Métodos Matriciales 
1 1 para ingenieros 
con MATLAB 
Facultad de Ingenieria
Pontificia Universidad 
JAVERIANA 
----Cali---- 
Rect or: Jorge Humberto Peláez P iedrahita, 2.J. 
Vicerrect or Acooémico:...
Métodos Matriciales 
1 1 para ingenieros 
con MATLAB
Herrern. Sá.nchez, Ph D , Jun.n Cn.rlos 
:tvlétodos :tvl n.tricin.les pn.rn. ingenieros con :tvIA T LAB / J un.n Casios He...
Prefacio 
El presente texto está orie11tado hacia los cursos de pregrado 
de i.nálisis de Estructuras, Análisis Matricial ...
Tabla de co11te11ido 
Capítulo 1. T ipos de matrices ....... . _. ....... __ ..... . _. ...... . __ .. 9 
1.1 Definiciones...
Capítulo 4. Solución de sistemas de ecuaciones lineales ... ... 101 
4.1 Forma matricial de las ecuaciones.. . . . ... ......
Capítulo 1 
Tipos de matrices 
1.1 Definiciones 
Una matriz se defi11e como un conjunto de elementos ordenados 
en u11 núm...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
En la matriz anterior cada a ij indica el elemento ubicado en la fila 
" i/' )1 la columna "j...
TIPOS DE l1ATRICES 
ve 
1 
2 
4 
16 
Transpuesta de un iector: 
Un iector fila se puede convertir a un iector columna calc...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Para definir un vector igualmente espaciado se da el comando: 
x=[ ví : í: vf] 
Donde : 
vi: ...
B - 
o 
0 .2500 
0 . 5000 
0 . 7500 
1 . 0000 
1 . 2500 
1 . 5000 
1 . 7500 
2 . 0000 
TIPOS DE l1ATRICES 
Para definir u1...
>>ml= [2 
ml - 
o 
o 
6 
o 
o 
2 
o 
o 
6 
o 
o 
o 
156 
22 
o 
54 
-13 
o 
156 
22 
o 
54 
- 13 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNC...
TIPOS DE l1ATRICES 
El comando si z e indica el numero de filas y colu1nnas de la 
matriz. Otra forma usar este comando es...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Para obtener el número de filas de un 1ector columna, o el número 
de columnas de u11 1ector ...
TIPOS DE l1ATRICES 
Para obtener la columna j-ésima de una matriz [A] se da la 
instrucción A ( : , j ) . 
Ejemplo: 
>> A ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
Para defi11ir un iector fila; con la pri1nera fila de la inatriz [AJ, se 
da la i11...
TIPOS DE l1ATRICES 
Para formar el vector de la columna 2, filas de la 2 a la 4, se da 
la instrucción: 
>> vc=A(2 : 4,2) ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
B - 
5 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
5 
o 
o 
o 
o 
o 
5 
o 
1. 3 Clases de matrices 
JIIatriz nula 
o 
...
TIPOS DE l1ATRICES 
La matriz [B] creada es de orden (3 x 3) 
Para crear u11a matriz nula de orden ( 4 x 3) damos la 
inst...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Matriz t ranspuesta 
Si la matriz (A] se define por: 
Se define la matriz transpuesta como: 
...
TIPOS DE l1ATRICES 
Propiedades: 
([A)T)T = [.t] 
([A] ± [B]) T = [A]T ± [B]T 
([A][B]) T = [B]T[A]T 
([A][B][C]) T = [C)T...
AT 
2 
4 
- 6 
8 
4 
4 
8 
o 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
- 5 
10 
3 
2 
8 
10 
12 
- 6 
Para comprobar ((A]T)T = [A] , c...
Ejemplo: 
2 6 1 
[A]= 6 4 -6 
o -6 8 
TIPOS DE l1ATRICES 
La diagonal principal está formada por 2,4 ,8 y la diagonal 
sec...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
>> B= [2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8 ) 
B = 
2 
6 
o 
6 
4 
- 6 
>> tB=trace (B ) 
t B ...
TIPOS DE l1ATRICES 
Matriz identidad 
Es u11a matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal 
principal iguales a ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
En MATLAB se escribe: 
>> A= [ l 2 3 ;4 5 6 ; 6 5 4] 
A = 
1 
4 
6 
2 
5 
5 
>> [m,n]=size (A...
TIPOS DE l1ATRICES 
Ejemplo: 
Para obtener la traza en IVIi.TLi.B se usa el comando 
t race (A) 
>> Tra=trace(A) 
Tra - 
1...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
Para ge11erar u11a matriz identidad de orden n=4, usamos los 
comandos ones )1 diag...
TIPOS DE l1ATRICES 
Ejemplo: 
Para obtener la inatriz [E]=c[I] , co11 el ' ;alor c=lü, se dan las 
instrucciones: 
>> c=lO...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
Para generar una matriz diagonal CU)'OS eleme11tos 1an de -3 a 3 
se da la instrucc...
TIPOS DE l1ATRICES 
Mat riz simét rica 
Es una matriz cuadrada [A] en que se cumple a .. = a .. para todo 
l) J l 
1 < i ,...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
o 2k k 
- [Ka]r = -2k Ü 6k 
-k -6k o 
Se ' ;erifica que [i.]=- [.. l .]T 
1!Iatriz opuesta 
L...
TIPOS DE l1ATRICES 
Ejemplo: 
Verificar si las matrices 
1 1 2 -1 
(A)= -1 -2 ; [B)= 1 1 
1 2 o 2 
son ortogonales. 
Calcu...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
 ! erificar que la siguie11te inatriz [O] es ortogonal. 
.j3 1 
[C]= 
1 
2 
.j3 
2 ...
TIPOS DE l1ATRICES 
Ejemplo: 
k - 2k k 
[u]= o 4k - 6k 
o o 8k 
ivfatriz Triangular Inferior: es una matriz cuadrada que t...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Para una matriz diagonal [D], 
d¡¡ o o o 
(D] = 
o d2'2 o o 
o o • • o • 
d ii ' * O V i = 1,...
Ejemplo: 
1 2 [A]= 
1 1 
(A]-1= -1 2 
1 -1 
Se ' ;erifica que: 
TIPOS DE l1ATRICES 
Para obtener la in,1ersa de una matriz...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
AI - 
- 0 . 2000 
0 . 2000 
0 . 1000 
0 . 1250 
0 .1250 
- 0 . 1250 
0 . 1500 
- 0 .1500 
0 ....
TIPOS DE l1ATRICES 
A2 - 
- 0 . 2000 
0 .1250 
0 . 1500 
0 . 2000 
0 .1250 
- 0 . 1500 
0 . 1000 
- 0 .1250 
0 . 0500 
1.4...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
2) Usando la matriz anterior calcule tr(k[B]) , con k=3. 
3) Dada la matriz [I<:] , determi11...
Capítulo 2 
Operaciones co11 inatrices 
2.1 Producto de un número real por una n1atriz 
Dada una matriz [.i.] para eraluar...
1 5 
[A]= 3 4 
- 1 o 
2 3 
[B)= 2 7 
o 4 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
2 10 3 4.5 
¡J [A]+ A.[B] = 6 8 + 3 10.5 
-2 o 
6 1...
OPERACIONES CON MATRICES 
La suma de [A]+[B] es: 
[S]= ª 11 + bl l 
ª 21 + b 21 
ª12 + b 12 
ª 22 + b 22 
Análogamente, la...
C¡ ¡ e = 
[ ] 
C'.?. I 
de modo que, 
[C] + [C]T 
2 
y 
[C] - [C]r 
2 
Ejemplo: 
-- 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
2 
2 
o ...
OPERACIONES CON MATRICES 
[C]-[C]T 
2 
Por tanto, 
o 
4-7 
2 
7-4 
2 
o 
[C] + [C]T [C] - [C]T 
----+ = 
2 2 
2 
5.5 
[C] ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
>> C2=(C-CT) . /2 
C2 - 
o 
- 1 . 5000 
>> Cl+C2 
ans - 
2 7 
4 6 
Ejemplo: 
1 .5000 
o 
a) C...
OPERACIONES CON MATRICES 
b) Calcular [A] - [B] 
1-2 5-3 
[A]-[B]= 3-2 4-7 
-1-0 0-4 
-1 2 
[A]- [ B] = 1 -3 
-1 -4 
Propi...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
B - 
1 
5 
o 
4 
4 
- 6 
8 
-5 
9 
a) Cálculo de [ .I.] + [B] 
>> A+B 
ans - 
3 
11 
o 
10 
8...
OPERACIONES CON MATRICES 
d) Cálculo de k( (A] + (B]) 
>> k*(A+B ) 
ans - 
30 100 160 
110 80 - 110 
o - 120 170 
e) Cálcu...
ans - 
10 
30 
o 
>> k*A 
ans - 
20 
60 
o 
30 
20 
- 30 
60 
40 
- 60 
>> c *A+k*A 
ans - 
30 
90 
o 
90 
60 
- 90 
JUAN ...
OPERACIONES CON MATRICES 
El producto interno [p] [c] se define 
n 
[P][ e]= L P ¡C¡ = P 1C1 + P 2C2 + · ··+ P¡C; 
i=l 
Da...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Cada elemento c iJ es el producto interno de la i-ésima fila de [i.] 
con la j-ésima columna ...
OPERACIONES CON MATRICES 
Ejemplo: 
 !erificar ([A][B])T = [B]T[A]T 
T 22 22 - 2 
([A][ B]) = 38 37 -3 
2 4 1 
3 7 5 
3 -1...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
>> B= [ l 4 8;5 4 -5; 0 - 6 9] 
B = 
1 
5 
o 
4 
4 
- 6 
8 
-5 
9 
>> C= [2 3 5 ;3 8 6 ;1 -2 ...
OPERACIONES CON MATRICES 
ans - 
62 22 144 
44 138 -2 
- 40 - 136 106 
>> A*B+A*C 
ans - 
62 22 144 
44 138 -2 
- 40 - 136...
a n s - 
0 . 0243 
- 0 . 0077 
0 . 0017 
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
- 0 . 0105 
0 . 0207 
0 . 0115 
- 0 . 0165 
0 . 0097...
OPERACIONES CON MATRICES 
También la matriz [A] se puede particionar 
ª11 ª12 ª 13 ª14 
A= 
ª 21 ª 22 ª 23 ª 24 =[~ 1 ~ 2 ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
ª11 ª 12 ª13 
Ái1 Ái2 
[A]= ª 21 ª 22 a,.,~ 
.-.> -··-··-·-·-·--·-··-·--·~·--·-··-- A21 A22 
...
OPERACIONES CON MATRICES 
Ejemplo: dadas [A] )i [B] calcular [A][B] 
2 5 6 
(A]= -6 7 1 
3 4 2 
-1 3 
( B] = 2 6 
o 4 
La ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Reemplazando los anteriores 1alores se obtiene finalmente: 
Ejemplo: 
8 60 
20 28 
-------~-~...
OPERACIONES CON MATRICES 
>> Bll=B( 1 :2,: ); 
>> B21=B (3, : ); 
>> AB=[Al l* Bll +A12*B21 ; A21*Bl l+A22*B21] 
AB - 
8 6...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
a) (A]+[B] 
b) 2(A] + 3[B] 
c) 4[.I.] - 3[B] 
1 2 
[A]= 3 4 
- 1 o 
- 1 3 
[E]= 2 6 
o 4 
2) ...
Capítulo 3 
Deter1ninantes e i11versió11 de inatrices 
3.1 Determinante de una matriz 
Si [A] es una matriz cuadrada de or...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
El menor NI21 se obtiene eliminando fila 2 )1 la columna 1 de [i]: 
M21 = 
por tanto, 
Ejempl...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
El cofactor asociado se calcula como 
Ái1 (- l)1+1M11 
Ái1 (-1)2 (10) = 10 
3.2 Ex...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
n 
L ª ikAjk =O, i * j 
k=l 
n 
L ª ¡qAki =O , j * i 
k=l 
Se define la matriz cofactor [A] c...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
A')1 = (-l) C'.:!+1) M ,.,1 = (-1)(3) 5 
- - -3 
~' = (-l)C'.:!+:i) M ,,? = (-l)C4...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Solución. 
Si se selecciona la 2ª columna, e11to11ces j=2. 
3 
Al = L ª k2Ak2 = ª12Ái2 + ª22~...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
A - 
2 
- 1 
2 
>> det(A) 
ans = 
14 8 
Propiedades. 
4 
3 
o 
-11 
-16 
21 
1) Si...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Expandiendo la primera fila: 
IA = O+ 4(-1)1+~ o 1 + 3(-1)1+3 o 
o 6 o 
2) Si la fila i o la ...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
>> A( :,l ) =l ambda*A( :, 1) 
A = 
4 
-2 
4 
>> det(A) 
ans = 
296 
4 
3 
o 
-11 ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
4) Si dos filas (o columnas) de una matriz[.!.] son iguales, entonces 
Al=ü 
Ejemplo: 
2 2 2 ...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
.5) El determinante de la transpuesta de una matriz (A] es igual 
al deter1ninante...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
6) El determinante del producto de dos matrices (A] JI (B] es igual 
al producto de sus deter...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
ans = 
112 
>> det(A* B) 
ans = 
112 
>> det (B*A) 
ans = 
112 
3. 3 Determinante ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
Calcule por conde11sación pi,;otal el determinante de [B] : 
2 1 o -3 
BI= 1 -2 4 5...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
2 1 o -3 
Al= 
5 o 4 - 1 
3 o 1 4 
-6 o 3 7 
Efectuando la expansión de la segunda...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
- - - - 
A11 ~l ••• 4i1 
- 
Ái2 ~2 • • • ~2 
• • • 
• • • An1 • • • 
[ A]-1 = 
A1n ~n Ajn 4in...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
La matriz [AJ se calcltló en el ejemplo pasado: 
25 -4 -3 
[A] = -26 4 3 
33 -5 -4...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: repetir el cálculo usa11do lIIATLAB 
>> A= [ l 5 2 ;1 1 7 ; 0 -3 4 ] 
A = 
1 
1 
o 
...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
3. Reemplazo de la fila j por la suma de la fila j más 'A ·veces la 
fila k donde ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
1 
[A]= 10 
-5 
-7 
4 
-6 
7 
-2 
-8 
6 
- 1 o o 
4 
o 1 o 
o o 1 
La siguiente operación fu1...
DETERMINANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
23 
Ahora el pi,;ote es el elemento ª·)·'= - 
_ ¿ 2 
F., ~ F,, 
1 
- - a.,., 
F., ~...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Procedemos a hacer cero el elemento a3:2 
F3 ----) F3 - F2 ( ª32 ) 
-7 
R ----) F~ - F? 
~ ~ ...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
Ahora se debe hacer cero el elemento a13 
F; ~F'¡-F3(a1 3 ) 
-4 
F;~F;-F3 
23 
Aho...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Por tanto, 
1 7 -2 
- 
5 50 25 
( A]-1 = 
- 1 4 12 
5 25 25 
2 -7 -23 
5 100 50 
Fi11almente ...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
En el cuadro 3.1 se prese11ta un programa para la in1ersión de 
matrices por el Ni...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
Calcular la in;ersa de la siguiente matriz 
1 5 2 
[A]= 1 1 7 
o - 3 4 
S olución: ...
ans - 
1 
o 
o 
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
o 
1 
o 
o 
o 
1 
3.6 Inversa de una n1atriz por medio de 
partici...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
De la ecuación tercera ecuación se obtiene 
Reemplazando en la primera ecuación se obtiene: 
...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
Finalmente la in,;ersa de [i.] se expresa 
Ejemplo: 
Calcular la in,;ersa de la ma...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
U san do la ecuación para [ B11 l • 
2 -6 
4 
-2 -1 
[B11l = 
4 
-8 18 
[B11l = -~ 1 
-2 ~ 
3...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
Calculamos el producto: 
- 7] 
-5 
= [3 - 7] = [-1] 
-2 
[B22 ] = {[1] - [-1]}-1 =...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Solución: 
>> A= [ l 5 2 ;1 1 7 ; O - 3 4 ] 
A = 
1 
1 
o 
5 
1 
- 3 
>> All=A(1 : 2 ,1 : 2) ...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
>> 8 ll=inv(All-A12* i nv(A22)*A21) 
811 = 
- 25 26 
4 -4 
>> 821=-inv(A22)*A21*81...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
>> AI=[Bll B12;B21 822 ] 
AI - 
- 25 
4 
3 
26 
-4 
-3 
-33 
5 
4 
3. 7 Referencias bibliográ...
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 
2 7 2 
(A]= 1 1 7 
4 -3 o 
2) Calcular el determinante usando la expansión de Lapl...
Capítulo 4 
Solución de sistemas de ecuacio11es 
lineales 
Dentro de las muchas aplicaciones del algebra matricial en 
ing...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Donde, 
ª 11 
ª 21 [A ]= • 
• • 
X [x]= .2 
• 
• 
bl 
[b] = 
b-,., 
• 
• • 
bn 
ª12 
• • • 
ª...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
El ' ;ector de incógnitas se calcula e11tonces por: 
Ejemplo: 
Solucionar el...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Luego se calcula la matriz Ad_j ([A]) : 
2 0 0 T 
A4f ([A])= [A]r = -4 1 - 1 
6 -2 4 
2 4 6 
...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
La solución del sistema es: 
1 -2 3 2 
[x]= O 0.5 -1 6 
o -0.5 2 4 
2 
[ x] ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
X = 
2 
- 1 
5 
4.3 Regla de Cran1er 
El Niétodo de Cramer para resolier un sistema de ecuaci...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Entonces la solución del sistema se obtiene como: 
X1 Ái l A21 ••• An1 b¡ 
X...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
ªi i b ¡ ª13 • • • ªin 
ª 2i b 2 ª? ~ ••• ª 2n -~ 
• • • • • • • • • • • • • • • 
ª ni b n a ...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
2 - 11 1 
- 1 - 16 -2 
2 21 5 -76 
=-4 X = -- 
2 19 19 
2 4 - 11 
- 1 3 - 16...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
La ultima ecuación, da como resultado: 
b' 
X = n n 4in 
Se puede determina xk de la k-ésima ...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
El cual tiene la for1na 
[A][x]=[b] 
Primero se obtiene la matriz aumentada:...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
1 
- 3 - 1 
1 
15 
- 
2 2 2 
o - 1 - 3 
- 1 
- 11 
2 2 2 
1 - 1 1 1 4 
3 2 - 1 - 1 3 
Las ope...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Ahora en la diagonal principal se convierte a uno el elemento 
ª22: 
1 
1 
-...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
La operación para la fila 4 es: 
F4 ----+ F4 - F¡ ( ª41) 
F4----+ F4 -F¡ (3) 
1 
-3 - 1 
1 
2...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
1 
-3 - 1 
1 
15 
2 2 2 
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JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
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SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
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JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
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SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
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JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
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SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
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JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
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SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
La matriz aumentada es: 
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JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
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SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
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JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
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SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Ejemplo: 
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JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
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SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
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JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
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SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
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1 
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JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
1 o o Ys 
[1 1 b *] = o 1 o -Ys 
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La solución por tanto es: 
En el cuadro 4. 3 se pr...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
% Método de Gauss Jordan % 
% 
% Solución del sistema de ecuaciones lineales...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo: 
La siguiente es la solució11 paso a paso del problema a11terior. 
M - 
M - 
M - 
M ...
M - 
M - 
M - 
M - 
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JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
% Metodo de Gauss Jordan % 
% 
% Solucion del sistema de ecuaciones lineales: 
% 
% [A] [X]= ...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Ejemplo: 
Utilizar el programa anterior de MATLiB, para resol,1er el 
sistem...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Si una matriz [i]n::n es simétrica, y definida-positiva, se puede 
descomponer de la forma: 
...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
a) El primer paso es obtener la matriz [G] : 
ª ')1 g - - - -1 21 - 1 - 
ª~1...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
g44=~7-(1 + 1 +4)= 1 
La matriz que se obtiene es: 
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1 
- 1 
o 
2 
1 - 1 
o o 
o o 
1 o ...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Resol;iendo la tercera ecuación : 
Y3 = 4+ Y2 - y1 = 4-1-2 
Y3 =1 
Y finalme...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Finalmente, 
X1 = 2 + X 2 - X3 - 2x4 = 2 + Ü + Ü + 2 
X1=4 
La solución es: 
X1 = 4 
X2 =Ü 
X...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Si se resuel1en las ecuaciones come11za11do por la primera, las 
soluciones ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
[A][x]=[L][z]=[f] 
Como [L] es una matriz triangular superior este sistema puede 
resol,;erse...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
Por eliminación, nos queda: 
=2=65-5(10)=15 
=3 =15+2(10)-3(15)=-JO 
Ahora d...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
4.8 Referencias 
Beaufait, F. ,,._ y Cliff, ,,. Computcr Mcthods of Structural 
Analysis. Pre...
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 
3) Resol,1er el problema 2 por el IYiétodo de Eliminación de 
Gauss. 
4) Res...
A11exo 
Dife1·e11ciació11 e i11teg1·ació11 de inat1·ices 
C011 MATLAB. 
En muchas aplicaciones de i.nálisis Matricial de E...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Para calcular la segunda deri,;ada de (N] se usa la instrucción: 
>> diff (N , x ,2 ) 
ans - ...
ANEXO 
Para calcular la integral de [B] , entre x=Ü y x=2, se usa la 
instrucción: 
>> BI =int (B , x , 0 , 2) 
BI - 
[ 2 ...
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Ejemplo A4: 
Dada la matriz 
X 
(C]= x3 
Se define en IVIi. TL.A.B como: 
>> syrns x L 
>> C=...
>> diff (C , x , 3) 
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[ o f o] 
[ 6 f o ] 
ANEXO 
Pa.ra calcular la integral de [C] entre x=Ü )i x=2, se usa la 
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JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 
Para calcular la integral de [C][C]T entre x=Ü y x=L, se usa la 
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AUSJAL
Libro de métodos matriciales con matlab para ingenieros [ph.d. juan carlos herrera]
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  1. 1. Métodos Matriciales 1 1 para ingenieros con MATLAB Facultad de Ingenieria
  2. 2. Pontificia Universidad JAVERIANA ----Cali---- Rect or: Jorge Humberto Peláez P iedrahita, 2.J. Vicerrect or Acooémico: Antonio de Roux Rengifo Vicerrect or del Medio Univers ita r io: Luis Fernando Granados Ospina, 2.J. F acultad de l ngenier fo, Decano Acádemico: Mauricio Ja.ramillo Ayerbe Decano del Medio Universitario: Albe1t o Benavides Herrán Directo1 Depto de Ciencias e Ingeniería de la Producción: Alvn.ro F igueroa Cabrera Título Métodos Matriciales con MATLAB Autor: Juan Carlos Herrera 2ánchez, Ph.D. 12BN 978-958-8347-52-3 Coordinador Editorial: Ignacio Murgueitio Restrepo e-mail: mignacio@javerianacali.edu. co © Derechos Reservados © 2 ello Editorial J averiano Correspondencia, suscripciones y solicitudes de canje: C::.lle 18 # 118-250 2 antiago de Cali, Talle del Ca u ca Pontificia Universidad J averiana Cali F acultoo de Ciencias de la 2alud Teléfono 3218200 ex-t. 493 - 533 VWV .j ::.verianacali. edu. co Formsto: 17 x 2& cms Concept o Gtáfico: Edith V ::.lencia F-. Edición: agosto de 2011
  3. 3. Métodos Matriciales 1 1 para ingenieros con MATLAB
  4. 4. Herrern. Sá.nchez, Ph D , Jun.n Cn.rlos :tvlétodos :tvl n.tricin.les pn.rn. ingenieros con :tvIA T LAB / J un.n Casios Herrern. Sá.nchez, P h.D . -- Sn.ntia.go de Cn.li: Pontificin. Universidad .Jn,verin.nn., Sello Editorin.l .Jn.ver in.no , 2011. p. 154 : il.; 17 x 25 cm. Incluye referencin.s bibliogr6ficn.s. ISBN 978-958-8347-52-3 1. lvi n.t rices (lvin.temáticn.s) 2. lvIA TLAB 3. Determinn.ntes 4. Ecun.ciones linen.les l. Pontificin. Universidad Jn.verin.nn. (Cn.li). F n.culta.cl de l ngenierín.. SCDD 512.9434 ed.21 BPUJC n.rm/ 11
  5. 5. Prefacio El presente texto está orie11tado hacia los cursos de pregrado de i.nálisis de Estructuras, Análisis Matricial y Dinámico de Estructuras y .A..11álisis Numérico, ofrecidos para Ingeniería Ci1il. También será de referencia en cursos de postgrado tales como Método de Eleme11tos Finitos. No obsta11te, será útil como texto de referencia para estudia11tes de otras áreas de la i11geniería ofrecidas por la Facultad. En el Capítulo 1 se presentan los conceptos básicos del álgebra de matrices así como al manejo de 1ectores y matrices con MATLAB. En éste capítulo JI a lo largo del texto se presentan nu1nerosos ejemplos usando el soft:vare citado, para que sirvan de complemento a los aspectos teóricos presentados. En el Capítulo 2 se tratan las operaciones fundamentales con ma trices. El Capítulo 3 está dedicado al tema de inversión de matrices y al cálculo de determinantes. En el Capítulo 4 se prese11tan los métodos tradicionales para la solució11 de sistemas de ecuaciones lineales. Finalmente, en el Anexo, se presenta una introducción a al tópico sobre integración y diferenciación de matrices usando NIATLAB. El texto es de carácter introductorio, y por tanto será de utilidad tanto a estudiantes de pregrado de ingeniería, como a profesionales de inge11iería. El Autor
  6. 6. Tabla de co11te11ido Capítulo 1. T ipos de matrices ....... . _. ....... __ ..... . _. ...... . __ .. 9 1.1 Definiciones.... .. ....... ......... .. ....... ......... .. ....... .......... 9 l . 2 Manipulació11 de ·vectores y inatrices en MATL.A.B· ........ . 10 1.3 Clases de matrices ............... ........ . ......... ........ . .......... 20 1.4 Referencias bibliográficas ..... .. ·--- ······· ·-- ··· ····- ······· ·- ·-·· 41 1. 5 Problemas ... . _ ...... .......... .. ...... _ ... ...... .. ...... _ . . . . . . . . . . . . . 41 Capítulo 2. Operaciones con matrices ....... _ ....... . _ ........ _ ... 43 2.1 Producto de un número real por una matriz .. .. .. ..... ... _ .. 43 2.2 Suma de matrices .. ............... -······· -- ······· --······· -- ··· .. 44 2.3 J!Iultiplicación de matrices ... ·-··· ···· ·-·· · -··· --··· ···· ·-·· · -·-·· 52 2. 4 P artición de matrices... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.5 Referencias bibliográficas ......... .. ........ ........ _ ......... ..... 63 2.6 Problemas .. ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... .. 63 Capítulo 3. Deter1ninantes e inversión de inatrices ... . _ .. ..... 65 3.1 Determinante de una matriz ..... _ ....... __ ... _ .... _....... ... 65 3.2 Expansión de Laplace ........ .. ................ .. ................ . 67 3. 3 P eterminante por Condensaciónn P ivotal. ... . __ _ .... _. ___ ... _ 77 3.4 Inversión usando la matriz adjunta .... .. ............. .... ...... 79 3.5 J!Iétodo de Gauss-Jordan ....... ... ............... ... .. ....... .. .... 82 3. 6 Inversa de u11a inatriz por medio de partición ............... 91 3. 7 Referencias bibliográficas ................ ... ..... __ . ......... . _... 98 3. 8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7
  7. 7. Capítulo 4. Solución de sistemas de ecuaciones lineales ... ... 101 4.1 Forma matricial de las ecuaciones.. . . . ... ... . ... ___ . . ... 101 4. 2 Solución por inversión de matrices ... ...... __ ........ _ ........ .. 102 4.3 Regla de Crarner .... ... ....... ........ ... ...... . ....... .. .. ........ .. 106 4.4 l1étodo de eliminación de Gauss .... . ...... .. . .... ..... ....... .. 109 4.5 Método de Gauss-.Jordan .. ............... ... ................ ....... 127 4.6 J!Iétodo de Cholesl<J'. · -····· ·-- ······ ·--- ····· ·-- ······ ·--- ········ 137 4. 7 Factorización L U .. ................ .. ................ .. ....... _._ ..... . 142 4.8 Referencias bibliográficas .. .. . ....... . ___ ..... . ___ ..... ...... ..... 146 4 9 Problemas .. ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... .. 146 Anexo. Difere11ciación e integració11 de matrices con Mi.TLi.B ..... ___ ... ··· -·· --·- ······ ·········· -·-·· --·-·-· ···· -······ -·- ·-·-·-·-· ····· 149 8
  8. 8. Capítulo 1 Tipos de matrices 1.1 Definiciones Una matriz se defi11e como un conjunto de elementos ordenados en u11 número de filas m )' un número de columnas n. En este caso la matriz se dice que es de orden ( m x n). La matriz [A]m:: n se define por: z ª1 1 ª12 ••• ªin ª21 ª 22 • • • a ? A= _n • • • a lj a in a mn a m2 a. m; a mn La i-ésima fila de [A] tiene n elementos: a.,, · · · a ] , _ in lxn La j-ésima columna de [.A..] tiene m eleme11tos: a,, . - ) • • • am;. 9
  9. 9. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ En la matriz anterior cada a ij indica el elemento ubicado en la fila " i/' )1 la columna "j" . Por ejemplo: el elemento a3 :2 es el elemento de la fila 3 y columna 2. U na matriz de orden ( 1 x n) , tiene 1 sola fila , es un vector fi la. Se puede escribir: U na matriz de orden ( m x 1), tiene 1 sola columna y m filas, se denomina vector colum11a. 1.2 1ifanipulación de vectores y matrices en J!IATLAB Para crear u11 1ector fila en Nii. TLAB, se escribe el conjunto de elementos entre corchetes. Se separan por espacios o u11a coma(,) para delimitar los números. >> va=[-1 O 1] v a - 1 o Si se usan comas: >> va=[-1, O, 1 ] v a - 1 o 1 1 Vector columna: Para crear un vector columna, se escribe el conjunto de números entre corchetes y se separan por punto y coma (;): >> vc=[1; 2 ;4;1 6 ] 10
  10. 10. TIPOS DE l1ATRICES ve 1 2 4 16 Transpuesta de un iector: Un iector fila se puede convertir a un iector columna calculando su transpuesto. Se usa el comando trans pose (V) o la comilla(') . Ejemplo: Obtener un vector columna del vector ia=[-1 O 1]. >> ve=va' ve - 1 o 1 >> ve=transpose (va) ve - 1 o 1 Calcule1nos un vector fila, usando el iector columna [;c] : >> ve=[1; 2 ;4;1 6 ] ve 1 2 4 16 >> v f=ve' v f 1 2 4 16 11
  11. 11. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Para definir un vector igualmente espaciado se da el comando: x=[ ví : í: vf] Donde : vi: ialor inicial vf: ialor final i: incremento Para generar el iector a=[O 1 2 ... 9] se escribe e11 MATLi.B: >> a=[O:l: 9] a = o 1 2 3 4 5 6 8 9 7 Creemos el iector x=[O , 0.25, O 5, ... ,1.75, 2]T, con increme11tos de 0.25, >> x = [ 0 : 0 . 25 :2 ] ' X = o 0 . 2500 0 . 5000 0 . 7500 1 . 0000 1 .2500 1 . 5000 1 . 7500 2 . 0000 Otra forma es usar el comando lins pace (Xl , X2 , N). Este comando genera N puntos entre los valores Xa11d X. 1 2 Para crear el iector x=[O , 0.25, O 5, ... ,175, 2]T se escribe en Mi. TL.i.B: >> B=l inspace (0 ,2, 9) ' 12
  12. 12. B - o 0 .2500 0 . 5000 0 . 7500 1 . 0000 1 . 2500 1 . 5000 1 . 7500 2 . 0000 TIPOS DE l1ATRICES Para definir u11a inatriz se escriben las filas separadas por ";". Pa.ra definir la matriz [B] de 2 filas y 3 columnas, se escribe: >> B= [l 2 3;4 5 6 ] B = 1 4 2 5 3 6 La otra forma es introducir la primera fila y luego d ar en ter (+--). >> B= [l 2 3+- 4 5 6 ] B 1 4 2 5 3 6 Para definir una matriz t ambién se puede separar cada fila por (( . 11 ~ . . . 13
  13. 13. >>ml= [2 ml - o o 6 o o 2 o o 6 o o o 156 22 o 54 -13 o 156 22 o 54 - 13 JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ o 22 4 o 13 -3 o 22 4 o 13 -3 6 o o 12 o o 6 o o 12 o o o 54 13 o 56 -22 o 54 13 o 56 -22 o - 13 -3 o -22 4 Para indicar el elemento b 12 escribimos >> b l2=B( l ,2) b12 = 2 De igual forma para indicar el eleme11to b28 escribimos: >> b23=B(2,3) b23 = 6 o; . . - -13; . . . -3; .. . o; . . . -22; . .. 4 l ; El orden de (B] es (2x 3). En lIIATLAB para obtener el orden de una matriz es el comando size. >> size(B) ans - 2 3 14
  14. 14. TIPOS DE l1ATRICES El comando si z e indica el numero de filas y colu1nnas de la matriz. Otra forma usar este comando es: >> [m,n]=size(B ) m - 2 n = 3 La siguiente instrucción retor11a el ·vector {Vb} con el número de filas y columnas de la matriz (B]. >> Vb=size (B) Vb - 2 3 Ejemplo: Para definir la matriz fila [.!.] de 1 fila y 3 colum11as, se escribe: >> A= [ l 2 3 ] A= 1 2 3 >> [m,n]=size(A) m = 1 n = 3 15
  15. 15. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Para obtener el número de filas de un 1ector columna, o el número de columnas de u11 1ector fila e11 MATLi.B, se usa el comando length(V) >> length (A) ans - 3 Ejemplo: Para definir un 1ector columna [A] de 3 filas, se escribe los elementos separados por ";" : >> A= [2;4;6] A = 2 4 6 >> length (A) ans - 3 >> [m,n]=size(A) m = 3 n = 1 16
  16. 16. TIPOS DE l1ATRICES Para obtener la columna j-ésima de una matriz [A] se da la instrucción A ( : , j ) . Ejemplo: >> A A = 1 4 6 2 5 5 3 6 4 Así para definir un vector, con la primera columna de la matriz [AJ, escribimos: > > NV=A ( : , 1) NV 1 4 6 >> NV=A ( :, 3) NV 3 6 4 Para definir un iector, con los elementos de la k-ésima fila de la matriz [.I] , se da la instrucción A ( k , : ) . 17
  17. 17. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Ejemplo: Para defi11ir un iector fila; con la pri1nera fila de la inatriz [AJ, se da la i11strucció11: >> vf=A(l,:) vf 1 2 3 De la misma forma para obtener un vector de la fila k-ésima de una matriz [.A..] y las columnas de la m a p, se da la instrucción A(k,m :p) . Ejemplo: >> A A= 1 4 6 5 4 5 5 6 3 6 4 7 5 8 7 9 Para formar el vector de la fila 3, columnas de la 2 a la 4 , se da la instrucción: >> vf=A(3,2 :4 ) vf 5 4 7 18
  18. 18. TIPOS DE l1ATRICES Para formar el vector de la columna 2, filas de la 2 a la 4, se da la instrucción: >> vc=A(2 : 4,2) ve - 5 5 6 Ejemplo: ge11erar la matriz [Bl] con los ele1nentos de la filas 2 a 5 y columnas 3 a 5 de [B]. >> B=5*eye(5) B = 5 o o o o o 5 o o o >> Bl =B(2 : 5 ,3: 5) Bl - o 5 o o o o 5 o o o 5 o o o o o 5 o o o 5 o o o o o 5 Para borrar la segunda columna de B se escribe: B( :, 2) = [] 19
  19. 19. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ B - 5 o o o o o o 5 o o o o o 5 o 1. 3 Clases de matrices JIIatriz nula o o o o 5 U na rnatriz de orden ( m x n), con todos sus elementos iguales a cero se define como matriz nula. Así por ejemplo, la matriz [ü]8 xS, se define o o o [O)= O O O o o o Ejemplo: Para definir una matriz nula en !vIATLAB se usa el comando zeros (m ,n) donde mes el i1ú1nero de filas y n el nú1nero de columnas. >> B=zeros(3 , 3) B = o o o o o o o o o 20
  20. 20. TIPOS DE l1ATRICES La matriz [B] creada es de orden (3 x 3) Para crear u11a matriz nula de orden ( 4 x 3) damos la instrucción: >> C=zeros(4 , 3) e = o o o o o o o o o o o o Para generar un iector fila nulo se escribe: >> v=zeros(l ,4 ) V = o o o o Para generar una 1ector columna nulo se escribe: >> v o=zero s(4 , 1 ) vo o o o o 21
  21. 21. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Matriz t ranspuesta Si la matriz (A] se define por: Se define la matriz transpuesta como: ªi l ª 21 ... [A]T = ª 12 ª 22 ... • • • .• .• ª in ª 2n Ejemplo: Si se define (A] por: p [A]= u X s V y t w -- a mi a m2 amn Entonces la transpuesta de [i.] es: u X V y w -- 22
  22. 22. TIPOS DE l1ATRICES Propiedades: ([A)T)T = [.t] ([A] ± [B]) T = [A]T ± [B]T ([A][B]) T = [B]T[A]T ([A][B][C]) T = [C)T[B]T[,L]T Ejemplo: Para obtener la transpuesta de una matriz en NI.t TL.tB se usa el comando tranpose (A) o simplemente A' . Definamos la matriz [i] como >> A= [ 2 4 - 6 8;4 4 8 0;-5 10 3 2; 8 10 12 - 6 ] A = 2 4 - 5 8 4 4 10 10 - 6 8 3 12 >> AT=transpose(A) AT - 2 4 - 6 8 4 4 8 o -5 10 3 2 8 o 2 - 6 8 10 12 - 6 T ambién se puede dar la instrucción: >> AT=A' 23
  23. 23. AT 2 4 - 6 8 4 4 8 o JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ - 5 10 3 2 8 10 12 - 6 Para comprobar ((A]T)T = [A] , calculamos la tra11spuesta de [AT]: >> AT' ans 2 4 - 5 8 4 4 10 10 - 6 8 3 12 JIIat riz cuadrada 8 o 2 - 6 Es una matriz que tie11e el número de colum11as igual al de filas, m = n. La matriz se dice que es cuadrada de orden n x n. ª 11 ª12 Clin ª 21 ª 22 . . . ª 2n (A)= • .• ª u a in a nl a n2 a nj a nn La diagonal principal de u11a matriz cuadrada son los eleme11tos a, a, .. . ann La diago11al secundaria es la formada por los 11 22 elementos a1n, a2_n-t, . .. , ª nr 24
  24. 24. Ejemplo: 2 6 1 [A]= 6 4 -6 o -6 8 TIPOS DE l1ATRICES La diagonal principal está formada por 2,4 ,8 y la diagonal secundaria por 1 ,4,0. Traza de una inatriz cuadrada es la sumatoria de los eleme11tos de la diagonal principal. n Tr(A) =La,.¡ =a11 + a22 + ... + ann i- 1 Ejemplo: 2 6 o [B]= 6 4 -6 o -6 8 El ·valor de Tr(B)= 2+4+8= 14 Propiedades: 1) Tr ([A] ± [B]) = Tr([i.]) ± Tr([B]) 2) Tr (A.[A])= A, Tr([A]) , A.: constante 3) Tr (A.([A]+[B]))= A. Tr ([i.])+'A Tr ([B]) 4) Tr ([A][B])= Tr ([B] [.A]) La traza se calcula en llf i.TLAB, con el comando trac e (A) • 25
  25. 25. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Ejemplo: >> B= [2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8 ) B = 2 6 o 6 4 - 6 >> tB=trace (B ) t B - 14 8 - 6 8 Si k=l O, entonces tr(k*B)=10*14=140 EnMATLAB: >> k=lü ; >> tr a ce (k* B) ans = 14 o J!Iatriz diagonal Si [A] es una matriz cuadrada, en donde ªu= O para i -::f. j , entonces se dice que [ . I.] es una matriz diago11al. La diagonal puede conte11er elementos nulos o no. ª 11 o o o [A]= o o o ª2'.?. o o • • o • o o o ann 26
  26. 26. TIPOS DE l1ATRICES Matriz identidad Es u11a matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. También se denomina matriz unidad. Se representa generalmente por [I] . [1] = 1 o o 1 o o • o o • o o o o o o 1 Se puede escribir mediante la ecuación: l,i = j ª u= {O,i -:t= j JIIatriz escalar Si [.A..] es una matriz diagonal, en donde a¡¡ = A, para i= 1, ... , n , entonces se dice que [A] es una rnatriz escalar. Por ejemplo: Á o o [A]= O O o o Ejemplos en MA TLAB: 1 2 3 Crear la matriz [A]= 4 5 6 6 5 4 27
  27. 27. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ En MATLAB se escribe: >> A= [ l 2 3 ;4 5 6 ; 6 5 4] A = 1 4 6 2 5 5 >> [m,n]=size (A) m = 3 n = 3 3 6 4 La diagonal principal, en forma de 1ector, se obtiene con el comando diag. >> d=d iag (A) d = 1 5 4 >> n=l ength( d ) n = 3 El 1ector diagonal es de orden n=3 28
  28. 28. TIPOS DE l1ATRICES Ejemplo: Para obtener la traza en IVIi.TLi.B se usa el comando t race (A) >> Tra=trace(A) Tra - 10 Ejemplo: Para generar una matriz identidad de orden n=5, se usa el comando de Mi.TLAB eye (N) >> A=eye(5 ) A= 1 o o o o o 1 o o o Calculemos la traza: >> trace(A) ans - 5 o o 1 o o o o o 1 o 29 o o o o 1
  29. 29. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Ejemplo: Para ge11erar u11a matriz identidad de orden n=4, usamos los comandos ones )1 diag. Pri1nero se crea u11 vector inediante la instrucción: >> V=ones (4 ,1 ) V = 1 1 1 1 Luego generamos la matriz diagonal J!II con el iector V >> MI =diag(V) MI 1 o o o o 1 o o o o 1 o o o o 1 De manera simplificada, también se puede escribir: >> MI =diag(ones(4 ,1 )) MI 1 o o o o 1 o o o o 1 o o o o 1 30
  30. 30. TIPOS DE l1ATRICES Ejemplo: Para obtener la inatriz [E]=c[I] , co11 el ' ;alor c=lü, se dan las instrucciones: >> c=lO ; >> E=c*eye(5) E = 10 o o o o o 10 o o o o o 10 o o o o o 10 o o o o o 10 Otra forma es gener ar un ' ;ector, mediante la i11strucción siguiente: >> V=10*ones(5 , 1) V = 10 10 10 10 10 Luego se genera la matriz con el ';ector anterior: >> C=d iag(V) e = 10 o o o o o 10 o o o o o 10 o o o o o 10 o 31 o o o o 10
  31. 31. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Ejemplo: Para generar una matriz diagonal CU)'OS eleme11tos 1an de -3 a 3 se da la instrucción en Mi.TLAB: >>m=3; >> diag( -m:m) ans - -3 o o o o o o o -2 o o o o o o o -1 o o o o o o o o o o o o o o o 1 o o o o o o o 2 o Ejemplo: verificar en Nli.TLAB [I]=[I]T; [E]=[E]T >> I=t ranspose (MI) I = 1 o o o o 1 o o o o 1 o >> ET=trans pose(E) ET - 10 o o o o o 10 o o o o o 10 o o o o o 1 o o o 10 o 32 o o o o 10 o o o o o o 3
  32. 32. TIPOS DE l1ATRICES Mat riz simét rica Es una matriz cuadrada [A] en que se cumple a .. = a .. para todo l) J l 1 < i , j < n . Toda matriz si1nétrica satisface [A]= [i]T Ejemplo: k -2k o [K] = -2k 4k -6k o -6k 8k Su transpuesta es: k -2k o [K]T = -2k 4k -6k o -6k 8k JIIatriz antisimétrica Es una matriz cuadrada [A] e11 que se cumple aii = -aj¡· Toda matriz antisimétrica satisface [,i]=-[. .l .]T. Los elementos de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: o 2k k [Ka]= -2k o 6k -k -6k o Su transpuesta es: o -2k -k [Ka]T = 2k 0 -6k k 6k o 33
  33. 33. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ o 2k k - [Ka]r = -2k Ü 6k -k -6k o Se ' ;erifica que [i.]=- [.. l .]T 1!Iatriz opuesta La inatriz opuesta de una matriz [B] es la que resulta de sustituir cada elemento por su inverso aditivo. La opuesta de [B] es - [B]. Cada elemento de la matriz opuesta es -bij Ejemplo: 2 6 [B] = 9 -7 - 7 8 -2 - 6 - [B]= -9 7 7 -8 1!Iatrices ortogonales Dos matrices [A] )1 [B] son ortogo11ales entre si cuando se verifica: ( A]r ( B] = ( B]r (A]= ( 1] Una matriz cuadrada [A],,,,n se dice que es ortogonal cuando multiplicada por su transpuesta da como resultado la matriz identidad: 34
  34. 34. TIPOS DE l1ATRICES Ejemplo: Verificar si las matrices 1 1 2 -1 (A)= -1 -2 ; [B)= 1 1 1 2 o 2 son ortogonales. Calculando primero el producto [i]T[B] 2 -1 [A )T [ B) = l -1 1 1 1 1 -2 2 o 2 T 2(1) + 1(-1) + Ü (A) [B)= -1(1)+1(-1) +2(1) 2(1) + 1(-2) +o -1(1) + 1(-2) + 2(2) Ahora se calcula el producto [B]T[A]: 1 o o 1 2(1) + 1(-1) +o -1(1) + 1(-1) + 2(1) 2(1) + 1(-2) +o -1(1) + 1(-2) + 2(2) 35 1 o o 1
  35. 35. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Ejemplo: ! erificar que la siguie11te inatriz [O] es ortogonal. .j3 1 [C]= 1 2 .j3 2 2 2 La matriz transpuesta es: .j3 1 2 2 1 .j3 2 2 por tanto: .j3 1 2 1 2 J3 2 2 .j3 2 1 2 JIIatriz triangular 1 2 J3 2 Matriz Triangular Superior: es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos debajo de la diagonal pri11cipal nulos. ª1 1 ª12 ... ªin o [A]= ª 22 ••• ª 2n • • • • . . ª u ain o o o ann 36
  36. 36. TIPOS DE l1ATRICES Ejemplo: k - 2k k [u]= o 4k - 6k o o 8k ivfatriz Triangular Inferior: es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diago11al principal iguales a cero. ª11 o • • • ª 21 ª 22 ... [A]= ª iJ an.l ª n.2 anj Ejemplo: k o o [L] = 2k 4k O k 6k 8k Matriz in versa o o o ann Una matriz [A] cuadrada de orden n es una matriz invertible, si existe una matriz [B] de orden n, tal que: [i.] [B] = [B] [.A.]= [I] [B] se denomina matriz in·versa de [i.]. Se usa la notación [B]= [AJ-1 37
  37. 37. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Para una matriz diagonal [D], d¡¡ o o o (D] = o d2'2 o o o o • • o • d ii ' * O V i = 1, 2, ...n o o o dnn su iniersa [D]-1 se define por: Yall o ... o o Ya22 ... o [D]-1 = . .. • . .. • • • o o ... Yann Propiedades: 1) ([A]-1)-1 = [A] 2) ( c[.. i ])-1 = [A]-1/ e , ci= O 3) ([A] [B])-1 = [B]-1[.A.]-1 4) ([,i]T) -1 = ([_,i]-1 )T Pa.ra el producto de varias matrices: 38
  38. 38. Ejemplo: 1 2 [A]= 1 1 (A]-1= -1 2 1 -1 Se ' ;erifica que: TIPOS DE l1ATRICES Para obtener la in,1ersa de una matriz e11 MATLAB se usa el comando inv (A) Ejemplo: Dada la matriz [AJ: a) Calcular [AJ-1 >> A= [2 4 6;4 4 0;6 2 8 ] A= 2 4 6 4 4 2 >> AI=inv(A) 6 o 8 39
  39. 39. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ AI - - 0 . 2000 0 . 2000 0 . 1000 0 . 1250 0 .1250 - 0 . 1250 0 . 1500 - 0 .1500 0 . 0500 Para obtener la iniersa de u11a matriz en IYIATLiB otra opción es dar el coma11do se usa el comando A/. ( -1 ) >> AA (-1 ) ans = - 0 . 2000 0 . 2000 0 . 1000 0 .1250 0 . 1250 - 0 . 1250 0 .1500 - 0 . 1500 0 . 0500 b) Verificar co11 MiTL.AB ([.A]-1)-1 = [A] >> (inv(A) )/.( - 1) ans - 2 . 0000 4 . 0000 6 . 0000 4 . 0000 4 . 0000 2 . 0000 6 . 0000 o 8 . 0000 b) Verificar co11 M.ATL.AB que ([.A]T)-1 = ([i]- l)T >> Al=inv(tr anspose(A)) Al - - 0 . 2000 0 . 1250 0 . 1500 0 . 2000 0 . 1250 - 0 . 1500 >> A2=t ranspose( inv(A)) 0 .1000 - 0 . 1250 0 . 0500 40
  40. 40. TIPOS DE l1ATRICES A2 - - 0 . 2000 0 .1250 0 . 1500 0 . 2000 0 .1250 - 0 . 1500 0 . 1000 - 0 .1250 0 . 0500 1.4 Referencias bibliográficas Etter, Delores 11. Solución de problemas de ingeniería con J1JATLAB. México, D.F.: 11cGraw-Hill Interamericana, 1998. Hsieh, Y. Teoría elemental de estructuras. Prentice Hall Hispa11oamericana, iVIéxico , D.F. , 1970. l(iusalaas, .J. Numcrical J1Jcthods in Enginccring with J1JATLAB. Cambridge U ni,;ersit); Press, 2009. l(olman, B. Algcbra lineal con aplicaciones y ll!fatlab. Prentice Hall Hispanoamericana, México, D.F , 1999. Laub, i.. ll!fatrix Analysis for Scicntists and Enginccrs. SIAM: Society for Industrial and ipplied Mathematics. Philadelphia, 2004. Mathews J , Fink, l(. lVIétodos numéricos con JVIATLAB, Madrid, Pre11tice Hall, 2000. Uribe, .J. J1Jicrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe Ediciones, Colo1nbia, 1995. Yang, , , . Y et. ..l .l. Applicd Numerical J1Jethods Using J1JATLAB. ''Tile)r-Interscience, 2005. 1.5 Problemas 1) Calcular la trazri. de [B] 1 6 o [B ]= 6 -3 -6 o -6 8 41
  41. 41. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 2) Usando la matriz anterior calcule tr(k[B]) , con k=3. 3) Dada la matriz [I<:] , determi11e (I<:]T k -2k 6k [ K ] = -k 4k -6k 4k -6k 8k 4) Verificar si la siguiente matriz (O] es ortogonal. [C]= -13 1 2 1 2 J3 2 2 5) Calcular la in;ersa de la matriz k o o [D] = O 4k O o o 8k 42
  42. 42. Capítulo 2 Operaciones co11 inatrices 2.1 Producto de un número real por una n1atriz Dada una matriz [.i.] para eraluar el producto ,B(A], donde ,8 es un escalar, se multiplica cada elemento a ij por /3 . ª11 ª12 ... ªin ª 21 ª 22 ... a2n [A]= • .• ª u ain amn am~ amj amn Entonces, f3a1 1 f3a12 ••• f3a1n f3a21 f3a22 ••• f3a~n /3 [A] = • • .• .• jJaiJ f3ain /Jamn f3am2 /JamJ /Jamn Propiedades: 1)( ,8+ A- )(A]= ,B[A]+ A-[A] 2) A-([.i.] + [B])= A-[.i.]+ A-[B] 3) A-(/3 [A])= (A/1) [.i.] ,8, A: constantes Ejemplo: Dadas [A] y [B] , ,8=2, A-=1.5, calcular,8[.i.] + A-(B] 43
  43. 43. 1 5 [A]= 3 4 - 1 o 2 3 [B)= 2 7 o 4 JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 2 10 3 4.5 ¡J [A]+ A.[B] = 6 8 + 3 10.5 -2 o 6 14.5 ¡J[A] +A.[B]= 9 18.5 -2 6 o 6 2.2 Suma de n1atrices La adición de matrices o suma de matrices entre la matriz [.A..]nu:n y la matriz [B]""' se puede realizar sólo cuando ambas matrices tiene11 la misma dimensión, es decir m=r y n=s. El resultado de la adición de dos matrices es otra matriz [S] de m'1'n la misma dimensión, cuyo elemento s .. = (a .. + b .. ) l) l) IJ Dadas las matrices, 44
  44. 44. OPERACIONES CON MATRICES La suma de [A]+[B] es: [S]= ª 11 + bl l ª 21 + b 21 ª12 + b 12 ª 22 + b 22 Análogamente, la resta se expresa: [D]=[A]-[B] [D] = ª11 - bl 1 ª21 - b 21 ª12 - b 12 ª22 - b 22 Cualquier inatriz cuadrada se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y de una antisimétrica. Si [O] es una matriz cuadrada, entonces: [ C] = [C] + [C]T + [C] - [C]r 2 2 En la expresión anterior, el primer término es una matriz simétrica y el segundo una matriz antisimétrica. Dado que: [C] + [C]T 2 [C] - [C]r 2 En las expresiones anteriores, el intercambio de j y k no genera cambio e11 la pri1nera ecuación, pero si cambia el signo de la segunda ecuación. Por ejemplo, si 45
  45. 45. C¡ ¡ e = [ ] C'.?. I de modo que, [C] + [C]T 2 y [C] - [C]r 2 Ejemplo: -- JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 2 2 o c12 - c21 2 c21 - c 12 o 2 Dada [O] verificar las expresiones anteriores. 2 7 (C]= 4 6 2 4 [ c]T = 7 6 [C] + [C]T 2 2 4 + 7 2 7+4 2 6 46
  46. 46. OPERACIONES CON MATRICES [C]-[C]T 2 Por tanto, o 4-7 2 7-4 2 o [C] + [C]T [C] - [C]T ----+ = 2 2 2 5.5 [C] + [C]T [C]-[C]T 2 7 ----+ = 2 2 4 6 Ejemplo: 5.5 6 + o -1.5 1.5 o Dada [O] verificar las expresiones anteriores en MATL.i.B. > > C= [ 2 7 ; 4 6 ] e = 2 7 4 6 >> CT=C' CT - 2 4 7 6 >> Cl=(C+CT) . /2 Cl - 2 . 0000 5 . 5000 5 . 5000 6 . 0000 47
  47. 47. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ >> C2=(C-CT) . /2 C2 - o - 1 . 5000 >> Cl+C2 ans - 2 7 4 6 Ejemplo: 1 .5000 o a) Calcular [ .I.] + [B] 1 5 [A]= 3 4 -1 o 2 3 [ B] = 2 7 o 4 1+ 2 5+3 [A] + [B]= 3+ 2 4+7 -1 + 0 0 + 4 3 8 [A] + [B]= 5 11 -1 4 48
  48. 48. OPERACIONES CON MATRICES b) Calcular [A] - [B] 1-2 5-3 [A]-[B]= 3-2 4-7 -1-0 0-4 -1 2 [A]- [ B] = 1 -3 -1 -4 Propiedades: 1) (A]+([B]+[C]) = ((A]+[B])+[C] 2) (A]+[B] = [B]+(A] 3) (ü]+[i] = (A]+ [ü]= [A] 4) (A] + (-(A]) = (-[,i]) + [.A.] = (O] .5) e( k(A ])=( ck) [.i] 6) k([.A.] + (B]) = k[A] + k[B] 7) (e + k)[A] = c[i] + k[A] Ejemplos en MA TLAB: >> A= [2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8] A = 2 6 o 6 4 - 6 8 - 6 8 >> B= [ l 4 8;5 4 -5; 0 - 6 9] 49
  49. 49. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ B - 1 5 o 4 4 - 6 8 -5 9 a) Cálculo de [ .I.] + [B] >> A+B ans - 3 11 o 10 8 - 12 16 -11 17 b) Cálculo de [B] + [A] >> B+A ans - 3 11 o 10 8 - 12 16 -11 17 c) Cálculo de [A] - [B] >> A-B ans - 1 1 o >> k=lO k = 10 2 o o o -1 -1 50
  50. 50. OPERACIONES CON MATRICES d) Cálculo de k( (A] + (B]) >> k*(A+B ) ans - 30 100 160 110 80 - 110 o - 120 170 e) Cálculo de k([B] + [.i.]) >> k* (B +A) ans - 30 100 160 110 80 - 110 o - 120 170 >> c=5 e = 5 f) Cálculo de (e + k)[A] >> (c+k)*A ans - 30 90 o >> c*A 90 60 - 90 120 - 90 120 51
  51. 51. ans - 10 30 o >> k*A ans - 20 60 o 30 20 - 30 60 40 - 60 >> c *A+k*A ans - 30 90 o 90 60 - 90 JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 40 -30 40 80 - 60 80 120 - 90 120 2.3 l!Iultiplicación de matrices Antes de definir la multiplicación de matrices, co11sidérese el producto inter110 de dos ·vectores de tamaño n. El iector fila [p] tiene n elementos: El iector colu1nna [c] tiene n elementos: 52
  52. 52. OPERACIONES CON MATRICES El producto interno [p] [c] se define n [P][ e]= L P ¡C¡ = P 1C1 + P 2C2 + · ··+ P¡C; i=l Dada u11a matriz [i.] de di1nensió11 {m x n) y una inatriz [B] de dimensión {nxr), la multiplicación queda definida por: [A]mxn [ B]rrc,. = [ C]mxr donde el elemento c .. esta dado por: lj n e = ~ a kb1q· = a 1b1 . + a.?b,, . + ···+a b . lJ ~ 1 1 J 1 _ -J in nJ k=l Es decir, cada fila de [.!.] se multiplica por cada columna de [B]. El número de columnas de [A] debe ser igual al número de filas de [B]. ª1 1 ll¡ 2 ll¡ 3 bl 1 b l2 (A)= ª 21 ª22 ª 23 [B) = b 21 b 22 ª31 ª32 ª33 b31 b 32 La multiplicación esta dada por: ª11 ª 12 ª13 bl 1 b12 -~ h21 h22 [ c ]3x2 = ª21 ª22 a,,~ ª31 ª32 ª~~ ~~ b31 h~? ~- ( ª1lbl1 + ª12b21 + ª 13b31) ( ª 11b12 + ª12b22 + ª13b32 ) [ C]3x2 = (a21b11 + ª22b21 + ª23b31 ) (a21b12 + ª22b22 + ª 23b32 ) (a31h11 + ª32h21 + G33h31 ) (a31h12 + ª32h22 + G33h32 ) 53
  53. 53. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Cada elemento c iJ es el producto interno de la i-ésima fila de [i.] con la j-ésima columna de [B]. Por ejemplo, el eleme11to c81 es bl 1 C31 = [ a31 a3'.?. a33 ] b'.?.1 b31 Ejemplo: dadas [A] y [B] , calcular [ .. i][B] . 1 5 [A]= 3 4 -1 o 2 3 [B] = 4 7 1(2) + 5(4) [A][B]= 3(2) + 4(4) -1(2) + O( 4) 22 38 [A][B] = 22 37 -2 -3 1(3) + 5(7) 3(3) + 4(7) -1(3) + 0(7) 54
  54. 54. OPERACIONES CON MATRICES Ejemplo: !erificar ([A][B])T = [B]T[A]T T 22 22 - 2 ([A][ B]) = 38 37 -3 2 4 1 3 7 5 3 -1 4 o Propiedades: 1) ([.i] [B])[C] = [.i]([B][C]) 2) [A]([B]+[C]) = [A][B]+ [.A.][C] 3) -l[A]([B]+[C]) = -l[A][B]+ -l[A] [O] 4) [A][B] -:F [B][.i] 5) [A][I] = [I][A] = [.i] 6) [A][ü] = [ü][A]= [O] Ejemplos en .1JA TLAB: >> A= [ 2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8] A = 2 6 o 6 4 - 6 8 - 6 8 55
  55. 55. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ >> B= [ l 4 8;5 4 -5; 0 - 6 9] B = 1 5 o 4 4 - 6 8 -5 9 >> C= [2 3 5 ;3 8 6 ;1 -2 5] e = 2 3 1 3 8 -2 5 6 5 a) Cálculo con MATLAB de [.A][B] >> A*B ans - 32 26 - 30 - 16 76 - 72 58 -26 102 b) Cálculo con NIATL .. iB de [B] [A] >> B*A ans - 26 34 - 36 - 26 76 - 78 48 -24 108 c) !erificación con NI.ATL.AB de [A]([B]+[C])= [A][B]+ [A][C] >> A*(B+C) 56
  56. 56. OPERACIONES CON MATRICES ans - 62 22 144 44 138 -2 - 40 - 136 106 >> A*B+A*C ans - 62 22 144 44 138 -2 - 40 - 136 106 d) Verificación con MiTLiB de ([i][B])T = [B]T[.A]T >> tra nspose (A*B) a ns - 32 - 16 58 26 76 - 26 >> (B ' )*(A' ) a ns - 32 - 16 58 26 76 - 26 - 30 - 72 102 - 30 - 72 102 d) Verificación con M.ATL.AB de ([.A][B])-1 = [BJ-1[.AJ-1 >> i nv(A*B) 57
  57. 57. a n s - 0 . 0243 - 0 . 0077 0 . 0017 JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ - 0 . 0105 0 . 0207 0 . 0115 - 0 . 0165 0 . 0097 0 . 0118 >> i nv( B)*inv(A) a n s - 0 . 0243 - 0 . 0077 0 . 0017 - 0 . 0105 0 . 0207 0 . 0115 - 0 . 0165 0 . 0097 0 . 0118 2.4 Part ición de n1atrices En muchas aplicaciones, es conveniente subdi,;idir una matriz en sub-matrices para reducir cálculos. P ara una matriz [i.] la subdi;isión o partición de matrices se puede realizar de muchas formas. Donde Á¡ = _J 58
  58. 58. OPERACIONES CON MATRICES También la matriz [A] se puede particionar ª11 ª12 ª 13 ª14 A= ª 21 ª 22 ª 23 ª 24 =[~ 1 ~ 2 ~ 3 ~4 ] G31 a~,, ª 33 G34 ~ - ª 41 ª 42 ª 43 ª 44 Donde ahora: ª 11 ª12 A 11 = ª 21 A 12 = ª 22 ª31 ª~') ~- ª 41 ª42 ª 13 ª 14 ~ 3 = ª') ~ - ~ ª33 ~4 = ª 24 ª34 G43 ª 44 El producto de dos matrices [A] )i [B] también se puede expresar como el producto de sub-matrices. Dada la matriz [.A.] ; se puede subdi·vidir de la forma siguiente 59
  59. 59. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ ª11 ª 12 ª13 Ái1 Ái2 [A]= ª 21 ª 22 a,.,~ .-.> -··-··-·-·-·--·-··-·--·~·--·-··-- A21 A22 ' ' ª31 ª32 1' a,., ,.., ' 1 jj ' donde: A11 = ª11 ª12 A12 = ª13 ª 21 ª 22 a1_~_ , ~1 = [ ª 31 ª~_,'_) ] A')') = [ ª~~ ] -- jj La matriz [B] se puede particionar de la for1na bl 1 b12 B11 [B ] = b21 b 22 -·-·-·-··-··-··-··- B21 b31 b~_,,._, donde: De tal manera que el producto [A][B] queda 60
  60. 60. OPERACIONES CON MATRICES Ejemplo: dadas [A] )i [B] calcular [A][B] 2 5 6 (A]= -6 7 1 3 4 2 -1 3 ( B] = 2 6 o 4 La matriz [A] se puede particionar de la forma 2 5 -6 7 6 La matriz [B] se puede particionar de la forma donde: -1 3 6 2 5 -1 3 -6 7 2 6 6 o 24 ~1B21 = 1 (O 4] = O 4 8 36 20 24 61
  61. 61. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Reemplazando los anteriores 1alores se obtiene finalmente: Ejemplo: 8 60 20 28 -------~-~-~---- 5 41 Resol1er el problema anterior con MATLi.B >> A= [ 2 5 6;-6 7 1; 3 4 2 ] A = 2 - 6 3 5 7 4 6 1 2 >> B= [-1 3;2 6 ; 0 4] B - - 1 3 2 6 o 4 >> All =A(1 : 2,1 : 2) ; >> A12=A (1 : 2, 3) ; >> A21=A (3 ,1:2 ) ; >> A22=A (3 , 3) ; 62
  62. 62. OPERACIONES CON MATRICES >> Bll=B( 1 :2,: ); >> B21=B (3, : ); >> AB=[Al l* Bll +A12*B21 ; A21*Bl l+A22*B21] AB - 8 60 20 28 5 41 2.5 Referencias bibliográficas Etter, Delores l!I. Solución de problemas de ingeniería con 111ATLAB. México, D.F.: McGraw-Hill Interamericana, cl998. l(iusalaas, .J. Numcrical J11ethods in Engincering with lVIA TLAB. Cambridge Uniiersity Press, 2009. I:olman, B. A lgebra lineal con aplicaciones y lllf atlab. Prentice Hall Hispanoamericana, l1éxico, D.F ., 1999. Laub, i. lllf atrix Analysis far Scicntists and Enginecrs. SIAM: Society for Industrial and _.t.pplied Mathematics. Philadelphia, 2004. Mathews J, Finl(, I<:. Nlétodos numéricos con 11.fATLAB, lv'Iadrid, Prentice Hall, 2000. Hsieh, Y Teoría elemental de estructuras. l!Iéxico, D.F.: Prentice Hall Hispanoamericana, 1970. Uribe, .J. 11.ficrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe Ediciones, Colo1nbia, 1995. Yang, ,,-. Y et. _.t.L Applied Numcrical J11ethods Using J11ATLAB. ''Tile)1-Interscience, 2005. 2. 6 Problemas 1) Dadas las matrices [AJ )1 (B] calcular: 63
  63. 63. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ a) (A]+[B] b) 2(A] + 3[B] c) 4[.I.] - 3[B] 1 2 [A]= 3 4 - 1 o - 1 3 [E]= 2 6 o 4 2) Dadas las matrices [A] )' (B] calcular: a) (B]- [i-.] b) 4(A] - 3[B] c) 5([A]+ [B]) 2 5 6 [A]= -6 7 1 3 4 2 -5 2 7 [E ]= -3 4 -8 2 -9 -7 3) Dadas las matrices [B] )1 (O] calcular: a) (B](O] b) [B] [O]T c) [O](B]T d) [O] [B l T [O] 5 1 7 [E]= -3 4 -8 2 -9 -7 2 5 o [e]= 6 1 1 3 4 2 4) Dadas [.!.] y [B] calcular [.l.][B] , usando partición de matrices. 1 5 4 [A]= -6 5 1 3 4 2 1 4 [E]= 2 6 o 2 64
  64. 64. Capítulo 3 Deter1ninantes e i11versió11 de inatrices 3.1 Determinante de una matriz Si [A] es una matriz cuadrada de orden n , el determina11te de [A] se denota por IA y se define como el escalar o polinomio que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones. El determinante de una matriz de orden 2, de defi11e como: Para definir el determinante de una matriz de orden mayor que 2 es necesario introducir algunos conceptos. Dada una matriz cuadrada [A] de orden n , definimos el me11or, lVI .. como el determinante de IJ la sub1natriz de orden {n-1) x {n-1) que se obtiene eli1ni11ando la i-csima fila y la j-csima columna de la matriz [i.] de orden n. El cofactor Aij asociado al menor l!Iid en una matriz [i.] se define como: Por ejemplo: ª11 ª12 ª13 [A]= ª21 ª22 a,.,~ -" ª31 a~,., "- ª33 65
  65. 65. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ El menor NI21 se obtiene eliminando fila 2 )1 la columna 1 de [i]: M21 = por tanto, Ejemplo: El menor NI 11 de la siguiente matriz se obtiene al calcular el determi11a11te de la matriz resultante de eliminar la fila 1 )1 la columna l . 2 5 6 [A]= -6 7 1 3 4 2 7 1 M,,1 = - 4 66
  66. 66. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES El cofactor asociado se calcula como Ái1 (- l)1+1M11 Ái1 (-1)2 (10) = 10 3.2 Expansión de Laplace Dada una matriz cuadrada [.A.] de orden n se define su determinante como la suma del producto de los elementos de una fila (o colu1n11a) cualquiera de la inatriz, por sus correspondientes cofactores. De acuerdo a la expansión de Laplace, el deter1ni11ante de una matriz [A] cuadrada de orden n, está definido por: n Al L aikÁ¡k ' i= 1 .. . n Ó k=I n Al L a19A19 , j=l .. . n k=I Para la matriz [.A.] si se selecciona la columna j-2, entonces: ª 11 ª12 ª 13 ~_, Al= ª 21 a,.,,, ª23 = L ª k2A k2 k=I ª 31 ª32 ª33 Para la expansión por cofactores, se cumple que la suma de los productos de cualquier elemento a .. de una fila (o colum11a) de una IJ matriz [i.] , multiplicado por el cofactor de otra fila (o colum11a) de [i.] es cero. Esto es 67
  67. 67. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ n L ª ikAjk =O, i * j k=l n L ª ¡qAki =O , j * i k=l Se define la matriz cofactor [A] como: A 11 A 1'.?. • • • A1n [A]= Á 21 A 2'.?. • • • Ázn • • • • • • Au ~n - - ~1 ~2 ~j ~n Ejemplo: Calcular la matriz cofactor [A] dada la siguiente mat riz: 1 [A]= 1 o Solución. 5 2 1 7 -3 4 Procedemos a calcular los valores de los cofactores Aü A - (-l )(l+l) M - (-l )(Z) 1 11 - 11 - -3 1 68
  68. 68. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES A')1 = (-l) C'.:!+1) M ,.,1 = (-1)(3) 5 - - -3 ~' = (-l)C'.:!+:i) M ,,? = (-l)C4 -- -- ) ol ~~__, = (-l)c:i+3) M ,--,., = (-l)cs) o1 2 =-26 4 5 =3 - 3 2 =33 7 Reemplazando en la ecuación para [A] : 25 -4 -3 [AJ= - 26 4 3 33 - 5 - 4 Ejemplo: Calcular el determinante usando la expansión de Laplacc de la matriz [.!.] que se da a continuación: 2 4 -11 [A]= -1 3 -16 2 o 21 69
  69. 69. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Solución. Si se selecciona la 2ª columna, e11to11ces j=2. 3 Al = L ª k2Ak2 = ª12Ái2 + ª22~2 + ª32~2 k=l -1 6 +3(-1) ( '_> +_'> ) 2 21 2 2 4 -11 A= -1 3 -16 =-4(-21+32)+3(42+22)=148 2 o 21 Si se selecciona la 1 :i. columna, ahora j=l. 3 Al = L ª k1Ak1 = ª11~1 + ª21~1 + ª31A31 k=l 3 Al= 2(-l)CJ+l) -16 4 - 1(- 1)(2+1) -11 + 2(-1)(3+1) 4 o 21 o 21 3 Al= 2( 63) + (84) + 2(-64+33)=148 Verificación de cálculo en MA TLAB: >> A= [2 4 -11;-1 3 - 1 6;2 O 21 ) 70 - 11 - 16
  70. 70. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES A - 2 - 1 2 >> det(A) ans = 14 8 Propiedades. 4 3 o -11 -16 21 1) Si todos los elementos de una fila (o una columna) de una matriz cuadrada [A] son cero, entonces Al=ü Por ejemplo, si la columna j=2, es cero: ª 11 o ª13 o a.,~ Al= ª 21 -~ • • • • •• • • • ª ni o a n3 Ejemplo: o 4 3 [A]= O 3 1 o 5 6 • • • aln • • • aln =Ü • • • • • • ••• a nn 71
  71. 71. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Expandiendo la primera fila: IA = O+ 4(-1)1+~ o 1 + 3(-1)1+3 o o 6 o 2) Si la fila i o la colum11a j de [A] se inultiplican por u11a constante lv, entonces el i1ue''º determi11ante es A Al . Ejemplo: -16 + (') ") 2,1,, -11 3(-1) -+~ +o 21 2,1,, 21 2,1,, 4 -11 BI= -A, 3 -16 =-4,1,,(-21+32) + 3,1,,(42+22)=,1,,(192-44) 2,1,, o 21 Ejemplo de cálculo en 1d"A TLAB: para el caso a11terior usar A-=2 >> A= [2 4 -11;-1 3 - 16;2 O 21 ] A = 2 - 1 2 4 3 o >> l ambda=2 ; -11 -16 21 72
  72. 72. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES >> A( :,l ) =l ambda*A( :, 1) A = 4 -2 4 >> det(A) ans = 296 4 3 o -11 -16 21 3) Si dos filas (o columnas) de una matriz se i11tercambian, el determinante de la matriz cambia de signo. Ejemplo: Para la matriz [i.] intercambiar la primera)' segunda columna. 2 4 -11 [A]= -1 3 -16 2 o 21 la i1ue·va Inatriz es: 4 2 - 11 [A]= 3 - 1 -16 o 2 21 Al= - 1 4(-l )O+l) 2 ' IA = 148 - 16 + 2 3(-1)(2+1) 21 2 Al= 4(-21+ 32)-3( 42 + 22) = - 148 73
  73. 73. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 4) Si dos filas (o columnas) de una matriz[.!.] son iguales, entonces Al=ü Ejemplo: 2 2 2 [A]= 2 2 2 3 o 6 2 Al= 2(-1)0+ 2 ) 3 2 + 2(-1)( " '>) 2 -+- 6 3 Al= -2(6) + 2(6) =O 4) Si una fila (o columna) de una matriz [.!.] es múltiplo de otra , entonces Al = O Ejemplo: Para la matriz dada [A] , la tercera fila 2 6 3 [A]= 2 1 O 4 12 6 Al= 6 2(-l)(J+I) 12 3 + 1(-1) ("_ +"_) 2 3 6 4 6 Al= -2(0) + 1(0) = O 74
  74. 74. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES .5) El determinante de la transpuesta de una matriz (A] es igual al deter1ninante de la matriz. ( A = AT ) Ejemplo: 2 2 3 [ A]T = 2 2 o 2 2 6 AT = 3(-1)(1+3) 2 2 2 2 + o+ 6(-1)(3+3) 2 2 2 2 Ejemplo de cálculo en 1IIA TLAB: >> A= [2 4 3;2 2 O ; 2 2 6 ) A = 2 2 2 >> det(A) ans = - 24 4 2 2 3 o 6 >> det( trans pose(A)) ans = - 24 75
  75. 75. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 6) El determinante del producto de dos matrices (A] JI (B] es igual al producto de sus determina11tes. ( IAB = IA BI = IB IA ) Ejemplo: [A]= 2 5 -6 7 Al= 14 + 30 = 44 - 1 3 [B] = 2 6 BI= -6-6 = - 12 AB = 192 - 720 = -528 Al B = 44(-12) = -528 Ejemplo de cálculo en l1A TLAB: >> A= [2 4; 6 8]; >> B= [-2 5 ; 0 7 ] ; >> det (A) *det(B ) 76
  76. 76. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES ans = 112 >> det(A* B) ans = 112 >> det (B*A) ans = 112 3. 3 Determinante por condensación pivotal En este método se deben convertir a cero todos los eleme11tos de una fila (o columna) , excepto u110 Tnediante transformaciones elementales de filas y columnas. La transformación elemental de una fila se represe11tara por F~F+F J J l lo cual represe11ta "la fila j se reemplaza por la fila j mas la fila . }} i La fórmula para hacer ceros una columna es: * a F = F - JP F J J a P op F. es la fila origi11al, a es el piiote )1 F la fila donde se ubica el J op p pivote 77
  77. 77. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Ejemplo: Calcule por conde11sación pi,;otal el determinante de [B] : 2 1 o -3 BI= 1 -2 4 5 3 o 1 4 -3 2 4 1 En este caso el pirote será el elemento b12 , por facilidad Paso 1: F2 ---+ F2 - b22F; F2 ---+ F2 + 2F; Los ele1nentos de la fila 2 queda11: b =1+2(2)=5 :21 b22=-2+2(1)=0 b23= 4+2(0)=4 b:24= 5+ 2(-3)=-1 2 5 3 1 o o o 4 1 -3 -1 4 -3 2 4 1 Ahora, se reduce a cero el ele1nento b 42 , mediante la transformación: F4 ---+ F4 - ª42F; F4 ---+ F4 - 2F; 78
  78. 78. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 2 1 o -3 Al= 5 o 4 - 1 3 o 1 4 -6 o 3 7 Efectuando la expansión de la segunda colum11a, se obtiene: 5 4 - 1 Al= (-1)1 + 2 3 1 4 -6 3 7 Al=-(35-96-6-60-84)= 220 3.4 Inversión usando la matriz adjunta Se define la matriz adjunta como la transpuesta de la matriz cofactor [.AJ Ai1 ~¡ • • • An1 A4f ([A])= [.J]r = Ái2 A12 ••• 4i2 • • • - • • • • • 4ii - Ain A1n AJn 4in La matriz In1ersa [i]-1 se puede calcular usando cofactores mediante: 79
  79. 79. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ - - - - A11 ~l ••• 4i1 - Ái2 ~2 • • • ~2 • • • • • • An1 • • • [ A]-1 = A1n ~n Ajn 4in A Ejemplo: Calcular la iniersa de la siguie11te matriz 1 5 2 [A ]= 1 1 7 o -3 4 Primero calculemos el determinante, usando expansión por cofactores: 3 Al L ªk1.Ak1 = ª11.A; 1 + ª21.A21 + ª31~1 k =l 7 5 - 1 4 -3 3 Al L ak1Ak1 = 1(25)- 1(26) = - 1 k =l 80
  80. 80. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES La matriz [AJ se calcltló en el ejemplo pasado: 25 -4 -3 [A] = -26 4 3 33 -5 -4 25 -4 -3 T A4f ([A])= [A]r = -26 4 3 33 -5 -4 25 -26 33 A4f ([A])= [A ]r = -4 -3 Usando la ecuación: 25 -26 33 -4 4 -5 [ A]-1 = -3 3 -4 - 1 -25 26 -33 [ A]-1 = 4 -4 5 3 -3 4 4 -5 3 -4 81
  81. 81. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Ejemplo: repetir el cálculo usa11do lIIATLAB >> A= [ l 5 2 ;1 1 7 ; 0 -3 4 ] A = 1 1 o 5 1 -3 a) Cálculo de Al >> det(A) ans - - 1 b) Cálculo de [ A]-1 >> i nv(A) ans = - 25 4 3 26 -4 -3 2 7 4 -33 5 4 3.5 l!létodo de Gauss-Jordan El l1étodo de Gauss-.Jordan se basa en operaciones fundamentales en filas de matrices. Las operaciones so11: 1. J!l ultiplicación de una fila (columna) por un escalar distinto de cero. 2. Intercambio de dos renglones (o columnas). 82
  82. 82. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 3. Reemplazo de la fila j por la suma de la fila j más 'A ·veces la fila k donde 'A es cualquier escalar El procedimiento general es partir de una matriz ampliada [A l I ] y mediante operaciones fundamentales, obtener la inversa Se deben efectuar los pasos siguientes para k= 1, .. _, n ( n: orden de la matriz [.i]) i) Dividir la fila k por ak.Jc . ii) Hacer ceros sobre la columna k mediante operaciones fundame11tales Ejemplo: -4 7 8 [A]= 10 -6 -8 -5 7 6 El primer paso es obtener la matriz aumentada: -4 7 8 [A l I] = 10 -6 -8 -5 7 6 1 o o o 1 o o o 1 El primer pi,;ote será el elemento a11 =-4 F; ~ F; 1 ª11 F; ~ F; 1 -4 83
  83. 83. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 1 [A]= 10 -5 -7 4 -6 7 -2 -8 6 - 1 o o 4 o 1 o o o 1 La siguiente operación fu11dame11tal es F2 ----+ F2 - F¡ ( ª 21 ) F2 ----+ F2 - F¡ ( 1 O) 1 -7 -2 4 [A]= o 23 12 2 -5 7 6 - 1 4 5 2 o La operación el la fila 3 es: F3 ----+ F3 - F¡ ( ª31) F3 ----+ F3 -F¡ (-5) 1 -7 -2 4 [A]= o 23 12 2 o -7 -4 4 - 1 4 5 2 -5 4 o o 1 o o 1 o o 1 o o 1 84
  84. 84. DETERMINANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 23 Ahora el pi,;ote es el elemento ª·)·'= - _ ¿ 2 F., ~ F,, 1 - - a.,., F., ~ F,, 2 - - 23 1 -7 - 2 - 1 o o 4 4 [A]= o 1 24 5 2 o 23 23 23 o -7 - 4 - 5 o 1 4 4 Ahora se debe hacer cero el ele1nento a12 F¡ ~ F¡ - F2 ( ª 12) - 7 F¡ ~ F¡ -F2 4 1 o - 4 23 (A]= o 1 24 23 o -7 - 4 4 3 7 o 23 46 5 2 o 23 23 - 5 o 1 4 85
  85. 85. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Procedemos a hacer cero el elemento a3:2 F3 ----) F3 - F2 ( ª32 ) -7 R ----) F~ - F? ~ ~ - 4 1 o -4 23 [A]= o 1 24 23 o o 50 23 3 7 o 23 46 5 2 o 23 23 -20 7 1 23 46 50 Ahora el pÍiOte es el eleme11to a33 = - 23 1 o -4 3 7 o 23 23 46 [A]= o 1 24 5 2 o 23 23 23 o o 1 2 -7 /100 -23 5 50 86
  86. 86. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES Ahora se debe hacer cero el elemento a13 F; ~F'¡-F3(a1 3 ) -4 F;~F;-F3 23 Ahora se debe hacer cero el elemento ª u F2 ~ F2 - F3 ( ª 23 ) 24 F,., ~F? -F~ - - :> 23 87
  87. 87. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Por tanto, 1 7 -2 - 5 50 25 ( A]-1 = - 1 4 12 5 25 25 2 -7 -23 5 100 50 Fi11almente se puede comprobar: [A][A]-1 =[1] 1 7 -2 -4 7 8 5 50 25 1 o o 10 -6 -4 - 1 4 12 o 1 o -- 5 25 25 -5 7 6 2 -7 -23 o o 1 5 100 50 88
  88. 88. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES En el cuadro 3.1 se prese11ta un programa para la in1ersión de matrices por el Niétodo de Gauss-.Jorda11. % Inversión de matrices % % Metodo de Gauss Jordan % % close all; clear all % Definición de la matriz [A] A=[l 5 2; 1 1 7 ;O -3 4 ] ¡ [p, k] =size (A) ; I=eye(p); % Definición de la matriz aumentada [M]=[A I] M = [A I] ¡ for i=l:p M ( i' : ) =M ( i' : ) /M ( i I i) f or if j=l:p • • l. ~ =J M(j, :) - M(j, :)-M(i, :)*M(j,i) end end end % Matriz Inversa MI MI= M(:,p+l:p+k) Cuadro 3. 1: P rograma en lIATLAB del lIétodo de Gauss-Jordan. 89
  89. 89. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Ejemplo: Calcular la in;ersa de la siguiente matriz 1 5 2 [A]= 1 1 7 o - 3 4 S olución: M = M = 1 1 5 1 2 7 1 o o 1 o o 1 . 0000 o o - 25 . 0000 26 . 0000 - 33 . 0000 M - o 1 o o MI - - 25 4 3 >> A*MI o 1 . 0000 - 1 . 2500 0 . 2500 - 0 . ?500 o o o 1 . 0000 3 . 0000 - 3 . 0000 4 . 0000 - 3 o 1 o 26 -4 - 3 4 o o 1 - 33 5 4 o -25 4 3 90 o 26 - 4 - 3 1 - 33 5 4
  90. 90. ans - 1 o o DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES o 1 o o o 1 3.6 Inversa de una n1atriz por medio de partición Para una Inatriz [A] de orden nxn, su partición se puede expresar de la forma: [ Ai1 ],x,. [ A11lsxr [ A12],xs [ A12 ]sxr La ecuación [i] [AJ -1= [I], se reemplaza por [.i] [B]-1=[I]. La partición de [B] debe ser igual a la de la inatriz [A]. Por tanto: [ All l1xr [ Ai2],xs [ B11]1xr [ B12 ]1xs [ A21]sx,. [ A12 ]sxr [ B21 lsxr [ B22 lsxr [ l1 ]1xr [O ],xs [O lsxr [ 12 lsxr La ecuación anterior se puede expresar corno 91
  91. 91. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ De la ecuación tercera ecuación se obtiene Reemplazando en la primera ecuación se obtiene: Factorizando, De la ecuación segunda se puede despejar: Reemplazando e11 la cuarta se obtie11e: De expresión anterior se obtiene: Con esta matriz se determina [B12]: 92
  92. 92. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES Finalmente la in,;ersa de [i.] se expresa Ejemplo: Calcular la in,;ersa de la matriz [i.] usando partición 1 -3 1 (A]= -2 4 2 3 -7 1 Efectuando la siguiente partición 2 -6 1 (A]= -2 4 2 3 -7 1 Las sub-matrices se definen por: 2 -6 1 [A ]- · (A J- 11 - -2 4 ' 12 - 2 Calculando el producto: -7 -14 93
  93. 93. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ U san do la ecuación para [ B11 l • 2 -6 4 -2 -1 [B11l = 4 -8 18 [B11l = -~ 1 -2 ~ 3 6 -7 -14 Empleando la ecuación para [B21l: [B21l = [-3 7] -~ [B21 l =[- ~ ,Xl 1 ,X 1 ~ Ahora se debe calcular [ A11 l-l : T [A l-1 = 1 4 2 - -2 -X 11 -2 3 1 - 1 -~ 94 - 1
  94. 94. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES Calculamos el producto: - 7] -5 = [3 - 7] = [-1] -2 [B22 ] = {[1] - [-1]}-1 =[X] Ahora se calcula [B12 ] : -2 1 Ji 2 [X]= 1 La inversa se obtie11e como: -X [A B 11 B12 ] - 1 = -2 B 21 B 22 -X Ejemplo: -2 -X - 1 -X 1 Ji X 1 X X 1 2 Como ejemplo didáctico del manejo de partición de matrices en MiTLAB, se repetirá el procedimiento a11terior para invertir la matriz 1 5 2 [A]= 1 1 7 o -3 4 95
  95. 95. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Solución: >> A= [ l 5 2 ;1 1 7 ; O - 3 4 ] A = 1 1 o 5 1 - 3 >> All=A(1 : 2 ,1 : 2) All - 1 5 1 1 >> A12=A(1 : 2 , 3) A12 - 2 7 >> A21=A(3 ,1:2 ) A2 1 - o - 3 >> A22=A(3 , 3) A2 2 - 4 2 7 4 96
  96. 96. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES >> 8 ll=inv(All-A12* i nv(A22)*A21) 811 = - 25 26 4 -4 >> 821=-inv(A22)*A21*811 821 - 3 - 3 >> 822=inv(A22- A21*inv(All)*A12) 822 - 4 Cálculo de (B12 ] = -( A11]- 1 ( A12 ]( B22 ] >> 812=-inv(Al l)*A12*822 812 = - 33 5 97
  97. 97. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ >> AI=[Bll B12;B21 822 ] AI - - 25 4 3 26 -4 -3 -33 5 4 3. 7 Referencias bibliográficas l(iusalaas, J. Numcrical J1!Jcthods in Enginccring with NIATLAB. Cambridge U ni,;ersit); Press, 2009. l(olman, B. A lgcbra lineal con aplicaciones y ll!f atlab. Prentice Hall Hispanoamericana, México, D.F , 1999. Laub, i.. ll!fatrix Analysis for Scicntists and Enginccrs. SIAM: Society for Industrial and i.pplied Niathematics. Philadelphia, 2004. Mathews .J, Fink, l(. J!fétodos numéricos con J1!JATLAB, Madrid, Pre11tice Hall, 2000. Hsieh, Y. Teoría elemental de estructuras. Prentice Hall Hispanoamericana, Niéxico, D F. , 1970. Uribe, J. J1!ficrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe Ediciones, Colombia, 1995 '''atl<ins, D. Fundamcntals of J1!fatrix Gomputations_,,.iley Interscience, New York, 2002. Yang, ''T· Y et. al. Applicd JVumcrical ll!fcthods Using NIATLAB. ''Tile)1-Interscience, 2005. 3.8 Problemas 1) Calcular la matriz cofactor [A] dada la siguiente matriz 98
  98. 98. DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES 2 7 2 (A]= 1 1 7 4 -3 o 2) Calcular el determinante usando la expansión de Laplace de la matriz [A] que se da a co11tinuación: 2 8 - 11 (A]= -1 6 -16 2 o 21 3) Calcule por condensación pi,;otal el determina11te de [.A..] : 2 1 o -6 1 3 -3 -2 o 2 4 1 4 10 8 2 4) Calcular la inversa de la siguiente matriz usando la matriz adju11ta. 4 5 2 (A]= 4 1 7 o -3 4 5) Use el programa en MATLAB del Método de Gauss-Jordan del cuadro 3.1 , para calcular la inversa de la siguiente matriz: -4 7 8 (A]= 10 -6 -8 -5 7 6 6) Terificar el resultado del problema anterior usando MATL.A..B. 99
  99. 99. Capítulo 4 Solución de sistemas de ecuacio11es lineales Dentro de las muchas aplicaciones del algebra matricial en ingeniería, esta la solución de sistemas de ecuaciones lineales para problemas encontrados en diferentes disciplinas como análisis de estructuras, circuitos eléctricos, flujos en redes, conducción de calor, distribución de recursos, etc. 4.1 Forma matricial de las ecuaciones Un sistema de n ecuaciones lineales simultáneas con 11 incógnitas de la for1na ª 11X1 + ª 12X2 + '· '+ ª 111Xn = b l ª21X1 + ª22X2 + .. . + a2nXn = b2 • • • se puede escribir en forma matricial corno ª 11 ª 12 • • • a ln XI bl ª21 ª22 • • • ª2n X,, b ,, • • • • • • • • • • • • • • • • • • ªni an2 • • • a nn x n bn Las ecuaciones a nteriores se pueden expresar como: (A](x]=(b] 101
  100. 100. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Donde, ª 11 ª 21 [A ]= • • • X [x]= .2 • • bl [b] = b-,., • • • bn ª12 • • • ªin ª22 • • • ª2n • • • • • • • • • • • La solución del sistema de ecuaciones [A] [ x] = [ b] en MATLi.B se calcula por medio de la instrucción A b 4.2 Solución por inversión de n1atrices Un sistema de n ecuaciones li11eales simultá11eas se puede resolier usando la inversa de la matriz de coeficientes [.l.] , si IA =t:. O. Dado el sistema: (A](x]=(b] pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por [A]-1 ( A]-1 (A] ( x] = ( A]-1 ( b] [l ][x]=[A]-1 [b] 102
  101. 101. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES El ' ;ector de incógnitas se calcula e11tonces por: Ejemplo: Solucionar el sistema de ecuaciones siguiente usando in,;ersión x1 + 5x2 + X 3 = 2 4x1 + 2x3 = 6 Las ecuaciones anteriores se pueden escribir: 1 5 1 X1 2 Ü 4 2 X2 6 Ü 1 1 X~ 4 ~ Primero, calculamos A : Al= 4 (1)2 1 Al= 2 2 = 1(4-2) 1 La matriz cofactor [A] se calcula como 2 o o [AJ= -4 1 -1 6 -2 4 103
  102. 102. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Luego se calcula la matriz Ad_j ([A]) : 2 0 0 T A4f ([A])= [A]r = -4 1 - 1 6 -2 4 2 4 6 A4f ([A])= O 1 -2 o 1 4 Finalmente la in,;ersa se calcula por: 2 -4 6 o 1 -2 ( A]-1 = o - 1 4 2 1 -2 3 ( A]-1 = O 0.5 - 1 o -0.5 2 104
  103. 103. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES La solución del sistema es: 1 -2 3 2 [x]= O 0.5 -1 6 o -0.5 2 4 2 [ x] = -1 5 Ejemplo: Verificar la solución anterior en 11ATLAB. >> A= [ l 5 1 ; 0 4 2;0 1 1] A = 1 o o 5 4 1 >> b= [ 2 6 4] ' b = 2 6 4 >> % solución >> x=A b 1 2 1 105
  104. 104. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ X = 2 - 1 5 4.3 Regla de Cran1er El Niétodo de Cramer para resolier un sistema de ecuaciones, hace uso del desarrollo de determi11antes para obtener la iniersa de una matriz. ( x] = (A ]-1 ( b] Recordando que: Entonces, {x} = Aq/([A])[b] A Dado que: Á ¡¡ ~] • • • [A]r = Ái2 A~,, • • • • • • • • A1n Á zn A Jn 41 - 42 - 4 i - 4n 106
  105. 105. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES Entonces la solución del sistema se obtiene como: X1 Ái l A21 ••• An1 b¡ X2 1 Á¡2 Á22 ••• ~2 b2 IA • • • • • • •• •• • Ani • • • xn Áin ~n AJn ~ bn Efectuando el pr oducto de la derecha se obtie11e X¡ b1Ái1 + b2A21 + bnAnl X'-) 1 b1A12 + b'2~2 + bnAn2 • • • IAI • • • • • • • • • • • • • • • xn b1Áin + b2A2n + bnAnn Despejando los 1alores de xi X - b1A11 + b2~1 + .. . + bn~1 , 1 - IA X = b1Ái2 + b'2A22 + · · · + bnAn2 2 IA X i = . ... .. . ....... ... .... , .. . .. , . , X = b1Áin + b2~n + · · · + bn~n n Al El nu1nerador de cada ecuación corresponde a la expansión de un determinante por cofactores, la cual se puede escribir como b¡ ª12 ª 13 '' ' ª in b2 ª 22 ª 23 ''' ª 2n • • • • • • • • • • • • • • • bn anl an3 • • • bn x= 1 Al 107
  106. 106. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ ªi i b ¡ ª13 • • • ªin ª 2i b 2 ª? ~ ••• ª 2n -~ • • • • • • • • • • • • • • • ª ni b n a n3 • • • a nn X2 = IA • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ª ni a n2 a n3 • • • b n X n = Al Ejemplo: Resolier por la regla de Cramer el sistema [A] [ x] = [ b] 2 [A]= - 1 4 1 3 -2 2 -3 5 Solución: x= i - 11 - 16 21 2 - 1 2 4 1 3 -2 -3 5 4 1 3 -2 -3 5 - 11 [b]= - 16 21 = 38 = 2 19 108
  107. 107. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 2 - 11 1 - 1 - 16 -2 2 21 5 -76 =-4 X = -- 2 19 19 2 4 - 11 - 1 3 - 16 2 -3 21 X~= =!.2.= 1 ~ 19 19 4. 4 l!létodo de Eliminación de Gauss Otro procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones lineales que también se basa en transformaciones fundamentales sobre filas de una ma triz, es el clásico Método de Eliminación de Gauss. El procedimiento general para la solución de sistemas de ecuaciones , consta básica1nente de dos pasos 1) Reducir la matriz de coeficientes de u11 sistema dado de ecuaciones a una matriz triangular superior usando las transformaciones fundamentales 2) Hallar la solución del sistema de ecuaciones resoliiendo el sistema triangular superior obte11ido en el paso anterior. Después de la primera etapa se obtiene una matriz aumentada de la forma: Ái1 Ái2 • • • Áin b; ~1 ~2 • • • ~nb; [A b'] = • • • • • • • • • An1 ~2 • • • ~nb~ 109
  108. 108. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ La ultima ecuación, da como resultado: b' X = n n 4in Se puede determina xk de la k-ésima ecuación: Akkxk + A k,k+1Xk+1 + · · · + Aknxn = b~ La expresió11 anterior se puede escribir como: n b; - L A 1qx1 ' k=n-1 n-2 ... 1 ' ' ' J=k+I Ejemplo: Resol,ier el siste1na de ecuaciones: 2x1 - 3x2 - x 3 + 2x4 = 15 -x1 + x 2 + 2x3 - 2x4 = - 13 X1 - X?. + X3 + X 4 = 4 3x1 + 2x2 - x3 - x4 = 3 Las ecuaciones a11teriores se puede11 escribir: 2 -3 - 1 2 x1 15 - 1 1 2 -2 X,-, - 13 1 - 1 1 1 X~ ~ 4 3 2 - 1 - 1 X4 3 110
  109. 109. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES El cual tiene la for1na [A][x]=[b] Primero se obtiene la matriz aumentada: [A 1 b] 2 -3 - 1 2 15 -1 1 2 -2 - 13 1 - 1 1 1 4 3 2 - 1 - 1 3 La primera operación es con·vertir a la unidad el elemento a 11 F; ~F; 1 ª 11 F; ~F; 1 2 1 -3 - 1 1 15 2 2 2 - 1 1 2 -2 - 13 1 - 1 1 1 4 3 2 - 1 - 1 3 La siguiente operación fundamental es F 2 ~ F 2 - F; ( ª21 ) F2 ~ F2 -F; (- 1) 111
  110. 110. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 1 - 3 - 1 1 15 - 2 2 2 o - 1 - 3 - 1 - 11 2 2 2 1 - 1 1 1 4 3 2 - 1 - 1 3 Las operaciones en las fila 3 y 4 son: F3 ~ F3 - F; ( ª31) F3 ~F3 - F;(l) 1 - 3 - 1 1 2 2 o - 1 3 - 1 2 2 o 1 3 o 2 2 3 2 - 1 - 1 F4 ~ F4 - F; ( ª 41) F4 ~F4 - F;(3) 1 - 3 - 1 1 2 2 o - 1 3 - 1 2 2 o 1 3 o 2 2 o 13 1 - 4 2 2 15 - 2 - 11 2 - 7 2 3 15 - 2 - 11 2 -7 2 -39 2 112
  111. 111. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES Ahora en la diagonal principal se convierte a uno el elemento ª22: 1 1 -3 - 1 1 15 2 2 2 o 1 -3 2 11 o 1 3 o -7 2 2 2 o 13 1 -4 -39 2 2 2 Ahora se deben 11acer cero los elementos ª si y a4 -i F3 ~ F3 - 1 ( ª 32) 1 R~F,-F:1 - ~ ~ 2 1 -3 - 1 1 2 2 o 1 -3 2 o o 3 - 1 o 13 1 -4 2 2 15 2 11 -9 -39 2 113
  112. 112. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ La operación para la fila 4 es: F4 ----+ F4 - F¡ ( ª41) F4----+ F4 -F¡ (3) 1 -3 - 1 1 2 2 o 1 -3 2 o o 3 - 1 o o 20 - 17 15 2 11 -9 -91 Ahora se reduce a la unidad el elemento a33 F3----+ F3 1 ª33 F3 ----+ F3 1 3 1 -3 - 1 1 15 2 2 2 o 1 -3 2 11 o o - 1 1 -3 3 o o 20 - 17 -91 Fi11almente se debe hacer cero el ele1nento a43 F4 ----+ F4 - F3 ( ª43) F4----+ F4 -F3 (20) 114
  113. 113. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 1 -3 - 1 1 15 2 2 2 o 1 -3 2 11 o o - 1 1 -3 3 o o o -31 -31 3 Ahora la solución se obtiene usando sustitución h acia atrás. Debemos resol,;er el sistema: 1 ~ -~ - 1 1 15 - X1 - 2 2 2 o 1 -3 2 X,-, 11 o o 1 - 1 - X~ -3 ~ ~ ~ o o o - 31 - X4 -31 ~ ~ En forma de ecuaciones se tiene: x2 - 3x3 + 2x4 = 11 X -1. x =-3 3 3 4 - Jt x4 = -31 Al resolver usando sustitución hacia a trás, obtenemos: X =3 4 115
  114. 114. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Ahora resolviendo la tercera ecuación: X -1.x =-3 3 3 4 X~ =-2 ~ Se resuelve la segunda ecuación usando los valores de x8 y x 4 : X2 - 3(-2) + 2(3) = 11 Finalmente resolvemos la primera ecuación: 2x 3 1 X + 2 _ 15 1 -"IX'.?. -2 3 X4 - 2 2x1 -f(-1)-t (-2) + 2(3) = 1f X =2 1 Ejemplo: Resol,ier el siste1na de ecuaciones: X¡ - 2x2 + X 3 = 1 X1 +X-,, -X~=-1 ~ x1 - 5x2 + 3x3 = 3 116
  115. 115. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES La matriz aumentada es: [A 1 b] 1 -2 1 1 1 -5 1 1 - 1 - 1 3 3 El rango de [A] es 2 )1 el r ango de la matriz au1nentada ta1nbién es 2, por tanto no existe una solución única del sistema. Se puede obtener la solución para dos de las incógnitas en términos de una tercera incógnita. Para con,1ertir en cero los elementos a 21 )' a 31 las operaciones son: F2 ---+ F2 - F¡ ( ª 21) F2 ---+ F2 -F¡ (-1) 1 -2 1 1 o 3 -2 -2 1 -5 3 3 F3---+ F3 -F¡ ( ª31) F3 --..+F3 -F¡(l ) 1 -2 1 1 o 3 -2 -2 o -3 2 2 117
  116. 116. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ En la diagonal principal se con1ierte a uno el eleme11to a2:2: 1 -2 o 1 1 -2 1 -2 3 3 o -3 2 2 Ahora se deben hacer cero el elemento a32 : F3 ~ F3 - F¡ ( ª 32 ) F3 ~ F3 -F¡ (-3) 1 -2 o 1 o o 1 -2 3 o 1 -2 3 o Una solución para x1 y x2 en térmi11os de x8 se puede obte11er como: X - 2 2 2 X~=- - 3 ~ 3 118
  117. 117. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES De las ecuaciones anteriores se obtiene: 2 2 X - - 3 3 3 Sustituyendo la solución para x2 se obtiene x1 2 2 X - - 3 3 3 X = 2 (;)x~ -~ 1 ~ :> 3 x= 1 1 1 X~- - 3 :> 3 -X~ + 1 :> En el Cuadro 4.1 se presenta el programa en :rvIATL.A..B para la solución de un sistema de ecuaciones por el Método de Eliminación de Gauss. 119
  118. 118. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ % Método de Eliminación de Gauss % % % Solución del sistema de ecuaciones lineales: % % [A] {x}={b} % % Definición de la matriz [A] y vector [b] A=[15 -5 0¡-5 15 -5¡0 -5 20] b= [2 O O O] I % Definición de la matriz aumentada [M]=[A b] M = [A b]¡ p = size(M,1); for i=l:p for j=i+l:p M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)/M(i,i) end end for i=p:-1:1 M(i,:) = M(i,:)/M(i,i) for j=i-1:-1:1 M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i) end end % Solución {x} x=M(:,p+l) Cuadro 4.1: P rograma en lIA TLAB del lIétodo de Eliminación de Gauss. 120
  119. 119. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES Ejemplo: Utilizar el programa anterior de MATLiB, para resolver el sistema -4 7 8 X1 1 10 -6 -8 X,, Ü -5 7 6 X~ Ü Solución: M = M - X = -4 10 - 5 1 . 0000 o o 0 . 2000 - 0 . 2000 0 .4000 7 - 6 7 .) 8 - 8 6 o 1 . 0000 o 1 o o o o 1 . 0000 Solución para múltiples vect ores. 0 . 2000 - 0 . 2000 0 .4000 En ocasiones se debe resol,;er ecuaciones de la forma [A][X] = [b] para diferentes ;ectores [b]. En general se tienen m iectores definidos por [ b Ji , ... , [ b ], 11 y sus soluciones definidas por [ x J1 , ... , [x ],11 • El conjunto de múltiples ecuaciones se puede escribir como: 121
  120. 120. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ [A][X ]= [B] Donde, [X] y [B] so11 matrices de orden ( nxm) cuyas columnas corresponden a los ;ectores solución y los vectores constantes. En el Cuadro 4.2 se presenta el programa en MATL.AB para la solución de u11 siste1na de ecuaciones con múltiples ;ectores, por el Método de Eliminación de Gauss. Ejemplo: Solucionar el sistema [A][X ] = [B] Donde, 6 - 4 1 [A]= - 4 6 -4 1 - 4 - 14 22 [B]= 36 - 18 6 7 6 122
  121. 121. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES La matriz aumentada es: (A 1 B] 6 -4 1 - 14 22 -4 6 -4 36 - 18 1 -4 6 6 7 Las primeras operaciones son 6 -4 1 - 14 22 o 10 10 80 10 - - 3 3 3 3 o 10 35 25 10 - - 3 6 3 3 Para hacer cero el elemento a32 6 -4 1 - 14 22 o 10 10 80 10 3 3 3 3 o o 5 35 o 2 123
  122. 122. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Para obtener el primer , rector solución {x}1 , usamos sustitución hacia a trás: S X~ = 35 2 ~ De la segunda ecuación: 10 10 X - 3 2 3 80 X~ =­~ 3 X') = 2_ 80 + l O 14 = 22 - 10 3 3 Finalmente, 1 X1 = -[14 + 4(22)-14]=10 6 Se repite para el segundo vector solución { x} 2: X~ = 0 ~ 124
  123. 123. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES De la segunda ecuación: 10 X - 3 2 10 10 X=--- 3 3 3 3 10 X = - - +O =-1 2 10 3 Fi11almente, de la pri1nera ecuación: 1 X1 = -[22 + 4(- 1)] = 3 6 % Método de Eliminación de Gauss % % % Solución del sistema de ecuaciones lineales: % Vectores múltiples % % % [A] [X]= [B] % % close all; clear all % Definición de [A] , [B] A=[-4 7 8; 10 -6 -8;-5 7 6] B=[5 O 0;10 O 0;15 O O]' 125
  124. 124. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ % Definición de la matriz aumentada [M]=[A B] M = [A B] ¡ [p,k]=size(b); for i=l:p for j=i+l:p end end M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)/M(i,i) for i=p:-1:1 M(i,:) = M(i,:)/M(i,i) for j=i-1:-1:1 M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i) end end % Solución [X] X= M(:,p+l:p+k) Cuadro 4.2: Programa del lIétoclo de Eliminación de Gauss vectores múlt iples. 126
  125. 125. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES Ejemplo: Utilizar el programa anterior de MATLiB, para resolver el sistema -4 7 8 10 -6 -8 -5 7 Solución: M = M - X - -4 10 - 5 1 . 0000 o o 0 . 2000 - 0 . 2000 0 . 4000 6 7 -6 7 X 1 1 10 X2 o o X3 o o 8 -8 6 o 1. 0 000 o 2 . 0000 -2 . 0000 4 . 0000 1 o o 10 o o o 0 . 2 000 2.0000 o -0.2000 -2.0000 1 . 0000 0.4 000 4.0000 4.5 l!létodo de Gauss-Jordan El Método de Gauss-.Jordan es simila.r al Método de Eliminación de Gauss, pero primero hace el pi,;ote igual a 1, y luego hace ceros en toda la columna del pi,;ote. En el Ivlétodo de Gauss-.Jordan primero se hace el pivote igual a uno, después se hacen cero los 127
  126. 126. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ elementos arriba y abajo del pivote. En la etapa de eliminación, se crea una matriz identidad. De esa forma , la solución del sistema de ecuaciones queda en la últi1na columna de la matriz aumentada Ejemplo: Resol;er el sistema de ecuaciones -4 7 8 X 1 1 10 -6 -8 X., 0 -5 7 6 X3 0 El primer paso es obtener la matriz au1nentada: -4 7 8 1 [A b]= 10 -6 -4 o -5 7 6 o El primer pi,;ote será el elemento a11 =-4 F; ~F; 1 ª11 F; ~F; 1 -4 1 -X -2 -~ [A 1 b] = 10 -6 -8 O -5 7 6 o 128
  127. 127. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES La siguiente operación fundarnental es: F2 ~ F2 - F¡ ( ª 21 ) F2 ~ F2 - F¡ ( 1 O) 1 [Alb]= O -5 -% -2 2rz 12 7 6 La operación el la fila 3 es: F3 ~ F3 - F¡ ( ª31) F3 ~ F3 - F¡ (-5) -~ Yi o 1 -% -2 -~ [A I b] = O 2_% 12 Yi o -% -4 -% 23 Ahora el pi,;ote es el elemento a22 = - 2 F2 ~F2 1 a,.,., F2 ~F2 2 23 129
  128. 128. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 1 -% [A l b]= O 1 o -% -2 -~ 2Yz3 ri3 -4 -% Ahora se debe 11acer cero el elemento a12 F¡ ~ F¡ - F2 ( ª12) -7 F¡ ~F¡-F2 4 1 o [A b]= O 1 o -% _3/ /23 %3 -% Ahora se debe hacer cero el elemento a32 F3 ~ F3 - F2 ( ª32) -7 R ~F~ -F? ~ ~ - 4 1 o _4/ /23 [A l b]= O 1 o o 24/ /23 50/ /23 _3/ /23 %3 _20/ /23 130
  129. 129. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 50 Ahora el piiOte es el eleme11to a33= - 23 F3 ----) F3 1 ª33 F~ ----) F~ 23 ~ ~ 50 1 [A lb]= O o o 1 Ahora se debe hacer cero el elemento a13 F; ----) F; - F3 ( ª1 3) -4 F¡ ----) F¡ - F3 23 1 o (Alb]= O 1 o o o Ahora se debe hacer cero el elemento ª u F2 ----) F2 - F3 ( ª 23 ) 24 F7 ----) F7 - F~ - - ~ 23 131
  130. 130. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 1 o o Ys [1 1 b *] = o 1 o -Ys o o 1 Ys La solución por tanto es: En el cuadro 4. 3 se presenta el programa en MATLAB para la solución de un sistema de ecuaciones por el IVIétodo de Gauss­J ordan. 132
  131. 131. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES % Método de Gauss Jordan % % % Solución del sistema de ecuaciones lineales: % % [A] {x}={b} % close all; clear all % Def inicion de la matriz [A] y vector [b] A= [-4 7 8; 10 b= [ 1 0 Ü] I ; -6 -a·-s I 7 6] ; % Matriz aumentada [M]=[A b] M = [A b]; p = size(M,1); for i=l:p M ( i I : ) =M ( i I : ) /M ( i I i) for j=l:p if i-=j M(j,:) = M(j,:)-M(i,:)*M(j,i) end end end % Solución {x} X= M(:,p+l) Cuadro 4.3: P rograma en l.IA TLAB del lIétodo Gauss-Jordan. 133
  132. 132. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Ejemplo: La siguiente es la solució11 paso a paso del problema a11terior. M - M - M - M - M - 1 . 0000 1 0 . 0000 - 5 . 0000 1 . 0000 o - 5 . 0000 1 . 0000 o o 1 . 0000 o o 1 . 0000 o o - 1 . 7500 - 6 . 0000 7 . 0000 - 1 . 7500 11 . 5000 7 . 0000 - 1 . 7500 11 . 5000 - 1 . 7500 - 1 . 7500 1 . 0000 - 1 . 7500 o 1 . 0000 - 1 . 7500 - 2 . 0000 - 8 . 0000 6 . 0000 - 2 . 0000 12 . 0000 6 . 0000 - 2 . 0000 12 . 0000 - 4 . 0000 - 2 . 0000 1 . 0435 - 4 . 0000 - 0 . 1739 1 . 0435 - 4 . 0000 134 - 0 . 2500 o o - 0 . 2500 2 . 5000 o - 0 . 2500 2 . 5000 - 1 . 2500 - 0 . 2500 0 . 2 174 - 1 . 2500 0 . 1304 0 . 2 174 - 1 . 2500
  133. 133. M - M - M - M - X = SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 1 . 0000 o o 1 . 0000 o o 1 . 0000 o o 1 .0000 o o 0 . 2000 - 0 . 2000 0 .4000 o 1 .0000 o o 1 . 0000 o o 1 . 0000 o o 1 . 0000 o - 0 .1739 1 .0435 - 2 . 1739 - 0 . 1739 1 . 0435 1 . 0000 o 1 . 0435 1 .0000 o o 1 . 0000 0 .1304 0 .2174 - 0 . 8696 0 . 1304 0 . 2174 0 .4000 0 . 2000 0 . 2174 0 .4000 0 .2000 - 0 . 2000 0 . 4000 El programa del cuadro 4. 3 (JVIétodo de Gauss-.Jordan) se puede extender para solucionar sistemas con múltiples vectores, el cual se presenta en el cuadro 4.4. 135
  134. 134. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ % Metodo de Gauss Jordan % % % Solucion del sistema de ecuaciones lineales: % % [A] [X]= [B] % close all; clear all % Definición de las matrices [A], [B] A=[-4 7 8; 10 -6 -8;-5 7 6]; B=[lO O O¡O 5 O]'; % Matriz aumentada [M]=[A B] M = [A B] ; [p, k] =size (B) ; for i=l:p M ( i, : ) =M ( i, : ) /M ( i, i) f or if end end end j=l:p • • l. - =J M(j, :) = % Solución [X] X= M(:,p+l:p+k) M(j, :)-M(i, :)*M(j,i) Cuadro 4.4: Programa del lIétodo de Gauss-Jordan: vectores múlt iples. 136
  135. 135. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES Ejemplo: Utilizar el programa anterior de MATLiB, para resol,1er el sistema -4 7 8 X1 10 -6 -8 X,, -5 7 6 X~ >> M = M - -4 10 - 5 7 - 6 7 .) 8 - 8 6 o 5 10 10 o o o 10 o 5 10 o 1 . 0000 o 1.4000 o o o 1 . 0000 o o 1 . 6000 1. 0000 - 0 . 7000 X - 1 . 4000 1 . 6000 - 0 . 7000 2 . 4000 0 . 6000 1 . 3000 4. 6 lllétodo de Cholesky 2 . 4000 0 . 6000 1 . 3000 En ciertas aplicaciones de ingeniería para la solución de grandes sistemas de ecuaciones, se presentan algunas propiedades de matrices, que son de gra11 utilidad en la solució11 del problema. Es el caso de ecuacio11es encontradas e11 I11geniería Estructural. Este tipo especial de matrices son de banda, reales, simétricas y definida-positivas. 137
  136. 136. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Si una matriz [i]n::n es simétrica, y definida-positiva, se puede descomponer de la forma: [A]=(G](G]r Donde: [ G]nxn: IVIatriz triangular inferior [ G]:n : IVIatriz triangular superior Por tanto la solución del sistema [A] [X]= [ B] se simplifica computacionalmente re-escribiendo: La anterior ecuació11 se puede resol,;er por un par de ecuaciones expresadas de la forma: (G](Y]=(B] Ejemplo: Resol,;er el sistema [A ][X]=[B] Donde, 1 -1 -1 2 X¡ 2 (A)= -1 5 -3 o [X)= X2 [B)= -4 1 -3 3 o X3 4 2 o o 7 X4 1 138
  137. 137. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES a) El primer paso es obtener la matriz [G] : ª ')1 g - - - -1 21 - 1 - ª~1 g31 = { = 1 0-(2)(1)-(1)(-1) g43 = 1 = -1 139
  138. 138. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ g44=~7-(1 + 1 +4)= 1 La matriz que se obtiene es: (G]= 1 - 1 o 2 1 - 1 o o o o 1 o 2 1 - 1 1 b) A continuación se debe resol,;er: (G] [Y]=[B] La matriz aumentada es: 1 o o o 2 - 1 2 o o -4 1 - 1 1 o 4 2 1 - 1 1 1 Resol,;iendo para y1 y =2 • 1 Resol,;iendo la segu11da ecuación 2y =-4+y =-4+2 =-2 2 1 140
  139. 139. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES Resol;iendo la tercera ecuación : Y3 = 4+ Y2 - y1 = 4-1-2 Y3 =1 Y finalmente se resuel1e la última ecuación Y4 =l +y3 - .Y2 - 2y1 = 1+1 +1-4 y4 =-1 c) El tercer paso es resol;er la ecuación: La matriz aume11tada que se obtiene es: 1 -1 -1 2 2 o 2 2 1 - 1 o o 1 -1 1 o o o 1 - 1 Resol;iendo la cuarta ecuación para x4 Resol;iendo la tercera ecuación para x3 , se obtiene: X3 = 1 + X4 = 1-1 X3 = Ü Resol1iendo la segunda ecuación para x2 : 2x2 =-l+x3 - x4 =-1+ 0+1 X2 = Ü 141
  140. 140. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Finalmente, X1 = 2 + X 2 - X3 - 2x4 = 2 + Ü + Ü + 2 X1=4 La solución es: X1 = 4 X2 =Ü X3 = Ü X4 =-} 4. 7 Factorización L U Si la matriz [,L] es de orden m x n )' se puede escribir como el producto de dos matrices [A]= [L][U] donde [L] es una matriz triangular inferior de orden m x m )1 [U] es u11a inatriz tria11gular superior de orden m x n. Para u11a matriz de orden 3x3 tiene la forma: U12 U13 [U] = O u22 U'_)~_ , o o U~_~, _, y una matriz inferior L1i o o [L ]= L21 L22 o L31 L~,, :>.- L33 Considérese el sistema [ L] [ x] = [e] 142
  141. 141. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES Si se resuel1en las ecuaciones come11za11do por la primera, las soluciones toman la forma: e X = 1 1 L 11 1 x~ = (e~ - L,. 1x1 + L~,,x,, ) :> L :> J :> ..... ..... 33 El procedimiento anterior se conoce como substitución 11acia adelante, y es similar al proceso de substitución hacia atrás o regresiva usado en el IVIétodo de Eliminación de Gauss. Dado un sistema de ecuaciones: [A][x]=[f ] se puede escribir la anterior ecuación: [A][ x] = ([L ][U])[ x] = [ / ] [A][ x] = [Ll([u][ x]) = [ / ] Si se define [y] = [U] [X] entonces, 143
  142. 142. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ [A][x]=[L][z]=[f] Como [L] es una matriz triangular superior este sistema puede resol,;erse mediante una sustitución hacia abajo. Una ' ;ez se calcula [z], se puede obtener el vector de incógnitas [x] : [u][x]=[z] Como la matriz [U] es triangular superior; el sistema de ecuaciones se puede resol,;er mediante sustitución hacia atrás. Ejemplo: Dada la matrices [I(] , [L] , [U] y [f] aplique la descomposición LU, para resol,;er el sistema de ecuacio11es [ K] [ x] = [ f ] 4 -2 1 x1 10 20 -7 12 X2 65 -8 13 17 X3 15 1 [K]=[L][U]= 5 -2 o 1 3 o 4 -2 1 o o 3 7 1 o o -2 Primero se debe resol,;er [A][ x] = [ L ][ z] = [/] 1 5 -2 o 1 3 10 65 15 144
  143. 143. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES Por eliminación, nos queda: =2=65-5(10)=15 =3 =15+2(10)-3(15)=-JO Ahora debemos resolver el sistema [U] [ x] = [ z] 4 -2 1 o 3 7 o o -2 X1 X?. X3 10 15 -10 En forma de ecuaciones queda: - 2 X =-JO 3 Al resolver usando sustitución hacia atrás, obtenemos: x2 = 5-7(5)!3=-6.667 X 1 = 2.5 -5/4+2(-6.667)/4=-2.084 145
  144. 144. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ 4.8 Referencias Beaufait, F. ,,._ y Cliff, ,,. Computcr Mcthods of Structural Analysis. Prentice Hall, 1970. l(iusalaas, .J. Numcrical JV!cthods in Enginccring with JV!ATLAB. Cambridge University Press, 2009. Laub, i. lllf atrix Analysis for Scicntists and Enginccrs. SIAM: Society for Industrial and i.pplied Mathematics. Philadelphia, 2004. Mathews .J, Fink, l(. JV!étodos Numéricos con lllfATLAB, Iviadrid, Pre11tice Hall, 2000. Hsieh , Y T eoría Elemental de Estructuras. Prentice Hall Hispanoamericana, Iviéxico, D F. , 1970. Uribe, .J. lllficrocomputadorcs en Ingeniería Estructural. Ecoe Ediciones, Colo1nbia, 1995. '''atkins, D. Fundamcntals of JV!atrix Computations_,,.iley Interscience, N ev.r Y orl<., 2002. Yang, ''' Y et. AL Applicd Numcrical JV!cthods Using J11fATLAB. ''Tile)1-I11terscience, 2005. 4.9 Problemas 1) Solucionar el siste1na de ecuaciones siguiente usando in·versión. Verificar la solución usa11do ]1IA TLAB. X1 + 5x2 + X3 = 1 4x1+2x3 =3 X?- + X~ = 2 ~ 2) Resol1er por la regla de Cra1ner el sistema [A] [ x] = [ b] 2 4 1 (A]= - 1 3 -2 2 -3 5 10 [b] = 5 o 146
  145. 145. SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES 3) Resol,1er el problema 2 por el IYiétodo de Eliminación de Gauss. 4) Resolver el sistema de ecuaciones, por el IYiétodo de Eliminación de Gauss. 2x1 -3x2 - x3 + 2x4 = 30 -x+ x+ 2x1 2 3 - 2x= -26 4 X1 - X2 + X3 + X = 8 4 3x+ 2x- x- x= 6 1 2 3 4 .5) Resol,1er por el Método de Gauss-.Jordan el sistema [A][x]=[b] 15 -5 o [A]= -5 15 5 o -5 20 10 [b] = o o 6) Resol,1er por el Método de Gauss-.Jordan el sistema [A][X]=[B] 15 -5 o [A]= -5 15 5 o -5 20 5 15 10 [ B] = O 10 O o o 5 147
  146. 146. A11exo Dife1·e11ciació11 e i11teg1·ació11 de inat1·ices C011 MATLAB. En muchas aplicaciones de i.nálisis Matricial de Estructuras y en el Método de Elementos Finitos; se deben obtener las derivadas e integrales de matrices. i.quí se prese11ta una breve i11troducció11 a su cálculo en :NIA TLAB. Ejemplo Al: Dada el vector fila [N] [ N] = [ x 2x] Se define en Nii. TLi.B mediante: >> syms x >> N= [x x*2 ] N - [ x , 2*x ] Para calcular la primera derivada de [N] se usa el comando diff >> diff (N , x) ans = [ 1, 2 ]
  147. 147. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Para calcular la segunda deri,;ada de (N] se usa la instrucción: >> diff (N , x ,2 ) ans - [ o/ o] Pa.ra ca.lcular la integral de (N] con MATLAB entre los limites de integración xi )' xf se usa la instrucción i nt ( N, xí, xf) Entonces, para calcular la integral de [N] entre x=Ü y x=l , se usa la instrucción: >> i nt(N, 0 ,1) ans = [ 1/2 , 1] Ejemplo A2: Dada la matriz X Ü [B] = O x 2 Se define en Mi TL.A.B , media11te la instrucción: >> syms x >> B= [x 0 ; 0 xA2] B ( X / 0) [ o / XA 2 ] 150
  148. 148. ANEXO Para calcular la integral de [B] , entre x=Ü y x=2, se usa la instrucción: >> BI =int (B , x , 0 , 2) BI - [ 2 f o] [ o, 8/3 ] Ejemplo A3: Dada la matriz X [C]= o Se define en Mi TL.A.B , rnedia11te la instrucción: >> syms X L >> C= [x x/ L; O e - [ x , x/L] [ O, x/ L] x* (1/L) ] Pa.ra calcular la integral de [O] entre x=Ü y x=L, se usa la instrucción: >> i nt(C, x , 0,L ) ans = [ 1/2* L/2, [ o f 1/2* L] 1/2* L] 151
  149. 149. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Ejemplo A4: Dada la matriz X (C]= x3 Se define en IVIi. TL.A.B como: >> syrns x L >> C= [x xA2 ; xA3 xA 2 ] e - [ X ' XA 2 ] [ xA3 , xA2 ] Para calcular la primera, segunda deri,;ada )1 tercera deri,;ada de [O] se usan las instrucciones: >> di f f (C , x) a ns - [ 1, 2*x ] [ 3*xA2, 2*x ] >> di f f (C , x ,2 ) ans - [ o' 2 ] [ 6*x , 2 ] 152
  150. 150. >> diff (C , x , 3) ans - [ o f o] [ 6 f o ] ANEXO Pa.ra calcular la integral de [C] entre x=Ü )i x=2, se usa la instrucción: >> i nt (C , x , 0 ,2 ) ans - [ 2 , 8/ 3 ] [ 4 , 8/ 3 ] Para calcular la integral de [C] entre x=Ü y x=L, se usa la instrucción: >> i nt (C , x , 0,1 ) ans = [ 1/ 2*1" 2, 1/ 3*1" 3 ] [ 1/ 4*1" 4, 1/ 3*1" 3 ] Para calcular el producto [ C] [ C] T se da la instrucción: >> C*transpose (C) ans = [ x" 2+x" 2 / 1" 2, [ x" 2/ 1" 2, x " 2/ 1" 2 ] x" 2/ 1" 2 ] 153
  151. 151. JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ Para calcular la integral de [C][C]T entre x=Ü y x=L, se usa la instrucción: >> i nt(C*transpose(C) , x , 0 ,L) ans = ( 1/3* (1+1/LA2) *LA3, [ 1/3* L, 1/3* L] 1/3*L] Para calcular la integral de [C]T[C] entre x=Ü y x=L, se usa la instrucción: >> i nt(t r anspose(C) *C, x , 0 ,L) ans = [ 1/3* LA3, [ 1/3* LA2, 1/ 3*LA2] 2/3*L] 154
  152. 152. . 1 ~·f ... ) .) i AUSJAL

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