El documento presenta información sobre conceptos de estática como fricción, centro de gravedad de un cuerpo bidimensional y centroides de áreas y líneas. Explica la fricción seca y cómo se determina el coeficiente de fricción estática. También describe cómo calcular el centro de gravedad de una placa dividiéndola en elementos y utilizando las fuerzas y momentos. Finalmente, presenta un ejemplo numérico sobre el equilibrio de un embalaje.

1. Licenciatura en Ingeniería en Mecánica
Estática
Fricción, Centro de Gravedad de un cuerpo bidimensional,
Centroides de Áreas y Líneas
Catedrática: Santana Robles Francisca
Alumnos: Eduardo Otero Tinajero
Ismael García Harris
Erick Alonso García
Jacob Isacar Hernández Tolentino
Cd. Sahagún Hgo. 29 de Octubre 2012

2. Fricción
• Introducción
La fricción se puede ser definida como una fuerza resistente que
actúa sobre un cuerpo e impide o retarda el deslizamiento del
cuerpo en relación a un segundo cuerpo o superficie con los
cueles este en contacto. La fuerza de fricción actúa
tangencialmente a la superficie en los puntos de contacto con
otros cuerpos, y está dirigida en sentido opuesto al movimiento
posible o existente del cuerpo con respecto a esos puntos.

3. Fricción seca
Se puede explicar si se considera los efectos que
ocasiona jalar horizontalmente un bloque de peso
uniforme W que descansa sobre una superficie
horizontal rugosa que es no rígida o deformable.
Sin embargo la parte superior del bloque puede
considerarse rígida, el piso ejerce unas distribución
dispar de fuerza normal ∆Nn y de fuerza de fricción
∆Fn a lo largo de la superficie de contacto.

4. • Supóngase que un estudio microscópico de la
superficie entre el bloque y el piso, se revela
que existen muchas irregularidades y como
resultado, se desarrollan fuerzas reactivas
∆Rn en cada uno de los puntos de contacto.
Equilibrio
El efecto de las cargas distribuidas normales y
de fricción está indicando por sus resultantes N
y F. N actúa a una distancia de X a la derecha
de la línea de acción de W, Esta ubicación que
coincide con el centroide o el centro
geométrico de la distribución normal de
fuerzas.

5. Movimiento Inminente
• En los casos donde las superficies de
contacto son resbalosas, la fuerza F de
fricción puede no ser lo suficiente grande
para equilibrar a P, y en consecuencia el
bloque tendrá a resbalar antes que a
volcarse.

6. • µs se llama coeficiente de fricción estática.
• Así cuando el bloque esté a punto de deslizarse la fuerza normal N
y la fuerza de fricción F se combinar para crear una resultante Rs.

7. Ejemplo
• El embalaje uniforme que se muestra tienen una masa de
20kg. Si una fuerza P= 80N se aplica al embalaje determine si
éste permanece en equilibrio. El coeficiente de fricción
estática es de µs=0.3

8. Solución
• La fuerza normal resultante Nc debe actuar a una distancia x
de la línea central del embalaje para contrarrestar el efecto de
volteo causado por P.

9. • Como x es negativa, eso indica que la fuerza normal resultante
actúa (ligeramente a la izquierda de la línea central del
embalaje. No ocurrirá ningún vuelco, ya que x<0.4m. Además
la fuerza de fricción máxima que se puede desarrollar en la
superficie de contacto es Fmax=µsNc=(0.3)(236N)=70.8 Como
F=69.3N<70.8N el embalaje no se deslizará aunque estará muy
cerca de hacerlo.

10. FUERZAS DISTRIBUIDAS CENTROIDES Y CENTROS DE
GRAVEDAD
La atracción de la tierra sobre un cuerpo rígido se representa por una sola fuerza
W esta fuerza se llama gravedad o peso del cuerpo, y se debe de aplicar en el
centro de gravedad del cuerpo.
La tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que forman el cuerpo
, así la acción de la tierra sobre un cuerpo rígido debería representarse por un
gran numero de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. También es
posible determinar el centro de gravedad, es decir ,el punto de aplicación de la
resultante W para cuerpos de diversas formas.
A continuación veremos dos conceptos muy relacionados con la determinación del
centro de gravedad de una placa o de un alambre, y son el concepto de CENTROIDE
DE UN AREA O DE UNA LINEA Y EL CONCEPTO DE UN AREA CON RESPECTO A UN
EJE DADO

11. AREAS Y LINEAS
Consideremos primero una placa horizontal y la dividiremos en ‘’n’’ elementos
pequeños . Las coordenadas del primer elemento están representadas por x,1y,z1 y
las segundas por x2,y2,. Las fuerzas ejercidas por la tierra sobre los elementos se
denotaran como Δw1, Δw2….. Δwz respectivamente de . Estas fuerzas o pesos
están dirigidos hacia el centro de la tierra sin embargo en la practica puede
suponerse que son paralelas.
Su resultante por consiguiente , una sola fuerza en la misma dirección la magnitud
de W de esta fuerza se obtiene sumando las magnitudes de los pesos elementales.
£Fz: W= ∆W1+ ∆W2 +… ∆Wn
Para obtener las coordenadas de x y y del punto G la resultante debe aplicarse , y
escribimos que los momentos de W con respecto a los ejes xyx son iguales a la
suma de los momentos de los pesos elementales .
xW=x1 ΔW1 + x2 ΔW2 +……….+xn ΔWn
yW=y1 ΔW1 + y2 ΔW2 +……….+yn ΔWn

12. • Si aumentamos el numero de elementos en los que la placa
se divide y simultáneamente reducimos el tamaño de cada
elemento, obtenemos en el limite las expresiones siguientes:
•
• W= Xw= yW =
• Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x y y del
centro de gravedad G de la placa plana. Pueden derivarse las
mismas ecuaciones para un alambre que se encuentre en el
plano xy.

13. CUERPO
BIDIMENSIONAL
Al sumar las fuerzas en la dirección z vertical y los
momentos alrededor de los ejes horizontales y y x,
Aumentando el número de elementos en que está
dividida la placa y disminuyendo el tamaño de cada una
obtendremos

14. CUERPO
BIDIMENSIONAL
Para iniciar, considere una placa
plana horizontal (figura 5.1). La placa
puede dividirse en n elementos
pequeños.

15. Las coordenadas del primer elemento se representan con x1 y y1 ,
las del segundo elemento se representan con x2 y y2 , etcétera. Las
fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán
representadas, respectivamente, con W1 , W2 , . . . , Wn. Estas
fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin
embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer
que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una
sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se
obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los
elementos.

16. para obtener las coordenadas x y y del punto G, donde debe
aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con
respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los momentos
correspondientes de los pesos elementales, esto es

17. Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha
dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de
cada elemento se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones:

18. Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x y y del centro
de gravedad G de una placa plana. Se pueden derivar las mismas
ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano xy (figura 5.2).
Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre no
está localizado sobre este último.

19. • Centroides de áreas y líneas. en el caso de una placa
homogénea de espesor uniforme, la magnitud ∆W del peso de
un elemento de la placa puede expresarse como:
∆W=
= peso especifico del material
= areas de la sección transversal del alambre.
∆W= longitud del elemento.
Debe notarse que en el SI un material se caracteriza
generalmente por su densidad p ( masa por unidades de
volumen) y no por su peso especifico. El peso especifico del
material puede obtenerse escribiendo.
= pg

20. • Donde : g= 9.81 m/ . Como se expresa en kg/
• Comprobamos que se expresa en (kg/ )(m/ )

21. • Placas y alambres compuestos. En muchos casos una placa
plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras
formas comunes. La abscisa X de su centro de gravedad G
puede determinarse de las abscisas x1, x2,… de los centros de
gravedad de las diferentes partes, expresando que el
momento del peso de la placa completa con respecto al eje y
es igual a la suma de los momentos de los pesos de las
distintas partes respecto al mismo eje( figura 5.9). la ordenada
Y del centro de gravedad de la placa se encuentra con un
procedimiento parecido igualando los momentos con respecto
al eje x. Escribimos.
• £My: X(W1+W2+…+Wn)= x1 W1+ x2W2+… +xnWn
• £Mx: Y(W1+W2+…+Wn)=y1W1+y2W2+…+ynWn

25. Ejemplo

26. Solución

27. Bibliografia
• Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática (Beer & Johnston,
8va Edición)