2. MONTO COMPUESTO CON
PERIODOS DE CAPITALIZACION
FRACCIONARIOS
Cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de
capitalización, se presenta el caso de los periodos de capitalización
fraccionarios.
Entonces si el tiempo de pago de una deuda es 4 años y 9 meses y la
tasa de interés del 14% capitalizable semestralmente, se tiene que:
n= 4(12)+9 = 57 = 9.5 semestres
6 6
Es decir, 9 semestres y una fracción de semestre.
Para el cálculo del monto compuesto con periodos de
capitalización fraccionario pueden aplicarse dos métodos
3. A) El matemático que toma el valor exacto de n en la fórmula del
monto compuesto.
B) El comercial
EJEMPLO
Para el cálculo el monto una deuda de $4000 a interés compuesto
durante 6 años y 3 meses de plazo, con una tasa de interés del 7
% anual capitalizable semestralmente, se tiene:
A) CÁLCULO MATEMÁTICO
n= 6(12)+3 = 75 = 12.5 semestres
6 6
M= 4000(1+0.0035)^12.5
I = 0.07 = 0.035
M=4000(1.537285)
2
M=6149.14
4. B) CÁLCULO COMERCIAL
Aplica la parte entera de n en la fórmula del monto compuesto
(interés compuesto) y la parte fraccionaria en la fórmula del
monto de interés simple.
En otras palabras, el método comercial aplica interés
compuesto a la parte entera e interés simple a la parte
fraccionaria.
En el ejemplo anterior, con el método comercial se tiene:
M= 4000(1+0.0035)^12 (1+0.035(3/6))
M=4000(1.51107)(1.075)
M=6150.05
COMO PUEDE APRECIARSE, EL MÉTODO COMERCIAL DA UN
RESULTADO MAYOR QUE EL MÉTODO MATEMÁTICO
5. APLICACIÓN DE LA
CAPITALIZACIÓN CONTINUA EN
PLAZOS MENORES DE UN AÑO
En algunas operaciones de documentos financiero, como
contratos a término, contratos futuros, operaciones de
compra, opciones de venta, se utiliza la tasa de interés
anual con capitalización continua, tomando el año
calendario o el año comercial y como base el número
“e”= 2.71828182846, en plazos menores a un año. El
resultado es siempre mayor que la aplicación con el interés
simple normal.
6. Calcular el interés y el Monto que generará un documento financiero
de $3000000 durante 92 días si se considera una tasa de interés del
4% anual con capitalización continua.
M= Ce^it i= 0.04
A) t1= 92/360 = 0.255555555556
B) t2= 92/365 = 0.252054794521
A)CON EL AÑO COMERCIAL
M= 3000000 e^(0.04)(0.255555555556)
M= 3000000 e^0.010222222222
M= 3030823,94285
Interés = 3030823,94285 – 3000000
Interés = 30823,94285
B)CON EL AÑO CALENDARIO
M = 3000000 e^0.04(0.252054794521)
M= 3030399,56495
INTERÉS= 3030399,56495 – 3000000 = 30399,56495
7. Esta forma de cálculo da un resultado mayor que si se
realizara con la fórmula del interés simple: I = Cit y la del
Monto = C + I
C)CON EL AÑO COMERCIAL Y LA TASA DE INTERÉS
ANUAL
I = 3000000 (0.04) (92/360) = 30666,6666667
M = 3000000 + 30666,6666667 = 3030666,666667
D)CON EL AÑO CALENDARIO Y LA TASA DE INTERÉS
ANUAL
I = 3000000 (0.04) (92/365) = 30246,5753425
M = 3000000 + 30246,5753425= 3030246,5753425
8. TASAS
EQUIVALENTES
Tasa nominal es aquella que puede ser capitalizable
varias veces en un año y se denomina (j).
Tasa efectiva de interés es la que realmente actúa
sobre el capital una vez en el año y se denomina (i).
“Se dice que dos tasas anuales de interés con
diferentes periodos de conversión (capitalización)
son equivalentes si producen el mismo interés
compuesto al final de un año”
“Las tasas nominal y efectiva son equivalentes
cuando producen la misma cantidad de dinero al final
del año”
20. EL VALOR ACTUAL A INTERÉS
COMPUESTO O CÁLCULO DEL
CAPITAL
El valor actual a interés compuesto es el valor de un
documento, bien o deuda , antes de la fecha de
vencimiento, considerando determinada tasa de interés.
Por ejemplo, las siguientes preguntas, y otras similares, se pueden
responder mediante el cálculo del valor actual : ¿Cuánto vale hoy
una deuda de $1000000 que vencerá en 5 años? Y ¿ en cuanto se
puede vender un documento de $5000 que vence en 4 años?
“La expresión valor actual en el momento presente de los beneficios
o de los costos del futuro, actualizados al costo de oportunidad o de
sustitución del Capital ”.
“Valor actual, valor en el momento presente de los beneficios o de
los costos del futuro, actualizados al costo de oportunidad o de
sustitución del capital.
23. El valor actual puede calcularse en cualquier fecha
comprendida entre la fecha de suscripción y la fecha de
vencimiento, según las condiciones en que se establezca
el cálculo. Puede haber dos casos generales: cuando el
documento no gana interés y el valor nominal coincide con
el monto, o cuando el documento gana interés y se
requiere calcular el monto.
¿Cuál será el valor actual de un pagaré cuyo valor al
vencimiento, al final de 4 años, es de $3500, considerando
una tasa de interés del 12% anual capitalizable
semestralmente?
M= $3500
j = 0.12
t=4
m=2
25. EL VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO O
CÁLCULO DEL CAPITAL
El valor actual a interés compuesto es el valor de un documento, bien o
deuda, antes de la fecha de su vencimiento, considerando determinada tasa
de interés.
Por ejemplo las siguientes preguntas, y otras similares, se pueden responder
mediante el cálculo del valor actual: ¿ Cuánto vale hoy una deuda de
$1000000 que vencerá en 5 años? Y ¿ en cuanto se puede vender un
documento de $5000 que vence en 4 años?
La expresión valor actual significa el valor de un pago futuro en una fecha
determinada antes del vencimiento.
Valor actual, valor en el momento presente de los beneficios o de los costos
del futuro, actualizados al costo de oportunidad o de sustitución de capital.
26.
27. Valor Valor actual Monto
nominal
Fecha de Fecha de Fecha de vencimiento
suscripción negociación
El valor actual puede calcularse en cualquier fecha comprendida entre la
fecha de suscripción y la fecha de vencimiento, según las condiciones en que
se establezca el cálculo. Puede haber dos casos generales: cuando el
documento no gana interés y el valor nominal coincide con el monto, o
cuando el documento gana interés y se requiere calcular el monto.
EJEMPLO:
¿ Cual es el valor actual de un documento cuyo valor nominal es de $
5000 a 6 años de plazo con el 4% de interés anual, capitalizable
semestralmente, desde su suscripción, si se vende dos años antes de
la fecha de vencimiento, considerando una tasa del 5%
anual, capitalizable semestralmente?
29. PRECIO DE UN DOCUMENTO
En el segundo caso puede darse, a su vez, tres situaciones diferentes
respecto a la compra venta de un documento: cuando se negocia a la par: la
tasa de negociación es la misma que en la nominal y el precio se mantiene sin
variaciones; cuando se negocia con premio: la tasa de negociación es menor
que la nominal y el precio sube; cuando se negocia con castigo: la tasa de
negociación es mayor que la nominal y el precio baja.
EJEMPLO:
Después de 2 años de la fecha de suscripción se negocia un documento de
$3000 con vencimiento en 5 años y una tasa de interés del 2,1%
anual, capitalizable semestralmente desde la suscripción. Calculemos el valor
actual o precio en las siguientes alternativas: a) con una tasa de 1,8%
anual, capitalizable trimestralmente b) Con una tasa del 2,1%
anual, capitalizable semestralmente c) con una tasa del 2,4% efectiva.
32. C=2070,13 M=3400
0 1 2 3 4 5 6 7
3 años 4 meses 3 años 8 meses
33.
34.
35.
36.
37.
38. ECUACIONES DE VALOR EN INTERÉS COMPUESTO
Al igual que en interés simple, en interés compuesto también se utilizan las
ecuaciones del valor cuando se requiere remplazar un conjunto de
obligaciones por otro conjunto de diferentes valores o capitales disponibles
en diversos o tiempos, tomando en consideración una fecha común, llamada
también fecha focal.
Relaciona los valores y fechas con la fecha focal, se obtiene la ecuación de
valor, que permite igualar el conjunto de obligaciones iniciales con el
conjunto de nuevas obligaciones.
M1 M2
x
