El documento describe los problemas resueltos por el cálculo integral, incluyendo calcular velocidades y aceleraciones a partir de distancias, tangentes a curvas, valores máximos y mínimos de funciones, áreas, volúmenes y centros de gravedad. También resume las contribuciones de figuras históricas como Newton, Leibniz, Cavalieri y otros al desarrollo del cálculo integral.

1. •Problemas que resuelve el
calculo integral
Conoce mas..

2.  Nos situamos a comienzos del siglo XVII ,
justamente después de la aparición del
concepto de función, cuando comienza a
tomar forma el cálculo, que junto con la
geometría analítica es ”la mayor creación de
todas las matemáticas”.

3.  1). Dada la fórmula de la distancia que un cuerpo recorre como
función del tiempo, obtener la velocidad y la aceleración en cada
instante; y, al revés, dada la fórmula de la aceleración de un
cuerpo como función del tiempo, obtener la velocidad y la
distancia recorrida. Este problema surge directamente del
estudio del movimiento.
 2). Obtener la tangente a una curva, como consecuencia de las
aplicaciones de la óptica y el estudio del movimiento.

 3). Obtener el valor máximo o mínimo de una función para
aplicarlo al problema del tiro parabólico y el estudio del
movimiento de los planetas.

 4). Obtener longitudes de curvas; las áreas acotadas por curvas;
los volúmenes acotados por superficies; los centros de gravedad
y la atracción gravitatoria entre cuerpos extensos.

4.  Tales de Mileto. Fue quien inicialmente
introdujo los métodos deductivos – no
exentos de cierto empirismo y falta de
generalidad- a través de procesos
sistemáticos de abstracción, que ciertamente
fueron la base para los Pitagóricos.

5.  Zenón de Elea (450 a. de C. aprox.), formuló un buen número
de problemas (paradojas) basados en el infinito.
 Fue con los trabajos de Arquímedes con los que se volvió a
despertar en Europa el interés por obtener longitudes, áreas,
volúmenes y centros de gravedad. El Método exhaustivo se
modificó primero gradualmente, y después radicalmente por
la invención del cálculo.

6.  Los trabajos del siglo XVII al respecto de este
cuarto problema comienzan con Kepler, de
quien se dice que se interesó por el problema
de los volúmenes porque notó la falta de
precisión de los métodos utilizados por los
tratantes de vinos para obtener el volumen de
los barriles.

7.  BonaventuraCavalieri (1598-1647), discípulo de Galileo y
profesor en un liceo de Bolonia fue influido por Kepler y
Galileo, y fue estimulado por este último para interesarse por
problemas del cálculo. Cavalieri desarrolló las ideas de Galileo
y otros sobre los indivisibles mediante un método
geométrico, y publicó un trabajo sobre el tema, Geometría
IndivisibilibusContinuorum Nova quadamRationePromota
(Geometría superior mediante un método bastante
desconocido, los indivisibles de los continuos, 1635).
Considera un área como constituida por un número
indefinido de rectas paralelas y equidistantes y un volumen
como compuesto por un número indefinido de áreas planas
paralelas; a estos elementos los llama los indivisibles de área
y volumen respectivamente.

8.  Pierre de Fermat (1601-1665). Trata de encontrar pruebas
más o menos rigurosas de la conjetura de Cavalieri, en su
trabajo sobre curvas polinomiales.
 En 1634, Roberval, utilizó esencialmente el método de los
indivisibles para obtener el área encerrada bajo un arco de
cicloide, un problema sobre el que Mersenne había llamado
su atención en 1629. Denominó a su método el “método de
las infinidades”, aunque utilizó como título de su trabajo el de
Traité des Indivisibles

9.  John Wallis (1616-1703) fue de los primeros en introducir
métodos analíticos en el cálculo, así en sus esfuerzos por
calcular el área del círculo analíticamente obtuvo una nueva
expresión de .
 Isaac Barrow (1630 - 1677) también dio un método para
calcular tangentes. Barrow era un admirador de los geómetras
antiguos y editó las obras de Euclides, Apolonio y de
Arquímedes, la vez que publicaba sus propias obras
LectionesOpticae (1669) y LectionesGeometricae (1670) en la
edición de las cuales colaboró Newton.

10.  Gregorio de San Vicent, en su Opus Geometricum (1647),
proporcionó las bases para la importante conexión entre la
hipérbola rectangular y la función logaritmo.
 Isaac Newton (1643-1727). En 1687 fue publicada su obra
magistral PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematicaen el
cual se exponen, en diferentes pasajes, claras exposiciones
del concepto de límite, idea básica del cálculo.

11.  Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Sus
resultados en el cálculo integral fueron publicados
inicialmente en 1684, y posteriormente en 1686 bajo el
nombre de ”CalculusSummatorius". Introduce los
elementos diferenciales dy ó dx para expresar la
“diferencia entre dos valores sucesivos” de una variable
continua y óx. Al tomar la suma de tales diferenciales
de la variable se obtiene la variable misma, lo cual
denota por

13.  El cálculo es una herramienta poderosa para analizar el
mundo real. Los alumnos adquieren una comprensión del
poder del cálculo cuando se enfocan hacia sus aplicaciones
en un problema extenso.
 El cálculo aborda temáticas subsiguientes donde la
integración juega un papel muy importante: tales como
costos, probabilidades, optimización de recursos, estudio de
ofertas, etc.
 Para conocer lo que integra al cálculo es necesario tener en
cuenta una gran diversidad de temas para que en conjunto
los podamos aplicar y poder llegar a la solución de lo que es
más complicado de obtener o analizar, un claro ejemplo es
una integración que es a lo que nos daremos la tarea de
realizar. Teniendo como principio que los temas se relacionan
entre si y se van agrupando.

14. Los problemas que el cálculo resuelve
integran temas importantes como:
 Números reales.
 Funciones
 Limites
 Derivadas
 Derivación
 Grafica de una función
 Primitiva
 Etc.

15. En Matemáticas, la derivada de una función es
uno de los dos conceptos centrales del
cálculo. La inversa de una derivada se llama
primitiva, antiderivada o integral indefinida.

16.  La derivada de una función en un cierto punto es
una medida de la tasa en la cual una función
cambia conforme un argumento se modifica. Esto
es, una derivada involucra, en términos
matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es
el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en
cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes
de las tangentes de la gráfica de dicha función en
el punto dado; dichas tangentes pueden ser
aproximadas por una secante que pase por dos
puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea
obtener la tangente. Las derivadas también pueden
ser utilizadas para calcular la concavidad.

17.  Las funciones no tienen derivadas en los
puntos en donde hay una tangente vertical (la
cual tiene una pendiente infinita), una
discontinuidad o bien un pico.
Diferenciación y diferenciabilidad
 La Diferenciación puede ser usada para
determinar el cambio que se produce como
resultado de otro cambio, si está determinada
una relación matemática entre dos objetos

18.  El Cálculo Integral (también conocido como Cálculo
Infinitesimal ) es una rama de la matemática en la cual se
estudia el cálculo a partir del proceso de integración o anti
derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática
en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas
y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado
por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes ,
Newton y Barrow, éste último fue el que junto con aportes de
Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral
el cual propone que la derivación y la integración son
procesos inversos.