Los fractales son objetos matemáticos que exhiben una estructura recurrente a cualquier escala. Fueron descubiertos por el matemático Benoit Mandelbrot en los años 1970 y se encuentran comúnmente en la naturaleza, como montañas, árboles y costas. Los fractales también se usan en el arte, las ciencias y las telecomunicaciones.

1. La Belleza de las
Matematicas:
Fractales
Profesora: Pilar Espinoza Sandoval

2. Outline
•Que es un fractal.
•Quien lo descubrió.
•Porqué se llaman fractales.
•Tipos de fractal.
•Fractales en la naturaleza, ciencia
y arte

3. Que es un fractal
• Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosimilitud, a cualquier
escala. En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un objeto
fractal (imaginemos que utilizamos un magnificador, o hasta un microscopio,
para ello), notaremos que tal sección resulta ser una réplica a menor escala
de la figura principal
• Otro aspecto importante sobre los fractales es que su dimensión es
fraccionaria. Es decir, en vez de ser unidimensional, bidimensional o
tridimensional (como es el para los objetos que nos son más familiares), la
dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a dichos conceptos
tradicionales. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un
número entero. Esto es, precisamente, lo que les ha dado su nombre

4. Los fractales son entidades matemáticas que están por todas partes. Y,
precisamente, por su variedad, son difíciles de definir porque no todos cumplen
las mismas características, aunque hay algo en común: son el producto de la
repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura
final de una complicación extraordinaria. Es decir, da como resultado un
conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso (por ser de longitud infinita).
Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su estructura o
comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan:
las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. En lo que se
diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades infinitas.

5. ¿Quién lo descubrió?
• La expresión fractal viene del latín
fractus, que significa fracturado,
roto, irregular. La expresión, así
como el concepto, se atribuye al
matemático francés Benoit B.
Mandelbrot, del Centro de
Investigación Thomas J. Watson.
Quien descubrió este
comportamiento mientras
realizaba sus investigaciones
sobre la "TEORÍA DE LA
ITERACIÓN DE LAS
FUNCIONES RACIONALES DEL
PLANO COMPLEJO”.

6. Conocido por sus trabajos sobre los fractales.
Es el principal responsable del auge de este
dominio de las matemáticas desde el inicio de
los años ochenta, y del interés creciente del
público. Supo utilizar la herramienta que se
estaba popularizando en ésta época, el
computador, para trazar los más conocidos
ejemplos de geometría fractal. Con la aparición
de los fractales podemos hablar de dos tipos de
geometría, la tradicional o euclidiana y la
fractal.
Principal creador de la Geometría Fractal, al
referirse al impacto de esta disciplina en la
concepción e interpretación de los objetos que
se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó
su libro Fractal Geometry of Nature en el que
explicaba sus investigaciones en este campo.
La geometría fractal se distingue por una
aproximación más abstracta a la dimensión de
la que caracteriza a la geometría convencional.
Actualmente trabaja como profesor en la
Harvard University.

7. ¿POR QUÉ LOS FRACTALES SE LLAMAN
"FRACTALES"?

8. ¿POR QUÉ LOS FRACTALES SE LLAMAN
"FRACTALES"?
• El término fue acuñado por
Benoît Mandelbrot en 1975.
Al estudio de los objetos
fractales se le conoce,
generalmente, como
geometría fractal

9. Tipos de Fractales
• Lineales
Se generan a partir de conceptos y algoritmos lineales,
como por ejemplo rectas o triángulos. Pueden
obtenerse mediante trazados geométricos simples.

10. Tipos de Fractales
Complejos
Se generan mediante un algoritmo de escape. Para cada
punto se calculan una serie de valores mediante la
repetición de una formula hasta que se cumple una
condición, momento en el cual se asigna al punto un color
relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de
este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual
sólo pueden dibujarse con la ayuda del ordenador.

11. Tipos de Fractales
• Autómatas Celulares
Los autómatas celulares fueron utilizados por primera vez por los
matemáticos John von Neumann y Stanislaw Ulam en 1948 para
representar la reproducción en algunos sistemas biológicos.
Un autómata celular es un sistema dinámico discreto, (espacio y
tiempo toman valores discretos), cuya función asociada toma un
conjunto finito de valores. Funcionan con sencillas reglas que
colorean zonas a partir del color de las adyacentes.

12. Tipos de Fractales
• Plasma
Estructuras como el plasma o las imágenes de difusión
dependen en cierta medida del azar, por lo cual son
únicas e irrepetibles.
Ello se debe a que no es un proceso determinista, sino
totalmente aleatorio. Consiste en un patrón único e
irrepetible de colores

13. FRACTALES EN LA
NATURALEZA
Las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la
misma se rigen por comportamientos fractales. Esto quiere decir
que una nube o una costa pueden definirse por un modelo
matemático fractal que se aproxime satisfactoriamente al objeto
real. Esta aproximación se realiza en toda una franja de escalas ,
limitadas por valores mínimos y máximos.
EJEMPLOS DE MODELOS FRACTALES:
• LORENZ turbulencias atmosféricas y corrientes marinas.
• HENON oscilaciones sufridas por cuerpos celestes que hacen que
su trayectoria no sea completamente elíptica
• CURVAS DE KOCH ALEATORIA fronteras de un país, trazado de
una costa, trazado de un río
• FRACTALES tipo ÁRBOL sistema arteriales y venosos.

14. FRACTALES EN LA
NATURALEZA
Elementos de la naturaleza que pueden estudiarse mediante un
modelo fractal:
• CUERPO HUMANO :
Redes nerviosas.
Redes de vasos sanguíneos.
Conductos biliares.
Sistemas de tubos pulmonares y bronquios
• ELEMENTOS DE LA NATURALEZA:
Montañas
Coníferas
Sauces

15. FRACTALES EN EL ARTE
Podríamos decir que un fractal es básicamente la expresión visual o
auditiva e incluso espacial (con cualquier tipo de dimensión) de una
expresión matemática.
La particularidad de la creación artística con fractales consiste en
que el algoritmo de la fórmula nos conduce a una progresión
ascendente o descendente de la misma, y a la generación en el
caso de imágenes, de expresiones visuales que se repiten y
progresan hacia lo infinitamente grande o hacia lo infinitamente
pequeño. Sin embargo, el mundo que abren los fractales a la
creación artística no se agota en lo anterior, sino que incluso brinda
muchos elementos de reflexión para abordar temas como la Teoría
del Caos y la aleatoriedad.

16. FRACTALES EN EL ARTE
• Ejemplos de fractales en el Arte
Arte decorativo árabe
Arte africano
El mosaico del suelo en la cripta de la catedral de Anagni (Italia)
Diseños de catedrales
Arte y la arquitectura hindúes

17. FRACTALES EN LAS
CIENCIAS
Las aplicaciones fractales en el campo de la tecnología se
circunscriben mayoritariamente en los campos del diseño y
compresión de imágenes y en el campo de las Telecomunicaciones.
Las antenas son objetos sencillos en apariencia, pero su diseño y
fabricación están basados en las ecuaciones de Maxwell para el
electromagnetismo, lo que conlleva cierta complejidad.

18. FRACTALES EN LAS
CIENCIAS
La aplicación de técnicas fractales
para la compresión de imágenes
digitales fue introducida por Michael
Barnsley y Arnaud Jacquin en 1988.
La compresión consiste en buscar un
conjunto de transformadas afines que
describan aproximadamente la
imagen.

19. Webgrafía
• http://www.fractovia.org/art/es/what_es1.shtml
• http://www.sectormatematica.cl/fractales.html
• http://xavieramador2.50webs.com
• http://sabia.tic.udc.es
• http://www.cienciateca.com/fractales.html
• http://www.fractovia.org/art/es/what_es3.shtmlhttp://www
.fractovia.org/art/es/what_es3.shtml
• hhttp://personal.telefonica.terra.es/web/mundofractal/tipo
s_de_fractales.htm
• http://personal.telefonica.terra.es/web/mundofractal/arte.
htm
• http://personal.telefonica.terra.es/web/mundofractal/cien
cias_tecnologia.htm