2. 1) Definición
2) Características
3) Tipos
4) Dimensiones
5) Historia (Benoit Mandelbrot)
6) Aplicación en ciencias y tecnología
. En las matemáticas
. En la naturaleza
. En el cuerpo humano
. En el arte
. En la música
. En la comunicación e informática
.En la física
3. DEFINICION
figura geométrica con una estructura compleja y
pormenorizada a
cualquier escala. Normalmente los fractales son
autosemejantes, es decir, tienen la
propiedad de que una pequeña sección de un fractal
puede ser vista como una réplica a
menor escala de todo el fractal.
4. CARACTERISTICAS
Auto similitud exacta: exige que el fractal parezca
idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos
en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas
(IFS).
Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca
aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los
fractales de este tipo contienen copias menores y
distorsionadas de sí mismos.
Auto similitud estadística: se exige que el fractal tenga
medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el
cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos
de fractales de este tipo.
5. TIPOS
Hay multitud de objetos que presentan
comportamiento fractal; son muy variados, muy
diferentes entre sí. Es difícil
clasificarlos, pero se puede hacer una clasificación de
los mecanismos que los generan. Algunos fractales
pueden ser
generados mediante varios de los métodos
descritos, pero tras todos esas formas siempre se
esconde la realimentación y la iteración
6. AUTOSIMILITUD EXACTA
exige que el fractal parezca idéntico a diferentes
escalas. Estos tienen una regla de punto fijo
geométrico. Ejemplos: conjunto de Cantor, triángulo
de Sierpinski, curva de Peano, copo de nieve de Koch,
curva del dragón, esponja de Menger, etc.
7. CUASAUTOSIMILITUD
Exige que el fractal parezca aproximadamente
idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo
contienen copias menores y distorsionadas de sí
mismos. Ejemplos: el conjunto de
Mandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de
Lyapunov, etc.
8. AUTOSIMILITUD ESTADISTICA
Es el tipo más débil de autosimilitud, se exige que el
fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se
preserven con el cambio de escala. Ejemplos: el
movimiento browniano, el vuelo de Lévy, los paisajes
fractales o los árboles brownianos.
9. LINEALES
Los fractales lineales son aquellos que se construyen
con un cambio en la variación de sus escalas. Esto
implica algo muy importante, los fractales lineales son
exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el
infinito. Es decir si vemos una parte específica muy
pequeña de una forma fractal la veremos igual o
similar a la forma original del fractal, solamente que
más pequeña.
10. NO LINEALES
Los fractales no lineales se generan creando
distorsiones no lineales o complejas. Es decir son
fractales que presentan una estructura similar, pero
no son exactamente igual a su original. Si vemos de
cerca una parte específica de un fractal se parecerá al
original pero tendrá unas pequeñas variaciones.
11. DIMENSIONES
la dimensión fractal, es un número real que generaliza el
concepto de dimensión ordinaria para objetos geométricos
que no admiten espacio tangente.
La dimensión fractal es un exponente que da cuenta de cuán
completamente parece llenar un fractal el espacio conforme
se amplía el primero hacia escalas más y más finas. No existe
una única dimensión fractal sino una serie de dimensiones
que frecuentemente resulta equivalentes pero no siempre.
Entre estas definiciones está la dimensión de HausdorffBesicovitch, la dimensión de la dimensión de
empaquetamiento, la dimensión de homotecia y
las dimensiones de Rényi.
12. HISTORIA (BENOIT MANDELBROT)
Nació el 20 de
noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia, dentro de una
familia judía culta de origen lituano, murió en el 2010.
Fue introducido al mundo de las matemáticas desde
pequeño gracias a sus dos tíos. En 1967 publicó
en Science ”¿Cuánto mide la costa de Gran
Bretaña?”, donde se exponen sus ideas tempranas sobre
los fractales. Fue profesor de economía en la Universidad
Harvard, de ingeniería en la Yale, de fisiología en el
Colegio Albert Einstein de Medicina, y de matemáticas en
París y Ginebra. Desde 1958 trabajó en IBM en el Centro
de Investigaciones Thomas B. Watson en Nueva York.
13. APLICACIÓN EN LA CIENCIA
El estudio de las diversas metodologías para ¡a medida, en
primera instancia, y el entendimiento, en segunda, de los
cuerpos y comportamientos complejos que se observan en la
Naturaleza que nos rodea, son abordados en esta Tesis desde
el punto de vista de la Geometría Fractal. Este estudio
abarca, dentro de lo posible, un amplio rango de diferentes
dimensiones topológicas de fenómenos que son posibles
encontrar en la investigación dentro de la rama de las Ciencias
de la Tierra que es ¡a Hidrología Subterránea. Desde la que
corresponde a la medida de un punto (cero), nubes de
puntos, hasta las distribuciones en el espacio de masa (tres);
pasando incluso por el estudio de los comportamientos de las
series temporales de sistemas diversos.
14. APLICACIÓN EN LA TECNOLOGIA
ANTENAS FRACTALES:
Las propiedades de los fractales, antes expuestas, se
aprovechan en la construcción de antenas que pueden
obtener anchos de banda de 10 a 40% de la frecuencia central
superiores a las antenas clásicas (de 10% a 20% de fc,),
patrones de radiación estables y gran número de bandas
determinado por el número de iteraciones del fractal. Las
primeras antenas diseñadas, fueron arreglos planos y lineales
tipo fractales delgados, organizando los elementos en un
patrón Fractal para reducir el número de elementos en el
arreglo y obtener antenas de banda ancha o desempeño en
múltiples bandas.
15. FRACTALES EN MATEMATICA
La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc.)
ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá
de los conceptos geométricos clásicos. Por más que queramos
medir una línea fractal siempre habrá objetos más pequeños
que escaparán a la sensibilidad de los instrumentos que
utilicemos, por precisos que sean.
Así, como la longitud de la línea fractal depende de la
longitud de instrumento con que la midamos, no nos sirve la
noción tradicional de longitud. Para ello se ha ideado otro
concepto: el de dimensión fractal.
16. FRACTALES EN LA NATURALEZA
En la naturaleza los objetos fractales suelen aparecer en
relación con dos circunstancias o situaciones
1). Frontera , y aquí incluimos todos los casos en que entran
en contacto dos medios
humanos, naturales, físicos, químicos, etc. o dos superficies
diferentes: frontera entre países, riberas de los
ríos, litoral, nubes, etc.
(2). Árbol. Es decir aquellos casos en que se produce una
ramificación con auto similitud: árboles, arbustos, y
plantas, cuencas fluviales con sistemas de
río, afluentes, ramblas, barrancos, riachuelos, etc.
17. FRACTALES EN EL CUERPO HUMANO
La biología se ha visto muy influenciada por la
revolución de los fractales, ya que en el cuerpo
humano se pueden encontrar muchos ejemplos de
sistemas fractales, como la red vascular o la red
neuronal. De un cuerpo sanguíneo salen vasos
menores y de éstos, otros mucho menores hasta
llegar a los capilares. Así vemos que en el campo de la
genética que actualmente tiene mucha importancia
podemos encontrar muchísimas similitudes con los
fractales, ya que en ambos, a partir de información
simple, surgen estructuras complejas.
18. FRACTALES EN EL ARTE
el arte del artista fractal es análogo al del pintor, la
pintura que realiza el pintor aplicando colores con su
pincel sobre un lienzo, se ha convertido en la imagen
generada en el ordenador por el artista fractal por medio
de fórmulas matemáticas y algoritmos de color, llegando
finalmente al desarrollo de una obra de arte capaz de
transmitir, como toda obra de arte, sensibilidad y
emoción al contemplarla. Con el nombre de "Arte Fractal:
belleza y matemáticas", la Universidad de Málaga, en
colaboración con la Real Sociedad Matemática
Española, presenta una muestra formada por 26 obras
que se presentaron por primera vez en el marco del
Congreso Internacional de Matemáticas
19. FRACTALES EN LA MUSICA
Música y matemática siempre tuvieron una cercana
relación. Desde Pitágoras se sabe que la armonía de
tono está íntimamente vinculada a la frecuencia
numeral. Otra aplicación de los fractales
aparentemente irrelevante es la música fractal.
Ciertas músicas, incluyendo las de Bach, Beethoven y
las de Mozart, cumplen con las propiedades fractales.
Una simple pieza de la música de Beethoven, la
"Primera Escossaien" muestra líneas con un análisis
formal; son un total de 32 unidades o compases que
se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una.
20. FRACTALES EN LA INFORMATICA
La informática es pionera en el campo de las
aplicaciones de los fractales, el uso más común es la
Transformación Fractal; siendo este el proceso
mediante el cual se reduce el espacio físico o peso en
bytes de una imagen. Cada imagen o fotografía que
almacenamos y visualizamos en un computador es
representada en la pantalla mediante pixels o puntos
que al unirse y con determinados colores forman la
imagen, la resolución de una pantalla hace referencia
a la capacidad de pixels que mostrar simultáneamente
el monitor de su computador
21. FRACTALES EN LA COMUNICACION
El auge y crecimiento de las telecomunicaciones
abren cada vez más las puertas de la exploración de
nuevas alternativas en diseño que cubran las
exigencias en ancho de
banda, eficiencia, rapidez, economía, del nuevo
milenio.
Los fractales, se ha abierto paso, proponiendo
modelos para el diseño de antenas permitiendo la
implementación de nuevos y mejores servicios en los
sistemas móviles, circuitos RFID, dispositivos de micro
onda y otros.
22. FRACTALES EN LA FISICA
Recientemente se han descubierto una familia de
fractales con características similares a las de los spin
magnéticos en las transiciones de fase o de los
bloques elementales fracturados para los modelos de
percolación. El movimiento browniano de una
partícula sometida al bombardeo incesante de
millones de pequeñísimas partículas de aire, recorre
un camino fractal de dimensión próxima a 2. Algo
muy parecido al comportamiento de las partículas
subatómicas.
