Este documento presenta una introducción a la teoría de la elasticidad y los estados de tensión en un sólido deformable. Explica conceptos como cuerpos deformables, fuerzas, tensiones normales y tangenciales, y el régimen de tensiones en un punto. También describe la representación cartesiana del estado de tensión y las ecuaciones de equilibrio para un cubo elemental sujeto a tensiones.

1. RESISTENCIA DE MATERIALES CLASES TEÓRICAS

6. “ La teoría no es el conocimiento; permite el conocimiento. Una teoría no es una llegada, es la posibilidad de una partida. Una teoría no es una solución; es la posibilidad de tratar un problema. Dicho de otro modo, una teoría sólo cumple su papel cognitivo, solo adquiere vida, con el pleno empleo de la actividad mental del sujeto” .E. Morin (1984)

9. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD

12. 1.4 ESTUDIO DE TENSIONES EN UN SÓLIDO DEFORMABLE 1.4.1 Concepto de tensión en un punto : Se considera un sólido en equilibrio bajo la acción de las fuerzas p i π p i pi pi pi pi pi pi Ri Rd A S

27. . ESTADO TRIPLE O ESPACIAL

32. Supongamos ahora que deseamos expresar σ y ζ en función de las tensiones que actúan en las caras ortogonales. Para ello debemos recordar de Estática, el Teorema de Varignon, que nos decía que la sumatoria de los momentos de las componentes de un sistema, eran equivalentes al momento de la resultante. Entonces, proyectamos ρ sobre la dirección de σ e igualamos la suma de proyecciones de ρ x , ρ y y ρ z nos queda: σ = ρ cos φ = ρ x l + ρ y m + ρ z n Que reemplazando con los valores de la ecuación A nos queda σ = σ x l 2 + σ Y m 2 + σ Z n 2 + 2 ( ζ xy l m + ζ xz l n + ζ yz m n ) ζ = ( ρ 2 - σ 2 ) ½. De esta manera, hemos hallado σ y ζ en función de las tensiones que actúan en las caras ortogonales.

34. Para el caso de las tensiones principales, las expresiones A, se convierten entonces en: ρ x . 1 = σ i l ρ y . 1 = σ i m ρ z . 1 = σ i n Por ser nulas las tensiones tangenciales. Si igualamos este sistema de ecuaciones, con la parte derecha de las ecuaciones A, que eran los datos del problema y que representaban las tensiones en las caras ortogonales, nos quedará: σ i l = σ x l + ζ xy m + ζ xz n σ i m = ζ xy l + σ y m + ζ yz n σ i n = ζ xz l + ζ yz m + σ z n Operando matemáticamente obtendremos (ecuaciones 1) ( σ x - σ i ) l + ζ xy m + ζ xz n = 0 ζ xy l + ( σ y - σ i ) m + ζ yz n = 0 ζ xz l + ζ yz m + ( σ z - σ i ) n = 0

36. Desarrollando el determinante, llegamos a una ecuación cúbica, llamada ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE LAS TENSIONES PRINCIPALES. σ i 3 - σ I 2 ( σ X + σ y + σ z ) + σ i ( σ X . σ y + σ z σ X + σ y σ z – ζ xy 2 - ζ xz 2 - ζ yz 2 ) – ( σ X . σ y . σ z + 2 ζ xy . ζ xz . ζ yz - ζ xy 2 . σ z - - ζ xz 2 . σ y - ζ zy 2 . σ x ) = 0 Esta ecuación posee 3 raíces que son σ 1 ; σ 2 ; σ 3 , que son las tres tensiones principales que actúan en los tres planos principales y que existen si y solo si las 3 σ i son reales. Siempre supondremos σ 1 > σ 2 > σ 3 Que una raíz es siempre real, es obvio por predominar el término cúbico sobre el resto de la ecuación. A ese valor lo llamaremos σ 3

40. El determinante de este sistema de ecuaciones, esta dado por: ( σ x – σ 1 ) ζ xy ζ xz ζ xy ( σ y – σ 1 ) ζ yz = 0 ζ xz ζ yz ( σ z – σ 1 ) Si ahora llamamos Δ 1 ; Δ 2 Δ 3 , a los 3 menores complementarios de la primera fila, tendremos σ y – σ 1 ζ yz Δ 1 ζ yz σ z – σ 1 ζ yx ζ yz Δ 2 ζ xz σ z – σ 1 ζ xy σ y – σ 1 Δ 3 ζ xz ζ yz

41. Luego, desarrollamos el determinante por la primera fila ( σ x – σ 1 ) Δ 1 + ζ xy Δ 2 + + ζ xz Δ 3 = 0 dividiendo miembro a miembro, y comparando con ( σ x – σ 1 ) l 1 + ζ xy m 1 + ζ xz n 1 = 0 que era la primera de las ecuaciones, llegamos a determinar K, una constante no nula cuyo valor vendrá determinado por l 1 m 1 n 1 K = = = Δ 1 Δ 2 Δ 3 Entonces l 1 = K Δ 1 ; m 1 = K Δ 2 ; n 1 = K Δ 3 y como sabemos que l 1 2 + m 1 2 + n 1 2 = 1 Nos quedará entonces (K Δ 1 ) 2 + (K Δ 2 ) 2 + ( K Δ 3 ) 2 = 1

43. Δ 1 l 1 = ± [ ( Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½ Δ 2 m 1 = ± [ ( Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½ Δ 3 n 1 = ± [ ( Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½ Ahora repetimos todo el proceso matemático reemplazando alternativamente σ 1 por σ 2 y luego por σ 3 para hallar los cosenos directores de las direcciones principales 2 y 3. 1.5.4. DETERMINACIÓN DEL VALOR DE LAS TENSIONES EN UN PUNTO EN FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALES Si los ejes ortogonales coinciden con las tres direcciones principales, tendremos que:

46. Para esos planos existe un valor de tensión normal asociada, llamada comúnmente σ m y cuyo valor es: Para el plano donde actúa ζ 1 ; σ m = ( σ 2 + σ 3 )/2; Para el plano donde actúa ζ 2 ; σ m = ( σ 1 + σ 3 )/2; Para el plano donde actúa ζ 3 ; σ m = ( σ 2 + σ 1 )/2; b) Para el caso que dos tensiones principales sean iguales y una diferente σ 3 = σ 2 ≠ σ 1 La solución a este caso ocurre así mismo en planos a 45º de los planos que contienen a las direcciones principales y su valor viene dado por ζ máx = ± ( σ 1 – σ 3 )/2 = ( σ 1 – σ 2 )/2 c) Para el caso de tres tensiones principales iguales σ 3 = σ 2 = σ 1 ya habíamos dicho que las tensiones tangenciales son nulas 1.5.6. INVARIANTES DE TENSIÓN Partimos de la ecuación característica de tensiones σ i 3 - σ I 2 ( σ X + σ y + σ z ) + σ i ( σ X . σ y + σ z σ X + σ y σ z – ζ xy 2 - ζ xz 2 - ζ yz 2 ) - ( σ X . σ y . σ z + 2 ζ xy . ζ xz . ζ yz - ζ xy 2 . σ z - ζ xz 2 . σ y - ζ zy 2 . σ x ) = 0

49. Nuestro objetivo es resolver la orientación del plano que contiene a σ y ζ , partiendo del conocimiento de las tensiones principales. O sea que las incógnitas serán l 2 , m 2 y n 2 . Si llamamos Δ al discriminante del sistema anterior tenemos σ 1 2 σ 2 2 σ 3 2 σ 1 σ 2 σ 3 = σ 1 2 ( σ 2 - σ 3 ) – σ 2 2 ( σ 1 - σ 3 ) – σ 3 2 ( σ 1 – σ 2 ) 1 1 1 Resolviendo los determinantes de las direcciones llegamos a obtener una familia de circunferencias en el plano σ ; ζ , cuyo centro se encuentra sobre el eje σ a una distancia igual a ½ ( σ 2 + σ 3 ) y donde l es un parámetro que varia entre los extremos que puede tomar la función coseno, es decir 0 o 1 Idéntica situación se produce para los cosenos directores m y n obteniendo en total 6 circunferencias .

50. CIRCUNFERENCIA CORRESPONDIENTE AL PARAMETRO Centro circunferencias l : ( σ 2 + σ 3 ) /2 l = 0 -> radio ( σ 2 - σ 3 ) /2 l = 1 -> radio σ 1 - ( σ 2 + σ 3 ) /2 Centro circunferencias m : ( σ 1 + σ 3 ) /2 m = 0 -> radio ( σ 1 - σ 3 ) /2 m = 1 -> radio σ 2 - ( σ 1 + σ 3 ) /2 Centro circunferencias n : ( σ 1 + σ 2 ) /2 n = 0 -> radio ( σ 1 – σ 2 ) /2 n = 1 -> radio σ 3 - ( σ 1 + σ 2 ) /2