. Leer “El reloj de Newton”.kk) Movimiento Circular en (r,θ)r ≡ R ≡ cte! r ri) r ≡ rer → r ≡ R ≡ cte rii) v ( r , θ ) ≡ rθ eθ → vt ≡ ω R,θ& = w &ˆLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 22
  23. 23. Cuaderno de Actividades: Física I riii) a ( r , θ ) ≡ −rθ er + rθ eθ &2 ˆ &&ˆ { } && ˆ { { { { & { ≡ Rθ eθ + Rθ 2 { −er } ˆ } ˆ ˆ ≡ atT + an N { { r r r at an ≡ acpS1P17) Una partícula se mueve en un plano sobre una trayectoria dada por r = 10 µ r y θ = 2π t , en donde r está en metros, θ en radianes y t ˆ en segundos, a) Describa el movimiento, b) Halle el vector velocidad V = dr / dt por derivación directa de r , c) Como la distancia sobre la trayectoria es s = rθ, halle la celeridad hallando ds/dt. ¿Tiene el mismo valor que el módulo de V hallado en la parte (b)?, d) Halle el vector aceleración a en función de los vectores unitarios µ r y µθ . ˆ ˆSolución:rr ≡ 10 µr , µ r = er ˆ ˆ ˆθ = 2πta) r ≡ 10 → R ≡ 10 → MC r r dr r db) v = → v = { 10er } = 10(er ) = 10θ eθ ˆ ˆ& &ˆ dt dt r r v ≡ vt ≡ 20π eθ ˆc) MC: s, variable lineal! s → vt → at θ, variable angular θ, → ω → αMC ≡ MC (variables lineales, v angulares)s≡θRvt ≡ ωRat ≡ αRLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 23
  24. 24. Cuaderno de Actividades: Física Ids & ≡ s ≡ Rθ ≡ 10 x 2π ≡ 20π &dt r rd) a ≡ a ( r ,θ ) … r &&{ & ˆ } && { a ( r , θ) ≡ r −rθ2 er + rθ +2rθ eθ && ˆ } , µ r = er y µθ = eθ ˆ ˆ ˆ ˆS1P11) Un punto M tiene durante su movimiento dos y ˆ eθ M ˆ er velocidades constantes en modulo. La primera permanece siempre perpendicular al eje X y la segunda perpendicular al radio vector. Halle la V2 r V1 ecuación de la trayectoria si parte del punto (r0, θ0) y calcule la aceleración de M. θ 0 xSolución: y ˆ eθ ˆ er M V1r θ v1θ V2 V1 θ xa) Ec τ / t ≡ 0 : (r0, θ0)?Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 24
  25. 25. Cuaderno de Actividades: Física Ib) aM ≡ ?--------------------------------a) Descomponiendo las velocidades en el sistema polar, tenemosr rvM ≡ v ( r , θ ) ≡ −v1senθ er − { v1 cos θ + v2 } eθ ˆ ˆAhora, comparando componentes,rv ( r , θ ) ≡ rer + rθ eθ &ˆ &ˆr : r ≡ −v1senθ & … (I) &θ : rθ ≡ −v1 cos θ − v2 …(II) dr dr dθ dr &En I aplicando regla de la cadena: r ≡ & ≡ ≡ dt dθ dt dθ ( ) θ &Despejando θ de II y reemplazando, dr  −v1 cos θ − v2 r≡&   ≡ −v1senθ dθ  r Separando variables para poder integrar,1 dr d v senθ ≡ { ln r} ≡ 1r dθ dθ v1 cos θ + v2 d   v1senθ ∫ : ∫  dθ { ln r} dθ ≡ ∫  v cos θ + v    1 dθ 2ln(r ) = − ln { v1 cos θ + v2 } + cAplicando ci para determinar c:ln(r0 ) + ln { v1 cos θ 0 + v2 } = cc = ln  r0 { v1 cos θ 0 + v2 }   Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 25
  26. 26. Cuaderno de Actividades: Física I  v cos θ 0 + v2  r ≡ r0  1  → ( r ,θ ) → τ  v1 cos θ + v2 b) Para la a de M, r { } { a ( r , θ) ≡ r −rθ2 er + rθ +2rθ eθ && & ˆ && && ˆ } c %r ≡ ? → r (θ ) ≡& , c ≡ ec % v1 cos θ + v2 & &r ≡ f (θ )θ → θ ≡ ?&De II,  v cos θ 0 + v2  & &rθ ≡ r0  1 θ ≡ − { v1 cos θ + v2 }  v1 cos θ + v2  &θ ≡ g (θ ) → r ≡ f (θ ) g (θ ) ≡ r (θ ) & & && &&r ≡ &&(θ ), θ ≡ θ (θ )&& rr ra ≡ a (θ )iii) Movimientos Espaciales: Caso GeneralLos casos generales de movimiento podrían considerarse en el espacio.Por muy complicado que parezca siempre es posible, usando el Principio deSuperposición, expresarlo en función de movimientos mas sencillos, de ello yahemos revisado algunos casos, por ejemplo,MP → {MRU}x + {MRUV}yM Helicoidal → {MRU}z + {MC}xyM Cicloidal → {MRU}xy + {MC}xy¿? Podría indicar 3 casos similares. Cree que es un tema de simetría.La descripción del movimiento debe efectuarse usando un sistema decoordenadas que comparta la simetría del movimiento.→ x, y, z Rectangulares→ r, θ Polares→ ρ, φ, z CilíndricasLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 26
  27. 27. Cuaderno de Actividades: Física I→ r, θ, φ Esféricas→ s Coordenada de sobre la curva, vectores tangencial, normal y binormal.De no ser así, el desarrollo también ya se ha descrito,r r r r r ra ≡ a ( t ) → v ≡ ∫ adt → r = ∫ vdtr r ra ≡ a( v)r r r técnicas de ∫a ≡ a( r) Regla de la cadena Diferencial exacta Cambio de variableSistema de coordenadas sobre la curvaEs el sistema general. Este sistema que “viaja” con el móvil, está definido por la ˆllamada coordenada sobre la curva s, y los vectores, T , tangente unitario, N ,ˆ ˆnormal principal, y B , binormal, los cuales son mutuamente perpendiculares. r ri) r ≡ r ( t ) r ˆ ˆ ˆ rii) v ≡ vT , T : u en la dirección de v riii) a ≡ ? rr dv da≡ ≡ dt dt ˆ &ˆ { } vT ≡ vT + vT & ˆ & r ˆT ≡? ˆ ˆ & dT dT ds ˆ T≡ ≡ dt ds { dt vˆT: tangente unitario ˆT =1 2 ˆT =1Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 27
  28. 28. Cuaderno de Actividades: Física I ˆ ˆT .T = 1← derivando respecto a s ˆTˆ ⋅ dT = 0 ds P O R=ρ Tˆ Tˆ 1 k≡ : curvatura ρ     ˆ ra ≡ vT & ˆ + v v  dT     { ds   kN   ˆ  2 r a ≡ vT & ˆ+v Nˆ ; ρ ≡ R: radio de curvatura R¿? Que información da la binormal.¿? Podría construir ecuaciones para el radio de curvatura.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 28
  29. 29. Cuaderno de Actividades: Física IS1P21) Un muchacho en A arroja una pelota B directamente a una ardilla parada sobre una rama en B. Si la rapidez h inicial de la pelota es de 16 m/s y la ardilla, en vez de asustarse, se deja A 5.5 m caer del reposo en el instante en que se lanzo la pelota, demuestre que la 1.5 m ardilla puede atrapar la pelota y determine la longitud h que la ardilla 10 m cae antes de hacer la captura.Solución: B h g H2 - H1 v(0) C y A θ H2 x H1 A’ Dt ≡ 0: Pelota en A y Ardilla en Brv ( 0) “directamente” hacia B: D H 2 − H1 cosθ ≡tgθ ≡ → { } 1/ 2 D 2 + [ H 2 − H1 ] 2 DLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 29
  30. 30. Cuaderno de Actividades: Física ISea t: Pelota en C y ardilla en CUsando xy en A:Para la pelota, x p ( t ) ≡ 0 + v px ( 0 ) t ≡ { v ( 0 ) cosθ } t ≡ D D→t ≡ v ( 0 ) cos θ 2 g  g {y p ( t ) ≡ H1 + v py ( 0 ) t − t 2 ≡ H1 + v ( 0 ) senθ × 2 }D −   D   v ( 0 ) cosθ 2  v ( 0 ) cosθ    gD 2 gD 2≡ H1 + Dtgθ − ≡ H 1 + ( H 2 − H1 ) − 2v 2 ( 0 ) cos 2 θ  D  2   2v 2 ( 0 ) ×  1/ 2  { }   yp ( t ) ≡ H2 − { g D 2 + [ H 2 − H1 ] 2 } 2v 2 ( 0 ) 1Para la Ardilla, y A ( t ) ≡ H 2 + { 0} t − gt 2 2 2     2   1   D   1  D  ≡ H2 − g ×   ≡ H2 − g   2  v ( 0 ) cosθ    2     v ( 0) ×  D   2 { } 1/ 2     D + [ H1 − H 2 ] 2     yA ( t ) ≡ H 2 − { g D 2 + [ H 2 − H1 ] 2 } 2v 2 ( 0 ) a) Como en t y p ( t ) ≡ y A ( t ) → la ardilla puede coger la pelota!Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 30
  31. 31. Cuaderno de Actividades: Física I b) h ≡ H 2 − yA ( t ) ≡ { g D 2 + [ H 2 − H1 ] 2 } ≡ 10 × { 10 2 + 42 } ≡ 2,3 2v ( 0 ) 2 2 × 16 2 h ≡ 2,3¿? Será posible resolverlo rápidamente usando la Ec de la parábola.S1P) La aceleración de un móvil, en función de su posición, está dada por: a(x) = 3x – 2x3; para t = 0 se cumple que x = 0 y v = 0. Halle: (a) su velocidad cuando x = 0,5, (b) su posición cuando su velocidad es máxima, (c) la aceleración para esta velocidad máxima.Solución:a ( x ) ≡ 3x − 2 x3 , t ≡ 0: x ≡ 0∧v ≡ 0a) v ≡ v ( x ≡ 0,5 ) b) x / vmax ∧ c) a / vmax ? dv dv dx dv d 1 a ( x) ≡ ≡ ≡ v ≡ 3 x − 2 x3 ≡  v 2  dt dx dt dx dx  2  1 3 1→ ∫ : v 2 ≡ x 2 − x 4 + c  v 2 ≡ 3 x 2 − x 4 → v ≡ ± 3 − x 2 x c.i . → 2 2 2 2 a) v x ≡ 1 1 1 11   ≡ ± 3−  ≡±  2 2 2 4b)d dv dv 3x − 2 x3 3 − 2x2 3 : 2v ≡ 6 x − 4 x → 3 ≡ ≡ ≡ 0 → x ≡* ±dx dx dx ± 3 − x 2 x ± 3 − x 2 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 31
  32. 32. Cuaderno de Actividades: Física IAparentemente, el movimiento se realiza desde x=0 hasta x≡+ 3regresando a x ≡ 0 y permaneciendo allí ∀ t posterior. Este problema esinconsistente desde su planeamiento: t ≡ 0, a ≡ 0, v ≡ 0 ∧ x ≡0?! Si se le dacierta v (0) ≠ 0 , → xMAX ≡ + 3 2 ∨− 3 2* La partícula “mágicamente” se empieza a mover hacia la derecha (+)s ∨ hacia la izquierda (-)s.** ¿? Analizar mediante gráficos.  3 3 3 3c) a x ≡  ≡ 3× −2× × ≡0→a≡0  2 2 2 2S1P) Un estudiante desea arrojar una pelota hacia afuera, por la ventana de un dormitorio en el tercer piso, a 10 m de altura, para que llegue a un blanco a 8 m de distancia del edificio. (a) Si el estudiante arroja la pelota en dirección horizontal, ¿Con qué velocidad la debe arrojar?, (b) ¿Cuál debe ser la velocidad de la pelota, si la arroja, hacia arriba, con un ángulo de 29º con respecto a la horizontal?, (c) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota volando en el caso (b)?SOLUCION: Y g, g ≡ 10 v(0) 0 =A θ g XY : y ≡ { tgθ } x − x2 X 2v ( 0 ) cos θ 2 2 10 B(8-10) 8 10a) B ( 8, −10 ) en Ρ : − 10 ≡ { 0} × { 8} − × 82 → v ( 0 ) ≡ 4 2 2 × v ( 0 ) × { 1} 2 2 10b) B ( 8, −10 ) en Ρ : −10 ≡ { tg 29º} { 8} − × 82 2 × v ( 0 ) × { cos 29º} 2 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 32
  33. 33. Cuaderno de Actividades: Física I 1/ 2 320   160   → 2 ≡ 10 + 8 tg 29º → v ( 0 ) ≡  2  v ( 0 ) cos 29º  cos 29º { 5 + 4 tg 29º}  2   → v ( 0 ) ≡ 5, 4c) X : MRU , x ( t ) ≡ x ( 0 ) + vx ( 0 ) t → 8 ≡ 0 + { ( 5, 4 ) cos 29º} t → t ≡ 1, 7S1P) Se lanza un objeto (Mov. Parabólico) de forma que pasa justamentesobre dos obstáculos cada uno de 11,35 m de altura y que están separados porla distancia horizontal de 52 m. Calcule el alcance horizontal total (R=X) y lavelocidad inicial (V0) de lanzamiento sabiendo que el tiempo empleado enrecorrer el espacio entre los 2 obstáculos es de 2,6 segundos. (g=9,8 m/s2)SOLUCION: Y g= 9,8 H v’0y v’0 D’ d B’ C’ 11,35 v0 v0y X 0 b B C b A 52t B→C ≡ 2,6; R ≡ ? ∧ v0 ≡ v (0) ≡ ?Del MP de B’ a C’: Como t B→C ≡ tB →C ≡ 2,6 → t B → D ≡ 1,3Y: 0 ≡ v y − (9,8) × (1,3) → v y ≡ 12,74Del MP de 0 a B’: v 2 ≡ v y (0) + 2 g × ∆y → ( 12,74 ) ≡ v y (0) + 2 ( −9,8 ) × ( 11,35 ) 2 2 2Y: y → v y (0) ≡ 19, 62Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 33
  34. 34. Cuaderno de Actividades: Física IDel MP de B a C: Asumiendo “0” en B,X: x(t ) ≡ x (0) + vx (0)t → 52 ≡ 0 + vx (0) × 2, 6 → vx (0) ≡ 20 a) De la ecuación del rango, v 2 (0) sen(2θ ) v(0)v(0)2 sen(θ )cos (θ ) R≡ ≡ g g 2 { v(0)cos (θ )} { v(0) sen(θ )} ≡ g 2vx (0)v y (0) 2 { 20} { 19, 62} R≡ ≡ → R ≡ 80,1 g 9,8b) v(0) ≡ vx (0) + v y (0) ≡ (20) 2 + (19, 62) 2 2 2 v(0) ≡ 28 MS1P) En la grafica mostrada dos móviles sonlanzados simultáneamente, y chocan en el va vbpunto “M”. Si el que sale de A lo hace con unavelocidad de 50 m/s y un ángulo de 37°, ¿Cuáldebe ser el ángulo y velocidad de lanzamiento 37° θ 2 A 80 m 60 m Bdel móvil que sale de B? (9,8 m/s )SOLUCION:Como el movimiento de los móviles es simultaneo, t A ≡ t B ≡ t , y usando elsistema 0XY mostrado, YLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 34
  35. 35. Cuaderno de Actividades: Física I M g va vb 37° θ X A 80 m 60 m BPara el móvil A,  4x A ( t ) ≡ 80 ≡ 0 + 50 ×  t → t ≡ 2  5Para el móvil B,xB (t ) ≡ xB (0) + vBx (0)t → 80 ≡ 140 + { −vB cos θ } × 2 ≡ 60 → vB cos θ ≡ 30...αUsando y A (t ) ≡ yB (t )  3 1 1y A ( t ) ≡ 0 + 50 ×  × 2 − gt 2 ≡ yB ( t ) ≡ 0 + { vB s enθ } × 2 − gt 2  5 2 2 → vB s enθ ≡ 30...βa) De α ∧ β : tgθ ≡ 1 → θ ≡ 45º vB cos θ ≡ 30 → vB ≡ 30 2 {b) De la ecuación α 1 2S1P) Una bola es lanzada del origen de coordenadas con una velocidad inicial de v0 = 50 m/s. Si transcurridos 3 s alcanza su altura máxima, halle el punto del plano (x,y) donde se encuentra la bola transcurridos 4 s después de su lanzamiento.SOLUCION:Describamos el problema mediante el siguiente grafico, y v (0) t=3 t≡4 ? Qt≡0 θ 0 xLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 35
  36. 36. Cuaderno de Actividades: Física IDel tv calculamos el ángulo θ: como alcanza su altura máxima e 3 s, el tv ≡ 6 s, 5 2v ( 0 ) senθ 3 2 × 50 × senθ 3 tv ≡ → tv ≡ 6 ≡ → senθ ≡ → θ ≡ 37º g 10 5  4X : x ( t ) ≡ x (0) + { v ( 0 ) cosθ } t → x ( 4 ) ≡ 0 + 50 ×  × 4 ≡ 160  5  3Y : y ( t ) ≡ y ( 0 ) + { v ( 0 ) s enθ } t − 5t 2 → y ( 4 ) ≡ 0 + 50 ×  × 4 − 5 × 16 ≡ 40  5→Q ≡ ( 160,40 )S1P) ¿Cuál es el ángulo de elevación del lanzamiento de un proyectil para que su alcance sea el doble que su altura máxima?SOLUCION: v(20) sen(2α ) 2 v(20) sen 2αθ ≡ ?/ R ≡ 2 H MAX → R ≡ ≡ g 2 g→ 2 sen α cos α ≡ sen 2 α → tgα ≡ 2 → α ≡ Arc − tg { 2}S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez de 40 m/s, haciendo un ángulo de 37º, desde la azotea de un edificio de altura H, impactando en el suelo a una distancia de 160 m, medida desde la base del edificio. Halle la altura máxima alcanzada por el cuerpo con respecto al piso.SOLUCION: y v(0) 37º h 0 160 Q X HLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 36 piso P(160,-H) -H
  37. 37. Cuaderno de Actividades: Física IDe la grafica adjunta, representando al punto de impacto con el piso, P=P (160,-H), y reemplazarlo en la ecuación de la parábola para hallar H, 5y ( x ) ≡ { tgθ } x − x2 v ( 0 ) cos θ 2 2 40 3 5−H ≡ × 160 − 2 × 1602 ≡ 120 − 125 ≡ −5 → H ≡ 5 4 2  4  40 ×   5Ahora, en el MP de 0Q, hallamos la altura máxima, 80 16 v ( 0 ) sen θ 40 × ( 3 / 5 ) 2 2 2 2 80 × 9h≡ ≡ ≡ ≡ 28,8 → h ≡ 28, 8 2g 20 25 5 ∴ H MAX ≡ H + h ≡ 33,8S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez v(0)=20 m/s, haciendo un ángulo de 53º, desde la azotea de un edificio de altura 20 m, impactando en el suelo a una distancia d, medida desde la base del edificio. Halle la distancia d y la altura máxima con respecto al suelo alcanzada por el cuerpo.SOLUCION: ya) Usando el eje Y para calcular el tiempo de v(0) movimiento, t, vy(0) t=0 53° % h d y ( t ) ≡ y ( 0 ) + v y ( 0 ) t − 5t 2 0 X 4 v y ( 0 ) ≡ v ( 0 ) sen53º ≡ 20 × ≡ 16 d P(d,-20) 5 -20 t=t −20 ≡ 0 + 16 t − 5t 2 t 2 − 3, 2t − 4 ≡ 0 , ( −3, 2 ) 2 −(−3, 2) ± − 4 ×1× (−4) 3, 2 + 10, 2 + 16 t1,2 ≡ ≡ ≡ 4, 2 t ≡ 4, 2 2 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 37
  38. 38. Cuaderno de Actividades: Física I Ahora usando X para hallar d,  3 x ( t ) ≡ x ( 0 ) + vx ( 0 ) t → d ≡ 0 +  20 ×  (4, 2) ≡ 50, 4 → d ≡ 50, 4  5b) Ahora, en el tramo de ascenso, usamos, v 2 ( t ) ≡ v y ( 0 ) + 2 g × ∆y y 2 % % 0 ≡ 162 + 2 × (−10) × (+ h ) → h ≡ 12, 8 → H ≡ 20 + 12,8 ≡ 32, 8 H ≡ 32,8S1P) Europa, la Luna de Júpiter, tiene un radio orbital de 6,67 x 108 m y un periodo de 85,2 h. Calcule la magnitud de a) la velocidad orbital, b) la velocidad angular y c) la aceleración centrípeta de Europa.SOLUCION:R ≡ 6, 67 ×108 m  a) vt ∧ c) acp T ≡ 85, 2 h b) w 2π 2π 2πb) w ≡ ≡ ≡ ≡ 2, 0 × 10−5 rad / s T 85, 2h 85, 2 × 3600  2π  −5a) vτ ≡ wR ≡   × R ≡ 2, 0 × 10 × 6, 67 ×10 ≡ 13,3 ×10 m / s 8 3  T  −10 −2c) acp ≡ w R ≡ 4 × 10 × 6, 67 ×10 ≡ 26, 7 ×10 m / s 2 8S1P) Dos partículas pasan simultáneamente (MCU) por los Aextremos de un diámetro AB y en los sentidos indicados en lafigura. Si giran con periodos TA = 25 segundos y TB = 30segundos respectivamente, calcular al cabo de que tiempologran cruzarse por segunda vez. BLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 38
  39. 39. Cuaderno de Actividades: Física ISOLUCION:TA ≡ 25 → wA ≡ 2π / TA ≡ 2π / 25TB ≡ 30 → wB ≡ 2π / TB ≡ 2π / 30 A AB B B β α AB β α β α AB A A B 1° t1 t1 t1t ≡ 3t1t1 : α ≡ wAt1 β ≡ wB t1  2π 2π π ≡ α + β ≡ ( wA + wB ) t1 ≡  +  t1  25 30    51  55  25 ×15 ≡  t1 → t1 ≡ → t1 ≡ 6,82  25 × 30  55 11  15 → t ≡ 20,5S1P) En una pista circular un ciclista puede dar tres vueltas en un minuto y otrosólo 2 vueltas en un minuto. Si ambos parten de dos puntos diametralmenteopuestos y avanzan uno al encuentro del otro ¿en qué tiempo s encontraran yque porción de circunferencia habrá recorrido cada uno?SOLUCION: AB 3ν 1 B t≡0 A: ν A ≡ ≡ Hz θB 1min 20 θA 0 2ν 1 B: ν B ≡ ≡ Hz 1min 30 A  1  1 1 20 × 30a) θ A + θ B ≡ π ← θ ≡ wt →  2 π ×  t +  2 π ×  t ≡ π → t ≡ ×  20   30  2 50 t≡6b) θ A ≡ 0, 6π → f A ≡ 0,3 θ B ≡ 0, 4π → f B ≡ 0, 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 39
  40. 40. Cuaderno de Actividades: Física I y2.- La figura adjunta representa a un -gsenα campesino irrigando un sistema de andenes, α r indicados por rayas horizontales, separados 3 v0 g x m; la pendiente del cerro esta dado por α = 30º : P a) El campesino desea averiguar cuantos A andenes podrá irrigar con v0 = 15 m/s y β R variando de 30º a 45º.Considere que el primer andén dista 3 m de “0”. β b) Encuentre el valor de β que nos permita α irrigar el máximo número de andenes. ¿Cuál 0 x  es ese número máximo?. Tome g = -10  m/s2. jSOLUCION: gP : y ≡ { tgθ } x − x2 ← θ ≡ β 2v( 0 ) cos θ 2 2y : y ≡ { tgα } x → x →≡ k cos α , y ≡ ksenα g ( ) RP : P ≡ L : R senα ≡ { tg β } ( R cos α ) − 2 R cos 2 α R 2v( 0 ) cos β 2 senβ cos α cos β g cos 2 αsenα ≡ − 2 R cos 2 β 2v ( 0 ) cos 2 β g cos 2 α senβ cos α − cos β senα R≡ ≡ sen { β − α }2v 2 ( 0 ) cos 2 β cos β  2v 2 ( 0 )   R≡  cos β sen { β − α } ..…(ρ)  g cos α  2   dR  − senβ sen { β − α } + cos β cos { β − α }   → ≡C  dβ   cos { 2 β − α }  Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 40
  41. 41. Cuaderno de Actividades: Física IdR π π ≡ cos { 2β − α } ≡ 0 → 2β − α ≡ ≡ 60º ≡dβ 4 3b) de lo anterior β ≡ 60º 2 × 152 1 1 15 × 15 R≡ × × ≡ → R ≡ 15En (ρ) : 3 2 2 15 510 × 4∴ Podrá irrigar 5 ANDERESa) En (ρ) usando β ≡ 45º 2 × 152 1R≡ × × 0,26 ≡ 11,1 → R ≡ 11,1 3 2 10 × 4∴ Solo podrá irrigar 3 ANDERES* Hacer la variante de calcular R con x’Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 41

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