Este documento presenta conceptos sobre la mecánica de cuerpos rígidos. Explica que un cuerpo rígido es aquel que no se deforma bajo fuerzas aplicadas y que su movimiento puede describirse como una traslación de un punto del cuerpo más una rotación en torno a ese punto. También define el momento de inercia y cómo se calcula para diferentes geometrías de cuerpos. Presenta ejemplos numéricos de cálculos de aceleración para sistemas de masas y poleas.

1. Cuaderno de Actividades: Física I
5) Mecánica del Cuerpo
Rígido
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 133

2. Cuaderno de Actividades: Física I
5) Mecánica del Cuerpo Rígido
5,1) Definición de CR
Es un sistema de partículas especial que no se deforma bajo el rango de
fuerzas que actúa sobre el. Se adopta para poder describir la componente
ROTACIONAL del movimiento de los cuerpos.
SP
i dij
n↔∞ j
dij ≡ cte
CR → cuerpos indeformables
5,2) Movimiento del Cuerpo Rígido
El Movimiento del CR, en el caso planar, se puede describir de la siguiente
manera,
Traslación rotación
Mov. CR ≡ de un punto + en torno de
del CR dicho punto
→ CM → CM
cm
w
cm

v
Esta descomposición de movimientos ya ha sido vista en otros casos,
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3. Cuaderno de Actividades: Física I
“Mov. Parabólico” MP ≡ MRUx “+” MRUVy
i) Traslación
0’ = CM
  
r ≡ r0'/ 0 + r '
  
v ≡ v0'/ 0 + v '
  
a ≡ a0'/ 0 + a '
  
FR ≡ FR , ext ≡ MaCM
ii) Rotación
d 
τ R ,ext ≡ L
dt
↑
 ↑

F p

    
τF ≡r xF L≡rx p
O: → pto fijo
→ CM
→ mov // al CM
Cuando las rotaciones se efectúan bajo un eje especial, llamado eje principal

de inercia, EPI, al L se puede escribir así:
 
L = Iw ← EPI
I: momento de inercia respecto al EPI
d 
τ R ,ext ≡
dt
{ 
L ≡ Iw }
→ ↑ xyz

 
≡ Iw = Iα
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4. Cuaderno de Actividades: Física I

τ R ,ext ≡ Iα
El I tendría su equivalente en m, representando por lo tanto inercia
rotacional,
→ I≡M
Momento de Inercia, I

La expresión general de I se extrae de la forma general del L , esto es,
  
L≡ ∫ r × v dm
CR
  
y, escribiendo v ≡ ω × r , con lo cual,
     
L≡ ∫ r × v dm ≡ ∫ r × (ω × r ) dm , reemplazando el triple producto vectorial,
CR CR
      
r × (ω × r ) ≡ r 2ω − ( r .ω )r , entonces,

∫ r × v dm ≡ ∫ r × (ω × r ) dm ≡ ∫ { r ω − (r .ω )r } dm , desarrollando la integral y
        
L≡ 2
CR CR CR
ordenando términos obtendríamos la expresión tensorial,
 t
L ≡ Iω
t
donde I es el tensor de inercia descrito por,
I I xy I xz 
t  xx 
I ≡  I yx I yy I yz 
 I zx I zy I zz 
 
en la cual las formas I ij son los productos de inercia y I ii los momentos
principales.
Los momentos principales siempre pueden escribirse de esta forma,
ξ
∫r
ξ
I CR ≡ 2
dm
CR

r dm
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5. Cuaderno de Actividades: Física I
iii) Energía
1 2 1  
EkR ≡ Iw ≡ L ⋅ w
2 2
 
EPI: L ≡ I ⋅ w
EM ≡ E k + E p
Si
 
→ ∃ Fnc ∨ w Fnc ≡ 0 → E M ≡ cte
→ EM ≡ EKT + EkR + E p
S5P13) Halle los Is respecto a lo ejes x e y del cono circular recto de masa m y
dimensiones representadas en la figura.
Y
e
0
h x
z
Y
disco x, y
I CR ≡ ???
rx
Z
x h X
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6. Cuaderno de Actividades: Física I
a) ξ ≡ x
Discos:
ξ
Asumiendo anillos de masa dm
ξ
I disco ≡ ∫ dI
{
M
R anillos
Anillos:
Asumiendo pequeños arcos de masa dm,
ξ
dm I anillo ≡ ∫ R 2 dm
Ma
R Iξ ≡ R 2M
anillo
≡ Ma R 2
∫
ξ
Regresando al disco: Idisco ≡ r 2 dm
disco
anillo: dm ↔ M(masa del disco)
da
dm  M 
0 r dr r dm ≡ σda ≡  2  {2πrdr}
 πR 
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7. Cuaderno de Actividades: Física I
2M
≡ rdr
R2
{ ∫ r dr }
4 2
R 2M 2M R MR
→ Iξ = 3
≡ x =
0 R
2
R
2
4 2
dm 2
Iξ≡ x ≡ ∫ dIdisco ≡ ∫
cono
ξ
r ( x)
2
ρ
}
m  2
  { πr ( x ) dx} r ( x ) ; r ( x ) = x , ρ =
2 e dm
≡∫ 
V h dV
2
≡ ... ?
b) ξ ≡ y
Iξ≡ y ≡ ?
cono
z
Teorema cuerpos planos: Iz = Ix + Iy
x y
M
Teorema de Steiner: I ≡ Icm + Md2
cm
d
Y Y’
disco
Y’
disco
rx
Z Z' Z’ X
x h X
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8. Cuaderno de Actividades: Física I
→ Idisco ≡ I y ′ + I z′ ≡ 2Idisco
x y′
y ′ // y dI y ≡ dI cm + dm x 2 ≡ dI y ' + dm x 2
I y ≡ ∫ dI y
I y ≡ ...?
S5P3) Una polea de doble peso tiene una masa de 100 kg y un radio de giro de
0,25 m. De los cables que se enrollan en la periferia de la polea cuelgan 2
pesas iguales de w = 200 N. Suponiendo que la fricción en el eje de apoyo y la
masa de los cables se desprecian, determine la aceleración del cuerpo que
baja. Use r2 = 2r1 ≡ 0,4 m.
SOLUCION:
α
r1 r2 P
0
Q
T1
T2
a1
w 1
2 w ↓ a2 ≡ atp ≡ r2 α
Radio de giro: Es el radio que tendría una partícula de masa M de tal manera
ξ ξ
que su I ≡ MR ≡ I CR . El radio de giro asociado a un cuerpo debe interpretarse
2
como el radio de una partícula de igual masa con idéntico I respecto del
mismo eje.
ξ ξ
M
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9. Cuaderno de Actividades: Física I
ξ ξ
≡ R M Icr ≡ I part ≡ MR 2
En el caso de nuestro problema, es el radio que tendría una partícula con la
misma masa del cuerpo de tal manera que su I sea igual al de la polea
respecto de su eje axial.
Por lo tanto, usando la información del radio de giro de la polea, determinamos
su momento de inercia respecto a su eje axial,
Radio de giro: I ≡ MR2 ← R=0,25 y M=100
Iξ ≡ 100 (0,25)2 ≡ 6,25; ξ : eje axial
Analizando el disco:
atP a
τ R ,ext ≡ Iα ≡ I ξ ≡ Iξ 2
r2 r2
a2
T2 r2 − T1r1 = I ξ ...(1)
r2
Analizando cuerpo 2:
w
w − T2 ≡ a2 ...(2)
g
Analizando cuerpo 1:
w ar
T1 − w = a1 ; a1 ≡ atQ ≡ α r1 ≡ 2 1
g r2
w a2 r1 w r1
T1 − w ≡ ≡ a2 ...(3)
g r2 g r2
Tenemos un sistema consistente donde podemos calcular a2, T1 y T2, …
calcule!?
S5P4) Una cuerda pasa por una polea sin rozamiento, según indica la figura,
llevando una masa M1 en un extremo y estando enrollada por el otro a un
cilindro de masa M2 que rueda sobre un plano horizontal, ¿Cuál es la
aceleración de la
masa M1?
m2
µ
p
m1 ↓ a1
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10. Cuaderno de Actividades: Física I
SOLUCION:
DCL (m1): DCL (m2):
Q T
T
W2
↓ a1 f
W1
N
2da Ley traslasional para m1:
w1 − T ≡ m1a1...(1)
2da Ley rotacional para m2:
ξp
τ R ,ext = I discoα : P se mueve paralelo al CM
1  a a
T ( 2r ) = I discoα ≡  M 2 r 2 + r 2 M 2  α , α ≡ tQ ≡ 1
ξp
2  2r 2r
3
T ≡ m2 a1...( 2)
8
Una vez mas, tenemos un sistema consistente de ecuaciones, donde podemos
calcular a1 y T,…calcule!?
¿? Es posible calcular la fuerza de fricción
¿? Que tipo de fricción es
¿? Y como se mueve el CM
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11. Cuaderno de Actividades: Física I
S5P5) La rueda O pesa 650 N y rueda a lo largo de un plano horizontal (figura.
El radio de giro de la masa de la rueda con respecto a su eje geométrico es (
2
) m. El coeficiente de fricción entre la rueda y el plano es 0,25. Determine la
3
aceleración del centro de la rueda y la aceleración angular de la rueda.
SOLUCION:
30N
50N
µ
p f
El efecto de giro de F1 = 30N respecto de P, es mayor que el de F2 ≡ 50 N.
Ahora, fíjense, el efecto traslasional de F2 es mayor que F1. Ambos enfoques
son consistentes con la fuerza de fricción f. El cuerpo se moverá hacia la
izquierda.
a) De lo anterior, aplicando la 2da Ley,
w 30 + (0, 25 × 650) − 50
FR ≡ ma CM → 30 + f − 50 =   acm → acm ≡ ≡ 2, 2
g 65
b) α ≡ ?
Por la condición de rodadura, desde el punto P se observa la acm,
acm ≡ αr, donde r: radio de la rueda.
a cm
αcm ≡
r
Para calcular dicho radio, hacemos uso del radio de giro de la rueda,
2
ξ Mr ξ
I ≡
cr ≡ I part ≡ MR ,ξ : eje axial del disco
2
2
1 2
Mr ≡ MR 2 , R ≡ Rgiro
2
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12. Cuaderno de Actividades: Física I
r = 2R
2 2
r= 2 =
3 3
acm 2,2
αcm ≡ ≡ ≡ 3,3
r (2 / 3)
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